【文档说明】河南省实验中学2021-2022学年高三上学期期中考试 数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.586 MB，由小赞的店铺上传

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河南省实验中学2021——2022学年上期期中试卷高三理科数学命题人：宋苗珂审题人：李笑萌（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）1.设()()2346izzzz++−=+，则z=（）A.12i−B.12i+C.1i+D.1i−【答案】C【解析】【分析】设izab=+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个

未知数的值，即可得出复数z.【详解】设izab=+，则izab=−，则()()2346i46izzzzab++−=+=+，所以，4466ab==，解得1ab==，因此，1iz=+.故选：C.2.已知命题:,sin1pxxR﹔命题:qxR﹐||e1x，则

下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.()pq【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p为真命题；由于xye=在R上为增函数，0x，所以||01xee=

，所以命题q为真命题；所以pq为真命题，pq、pq、()pq为假命题.故选：A．3.已知0.20.32log0.2,2,0.2abc===，则A.abcB.acbC.c<a<bD.b<c<a【答案】B【解析】【分析】运用中间量0比较,ac，运用中间量1比较,bc【详解】22l

og0.2log10,a==0.20221,b==0.3000.20.21,=则01,cacb．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.Logistic模型是常用数学模型之一，可

应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etIKt−−+，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏

制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】将tt=代入函数()()0.23531tKIte−−=+结合()0.95ItK=求得t即可得解.【详解】()()0.23531tKIte−−=+，所以()()0.23

530.951tKItKe−−==+，则()0.235319te−=，所以，()0.2353ln193t−=，解得353660.23t+.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.函数()fx在(,)

−+单调递减，且为奇函数．若(1)1f=−，则满足1(2)1fx−−的x的取值范围是（）A.[－2，2]B.[－1，2]C.[0，4]D.[1，3]【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可.【详解】由函数()fx奇函数，得(1)(1)1

ff−=−=，不等式1(2)1fx−−即为(1)(2)(1)ffxf−−，又()fx在(,)−+单调递减，∴得121x−−，即13x﹒为故选：D．6.直线20xy++=分别与x轴，y轴

交于A，B两点，点P在圆()2222xy−+=上，则ABP面积的取值范围是A.26，B.48，C.232，D.2232，【答案】A【解析】【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到AB，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范

围，由面积公式计算即可详解：直线xy20++=分别与x轴，y轴交于A，B两点()()A2,0,B0,2−−,则AB22=点P在圆22x22y−+=（）上圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d++==故

点P到直线xy20++=的距离2d的范围为2,32则22122,62ABPSABdd==故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．7.已知322，2sin1cos=−，则tan

=（）A.0和43−B.43−C.74−D.74−和0【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值.【详解】因为2sincos1−=，所以cos2sin1=−，因为22sincos1+=，所以()22

sin2sin11+−=，整理得25sin4sin0−=，解得sin0=或45，由322则当sin0=时，=（代入条件验证矛盾舍去），当4sin5=时，3cos5=−，所以4tan3=−.故选：B8.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，

若三棱锥−PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，4PABC==，3AB=，ABBC⊥，若三棱锥−PABC的所有顶点都在球O上，则球O的半径为（）A.412B.34C.38D.32【答案】A【解析】【分析】将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.【详解】由题意

,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥−PABC的外接球即为长方体的外接球.外接球的半径为22211143441.222RPC==++=故选：A9.给定两个长度为2的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示.点C在以O为圆心2为半径的圆弧A

B上运动.则CBCA的最小值为A.4−B.2−C.0D.2【答案】B【解析】【分析】设([0,120])AOC=，以,OAOB为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可.【详解】设(

[0,120])AOC=，因此有2()()CBCACOOBCOOACOCOOAOBCOOBOA=++=+++2COOCOAOBOCOBOA=−−+422cos22cos(120)22cos120=−−−+4

4cos4cos(120)2=−−−−24cos2cos23sin=−+−22cos23sin=−−24cos(60)=−−，因为[0,120]，所以60[60,60]−−，所以当600−=时，即60

=，CBCA有最小值，最小值为242−=−.故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积最小值问题，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量的定义和运算性质，考查了辅助角公式和余弦函数的单调性，考查了数学运算能力.10.已知函数()

1,0,0xxfxxex−−=且关于x的方程()0fxax−=有三个不等实根，则实数a的取值范围为（）A.(,e−−B.(),e−−C.(),1−−D.(,1−−【答案】B【解析】【分析】转化关于x的方程()0fxax−=有三个不

等实根为(),yfxyax==有三个不同的交点，分0a，a<0讨论，当a<0时，考虑临界状况，yax=与xye−=相切，分析即得解【详解】由题意，关于x的方程()0fxax−=有三个不等实根，可转化为(),yfxyax

==有三个不同的交点结合图像，当0a时显然不成立；当a<0时，考虑临界状况，yax=与xye−=相切设切点为00(,)xxe−，由于0xxyeke−−=−=−从而切线方程为：000()xxyeexx

−−−=−−，由于直线过原点故0000()1xxeexx−−−=−−=−ke=−数形结合可知，当ke−，即(),ae−−时，(),yfxyax==有三个不同的交点即关于x的方程()0fxax−=有三个不等实根故选：B11.棱长为2的正方体

1111ABCDABCD−中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABBA内，若1DP垂直于CM，则PBC的面积的最小值为（）A.255B.55C.45D.1【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出P点的坐标，利用1CMD

P⊥求得P点坐标间的相互关系，写出PBC面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.【详解】以1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，依题意有()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,MCDPab，()()12,2,1,2,,2DMCPab=−−=−uu

uruuur，由于1CMDP⊥，故()()2,2,12,,24220abab−−−=−+−+=，解得22ba=−.根据正方体的性质可知，BCBP⊥，故PBC为直角三角形，而()2,2,0B，故()()2

20,2,2PBabab=−−=−+uur，PBC的面积为()2221251282BCPBabaa=−+=−+，当126105a==时，面积取得最小值为266255128555−+=，故选:A.12.已知关于x的不等式3xex-x-alnx≥1对于任意x∈(l

，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为A.（-∞，1-e]B.（-∞，-3]C.（-∞，-2]D.（-∞，2-e2]【答案】B【解析】【分析】化简得到3ln1lnxxexax−−−，根据1xex+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln3ln31111lnlnlnlnxxxxxxexxexeex

exxaxxxx−−−−−−−−−−−===.设()1xfxex=−−，则()'1xfxe=−，则函数在(),0−上单调递减，在)0,+上单调递增，故()()min00fxf==，故1xex+.根据1x

ex+，3ln13ln113lnlnxxexxxxxx−−−−+−−=−，故3a−.故选：B.【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1xex+化简是解题的关键.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列{

}na的公比0q，其前n项和为nS，且26S=，314S=，则1a=__．【答案】2【解析】【分析】由条件可得332aSS=−，求出3a，再由332122aaSaaqq=+=+可求出q，从而得出答案.【详解】由3321468aSS=−=−=3321226aaSaaqq=+=+=，即23440qq

−−=，即(2)(32)0qq−+=解得2q=或23q=−（舍）由231148aaqa===，所以12a=故答案为：214.设实数x、y满足约束条件2402602xyxyx−++−……„，则1yzx=+的取值范围为_______．【答案】216[,]3

3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由1yzx=+的几何意义，可行域内的动点与定点(1,0)P−连线的斜率求解．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，由240260xyxy−+=+−=解得25165xy=−=，由2602xyx+−==解得22xy=

=，所以()2,2A，216,55B−，1yzx=+的几何意义为可行域内的动点与定点(1,0)P−连线的斜率，23PAk=，163PBk=，1yzx=+的取值范围为216,33．故答案为：216,

33．15.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，,AB是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，满足30,45MABMBA==，设椭圆C的离心率为e，则2e=______

.【答案】313−【解析】【详解】设()00,Mxy,(),0Aa−(),0Ba，因为30,45MABMBA==，，所以可得001,BMykxa==−−0033AMykxa==+，2200221xyab+=，三等式联立消去00,xy可得2222331,133beea==−=−故答案为：

313−.16.在ABC中，若22(sin3cos)40aaBB−++=，27b=，则ABC的面积为_____．【答案】23【解析】【分析】利用0求出,26Ba==，再利用余弦定理求出43c=即得解.【详解】解：由题得24sin()403aaB−++=，因为方程有解，所以2216sin(

)160,sin()133BB=+−+,所以sin()13B+=,因为0.333BB++,所以sin()136BB+==，.所以24402aaa−+==，.由余弦定理得22328=4+22,23240,432ccccc−

−−==.所以ABC的面积为111sin24323222SacB===.故答案为：23三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）

必考题：共60分.17.正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n＝0．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn()11nan=+，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）2nan=（

2）2(1)nnTn=+【解析】【分析】（1）根据数列的递推关系，即可求数列{an}的通项公式an；（2）求出bn()11nan=+的通项公式，利用裂项法即可得到结论．【详解】解：（1）∵an2﹣（2n﹣1）an﹣2n＝0，∴（an﹣2n）

（an+1）＝0，又∵各项为正，∴an＝2n．（2）∵bn()()1111212nannn===++111nn−+，∴数列{bn}的前n项和Tn12=（1111112231nn−+−++−+）=()1112121nnn−=++，点睛】本

题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．18.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.【答案】（1）72（2）34【解析】【详解】试题分

析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具【有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（

1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝72.5分（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得3sinsin150sin(30)=−，化简得3cosα＝4sinα.所以t

anα＝34，即tan∠PBA＝34.12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.19.如图，正方形ABCD所在平面与等边ABE所在平面互相垂直，设平面ABE与平面CDE相交于直线l.（1）求直线l与直线AC所成角的大

小；（2）求平面ACE与平面DCE的夹角的余弦值.【答案】（1）45（2）57【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，可得//ABCD，再由线面平行的判定定理可得//AB平面CDE，由线面平行的性质定理可得//lAB，由45BAC=可得l与AC所成角的大小是45；（2）分别取AB、

CD的中点O、F，连接,EOFO，可得OA、OE、OF两两垂直，所以以O为坐标原点，分别以OA、OE、OF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值【详解】（1）∵四边形

ABCD为正方形，∴//ABCD，∵AB平面CDE，CD平面CDE，∴//AB平面CDE，又∵AB平面ABE，且平面ABE平面CDE=直线l，∴//lAB，∵四边形ABCD为正方形，∴45BAC=，故l与AC所成角的大小是45；（2

）分别取AB、CD的中点O、F，连接,EOFO，由ABE为等边三角形，可知EOAB⊥，由四边形ABCD为正方形，知FOAB⊥，∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD平面ABEAB=，且FO平面ABCD，∴FO⊥平面ABE，以O坐标原点，分别以OA、OE、OF所在直线为x、y、z轴建立空间

直角坐标系，设2AB=，则()1,0,0A，()1,0,2C−，()0,3,0E，()1,0,2D，于是()2,0,2AC=−uuur，()1,3,2CE=−，()2,0,0CD=，设平面ACE的一个法向量为(),,mxyz=，由32022

0mCExyzmACxz=+−==−+=，取1y=，可得()3,1,3m=；设平面DCE的一个法向量为()111,,nxyz=，由111132020nCExyznCDx=+−===，取12y=，可得()0,2,3n=.∴0235cos,777mn

mnmn++===.为由图可知，平面ACE与平面DCE的夹角为锐二面角，则其余弦值为57.20.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右顶点分别为A，B，离心率为32，过点()1,0P作直线交椭圆于点C，D（与A，B均不重合）.当点D与椭圆E

的上顶点重合时，5AD=.（1）求椭圆E的方程（2）设直线AD，BC斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）解方程225ab+

=.①2232aba−=，②即得解；（2）设直线CD的方程为1xmy=+，联立方程组221,41,xyxmy+==+得()224230mymy++−=，得到韦达定理，再利用韦达定理化简12kk即得证.【详解】（1）当点D与椭圆E的上顶点重合

时，有()0,Db，所以225ADab=+=.①又因为离心率2232abea−==，②由①②解得2a=，1b=，所以E的方程为2214xy+=.（2）由题意，设直线CD的方程为1xmy=+，联立方程组221,41,xyxm

y+==+得()224230mymy++−=，的设()11,Cxy，()22,Dxy，则12224myym+=−+，12234yym=−+.由（1）得()2,0A−，()2,0B，所以2122=+

ykx，1212=−ykx，()()()()212111222121212121233yxymykmyyykyxymymyyy−−−===+++()1212121121121433334mymyyyyymmmyyyym−+−+++===−+++.【

点睛】方法点睛：定值问题：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.21.已知函数()()212

1ln1fxxxaxxx=−+−−+.其中()aR(1)当0a=时，求函数()fx单调区间；(2)若对于任意0x，都有()0fx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1.a−.【解析】【详解

】试题分析：（1）求导得到区间()0,1上()fx单调递减，()1,+?上()fx单调递增；（2）直接求导，对a分类讨论，得到1a−.试题解析：（1）()12ln1fxxx=+−，令其为()px，则()21120pxxx=+所以可得()px，即()fx¢单调递增，

而()10f=，则在区间()0,1上，()0fx¢<，函数()fx单调递减；在区间()1,+?上()0fx¢>，函数()fx单调递增（2）()()2112lnxfxxxax−=−+，令()212lnxhxxax−

=+，可知()10h=.()222axxahxx++=，令()22,0gxaxxax=++，的①当1a−时，结合()gx对应二次函数的图像可知，()0gx，即()0hx，所以函数()hx单调递减，∵

()10h=，∴()0,1x时，()0hx，()1,+x时，()0hx，可知此时()0fx满足条件；②当0a时，结合()gx对应的图像可知，()0hx，()hx单调递增，∵()10h=，∴()0,1

x时，()0hx，()1,+x时，()0hx，可知此时()0fx不恒成立，③当10a−时，研究函数()22gxaxxa=++.可知()10g.对称轴11xa=−.那么()gx在区间11,a−

大于0，即()hx在区间11,a−大于0，()hx在区间11,a−单调递增，()()10hxh=，可知此时()0fx.所以不满足条件.综上所述：1a−.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos(4sinxy==为参数），直线l的参数方程为1cos(2sinxttyt=−+=+为参数）．（1）求C和l的普通方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中

点坐标为(1,2)−，求l的斜率．【答案】（1）C：221416xy+=，当cos0时，直线l：tan2tanyx=++，当cos0=时，直线l：=1x−；（2）2【解析】【分析】(1)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l的参

数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos0与cos0=两种情况.(2)将直线l参数方程C代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin,cos之间关系，求得tan，即得l的斜率．【小问1详解】由2cos(4sinxy

==为参数），消去参数，得221416xy+=，即曲线C的直角坐标方程为221416xy+=，由1cos(2sinxttyt=−+=+为参数），当cos0时，消去参数t，可得直线l的直角坐标方程为tan2tanyx=++，当cos0=时，可得直线l的参

数方程为=1x−.【小问2详解】将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理可得：22(13cos)(4sin8cos)80tt++−−=．①曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)−在椭圆内，则方程①有两解，设为1t，2t，则1228cos4sin013t

tcos−+==+，故8cos4sin0−=，解得tan2=．l的斜率为2．[选修4-5：不等式选讲]23.设a0，b0，a+b＝2．（1）证明：(1)(1)abab++≥4；（2）证明：a3+b3≥2．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析

】（1）把(1)(1)abab++展开化简，利用基本不等式即可得证；（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.【详解】（1）证明：因为0a，0b，2ab+=.()()13111abab

abaabbab+++++==+.且()214abab+=（当且仅当ab=时取等号），故331141ab++=.所以()()114abab++（2）证明：()3322333abaababb+=+++()333ababab=+++336abab=++()23333664a

babab+++=++当且仅当1ab==时取等号，又()3328ab+==，故332ab+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com