【文档说明】湖北省部分地市州2022-2023学年高三上学期元月期末联考数学试题（解析版）.docx，共(26)页，2.936 MB，由小赞的店铺上传

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湖北省部分市州2023年元月高三年级联合调研考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()12i34iz+=+（其中i为虚数单位），

则z=（）A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算求得z，进而求得z.【详解】()()()()34i12i34i112i112i12i12i12i555z+−+−====−++

−，所以121452525z=+=.故选：C2已知集合11Mxx=−，11Nxyx==−，则集合1xx=（）A.MNB.MNC.()RMNðD.()RMNð【答案】D【解析】【分析】求

函数的定义域求得集合N，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】11Mxx=−，对于函数1y1x=−，由10x−解得1x，所以|1Nxx=.所以11MNxx=−，|1

MNxx=，()R|1MNxx=−ð或1x，()R|1MNxx=ð，所以D选项符合.故选：D3.有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）.A.平均数B

.第50百分位数C.极差D.众数【答案】A【解析】【分析】分别求出平均数、第50百分位数、极差、众数，即可得到答案【详解】平均数为5362728297.110++++=；100.55=，则第50百分位数为7772+=；极差为954−=；众数为6故平均数最

大故选：A.4.已知ππ,42，且22sin23=，则sin的值为（）A.33B.255C.63D.31010【答案】C【解析】【分析】判断2的范围，求得cos2的值，利用二倍角公

式，即可求得答案【详解】由题意ππ,42，则π2,π2，由22sin23=可得2221cos21()33=−−=−，即有21cos212sin3=−=−，即22sin3=，ππ,42，解得sin63=，故选：C5.已知函

数()ln,0,e,0,xxxfxxxx=则函数()1yfx=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分段求出函数()1yfx=−的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x−，即1x时，ln(1)(1)1xyfx

x−=−=−，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)xxxxyxx−−+−−+−−==−−，令0y，得1ex−，令0y，得1e1x−，所以函数()1yfx=−在(,1e)−−上为增函数，在(1e,

1)−上为减函数，由此得A和C和D不正确；当10x−，即1x时，1(1)(1)exyfxx−=−=−，()11(1)e(1)exxyxx−−=−+−11e(1)exxx−−=−−−=1e(2)xx−−−，令0y，得2x，令0y，得12x，所以函数()1yfx=−在

(2,)+上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B正确；故选：B6.已知数列na的前n项和为nS，且11nnSa++=，12a=，则2022S的值为（）A.20222B.202032C.202322−D.2021321−【答案】D【解析】【分析】

利用1(2)nnnaSSn−=−，求出数列的递推关系，从而得数列的通项公式，然后由求和公式计算．【详解】11nnaS+=+，2n时，11nnaS−=+，相减得11nnnnnaaSSa+−−=−=，∴12nnaa+=，又12a=，211113aSa=++==，所以{}n

a从第二项项开始成等比数列，2n时，232nna−=，202122020202120221223(1222)2332112S−=+++++=+=−−，故选：D．7.已知1F，2F分别为双曲线：()222210,0xyabab−=

的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若12PFPF⊥，121tan3PFF=，则双曲线的离心率为（）A.53B.54C.2D.2【答案】B【解析】【分析】由题可得2122POFPFF=，然后利用二倍角公式结合条件可得34ba=，然后根据离心率公

式即得.【详解】因为12PFPF⊥，O为12FF的中点，所以1FOOP=，121PFFFPO=，所以2122POFPFF=，又121tan3PFF=，2tanPOFba=，所以212334113ba==−，所以229511164cbe

aa==+=+=.故选：B.8.在三棱锥−PABC中，22ABBC==，60ABC=，设侧面PBC与底面ABC的夹角为，若三棱锥−PABC的体积为33，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，tan=（）A.34B.433

C.3D.4【答案】B【解析】【分析】通过计算推出AB为ABC的外接圆的直径，P到平面ABC的距离为2，设AB的中点为1O，则1O为ABC的外接圆的圆心，设三棱锥−PABC的外接球的球心为O，半径为R，根据12ROOh+=以及22211ROAOO=+求出R的最小值及取最小值时，有1PO⊥

平面ABC，再取BC的中点E，连1OE，PE，则可得1PEO=，计算可得tan=433.【详解】因为22ABBC==，60ABC=，所以22212cos604122132ACABBCABBC=+−=+−

=，所以3AC=，所以222ACBCAB+=，所以ACBC⊥，所以AB为ABC的外接圆的直径，设AB的中点为1O，则1O为ABC的外接圆的圆心，因为11331222ABCSACBC===!，设P到平面ABC的距离为h，则11333323PA

BCABCVShh−===!，所以2h=，当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小，设三棱锥−PABC的外接球的球心为O，半径为R，则1OO⊥平面ABC，若点P和点O在平面ABC的同侧，如图：则12ROOh+=，即12OOR−，当且仅当1,,POO三点共线时，取等号，在1RtOOA△中，2

2211ROAOO=+，所以2222211(2)OOROARR=−=−−，所以22144RRR−−+，所以54R，当且仅当1,,POO三点共线时，取等号，若点P和点O在平面ABC的异侧，则12ROO−，所以122ROO+，若O与1O重合时，1R=2h=，不合题意

，综上所述：R的最小值为54，且当54R=时，1,,POO三点共线，此时1PO⊥平面ABC，取BC的中点E，连1OE，PE，则1OEBC⊥，因为1PO⊥平面ABC，BC平面ABC，所以1POBC⊥，又111POOEO=，所以BC⊥平面1POE，因为PE平面1POE，所以

BCPE⊥，所以1PEO是侧面PBC与底面ABC的夹角，即1PEO=，因为12PO=，11322OEAC==，所以11243tan332POOE===.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每

小题给出的选项中，有多符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（）A.ABCDBF−=B.0ADEBCF++=C.1ADAB=D.ABBCA

BAF=【答案】BC【解析】【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积的几何表示即可判断.【详解】由正六边形性质可知，正六边形ABCDEF对边平行且相等，对角线交于O将正六边形分成六个全等正三角形.对A，ABCDABAFFB−=−=，A错；对B，0

ADEBCFACCDEDDCCBCAAFEDCBAFEDDOOE++=++++++=++=++=，B对；对C，21cos601ADAB==，C对；对D，111cos602ABBCABAO===，111cos1202ABAF==−，ABB

CABAF，D错.故选：BC10.已知实数a，b，c满足lne1bcac==，则下列关系式中可能成立的是（）A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】ABC【解析】【分析】将lne1bcac==化

为1lnebac==，设1lnebaxc===，得exa=，lnbx=，1cx=，利用函数exy=，lnyx=，1yx=的图象可求出答案.【详解】由lne1bcac==可知，0c，所以1lnebac==，设1lnebaxc===，则exa=，lnbx=，1cx=，在同一直角坐

标系中作出函数exy=，lnyx=，1yx=的图象，由图可知，当10xx时，cab，此时C正确；当12xxx时，acb，此时B正确；当2xx时，abc，此时A正确.故选：ABC11.已知函数()2sinsin2fxxx=，则下列说法正确的是（）A.π是()fx的

一个周期B.()fx的图象关于点π,02中心对称C.()fx在区间0,2π上的零点个数为4D.()fx的最大值为338【答案】ABD【解析】【分析】根据周期函数的定义，验证可知A正确；根据中心对称的定义，验证可知B正确；由()2sinsin20fxxx==，解方程求出零点可知C不

正确；由()2()fx624sin(1sin)xx=−，通过换元，设2sin[0,1]tx=，化为关于t的函数，利用导数求出其值域，可得到结果.【详解】对于A，因为()2(π)sin(π)sin2(π)f

xxx+=++()22sinsin2sinsin2()xxxxfx=−==，所以π是()fx的一个周期，故A正确；对于B，因为()2π(2)(π)sin(π)sin2(π)2fxfxxx−=−=−−22sinsin(2)sinsin2()xxxxfx=−

=−=−，所以()fx的图象关于点π,02中心对称，故B正确；对于C，由()2sinsin2fxxx=0=，得πxk=或2πxk=，Zk，得πxk=或π2kx=，Zk，由0π2πk及Z

k得0k=或1k=或2k=，所以0x=或2πx=或πx=，由π02π2k及Zk得0k=或1k=或2k=或3k=或4k=，所以0x=或π2x=或πx=或3π2x=或2πx=，所以()fx在区间0,2π上的零点为0x=，π2x=，πx=，3π2x=，2πx

=，共5个，故C不正确；对于D，()2sinsin2fxxx=2sin2sincosxxx=32sincosxx=，所以()262()4sincosfxxx=624sin(1sin)xx=−，设2sin[0,1]t

x=，34(1)ytt=−3444(01)ttt=−，则23212164(34)ytttt=−=−，令0y，得304t，令0y，得314t，所以3444(01)yttt=−在3[0,)4上为增函数，在3(,1]4上为减函数，所以当3t4=

时，y取得最大值为333274(1)4464−=，0=t或1t=时，y取得最小值为0，所以()2()fxy=27[0,]64，所以3333()[,]88fx−，所以()fx的最大值为338，故D正确；故选：ABD12.

已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段1AC上的动点，123AP=.则下列说法正确的是（）A.当点P在侧面11AABB（含边界）内时，1DP为定值21B.当点P在侧面11BCCB（含边界）内时

，直线1AP与直线11AB所成角的大小为π3C.当点P在侧面11BCCB（含边界）内时，对任意点P，总存在点Q，使得1⊥DQCPD.点P的轨迹长度为53π2【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，易证得11AD⊥1AP，

即可求出1DP的值；对选项B，易知直线1AP与直线11AB所成角为11BAP，求出11111cosABBAPAP=，即可得出答案；对选项C，通过1⊥DQCP关系建立方程，结合点P的坐标满足()()2211333xz−+−=，得到关于1z的一

元二次方程()()221126169011zz++−+=−−，再通过判别式即可判断出对任意点P，总存在点Q，便得1⊥DQCP；对于选项D，点P的轨迹一部分是在面,,ABBAABCDADDA三个面内以23为半径，圆心角为6的三段弧，

另一部分是在面,,BCCBCDDCABCD三个面内以3为半径，圆心角为2的三段弧，求解即可.【详解】对于A，因为P在侧面11AABB（含边界）内，由正方体的性质知，11AD⊥平面11ABBA，1AP平面11ABBA，所以11AD⊥1AP，所以22111112921DPAPAD

=+=+=，故A正确；对于B，点P在侧面11BCCB（含边界）内，由正方体的性质知，11AB⊥平面11CBBC，1BP平面11CBBC，所以11AB⊥1BP，直线1AP与直线11AB所成角为11BAP，所以1111

133cos223ABBAPAP===，直线1AP与直线11AB所成角的大小为π6，故B不正确；对于C，建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz−，根据题意，可得：()0,0,0D，()3,0,0A，()3,3,0B，()0,3,0C，()10,0,3D，()13

,0,3A，()13,3,3B，()10,3,3CQ为线段1AC上的动点，则有：11AQAC=（01≤≤）解得：()33,3,33Q−−，设点()11,3,Pxz，因为123AP=，所以()()2211139323APxz=−++−=，则()()

2211333xz−+−=，若1⊥DQCP，则有：()133,3,3DQ=−−，()11,0,CPxz=()11110DQCPxz=−−=，又()()2211333xz−+−=则有：()()221126169011zz++−+=

−−又01≤≤，则有：()()222672Δ63610111=−−+=−−−−，故对任意点P，总存在点Q，便得1⊥DQCP，故选项C正确；对于D，当123AP=时，如图

2，点P的轨迹一部分是在面,,ABBAABCDADDA三个面内以23为半径，圆心角为6的三段弧，另一部分是在面,,BCCBCDDCABCD三个面内以3为半径，圆心角为2的三段弧；所以此时点P轨迹的长度为115322332331242+=，故D选项正确；故

选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()411xxx+−的展开式中，常数项为________.【答案】6【解析】【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式41xx−展开式

通项公式为()()414244C1Crrrrrrxxx−−−−=−，令420r−=，解得2r=；令421r−=−，则r无自然数解.所以()411xxx+−展开式中的常数项为()220411C6x−=.故

答案为：614.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球.第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为________.【答案】1732##0.53125【解析】【分析】根

据全概率公式求得正确答案.的【详解】依题意，第二次取到红球的概率为553317888832+=.故答案为：173215.过抛物线22(0)ypxp=焦点F的直线l与抛物线交于,AB两点，点,AB在抛物线准线上的射影分别为11,AB，11

10AB=，点P在抛物线的准线上.若AP是1AAB的角平分线，则点P到直线l的距离为______.【答案】5【解析】【分析】连PF，PB，根据抛物线的定义以及1PAAPAF=，证明1PAAPAF△，从而推出1||||PA

PF=和PFAB⊥，可得||PF就是点P到直线l的距离，再根据PFB△1PBB△，推出1||||PBPF=，结合1110AB=，可得||5PF=.【详解】如图，连PF，PB，由抛物线的定义可知，1AFAA=，

又1PAAPAF=，||||APAP=，所以1PAAPAF△，所以1||||PAPF=，1π2PFAPAA==，即PFAB⊥，所以||PF就是点P到直线l的距离，因1||||BFBB=，||||PBPB=，1π2PFBBBP

==，所以PFB△1PBB△，所以1||||PBPF=，所以11||||||PAPFPB==，又1110AB=，所以11||||||5PAPFPB===.为故点P到直线l的距离为5.故答案为：516.已

知关于x的不等式()eln0axxb−−−恒成立，则ba的最大值为________.【答案】1e【解析】【分析】令()(e)lnfxaxxb=−−−，若e<0a−时，(e)bf−0，不符合题意；若e=0a−时，1(e)0bf−+，不符

合题意；若e>0a−时，利用导数求出()fx的最小值为1ln(e)ab+−−，则关于x的不等式()eln0axxb−−−恒成立，转化为11ln(e)baaaa+−，再令1ln(e)()agaa+−=(e)a

，利用导数求出其最大值为1e，则得ba1e，由此可得结果.【详解】令()(e)lnfxaxxb=−−−，则1()efxax=−−，若e<0a−时，(e)bf−()eelnebbab−−=−−−(e)e

0ba−=−，不符合题意；若e=0a−时，11(e)lne10bbfb−+−+=−−=−，不符合题意；若e>0a−时，令()0fx，得1exa−，令()0fx，得10exa−，所以()(e)lnfxaxxb=−−−在1(0,)ea−上为减函数，

在1(,)ea+−上为增函数，所以min1()()efxfa=−11(e)lneeabaa=−−−−−11ln1ln(e)ebaba=−−=+−−−，因为关于x的不等式()eln0axxb−−−恒成

立，所以1ln(e)0ab+−−，因为e0a，所以11ln(e)baaaa+−，令1ln(e)()agaa+−=(e)a，则()ga=21ln(e)eaaaa−−−−2eln(e)eaaa−−

−=，令e()ln(e)ehaaa=−−−，则2e1()(e)ehaaa=−−−−2(e)aa=−−0，所以()ha在(e,)+上为减函数，因为e(2e)ln(2ee)2eeh=−−−110=−=，所以当e2ea时，()(2e)0hah=，()0ga

，当2ea时，()(2e)0hah=，()0ga，所以()ga在(e,2e)上为增函数，在(2e,)+上为减函数，所以当2ea=时，()ga取得最大值，最大值为1ln(2ee)1(2e)2eeg+−==，所以111ln(e)ebaaaa+−，所以ba的最大值为1e

.故答案为：1e.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数(),,yfxxab=，(),,ygxxcd=（1）若1,xab，2,xcd，总

有()()12fxgx成立，故()()maxminfxgx；（2）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，故()()maxmaxfxgx；（3）若1,xab，2,xcd，有()(

)12fxgx成立，故()()minmaxfxgx；（4）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx=，则()fx的值域是()gx值域的子集．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程及演算步骤.17.已知ABC内角A，B，C

的对边分别为a，b，c，sin2sinCB=，且42c=.（1）求边b的值；（2）若D为边BC的中点，3cos4CAD=，求ABC的面积.【答案】（1）4（2）47【解析】【分析】（1）根据正弦定理，找到边,cb关系求解.(2)根据余弦定理2223cos24AEACCECAEAEAC+−=

=，求出AD，再根据面积公式122sin2ABCADCSSADACADC==△△求解.【小问1详解】因sin2sinCB=，由正弦定理得：2cb=，且42c=，所以4b=.【小问2详解】延长AD至点E，满足ADDE=，连接EB，EC，在EBC中，由余弦定理得：2223

cos24AEACCECAEAEAC+−==，因4AC=，42EC=，代入上式整理得：8AE=，所以4=AD所以122sin472ABCADCSSADACADC===△△.18.已知数列na中，

对任意的Nn+，都有14nnaan++=.（1）若na为等差数列，求na的通项公式；（2）若13a=，求数列na的前n项和nS.【答案】（1）21nan=−（2）22,2,nnnSnn=+为偶数为奇数【解析】【分析】（1）由na

为等差数列，设公差为d，又14nnaan++=，可得124aa+=，238aa+=，于是可求得1,ad的值，即可得na的通项公式；为为（2）根据14nnaan++=，可得数列na的奇数项是首项为3，公差为4的等差

数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列，再对项数n分奇偶讨论，结合等差数列求和公式，即可数列na的前n项和nS.【小问1详解】解：因为na为等差数列，设公差为d，又14nnaan++=，可得：124aa+=，238aa+=，所以1124

238adad+=+=，解得：11a=，2d=，所以na的通项公式为()1121naandn=+−=−.【小问2详解】解：由条件14nnaan++=，可得：()1241nnaan+++=+，

两式相减得：24nnaa+−=，因为13a=，又124aa+=，所以21a=，所以数列na的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列.所以当n为偶数时，()()21312411222234142222nn

nnnnnnnSaaaaaan−−−=+++++++=+++=；当n为奇数时，()2211131422nnnnSSann−+=+=−++−=+.综上：22,2,nnnSnn=+为偶数为奇数.19.如图所示，在四棱锥PABC

D−中，//ADBC，90BAD=，122ABADBC===，2PAPBPD===.（1）证明：PABD⊥；（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）104【解析】【分析】（1）通过构造

线面垂直的方法来证得PABD⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BC与平面PCD所成角的正弦值进而求得其余弦值.【小问1详解】连接BD，设BD的中点为O，连接OA，OP.因为ABAD=，所以OABD⊥，因为P

BPD=，所以OPBD⊥，又,,OAOPOOAOP=平面OAP，所以BD⊥平面OAP，因为PA平面OAP，所以PABD⊥.【小问2详解】因为90BAD=，所以OAOB=，又PAPB=，所以POAPOB

△△，所以OPOA⊥，又,,OABDOOABD=平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD.()()()()2222222,22222BDCD=+==+−=，222BDCDBC+=，所以BDCD⊥.如图，以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、

z轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A−，()1,0,0B，()1,2,0C−，()1,0,0D−，()0,0,3P，所以()1,1,0AB=，()0,1,3AP=，()0,2,0DC=，()1,0,3DP=，()2

,2,0BC=−，平面PCD的法向量分别为()000,,nxyz=r，所以00nDCnDP==，即0002030yxz=+=，取03=x，则()3,0,1n=−，设BC与平面PCD所成的角为，则236sincos,484BCn−===则直线BC与平面PCD的夹

角余弦值为2610144−=.20.2022年11月21日.第22届世界杯在卡塔尔开幕.小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者

积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为14，出现平局的概率为12.（1）求甲队在参加两场比赛后积分X的分布列与数学期望；（2）小组赛结束后，求四支

球队积分均相同的概率.【答案】（1）分布列见解析，52（2）11512【解析】【分析】（1）甲队参加两场比赛后积分X的取值为0，1，2，3，4，6，求出X取每个值的概率后，可得分布列和数学期望；（2）根据题意分析，可得要使四支球队积分相同，则每只球队总积分为3分

或者4分，然后分2种情况求出概率，再相加可得解.【小问1详解】甲队参加两场比赛后积分X的取值为0，1，2，3，4，6，则111(0)4416PX===，11111(1)42244PX==+=，111(2)224===PX，11111(3)44448PX==+=，11111(4)

42244PX==+=，111(6)4416PX===，所以随机变量X的分布列为：X012346P11614141814116随机变量X的数学期望：()1111115012346164484162EX=+++++=.【小问2详解】由

于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分.若每支球队得3分：则6场比赛都出现平局，其概率为：16

12P=；若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，其概率为：25111111664244244P==﹒所以四支球队积分相同的概率为1265161124512PPP=+=+=.21.已知1F，2F为椭圆C：()222210

xyabab+=的左、右焦点.点M为椭圆上一点，当12FMF取最大值π3时，()1216MFMFMF+=.（1）求椭圆C的方程；（2）点P为直线4x=上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对

称点为B，连接AB交x轴于点G.设2AFG△，2BFG△的面积分别为1S，2S，求12SS−的最大值.【答案】（1）22143xy+=（2）334【解析】【分析】(1)由已知结合椭圆定义，可求a与c的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中222abc=+，即可求得a与

b，也就得出椭圆方程.(2)利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线AB的定点坐标，然后解设AB的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点G的坐标，由此求出12SS−的关系式，利用基本不等式即可求

解.【小问1详解】依题意有当M为椭圆短轴端点时12FMF最大，此时12π3FMF=，则12FMF△为正三角形，则2ac=且()1211π22cos366MFMFMFMOMFbaba+====2

3ba=，又222abc=+，2a=，3b=，1c=故椭圆方程为22143xy+=.【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，()()4,0Ptt，若10y=，则切线方程为1xx=，若10y，则在A

处的切线的斜率必定存在，设该切线的方程为()1111ykxxykxykx=−+=+−，由11223412ykxykxxy=+−+=可得()22113412xkxykx++−=，整理得()()2221111348()4120kxkykxxykx++−+−−=，故()()222211116

4()4344120kykxkykx=−−+−−=，整理得到：2211211390216xxkkyy++=，故1134xky=−，故切线方程为：211111111333124444xxxyxyxyyyy=−++=−+，故PA：11143xxyy+=，综上，PA：1

1143xxyy+=，同理PB：22143xxyy+=因PA，PB都过点()4,Pt，则1113ytx+=，2213ytx+=则AB方程为13ytx+=，即AB过定点()1,0.故设AB方程为1xmy=+，0m，联立2213412xmyxy=++=，()2234690mymy++−=

122634myym−+=+，122934yym−=+，又()22,Bxy−直线AB方程为：()211121yyyyxxxx−−−=−−，令0y=得()()122112211212121212112Gmyymyyxyxymyyyyxyyyyyy+

+++++===+++21212293421214634yymmmmyym−+=+=+=−++，()4,0G12212122613322234mSSFGyyyym−=−=+=+29993343442

123mmmm===++当且仅当43mm=即243m=，233m=时取等号故12SS−最大值为334.22.设函数()()22cos2sin2fxaxxx=−−.（1）当1a=时，求()fx在π0,2上的

最值；（2）对()0,x+，不等式()π2π2cos2xfax+−恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()min0fx=，()max3πfx=（2）)1,+【解析】【分析】（1）

由()()22cos2sin2fxxxx=−−，π0,2x，令2xt=，0,πt，即()2cossingttttt=−−，结合其导数讨论单调性，进而求解；（2）由题意可得，()2cossin0axxx−−，对于()0,x+

恒成立，设()()2cossinhxaxxx=−−，分1a、0a、01a三种情况讨论即可求解.【小问1详解】当1a=时，()()22cos2sin2fxxxx=−−，π0,2x，设2x

t=，0,πt，即()()2cossin2cossingtttttttt=−−=−−，所以()2cossincos22cossin0gtttttttt=−+−=−+，所以()gt在0,π上单调递增，所以()()min00gtg==，()()()maxππ2c

osπsinπ3πgtg==−−=，即()min0fx=，()max3πfx=.【小问2详解】由()π2π2cos2xfax+−，即()()2π2cossin2π2cos2xaxxax+−−−，即(

)2cossin0axxx−−，对于()0,x+恒成立，设()()2cossinhxaxxx=−−，()00h=，当1a时，()()2cossinhxxxx−−，由（1）知0,πx时，()2cossin0xxx−−，所以()0h

x，当()π,x+时，()()2cossin1cossin0xxxxxxx−−=−+−.当0a时，()()2cossinhxaxxx=−−，π0,2x时，()0hx，不符合题意.当01a时，()()2cossinco

s2cossincoshxaaxxxxaaxaxxx=−−−=−+−，即()01ha=−，设()2cossincosnxaaxaxxx=−+−，则()()21sincosnxaxaxx=++，当π0,2x时，()0nx，即()hx在π

0,2单调递增，又ππ2022ha=+，()010ha=−，所以存在0π0,2x使得()00hx=，当()00,xx时，()0hx，所以()hx在()00,x单调递减，此时()()00hxh=，不合题意综上所

述，a的取值范围为)1,+.