【文档说明】《【课时分层练】八下数学同步备课系列（苏科版）之第9章中心对称图形—平行四边形》 第二课时【培优题】（解析版） .docx，共(26)页，794.518 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-4ebafbe18462003cc063189390167ab8.html

以下为本文档部分文字说明：

9.3平行四边形第二课时【培优题】（满分100分时间：40分钟）班级姓名得分【知识点回顾】平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（

3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；【课时练习】一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（2020·湖北武汉市·八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点()()()()1,5,4,1

,,,3,4ABCmmDmm−−−+，当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（）．A．2B．32C．2D．3【答案】B【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：∵A（1，5），B（4，1），C（m，-m

），D（m-3，-m+4），∴22345AB=+=，22[(3)][(4)()]5CDmmmm=--+-+--=，∴AB=CD，∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平

移4个单位得到D，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC=CD，故四边形ABCD的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC最短，则周长最短，∵C点的横坐标与纵坐标互为相反数，∴点C在直线y=-x上运动，∴由点到直线的距离垂线段最短可知，

BC⊥直线y=-x时，BC的值最小，如下图所示：易求得直线BC的解析式为：y=x-3C点所在的直线为：y=-x，联立两个一次函数解析式：3yxyx=−=−，解得3232xy==−，故32m=，故选：B．【点

睛】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（2020·山东东营市·九年级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E

，点F是边AC中点，①△BCE是等边三角形，②DE=BF，③△ABC≌△CFD，④四边形BEDF是平行四边形．则其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】由直角三角形的性质和旋转的性质可得60BC

EACD==，CBCE=，90DECABC==，ABDEBF==，可判断①②；由“HL”可证RtABCRtCFD，可判断③，延长BF交CE于点G，可证//BFED，由一组对边平行且相等可证四边形BEDF是平行四边形，即可判断④，即可求解

．【详解】∵点F是边AC中点，∴CF=BF=AF12=AC．∵∠BCA=30°，∴BA12=AC，∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∠DEC=∠ABC=90°

，AB=DE，∴△BCE是等边三角形，DE=BF，故①②正确；∵CD=AC，AB=CF，∴Rt△ABC≌Rt△CFD(HL)，故③正确；延长BF交CE于点G，则∠BGE=∠GBC+∠BCG=90°，∴∠BGE=∠DEC，∴

BF∥ED，∴四边形BEDF是平行四边形，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．3．（2020

·湖北省武汉市外国语学校美加分校七年级期中）如图，某校区内有甲、乙两块大小一样的长方形地块，地块长30m，宽25m，现要在长方形地块内分别修筑如图所示的两条平行四边形小路(图中阴影部分)，余下的部分绿化．现已知AB=CD=1m，EF=GH=1m，

记甲、乙地块的绿化面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（）A．S1<S2B．S1=S2C．S1>S2D．无法确定【答案】C【分析】根据图片，我们可以看到绿化面积就是长方形的面积减去阴影部分的面积，分别求出两个长方形中阴影部分的面积，就可以得出答案．【详解】解：由题意可知：两

个图中左右方向的平行四边形小路的面积都是：30×1=30（m²），两个图中上下方向的平行四边形小路的面积都是：25×1=25（m²），图甲中的重叠部分是1×1=1（m²），21=3025-30-25-1=69（6m)S，如图，分别做PR∥CD、NS∥CD交Q

D于R、S，过点N做NO⊥PR于O，则PRQNSM=，四边形RSNS是平行西边形，PR=NS=CD=1m，NO＜GH，GH=1m，在平行四边形PQMN中，PQ∥MN，PQRNMS=，易证()PQRNMSAASVV，＜PQMNPRSNSSPRNOPRGH==YY，

()2111PRGHm==Q，2＜1mPQMNSY，()2230253025＜696mPQMNSS=−−+Y，1＞2SS；故答案为：C．【点睛】本题考查的是面积的问题，这里需要注意添加平行辅助线，计算阴影部分的面积，尤其是S2的面积计算中，要仔细．4．（2019·襄阳阳光学校八

年级月考）已知四边形ABCD中，对角线BD被AC平分，那么再加上下述中的条件（）可以得到结论:“四边形ABCD是平行四边形”．A．AB=CDB．∠BAD=∠BCDC．∠ABC=∠ADCD．AC=BD【答案】B【分析】设BD与AC交于O点，已知条件为BO=DO，∠AO

B=∠COD,结合选项条件应证出能判断平行四边形的条件，或举出反例证明不成立.【详解】解：A、BO=DO，∠AOB=∠COD,AB=CD不能证出四边形ABCD是平行四边形,反例如图，故本选项错误；B、如图，在直线AC

上任取一点C´,使OA=OC´,∵BO=DO，∴四边形ABC´D是平行四边形，∴AD∥BC´,AB∥C´D,∴∠BC´A=∠C´AD,∠AC´D=∠BAC´,∴∠BC´A+∠AC´D=∠C´AD+∠BAC´,即∠BC´D=∠BAD,∵∠BAD=∠BC

D∴∠BC´D=∠BCD,∴点C与点C´重合，∴四边形ABCD是平行四边形.故本选项正确；C、当BO=DO,∠ABC=∠ADC不能证出四边形ABCD是平行四边形,反例如图，故本选项错误；D、当BO=DO,A

C=BD,不能证出四边形ABCD是平行四边形,反例如图，故本选项错误.故选：B.【点睛】本题考查平行四边形的判定，根据已知条件证出判定平行四边形的条件及举出反例图形是解答此题的关键.5．（2019·甘肃兰州市·八年级期末）如

图,在四边形ABCD中,AD//BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形()A．1B．2C．3D．2或3【

答案】D【解析】【分析】根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ或CQ=PD，计算即可求出t值.【详解】根据题意设t秒时，直线将四边形AB

CD截出一个平行四边形则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t要使构成平行四边形则：AP=BQ或CQ=PD进而可得：62tt=−或29tt=−解得2t=或3t=故选D.【点睛】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性

质列出方程求解即可.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）7．（2019·山东淄博市·鲁村中学八年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件：AFCF=①；AECF=②；BAEFCD=

③；BEAFCE=④．这个条件可以是__________．【答案】③④【分析】由平行四边形的判定依次判断，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D，AD∥BC，AD=BC，如果AF=CF

，则无法证明四边形AFCE是平行四边形，故①不合题意；如图，作AM⊥BC交BC于点M，FN⊥BC交BC于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM=FN，∵AE=CF，∴△AME≌△FNC（HL）∴∠AEM=∠FCN，∴AE∥F

C，∴四边形AFCE为平行四边形，若点E在BM上，四边形AFCE为梯形，故②不符合题意；如果∠BAE=∠FCD，则△ABE≌△DFC（ASA）∴BE=DF，∴AD-DF=BC-BE，即AF=CE，∵A

F∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；故③符合题意；如果∠BEA=∠FCE，则AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；故④符合题意；故答案为：③④【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用一组对边平行

且相等的四边形是平行四边形；④采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．8．（2019·四川成都市·九年级二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，90ACB=，在ABC内一点P，已知123==，将BCP

以直线PC为对称轴翻折，使点B与点D重合，PD与AB交于点E，连结AD，将APD的面积记为1S，将BPE的面积记为2S，则21SS的值为___________．【答案】12【分析】由ABC为等腰直角三角形，结合APCCFB

≌，即可求证四边形ADBP为平行四边形，则问题得解.【详解】连结BD，延长CP交BD于点F，如下图所示：由翻折可知CFBD⊥，BFDF=，BPFDPF=∵123==，ABC为等腰直角三角形，∴1290ACPAC

P+=+=，2345PBCPBC+=+=，∴90APC=，45BPF=，∴APBD∥，45DPF=，DFFBPF==，∵90APCCFBPACFCBACBC=====∴APCCFB≌，∴APCF=，CPBF

PF==，∴APBD=，∴四边形ADBP为平行四边形，∴2112SS=．【点睛】本题考查三角形全等的判断，以及平行四边形的证明，9．（2018·江苏南通市·南通田家炳中学九年级期中）如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同

侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．【答案】4．【分析】先延长EP交BC于点F，得出PFBC⊥，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积1122EPCFabab===，最后根据228

ab+=，判断12ab的最大值即可．【详解】解：如图，延长EP交BC于点F，90APB=Q，60APEBPC==，150EPC=，18015030CPF=−=，PF平分BPC，又PBPC=Q，PFBC⊥，设RtABPV中，APa=，BPb=，则1122CFCP

b==，222416ab+==，APEQV和ABDV都是等边三角形，AEAP=，ADAB=，60EAPDAB==，EADPAB=，在EADV和PABV中，AEAPEADPABADAB===，EADV≌()PABSASV，EDPBCP==，同理可得：AP

BV≌()DCBSASV，EPAPCD==，四边形CDEP是平行四边形，四边形CDEP的面积1122EPCFabab===，又222()20abaabb−=−+Q，22216abab+

=，142ab，即四边形PCDE面积的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．10

．（2019·江苏镇江市·八年级期中）如图，△ABC中，点E、F是AC边上的三等分点，且AC=m，动点P从点E移动到点F，且PM∥BC，PN∥AB，G为MN的中点，则点G运动的路径长度为______（用含m的代数式表示）【答案】16m【分

析】连接BP，先证明点G是BP的中点，连接BE、BF，设BE、BF的中点分别为D、H，则G运动的路径长度为DH的长度，由三角形的中位线定理便可求得其长度．【详解】解：连接BP，∵PM∥BC，PN∥AB，∴四边形BMPN为平行四边形，∴M

N与BP互相平分，∵G为MN的中点，∴G为BP的中点，连接BE、BF，设BE、BF的中点分别为D、H，则G运动的路径长度为：DH=12EF=111236mm=．故答案为：16m．【点睛】本题是平行四边形与三角形结合的一个综合题，

主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，关键是找出G点运动的路径是△BEF的中位线．三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11．（2020·辽宁葫芦岛市·九年级一

模）已知：ABCV是等腰直角三角形，点E在斜边AC所在的直线上，连接BE，以BE为腰作等腰直角三角形BEF，将线段CE绕点C顺时针旋转90，得到线段CD，连接AF，AD，ED，CF．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：2AEAFAB+=；（2）如图②，当点E在线段AC延

长线上时，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）当点E在线段AC延长线上时，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不成立；正确结论2AEAFAB−=，

理由见解析；（3）四边形ADCF是平行四边形，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明BFAV≌BEC△，利用全等三角形的性质及勾股定理即可得到结论；（2）同（1）根据等腰直角三角形的性质证明BFAV≌BEC△，利用全等三角形的性质及勾股定理即可得到结论；（3）利用全等三角形的性质及三

角形内角和证得90FACDCA==，从而得到//AFDC，再结合旋转的性质可证明AFCD=，从而得到结论．【详解】证明：（1）∵ABCV和BEFV都是等腰直角三角形，∴BABC=，BFBE=，90ABCFBE==，∴ABCABEFBEA

BE−=−，∴EBCFBA=，∴BFAV≌BEC△，∴AFCE=，∴AEAFAEECAC+=+=，∵90ABC=，ABBC=，∴222ABBCAC+=，即222ABAC=，∴2ACAB=，∴2AEAFAB+=；（2）（1）中的结论不成立，正确结论为2A

EAFAB−=，理由如下：∵ABCV和BEFV都是等腰直角三角形，∴BABC=，BFBE=，90ABCFBE==，∴ABCFBCFBEFBC−=−，∴ABFCBE=，∴BFAV≌BEC△

，∴AFCE=，∴AEAFAEECAC−=−=，∵90ABC=，ABBC=，∴222ABBCAC+=，即222ABAC=，∴2ACAB=，∴2AEAFAB−=；（3）四边形ADCF是平行四边形，理由如下：如图，设AC与BF交于H点，∵BFAV≌BEC△，∴AFCE=，AFBCEB=

，∵AHFCHB=，且180AHFAFBFAC++=，180CHBCEBFBE++=，∴90FACFBE==，∵将线段CE绕点C顺时针旋转90，得到线段CD，∴90DCE=，CDCE=，∴1801809090DCADCE=−=−=，

AFDC=，∴90FACDCA==，∴//AFDC，∵AFDC=，//AFDC，∴四边形ADCF是平行四边形．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定，旋转的性质等知识，熟练掌握各性质及判定定理是

解题的关键．12．（2020·宁波外国语学校八年级期末）如图，在ABCV中，点M为BC边上的中点，连结AM，D是线段AM上一点（不与点A重合）.过点D作//DEAB，过点C作//CEAM，连结AE．（1）

如图1，当点D与M重合时，求证：①ABDEDC△≌△；②四边形ABDE是平行四边形．（2）如图2，延长BD交AC于点H，若BHAC⊥，且2BHAM=，求CAM的度数．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2

）45CAM=．【分析】（1）①根据平行线的性质和中点性质即可得到ASA证明ABDEDC△≌△；②根据一组对边平行且相等即可证明四边形ABDE是平行四边形；（2）取线段HC的中点I，连接MI，根据中位线的判断与性质，可得22MIAM=，MIAC⊥，即可求解．【详解】（1）①

如图1中，∵//DEAB，∴EDCABM=，∵//CEAM，∴ECDADB=，∵AM是ABCV的中线，且D与M重合，∴BDDC=，∴ABDEDC△≌△.②由①得ABDEDC△≌△，∴ABED=，∵//ABED，∴四边形ABDE是平行

四边形.（2）如图2中，取线段HC的中点I，连接MI，∵BMMC=，∴MI是BHC△的中位线，∴//MIBH，12MIBH=，∵BHAC⊥，且2BHAM=.∴22MIAM=，MIAC⊥，∴45CAM=．【点睛】此题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、中位线和三角函数

，熟练掌握逻辑推理是解题关键．13．（2020·江门市第二中学八年级期中）已知，如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，BD⊥AC于D，且BD=16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s，过点P的

动直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t(s)(0＜t＜5)，解答下列问题：（1）线段AD=___cm；（2）求证：PB=PQ；（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．【答案】（1）AD=12cm；（2）证明见解析；（

3）t=125s或4s【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD

=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-AD=4t-12，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．

【详解】（1）解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴AD=2222201612(cm)ABBD−=−=，故答案为：12；（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，∵PQ∥AC，∴∠PQB=∠C，∴∠PBQ=∠

PQB，∴PB=PQ；（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，如图所示根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，∴MD=AD-AM=12-4t，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，∴t=12-4t，解得：t=12

5（s）；②当点M在点D的下方时，如图所示：根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，∴MD=AM-AD=4t-12，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，∴t=4t-12，解得：t=4（s）；综上所述，当t=12

5s或t=4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形；故答案为：125s或4s．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判

定方法，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．14．（2020·湖州市第四中学教育集团八年级期中）如图，在RtVABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒53个单

位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（

t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为VABC面积的一半？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）t＝9﹣35；（2）存在，t＝2.4

秒【分析】（1）先确定时间t的取值范围，用t表示线段长度，然后用ABCV面积减去CPQV和APD△的面积得到四边形BQPD的面积，列式求解；（2）当BQ=PD时，四边形BQPD是平行四边形，列式求解．【

详解】解：（1）先确定时间t的取值范围，因为当一个点到终点时，其他点也停止，所以04t，∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t，AD＝53t，∴BQ＝82t−，CP＝6t−，∵PD⊥AC，∴PD2243APADt=−=，∵S四

边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD，∴()114242612223tttt−−+=，()2945t−=，解得935t=，∵04t，∴935t=−，∴当935t=−时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；（2）存在，t＝2.4（秒）．若四边形

BQPD为平行四边形，则BQ与PD平行且相等，此时BQ与PD已经平行了，所以需要满足BQ=PD，列式：4823tt−=，解得2.4t=，答：存在t的值，使四边形BQPD为平行四边形，此时2.4t=秒．【点睛】本题考查的是几何图形中的动点问题，涉及

勾股定理，平行四边形的判定，解题的关键是用时间t表示图上的各个线段长度，然后根据题意列方程求解．