【文档说明】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021届高三上学期开学考试数学（文）试题.docx，共(14)页，132.773 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共12题）1．（5分）设集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x||x|≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（0，1]C．[﹣1，1]D．[0，1]2．（5分）设i为虚数单位

，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．23．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0B．∃x∈R，x2﹣x+1＜0C．∀x∈R，x2﹣x+1≤0D

．∀x∈R，x2﹣x+1＜04．（5分）若sin（）＝﹣，α为第二象限角，则tanα＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a＝0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（1，4]B．（

0，1]C．[﹣1，1]D．（4，+∞）6．（5分）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是

对的，那么读了该篇文章的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（5分）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（0，4）8．（5分）函数y＝2|x|s

in2x的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+ex，则f'（2）的值等于（）A．﹣0B．﹣2C．﹣D．﹣﹣210．

（5分）函数y＝loga（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝（）A．B．C．﹣D．11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f

（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数

y＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共4题）13．（5分）曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为．14．（5分）设函数f（x）＝，则f（x）≤3成立的x的取值范围．15．（5分）已知，则cos（

α﹣β）＝．16．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是．三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分）17．（10分）已知p：

|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（a+2）x+2a≤0．（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）（文）已知函数f（x）＝（sinωx+cosωx）cosωx﹣（ω＞0）的最小正周期为

4π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．19．（12分）在△ABC中，a，b，c，分别为角A，B，C的对边，且sinB﹣sinC＝sin（A﹣C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，求b+2c的最大值．20．（

12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．21．（12分）设函数f（x）＝x2+1﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x在区间上的最小值．22

．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学数学

试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12题）1．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]

．故选：B．2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．3．【分析】命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等

号的变化．【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．故选：A．4．【分析】由已知求得cosα，进一步得到sinα，再由商

的关系求得tanα．【解答】解：由sin（）＝﹣，得cos，∵α为第二象限角，∴sin．则tanα＝．故选：A．5．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用命题“p∧q”为真命题，确定实数a的取值范围【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，则a＞lne＝1，若命题q

：“∃x∈R，x2﹣4x+a＝0”为真命题，则△＝16﹣4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则，解得：1＜a≤4．故实数a的取值范围为（1，4]．故选：A．6．【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：①

当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾

，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B．7．【分析】由题意可得0＜2B＜，且＜3B＜π，解得B的范围，可得cosB的范围，由正弦定理求得a＝4cosB，根据cosB的范

围确定出a范围即可．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A＝2B，∴0＜2B＜，且B+A＝3B，∴＜3B＜π．∴＜B＜，∴＜cosB＜，∵b＝2，A＝2B，∴由正弦定理可得：a＝＝＝4cosB，∴可得：2

＜4cosB＜2，则a的取值范围为（2，2）．故选：A．8．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D

．9．【分析】根据导数公式先求出f'（x），然后令x＝2即可得到f'（2）的值．【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+ex，∴f'（x）＝2x+3f'（2）+ex，令x＝2，则f'（2）＝4+3f'（2）+e2

，即﹣2f'（2）＝4+e2，∴f'（2）＝﹣﹣2．故选：D．10．【分析】令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．【

解答】解：对于函数y＝loga（x+4）+2（a＞0且a≠1），令x+4＝1，求得x＝﹣3，y＝2，可得函数的图象恒过点A（﹣3，2），且点A在角θ的终边上，∴tanθ＝＝﹣，则sin2θ＝＝＝﹣，故选：C．11．【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇

偶性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．12．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y＝g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）＝9求得x1、x2满足的条件，再求|x1﹣x2|的可能取值．

【解答】解：函数f（x）＝x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣

）+1的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则4x﹣＝+2kπ，k∈Z；解得x＝+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1﹣x2|的值为T的整数倍，且T＝＝．故选：B．二、填空题（每题5分，共4题）13．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切

线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）＝xlnx，得，∴f′（1）＝ln1+1＝1，即曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝

1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．14．【分析】根据f（x）的解析式可看出，x＜1时，满足f（x）≤3；x≥1时，由f（x）≤3可得，，从而得出1≤x≤9，这样便可得出x的取值范围．【解答】解：①∵x＜1；∴x﹣1＜0；∴ex﹣1

＜1；∴x＜1时，f（x）≤3成立；②x≥1时，由f（x）≤3得，；∴x≤9；∴1≤x≤9；∴x≤9；∴x的取值范围为：（﹣∞，9]．故答案为：（﹣∞，9]．15．【分析】已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，

把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2＝cos2α+2cosαcosβ+cos2β＝①，（sinα+sinβ）2＝sin2α+2sinαsinβ+sin2β＝②，①+②得：2+2（cosαc

osβ+sinαsinβ）＝1，即cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣，则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣．故答案为：﹣16．【分析】根据题意，做出函数的草图，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求解

2a+2b+2c的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数＝，其草图如图若互不相等的实数a，b，c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），设f（a）＝f（b）＝f（c）＝m，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝m有3个不同的交点，分别为（a，m），（b，m），（c，m），且0＜m＜1，结

合函数的图象：有a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），当m→1时，表达式2a+2b+2c的值趋向最小值：0+2+24＝18，当m→0时，表达式2a+2b+2c的值趋向最大值：1+1+25＝34．则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．故答案为：（16，34）．三、解答题（1

7题10分，18-22题，每题12分）17．【分析】（1）由p：|2x﹣5|≤3是真命题，解含绝对值不等式的性质能求出x的取值范围．（2）由P：1≤x≤4，q：（x﹣2）（x﹣a）≤0，p是q的必要不充分条件得到：当a≥2时，q：2≤x≤a，当a＝2时，q：x＝2，当a＜2时，

q：a≤x≤2，利用分类讨论思想能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵p：|2x﹣5|≤3是真命题，∴|2x﹣5|≤3，∴﹣3≤2x﹣5≤3，解得1≤x≤4，∴x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知：P：1≤x≤4，q：x

2﹣（a+2）x+2a＝（x﹣2）（x﹣a）≤0，p是q的必要不充分条件当a≥2时，q：2≤x≤a，故满足a≤4，即2＜a≤4，当a＝2时，q：x＝2，满足条件；当a＜2时，q：a≤x≤2，故满足a≥1，即1≤a＜2．综上所述a的取值范围是[1，4]．18．【分析】（1）

利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）＝sin（2ωx+），利用其最小正周期为4π可求得ω；（2）由（1）知，f（x）＝sin（x+），利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（

x）＝sinωxcosωx+cos2ωx﹣＝sin2ωx+cos2ωx+﹣＝sin（2ωx+），∵T＝＝4π，∴ω＝．（2）∵f（x）＝sin∵﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣π+4kπ≤x≤π+4kπ，k∈Z∴f（x）的单调递增区间为[﹣+4kπ，+

4kπ]（k∈Z）．19．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosA＝，进而可求A的值；（Ⅱ）根据三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求可得b+2c＝2sin（B+φ），其中tanφ＝，φ

∈（0，），结合范围B∈（0，），利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，sinB﹣sinC＝sin（A﹣C），∴sin（A+C）﹣sinC＝sin（A﹣C），即sinAcosC+cosAsinC﹣sinC＝sinAcosC﹣cosA

sinC∴2cosAsinC＝sinC≠0，∴cosA＝，∴A＝．（Ⅱ）∵由，可得b+2c＝2（sinB+2sinC）＝2[sinB+2sin（120°﹣B）]＝2（2sinB+cosB）＝2sin（B

+φ），其中tanφ＝，φ∈（0，），由B∈（0，），存在B使得B+φ＝，∴sin（B+φ）的最大值为1，∴b+2c的最大值为2．20．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC＝30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠

ADC＝，即可解得∠ADC＝120°．（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC＝1，BD＝2，AC＝，令∠ADB＝θ，由余弦定理，即可解得AD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∠BAD＝60°，∠BAC＝

90°，∴∠DAC＝30°，…1分在△ADC中，由正弦定理可得：，…2分∴sin∠ADC＝sin∠DAC＝，…3分∴∠ADC＝120°，或60°，…4分又∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°…6分（Ⅱ）∵BD＝2DC，∴BC＝3DC，在△ABC中，由勾股定理可得

：BC2＝AB2+AC2，可得：9DC2＝6+3DC2，∴DC＝1，BD＝2，AC＝，…8分令∠ADB＝θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cosθ，…9分在△ADC中

，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（π﹣θ），…10分可得：，∴解得：AD2＝2，可得：AD＝…12分21．【分析】（I）求出导函数，得出函数的单调区间；（II）求导函数，判断函数在区间上的单调性，然后求出最小值

．【解答】解：（I）f（x）＝x2+1﹣lnx∴f'（x）＝2x﹣＝，∴当x在（，+∞）时，f'（x）＞0，函数递增，当x在（0，）时，f'（x）＜0，函数递减，故函数的增区间为（，+∞），减区间为（

0，）；（II）由g（x）＝f（x）﹣x＝x2﹣x+1﹣lnx，得g'（x）＝，x∈，令g'（x）＝0，则x＝1，∴g（x）在上单调递减，在（1，2]上单调递增，∴g（x）min＝g（1）＝1，∴函数的最小值为1．22．【分析】（I）求出函数的f（x）定义域

为（0，+∞），导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可．（II）令，由0＜a＜1，得．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．【解答】（共14分）解：（I）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已

知，得f'（1）＝0，解得a＝1．当a＝1时，．所以f'（x）＜0⇔0＜x＜1，f'（x）＞0⇔x＞1．所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．所以函数f（x）在x＝1时取得极小值，其极小值为f（1）＝0，符合题意所以a＝1．……………………………………………………………………

（5分）（II）令，由0＜a＜1，得．所以．所以f（x）减区间为，增区间为．所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为．因为0＜a＜1，所以．所以．所以．因为，又因为0＜a＜1，所以a﹣2+e＞0．所以．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一

个零点．因为x＞lnx，f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx＞ax2+（a﹣2）x﹣x＝x（ax+a﹣3）．令ax+a﹣3＞0，得．又因为0＜a＜1，所以．所以当时，f（x）＞0．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．所以，

当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．………………………………（14分）