【文档说明】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理）试题含答案.doc，共(11)页，1.092 MB，由小赞的店铺上传

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xyO11xyO11xyO1xyO1官渡一中高二年级2019-2020学年下学期开学考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．

设集合16Axx=−，0Bxx=，则AB=A．()1,−+B．()1,0−C．()1,6−D．()0,62．2i1i=+A．1i+B．1i−+C．1i−−D．1i−3．已知双曲线22:145xyC−=，则C的离心率为A．54B

．32C．355D．2534．()53x+展开式中3x的系数为A．10B．30C．90D．2705．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且l，m．下列结论正确的是A．若⊥，则l⊥B．若lm⊥，则⊥C．若//

，则//lD．若//lm，则//6．函数2()1xfxx=+的图象大致是ABCD7．已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，()2,2A，()1,2C−，则OBAC=A．6−B．3−C．3D．6A38．已知圆()22:16

Cxy−+=，在所有过点()2,1P−的弦中，最短的弦的长度为A．2B．4C．22D．269．法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为1的圆内随机地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长3的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解

释，存在着不同答案.现给出其中一种解释：固定弦的一个端点A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为A．12B．13C．14D．1610．如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图．已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是A．棱长都为2的四面体

B．棱长都为2的直三棱柱C．底面直径和高都为2的圆锥D．底面直径和高都为2的圆柱11．设点M为抛物线C：24yx=的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设MA，M

F，MB的斜率分别为1k，2k，3k，则132kkk+的值为A．2B．22C．4D．4212．已知不等式sincosxxxa+对任意的0,πx恒成立，则整数a的最小值为A．2B．1C．0D．1−二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．满足a，

1，b三个数成等差数列的一组a，b的值分别为___________．14．若变量x，y满足20,30,30,xyxyx−+−−则2zxy=+的最小值为___________．15．已知函数π()sin26fxx=−，若对任意实数x都有()()

()12fxfxfx，则12xx−的最小值为．16．已知函数,0,()ln,0,xexfxxx=()()()13gxfxax=−−−．若()gx有两个零点，则实数a的取值范围是．三、解答

题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足coscos2coscAaCbC+=.（1）求C；（2）若5a=，7c=，求ABC△的面积．18．（12分）某校

为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成绩如下：78648810453828693901057792116816082741059110378881078271（1）完成这25名学生的数学成绩的茎叶图；数学成绩的茎叶图数学成绩5

67891011（2）确定该样本的中位数和众数；（3）规定数学成绩不低于90分为“及格”．从该样本“及格”的学生中任意抽出3名，设抽到成绩在区间)90,100的学生人数为X，求X的分布列和数学期望()EX．19．（12分）已知等比数列na的前n项和为nS，638aa=，321S

=．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列2na的前n项和nT．20．（12分）阳马和鳖臑（biēnào）是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如下图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．长方体堑堵堑堵

再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（四棱锥EABCD−），余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥EFCD−），称为鳖臑．EFBADCAEDCBEFDC堑堵阳马鳖臑（1）在阳马（四

棱锥EABCD−）中，连接BD，若ABAD=，证明：ECBD⊥；（2）若2AB=，2AD=，1EA=，求鳖臑（三棱锥EFCD−）中二面角FECD−−余弦值的大小．21．（12分）已知椭圆222:2Cxya+=

（0a），过原点O且斜率不为0的直线与椭圆C交于P，Q两点．（1）若()1,0F为椭圆C的一个焦点，求椭圆C的标准方程；（2）若经过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，四边形OAPB能否为

平行四边形？若能，求此时直线OP的方程，若不能，说明理由.22．（12分）已知函数()()221lnfxaxaxx=−−−（Ra）.（1）当1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）设函数()()12exaxagxfxx−−+=+，若2x=是()gx的唯一极值点，求a.官

渡一中高二年级2019-2020学年下学期开学考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案DABCCCBBBDAA二、填空题13．0,2（满足2ab+=即可）14．415．π216．()1,00,2−+三、解答

题17．解：（1）由正弦定理得：sincoscossin2sincosCACABC+=，所以()sin2sincosACBC+=，即sin2sincosBBC=，………………3分因为sin0B，所以1cos2C=，又因为()0,πC，故π3C=．……………………5分（2）由余弦定理得，22

22coscababC=+−，因为5a=，7c=，所以有249255bb=+−，解得8b=，或3b=−（舍去）.…………8分所以ABC△的面积1sin1032SabC==．…………10分18．解：（1）数学成绩的茎叶图如下：数学成绩的茎叶图数学成绩536047147888122268890123

AEDCB1034557116…………………………………………………………4分（2）样本中位数为86，众数为82．……………………………………………………8分（3）样本中及格人数为10人，其中成绩在区间[90,100)的有4人，其余有

6人，0X=，1，2，3，()034631020101206CCPXC====，()124631060111202CCPXC====，()2146310363212010CCPXC====，304631041(3)12030CCPXC====，X的分布列为：X0123P1612310130

()1131601236210305EX=+++=．……………………………………12分19．解：（1）设数列{}na的公比为q，因为638aa=，所以38q=，故2q=，……………………………………………2分又因为321S=，即211121aaqaq++

=，解得13a=，…………………………5分所以132nna−=．……………………………………6分（2）设2nnba=，由（1）知21232nna−=，……………………………………8分所以14nnbb+=，16b=，故数列{}nb为首项为6，公

比为4的等比数列，…………………………10分所以，数列2na的前n项和为216(14)2(41)2214nnnnT+−==−=−−．…………12分20．（1）证明：连接AC,因为四边形ABCD是矩形,ABAD=，zyxEFBADC所以矩形

ABCD是正方形，所以ACBD⊥，………………………………2分因为EA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以EABD⊥，………………………………3分因为EAACA=,EA平面EAC，AC平面EAC，所以BD⊥平面EAC，……………………………………5分因为EC平

面EAC，所以ECBD⊥.……………………………………6分（2）如图，鳖臑（三棱锥EFCD−）中的二面角FECD−−，即为堑堵ABEDCF−中的二面角FECD−−，在堑堵ABEDCF−中，以点A为坐标

原点，AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系Axyz−.…………7分则()0,0,0A，()2,2,0C，()0,2,0D,()0,0,1E,()0,2,1F.于是()2,2,1EC=−，()0,2,0EF=，求得平面ECF的一个法向量是(

)1,0,2m=，………………………………………9分于是()2,2,1EC=−，()0,2,1ED=−，求得平面ECD的一个法向量是()0,1,2n=，……………………………………11分所以44cos,555mnmnmn===.所以，鳖臑（三棱锥EFCD−）中二面角FECD−

−的余弦值是45.………12分21．解：（1）因为(1,0)F为椭圆C的一个焦点，则2212aa−=，得2a=，…………2分椭圆C的标准方程为2212xy+=.……………4分（2）因为椭圆C的右焦点2(,0

)2Fa，设11(,)Axy，22(,)Bxy，00(,)Pxy，当直线l为x轴时，A，O，B三点共线，四边形OAPB不存在，故可设直线l的方程为22xmya=+，……………6分由222222xmyaxya=++=，，得222(2)202am

yamy++−=，显然0，则12222amyym+=−+，……………8分若四边形OAPB为平行四边形，则OPOAOB=+，即012222amyyym=+=−+，01212222()22axxxmyyam=+=++=+.…………10分因为P在C上，所以222002xya+=，即22

22222284(2)(2)aamamm+=++，化简，得44m=，2m=，综上，四边形OAPB能为平行四边形，此时00222OPymkx==−=，直线OP的方程为22yx=，即20xy=.………12分22．解：（1）由题意，得2

()lnfxxxx=−−，定义域为(0,)x+.212()1fxxx=−+222xxx−++=2(1)(2)xxx−+−=，令()0fx=，得2x=.当02x时，()0fx，()fx在(0,2)上单调递增；当2x时，()0fx

，()fx在(2,)+上单调递减.综上，()fx的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间(2,)+.……………………4分（2）由题意，得，12124212(e)(e)2()xxaaxaxaxgxaxxx−−−−−−+=−++123(2)(e)xxaxxax−−−−+=，(0,

)x+.由于2x=是()gx的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一，12e0xaxxa−−−+对任意的(0,)x+恒成立；情形二，12e0xaxxa−−−+对任意的(0,)x+恒成立.……………………………6分设12()exh

xaxxa−=−−+，(0,)x+，且有(1)0h=，1()e21xhxax−=−−.①当0a=时，1()1xhxe−=−，则(1)0h=.当01x时，()0hx，()hx在(0,1)上

单调递减；当1x时，()0hx，()hx在(1,)+上单调递增，所以()(1)0hxh=对任意的(0,)x+恒成立，符合题意.…………………………8分②当0a时，20a−，则1()e21xhxax−=−−在(0,)+

上单调递增.又1(0)10eh=−，(1)20ha=−，所以存在0(0,1)x，使得0()0hx=.当0xx时，()0hx，()hx在0(,)x+上单调递增，所以0()(1)0(2)hxhh=，这与题意不符.……………………………………10分③

当0a时，设1()e21xpxax−=−−，Rx，则1()e2xpxa−=−；令()0px=，得1ln(2)xa=+.所以当1ln(2)xa+时，()0px，()px在(,1ln(2))a−+上单调

递减；当1ln(2)xa+时，()0px，()px在(1ln(2),)a++上单调递增.ⅰ）当12a时，1ln(2)1a+，由于()hx在(0,1ln(2))a+上单调递减，则当01ln(2)xa+时，()(0)0hxh

，()hx在(0,1ln(2))a+上单调递减；所以1()(1)0(1ln(2))2hhha=+，这与题意不符.ⅱ）当102a时，1ln(2)1a+，由()()hxpx=的单调性及(0)0h，(1)0h知，(0,1]x时，都有()0hx.又()hx在(1,3)上

单调递增，221(3)e61e6102ha=−−−−，则存在0(1,3)x，使得0()0hx=，所以当00xx时，()0hx，()hx在0(0,)x上单调递减；所以01()(1)0()2hhhx=，这与题意不符.综上，得0a=.………

……………………………………12分