【文档说明】四川省成都市嘉祥教育集团2022-2023学年高二下学期期中监测数学（文）试题 含解析.docx，共(22)页，2.341 MB，由小赞的店铺上传

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嘉祥教育集团2022－2023学年度高二下学期半期监测试题文科数学命题:王昭审题：外聘专家注意事项：1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考

生自己妥善保存．2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、

破损等一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“02x，320020xx−”的否定为（）A.2x，3220xx−B.2x，3220x

x−C.02x，320020xx−D.02x，320020xx−【答案】A【解析】【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.【详解】改量词：02x改为2x，否结论：320020xx−否定为3220xx−，所以02x，3

20020xx−的否定形式为：2x，3220xx−.故选：A.2.已知复数3i3iz−=+，则z的虚部为（）A.45B.4i5C.35D.35i【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数z，进而求其共轭复数，即可求解.详解】

()()()()3i3i3i86i43i3i3i3i1055z−−−−====−++−，故43i55z=+，故z的虚部为35，故选：C3.设Rm，“1m=−”是“复数()()22232izmmmm=−−+−−为纯虚数”的（）A.充

分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当1m=−时，2iz=为纯虚数，故充分；当复数()()22232izmmmm=−−+

−−为纯虚数时，2220320mmmm−−=−−，解得1m=−或2m=，故不必要，故选：A4.函数()2lnfxx=−2x的单调递增区间为（）A(1−−，)B.(1，+)C.(-1，1)D.(0，1)【答案】D【解析】【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.【详解】∵函数(

)2lnfxx=−2x，0x，∴()()22122xfxxxx−=−=，由()0fx¢>，0x，解得()0,1x，即函数()2lnfxx=−2x的单调递增区间为()0,1.故选：D.5.下列三句话按“三段论”模式

排列顺序正确的是（）【.①cosyx=（xR）是三角函数：②三角函数是周期函数；③cosyx=（xR）是周期函数A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①【答案】B【解析】【分析】按照三段论的形式：大前

提，小前提，结论的形式排序即可.【详解】解：三段论为：大前提，小前提，结论，所以排序为：②三角函数是周期函数；①cosyx=（xR）是三角函数；③cosyx=（xR）是周期函数.故选：B.6.若函数()yfx=的图象上存在两点，使得函

数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yfx=具有T性质．下列函数中具有T性质的是A.sinyx=B.lnyx=C.xye=D.3yx=【答案】A【解析】【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函

数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝si

nx时，y′＝cosx，满足条件；当y＝lnx时，y′1x=＞0恒成立，不满足条件；当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选A．考点：导数及其性质.7.2020年初，新型冠状病毒（19COVID−）引起的肺炎疫情爆发以来，

各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x周12345治愈人数y（单位：十人）38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为1ybx=+，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（

）A.1−B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】将样本中心点(),xy的坐标代入回归直线方程，求出b的值，可得出回归直线方程，再将5x=代入回归直线方程，用15减去所得结果即可得解.【详解】由表格中的数据可得1234535x++++==，38101415105y++++==，

由于回归直线过样本的中心点，则3110b+=，解得3b=，回归直线方程为31yx=+，将5x=代入回归直线方程可得35116y=+=，因此，第5周的残差为15161−=−.故选：A.8.设()fx是函数()fx的导函数，()yfx=的图像如

图所示，则()yfx=的图像最有可能的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】当0x时，()0fx¢>，当02x时，()0fx，当2x时，()0fx¢>，根据函数()fx的单调性即可判断.【详解】由导函数的图

象可得当0x时，()0fx¢>,函数()fx单调递增；当02x时，()0fx,函数()fx单调递减；当2x时，()0fx¢>,函数()fx单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.9.若函数()321fxxxmx+

++=不存在极值点，则实数m的取值范围是（）A.（13，+∞）B.（－∞，13）C.[13，+∞）D.（－∞，13]【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.【详

解】函数()321fxxxmx+++=不存在极值点,s()fx由函数()321fxxxmx+++=求导得：()232fxxxm=++，因函数()321fxxxmx+++=是R上的单调函数，而抛物线()232fxxxm=++开口向上，因此有Rx，2320xxm++恒成立，

于是得4120m=−，解得13m，所以实数m的取值范围是1[,)3+.故选：C.10.设某程序框图如图所示，则输出的s的值为A.102B.410C.614D.1638【答案】B【解析】【详解】解：因为s=2,i=3;s=6,i=5;s=32-6=26,i=7;s=128-

26=102,i=9s=512-102=410,i=11;此时输出．11.设双曲线22221xyab−=（0ab）的半焦距为c，直线l过(,0),(0,)ab两点，且原点到直线l的距离为34c，则双曲线

的离心率（）A.2B.233C.2和233D.2和3【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用直角三角形面积公式列式，结合双曲线离心率定义求解作答.【详解】令(,0),(0,)AaBb，依题意，在RtAOB△中，ODAB⊥，且3||

4ODc=，如图，显然2222||||||ABOAOBabc=+=+=，由||||||||ABODOAOB=，得234cab=，整理得223430baba−+=，而0ab，解得3ba=，所以双曲线的离心率2221()2cabbeaaa+===+=.故选：A12.芯片制作的原料是晶圆，

晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，生产的成本越低，但对工艺要求就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立3个科研小组，用A、B、C三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为11sin32a=，11sin23b=，17cos38c=（单

位：毫米），则三种芯片原料厚度的大小关系为（）AcbaB.cabC.bacD.abc【答案】A【解析】【分析】构造函数()()sin01xfxxx=，利用函数()fx在()0,1上的单调性可得出a、b的关系，利用余弦函数的单调性可得出c与16的大小关系，构造函数(

)sinhxxx=−，利用导数分析函数()hx在()0,1上的单调性，可得出b与16的大小关系，综合可得出a、b、c的大小关系.【详解】令()sinxfxx=，其中01x，则()2cossinxxxfxx−=，令()coss

ingxxxx=−，其中01x，则()cossincossi0nxxxxxxgx=−−=−，所以，函数()gx在()0,1上为减函数，则当01x时，()()00gxg=，即()0fx，.所以，函数()fx在(

)0,1上为减函数，因为110132，则1132ff，所以，113sin2sin32，即1111sinsin3223，即ab，因为cosyx=在()0,π上单调递减，且7π0π83，所以，171π1

coscos38336c==，令()sinhxxx=−，其中01x，则()1cos0hxx=−，所以，函数()hx在()0,1上为增函数，则()()sin00gxxxg=−=，即sinxx，所以，11111sin23236b==，则cb，综

上所述cba，故选：A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.若方程221169xymm+=−−的图形是双曲线，则实数m的取值范围是__________.【答案】(9,16)【解析】【分析】根据双曲线方程

的特点求解.【详解】由于221169xymm+=−−是双曲线方程，()()1690,916mmm−−；故答案为：(9,16)14.能够说明“设,,abc是任意实数,若abc,则abc+”是假命题的一组整数,,abc的值依次为___

_______.【答案】1,2,3−−−【解析】【详解】试题分析：()123,1233−−−−+−=−−，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例

进行验证，答案不唯一．15.甲､乙､丙､丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m10611512410

3则________同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性.【答案】丁【解析】【分析】根据数据直接判断即可.【详解】解：r越大，m越小，线性相关性越强，易知丁同学的试验结果体现A，B两变量的

线性相关性较强.故答案为：丁.16.已知实数，满足3e1−=，()4ln1e−=，其中e是自然对数的底数，则的值为______.【答案】4e【解析】【分析】由已知条件得出ln30+−=，()()ln1lnln130−+−−=，进而可知与ln1−是关于x的方程ln30

xx+−=的两根，构造函数()ln3fxxx=+−，分析该函数的单调性，可得出ln1αβ=−，化简整理可求得的值.【详解】解：因实数、满足3ee=，()4ln1e−=，所以，ln3+=，()lnlnln14+−=，即()()ln30ln1lnln130+−=

−+−−=，所以，与ln1−是关于x的方程ln30xx+−=的两根，构造函数()ln3fxxx=+−，该函数的定义域为()0,+，且该函数为增函数，由于()()ln10ff=−=，所以，l

n1αβ=−，为ln30+−=，即ln1ln30−+−=，即()ln4=，解得4e=.故答案为：4e.【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数与对数的互化求代数式的值，解题的关键在于由已知等式化简得出与ln1−是关于x的方程ln30xx+−=的两根，转化利用函数的单调性来得

出ln1αβ=−，同时也要注意将根代入方程，得出关系式进而求解.三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.设F为抛物线()2:20Cypxp=的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于

A、B两点，若线段AB的中点D的横坐标为1，3AB=.求点D到抛物线C的准线的距离和抛物线C的方程.【答案】23,22yx=【解析】【分析】根据抛物线的定义结合几何性质可得点D到抛物线C的准线的距离32d=.

解法一：根据抛物线的定义分析求解p=1；解法二：利用弦长公式结合韦达定理分析运算.【详解】由题意可得抛物线C的焦点,02pF，准线2px=−，过A、B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为E、H，则根据抛物线的定义，有AF=AE，

BF=BH，所以AE+BH=AF+BF=AB=3.因此在直角梯形ABHE中，点D到抛物线C的准线的距离322AEBHd+==.解法一：设()()1122,,,AxyBxy，根据抛物线的定义有12pAFAEx==+，22pBFBHx==+，∴123AFBFABxxp=+=+=+，而

x1+x2=2，∴p=1，故抛物线C的方程y2=2x.解法二：显然直线l的斜率k存在且不为0，设方程为()2pykx=−，()()1122,,,AxyBxy，联立方程2()22pykxypx=−=，消去y整

理得2222104pxpxk−++=，∴()2222212242412210,1pkppxxpkkk+=+−=+=+，2124pxx=，于是()()()()222221212121214ABxxyykxxxx

=+=++−−−()222222119kppk=++−=，代入整理得()22213pkk+=，①注意到2212pk+=，②所以由①②解得1,2pk==，因此

抛物线C的方程为y2=2x.18.某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据x24568y3040605070（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；（2）根据表中提供

的数据，用最小二乘法求出y与x的回归方程ˆybxa=+；（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．参考公式:回归方程为ˆ,ybxa=+其中1221niiiniixynxybxnx==−=−，.aybx=−【答案】（1）具有相关关系；（2）；（3）15【解析】【详解】试题分析：（

1）根据表格中所给的数据，写出对应的点的坐标，在直角坐标系中描出这几个点，得到散点图；（2）首先做出这组数据的横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，求

出a的值，写出线性回归方程；（3）根据上一问做出的线性回归方程，当y的值是一个确定的值时，把值代入做出对应的x的值试题解析：（1）散点图如图由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．（2），========∴线性回归方程为（3）由题得：，，得19.如图

1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到2Srl=．（1）与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内

切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）；（2）若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求三棱锥

P－ABC的内切球半径和外接球的半径．【答案】（1）R内3=VS（2）内切球的半径336−，外接球半径32．【解析】【分析】（1）类比等面积法，由等体积法可推出结果；（2）根据（1）中的结果求出R内；将三棱锥补形成正方体，可求出R外.【小问1详解】

解题方法类比：三角形内切圆半径的求法是利用等面积法，那么三棱锥内切球半径的求法是等体积法.设三棱锥−PABC的内切球的球心为O，半径为R内，三棱锥的体积为V，表面积为S，则PABPACPBCABCSSSSS=+++，V=

OPABOPACOPBCOABCVVVV−−−−+++111333PABPACPBCSRSRSR=+++内内内!!!13ABCSR内!1()3PABPACPBCABCRSSSS=+++内!!!!13SR=内，所以3VRS=内.所以三棱锥的内切球的半径公式R内3=VS．【小问2详解】因

为PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=1，所以△PAB的面积为111122=，于是，三棱锥P－ABC的体积为111113326PABVSPC===!，三棱锥P－ABC的表面积为113(11)22sin6022S=+332+=，所以，由（1）中的公式

可得三棱锥−PABC的内切球的半径1336332VRS==+内336−=，将三棱锥−PABC补形成正方体，如图：则三棱锥−PABC与正方体ABDCPEFG−共外接球，则球的直径是长方体的对角线，所以2221311122R=++=外.

20.已知函数()()21212ln2fxaxaxx=+−−.（1）当1a=时，求在点()()22f,处的切线方程；（2）0a时，求证：()542fxa−.【答案】（1）y=2x－2ln2（2）证明见解析【解析】【分析】

（1）将1a=代入()fx的解析式，求出()2f和()'2f，再运用点斜式直线方程求解；（2）运用导数求出()fx的最小值，只要证明最小值542a−即可.【小问1详解】当a=1时，21()2ln2fxxxx=+−，x＞0，则2()1fxxx=+−，(2)2f

=，而()242ln2f=−，所以在点()()22f,处的切线方程为()()42ln222yx−−=−，即22ln2yx=−；【小问2详解】对()fx求导得'2(1)(2)()(21)axxfxaxaxx−+=+−−=，x＞0，当a＞0时，令()0fx=得1xa=，当1

0,xa时()'0fx，f（x）单调递减；当1,xa+时()'0fx，f（x）单调递增，所以()min112ln22fxfaaa==−+，只需证明12ln22aa−+≥542a−，即1ln1aa+−≥0(

)0a恒成立；设1()ln1gxxx=+−，0x，则'22111()xgxxxx−=−=，0x，当()0,1x时，()'0gx，()gx单调递减；当()1,x+时，()'0gx，()gx单调递增；所以()10g=是()gx的最小值，故()(

)10gxg=，表明1ln1aa+−≥0（a＞0）恒成立，故()542fxa−.21.设函数32()3(3)1fxxxaxb=−+−+−，,,xabR．（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx存在极值点0x，且()()10fxfx=，其中10xx，求证：1023xx+=

．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0a和0a讨论，其中0a时易知函数单调，当0a时，求出导函数的零点，根据导数和函数单调性的关系即可得到答案.（2）根据题意得()()20031

0fxxa=−−=，从而得到20(1)3ax−=，再对()0fx和()032fx−化简即可证明.【小问1详解】由()fx求导，可得22()3633(1)fxxxaxa=−+−=−−．下面分两种情况讨论：①当

0a时，有()0fx恒成立，所以()fx的单调递增区间为(,)−+；②当0a时，令()0fx=，解得13ax=．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x,13a−−13a−1,133aa−+13a+1,3a+

+()fx+0−0+()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()fx的单调递减区间为1,133aa−+，单调递增区间为,13a−−，1,3a++．综上：当0a时，()fx的单调递增区间为(,)

−+，当0a时，所以()fx的单调递减区间为1,133aa−+，单调递增区间为,13a−−，1,3a++．【小问2详解】因为()fx存在极值点

，所以由（1）知0a，且01x，由题意，得()()200310fxxa=−−=，即20(1)3ax−=，3()(1)fxxaxb=−−+，进而()()3000021133fxxaxbaxab=−−+=−−+．又()()()()3000008322222123

3fxxaxbaxaxab−=−−−+=−+−+()002133axabfx=−−+=，且0032xx−．由题意及（1）知，存在唯一实数满足()()10fxfx=，且10xx，因此1032xx=−，所以1023xx+=．

22.如图，A、F是椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.（1）若31,2P，FPx⊥轴，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的离心率为112ee，0PAPF=，求直线PA的倾斜角的正弦.【答案】（1）22143xy+=（

2）1ee−【解析】分析】（1）首先得1c=，将点31,2P代入椭圆方程，结合,,abc关系即可得到答案；（2）设点P的坐标为()00,Pxy，写出相关向量，利用其数量积为0得到2200000()()()yaxcxaccaxx=+−=+−−，结合点P在椭圆上以及椭圆第二定义即可求出直

线PA倾斜角的正弦值.【小问1详解】由已知可得1c=，所以221ab=+.又点31,2P在椭圆C：22221xyab+=上，所以221914ab+=.联立，解得24a=，23b=，因此椭圆C的方程为22143xy+=.【小问2

详解】解法一：由题意知(,0)Aa−，(c,0)F，222abc=+，cea=.设点P的坐标为()00,Pxy，00,0xy，则00(,)PAaxy=−−−，00(,)PFcxy=−−，【∵0PAPF=，∴PAPF⊥，则△PAF是直角三角形，于是2000(

)()0PAPFaxcxy=−−−+=，∴2200000()()()yaxcxaccaxx=+−=+−−.①∵P是椭圆C上在第一象限内的点，∵2200221xyab+=，即22222200bxayab+=.②将①代入②得222222000[()]bxaaccax

xab++−−=，即22222200()()()0baxacaxaacb−+−+−=，∴22200()[()()]0xabaxaacb+−+−=，由于00xa+，∴只有2220()()0baxaacb−+−=，得2022()aacbxab−=−.∵cea=，222bac=−，∴2220

22()(1)aaccaaeexce+−+−==.③根据椭圆的定义，有200()aPFexaexc=−=−，而||AFac=+，∴RtPAF△中，有0sinPFaexAFac−==+.④将③代入④得2222(

1)11sin()(1)aeeaeaeaeaeaeeeacaaeeeee+−−−−+−−====+++.解法二：由题意知(,0)Aa−，(c,0)F，222abc=+，cea=，则直线PA的方程为()tanyxa=+，02.（*）将直线PA的方程与椭圆方程联

立，消去y后，得()2222324222tan2tantan0baxaxaab+++−=.（**）因为点(,0)Aa−和()00,Pxy的坐标满足方程（*）和（**），所以，有3202222tan()tanaxaba+−=−+，即

2220222(tan)tanabaxba−=+，()2002222tantantanabyxaba=+=+.若0PAPF=，则PAPF⊥，表明△PAF是直角三角形，从而有222||||||PAPFAF+=，∴()()222220000()xay

xcyac+++−+=+，∴22000()xyacxac++−=.将0x、0y代入上式，得222222222(tan)(tan)ababa−++24222224tan(tan)abba++222222()(tan)tanaacbaacba−−=+.去分母，整理，得222

22222222()()()()()()tan(2)(2)()(2)2bacacacacacacaabacacaacaaccaaca−−−+−−====−+−++−−，将cea=代入，得22(1)tan21ee−=

−222sin(1)1sin21ee−=−−222(1)sinee−=，于是1sinee−=.解法三：过P作POx⊥轴于Q，设()00,Pxy，则有||AFac=+.∵0PAPF=，∴PAPF⊥，得||||cos()cosPAAFac=

=+，||()sinPFac=+.由()20||||PAAFax=+，得()20()cosacax+=+，∴a+x0=（a+c）cos2x0=（a+c）cos2－a.根据椭圆的定义有，200()aPFexaexc=−

=−，而||AFac=+，∴0sinaexac−=+，即001()sin[()sin]aexacxaace−=+=−+，∴21[()sin]()(1sin)aacacae−+=+−−由cea=，得cea=代入上式，整理得2sinsin10ee−+

−=，显然sin1，所以，得1sinee−=.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法或是设线法，方法一和方法三采用的设点法，均利用了椭圆的第二定义，而方法二采用的设线法，通过设直线PA的方程，将其与椭圆联立，解出P坐标，再利用向量点乘为0，即垂直关系解出t

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