【文档说明】【精准解析】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理）试题.doc，共(22)页，2.902 MB，由小赞的店铺上传

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官渡一中高二年级2019-2020学年下学期开学考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{|16},0AxxBxx=−=，则AB=A.(1,)−+B.

(1,0)−C.(0,6)D.(1,6)−【答案】C【解析】【分析】直接求AB得解.【详解】因为集合{|16},0AxxBxx=−=，所以AB=()0,6,故答案为C.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌

握水平和分析推理能力.2.复数21ii+等于A.1i+B.1i−+C.1i−−D.1i−【答案】A【解析】试题分析：()()()21-22+2i===1+111-2iiiiiii++．考点：复数的运算．点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置

，属于简单题，要求学生必须得分．因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握．同时，也要熟记一些常用公式：．3.已知双曲线22:145xyC-=，则C的离心率为（）A.54B.32C.355D.253【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程求得,ac，由此求得双

曲线的离心率.【详解】依题意222,5,3abcab===+=，所以32cea==.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.4.()53x+展开式中3x的系数为（）A.10B.30C.90D.270【答案】C【解析】【分析】由

二项式的展开式的通项公式可求得选项.【详解】()53x+的展开式的通项公式为5153rrrrTCx−+=，所以3x的系数为3535390C−=.故选：C.【点睛】本题考查二项式展开式中特定项的系数，关键在于运用二项式展开式的通项公式，属于基础题.5.设l，m是两条不同的直线，，是两

个不同的平面，且l，m．下列结论正确的是（）A.若⊥，则l⊥B.若lm⊥，则⊥C.若//，则l//D.若//lm，则//【答案】C【解析】【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系依次判

断选项即可得到答案.【详解】对选项A，如图所示，⊥，l，此时//l，故A错误.对选项B，n=，l，m，ln⊥，//mn，得到lm⊥，此时，不一定垂直，故B错误.对选项C，因为//，l，所以l//，故C正确.对选项D，如图所示：n=，l，m，/

/ln，//mn，得到//lm，此时，不平行，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查线面的位置关系和面面的位置关系，属于简单题.6.函数2()1xfxx=+的图象大致是（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数值的符号确定正确选项.【详解】函数(

)fx的定义域为R，且满足()()21xfxfxx−−==−+，所以()fx是奇函数，由此排除BC选项.当0x时，()201xfxx=+，由此排除A选项.所以D选项符合.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，属于基

础题.7.已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，()2,2A，()1,2C−，则OBAC=（）A.6−B.3−C.3D.6【答案】B【解析】【分析】由平行四边形对边平行且相等，可得B点坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】平行四边形OABC中,OACB=设B点

坐标(),xy()2,2OA=，()=1,2CBxy−+所以()()3,03,0,1,4xyOBAC====−−，()()3104=3OBAC=−+−−故选：B【点睛】本题考查平面向量相等和数量积等知识，属于基础题.8.已知圆()22:16Cxy−+=，在所有过点()2,1P−的

弦中，最短的弦的长度为（）A.2B.4C.22D.26【答案】B【解析】【分析】求得圆心和半径，利用两点间距离公式和勾股定理求得最短弦长.【详解】圆C的圆心为()1,0，半径为6r=由于()2,1P−，()()2221126−+−=，所以P在圆内.在所有

过P点的弦中，最短的弦是垂直于PC的弦，()()2221102PC=−+−−=，所以最短弦长为2222624rPC−=−=.故选：B【点睛】本小题主要考查圆的弦长有关计算，属于基础题.9.法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为1的圆内随机地

取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长3的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案．现给出其中一种解释：固定弦的一个端点A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为（）A.12B.13C.14D.16

【答案】B【解析】【分析】判断出弦的另一个端点的轨迹，由此求得所求的概率.【详解】依题意可知3ABAC==，所以当弦的另一个端点在劣弧BC上运动时，可使弦的长度超过3，根据圆和等边三角形的性质可知，劣弧BC占整个圆周长的三分之一

，故所求的概率为13.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型概率计算，属于基础题.10.如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图．已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是（）A.棱长都为2的四面体B.棱长都为2的直三棱柱C.底面

直径和高都为2的圆锥D.底面直径和高都为2的圆柱【答案】D【解析】【分析】首先根据三视图得到该几何体是半径为1的球体，再依次判断选项中几何体的内切球半径是否大于1，即可得到答案.【详解】由三视图可知：该几何体是半径为1的球体.对选项A，设该四面体为

PABC，如图所示：D是AB的中点，连接PD，CD，则22213==−=PDCD.设F为ABC的中心，则F在CD上，连接PF，则1333==DFCD，()22326333=−=PF，设四面体PABC的内切球半径为R，内切球球心为O，已知O在PF上，

连接OA，OB，OC，由−−−−−=+++PABCOPABOPACOPBCOABCVVVVV，所以1261111333333△△△△△=+++ABCPABPACPBCABCSSRSRSRSR即2643=R，616=R

，故A不正确.对选项B，设直三棱柱的底面为ABC，D为ABC的中点，E为ABC的中心，连接CD，则E在CD上，如图所示：因为ABC内切圆的半径为2211321333==−=DECD，故B不正确.对选项C，如图所示：其内切圆半径显然小于1，故C不正确；对选项D，如图所示：显然其内切球半径

为1，故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查几何体的内切球，同时考查了三视图，属于中档题.11.设点M为抛物线C：24yx=的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，设MA、MF、MB的斜率

分别为123kkk、、，则132kkk+的值为（）A.2B.22C.4D.42【答案】A【解析】【分析】先写出F,A,B点坐标，设()M1,t−，然后直接用坐标表示斜率即可得解.【详解】点M为抛物线C：24yx=的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），可设为()M1,t

−.过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，()F1,0不妨设()()A1,2,B1,2−.则1322222222ttkkttkt−+++−−===−.故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义及

利用点坐标表示斜率，考查了学生的运算能力，属于中档题.12.已知不等式sincosxxxa+对任意0,x恒成立，则整数a的最小值为()A.2B.1C.0D.-1【答案】A【解析】【分析】引入函数，利用导数求得函数的最大值，从而得到a的范围．【详解】设()

sincosfxxxx=+，则()sincossincosfxxxxxxx=+−=，当02x时，()0fx，()fx递增，当2x时，()0fx，()fx递减，∴2x=时，()f

x取得极大值也是最大值()22f=．∴不等式sincosxxxa+对任意0,x恒成立，则2a，其中最小的整数是2.故选：A.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是引入函数，用导数研究函数的单调性得最大值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分．13.满足a，1，b三个数成等差数列的一组a，b的值分别为___________．【答案】0，2（满足2ab+=即可）【解析】【分析】根据等差中项的性质列方程，由此确定填写的数值.【详解】由于,1,ab成等差

数列，所以2ab+=，所以填：0,2（满足2ab+=即可）.故答案为：0,2（满足2ab+=即可）【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，属于基础题.14.若变量x，y满足20,30,30,xyxyx−+−−则2z

xy=+的最小值为___________．【答案】4【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2zxy=+表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【详解】解：约束条件20,30,3

0,xyxyx−+−−不等式组表示的平面区域如图所示，当直线2zxy=+过点D时，z取得最小值，由3020xyxy+−=−=，可得()1,2D时，在y轴上截距最小，此时z取得最小值4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以

及利用几何意义求最值，属于基础题．15.已知函数()sin26πfxx=−，若对任意实数x都有()()()12fxfxfx，则12xx−的最小值为______________．【答案】π2【解析】【分

析】判断出()1fx为()fx的最小值，()2fx为()fx的最大值，由此确定12xx−的最小值.【详解】依题意对任意实数x都有()()()12fxfxfx，所以()1fx为()fx的最小值，()2fx为()fx的

最大值，所以12xx−的最小值是()fx的半周期，即21222=.故答案为：π2【点睛】本小题主要考查三角函数的最小正周期、最值，属于基础题.16.已知函数(),0ln,0xexfxxx=，()()()13gxfxax=−−−．若()gx有两个零点，则实数

a的取值范围是______________．【答案】()1,00,2−+U【解析】【分析】首先根据题意得到函数()1yfx=−与()3yax=−的图象有两个交点，画出函数()1yfx=−的图象，再分类讨论a的范围，结合图象即可得到答案.【详解】若()gx有两个零点，等价于

函数()1yfx=−与()3yax=−的图象有两个交点.()()1,11ln1,1xexfxxx−−=−，如图所示：，因为直线()3yax=−恒过()3,0，当0a=时，两个函数图象只有一个交点，不符合题意，舍去；当0a时

，两个函数要有两个交点，则直线()3yax=−过()1,1时，斜率a取得最小值，此时011312−==−−a，故102a−.当0a时，两个函数恒有两个交点.综上所述：102a−或0a.故答案为：()1,00,2−+U【点睛】本题主要考查

函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足coscos2coscAaCbC+=．（

1）求C；（2）若5a=，7c=，求ABC的面积．【答案】（1）π3C=；（2）103．【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得1cos2C=，由此求得C.（2）利用余弦定理求得b，再根据三角形的面积公式，求得三角形ABC的面积.【详解】（1）由正弦

定理得：sincoscossin2sincosCACABC+=，所以()sin2sincosACBC+=，即sin2sincosBBC=，因为sin0B，所以1cos2C=，又因为()0,πC，故π3C=．（2）由余弦定理得，2222cosca

babC=+−，因为5a=，7c=，所以有249255bb=+−，解得8b=，或3b=−（舍去）．所以ABC的面积1sin1032SabC==．【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.

18.某校为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成绩如下：78648810453828693901057792116816082741059110378881078271（1）

完成这25名学生的数学成绩的茎叶图；数学成绩的茎叶图数学成绩567891011（2）确定该样本的中位数和众数；（3）规定数学成绩不低于90分为“及格”．从该样本“及格”的学生中任意抽出3名，设抽到成绩在区间)90,100的学生人数为X，求X的分布列和数学期望()EX．

【答案】（1）茎叶图见解析；（2）中位数为86，众数为82；（3）分布列见解析，数学期望()EX为65．【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写好茎叶图.（2）由题目所给数据计算出中位数和众数.（3）利用超几何分

布的分布列计算公式计算出X的分布列和数学期望.【详解】（1）数学成绩的茎叶图如下：数学成绩的茎叶图（2）由数据可知，样本中位数为86，众数为82．（3）样本中及格人数为10人，其中成绩在区间[90,100)的有4人，其余有6人，X0=，1，2，3，()03463102

0101206CCPXC====，()124631060111202CCPXC====，()2146310363212010CCPXC====，304631041(3)12030CCPXC====，X的分

布列为：X0123P1612310130()1131601236210305EX=+++=．【点睛】本小题主要考查茎叶图，考查中位数和众数，考查超几何分布，属于中档题.19.已知等比数列na的前n项和为nS，638aa=，321S=．（1）求数列na的通项公式；（2

）求数列2na的前n项和nT．【答案】（1）132nna−=；（2）2122nnT+=−．【解析】【分析】（1）设数列{}na的公比为q，依题意，列出方程，解得即可；（2）设2nnba=，由（1）知

21232nna−=，即可得到数列{}nb为首项为6，公比为4的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算可得；【详解】解：（1）设数列{}na的公比为q，因为638aa=，所以38q=，故2q=，又因为321S=，即211121aaqaq++=，解

得13a=，所以132nna−=．（2）设2nnba=，由（1）知21232nna−=，所以14nnbb+=，16b=，故数列{}nb为首项为6，公比为4的等比数列，所以，数列2na的前n项和为216(14)2(41)2214nnnnT+−==−=−−．【点睛】本题考查等比数

列通项公式及求和公式的应用，属于基础题.20.阳马和鳖臑（biēnào）是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如图所示，取一个长方体，按图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．长方体堑堵堑堵

再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（四棱锥EABCD−），余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥EFCD−），称为鳖臑．堑堵阳马鳖臑（1）在阳马（四棱锥EABCD−）中，连接BD，若ABAD=，证明：ECBD

⊥；（2）若2AB=，2AD=，1EA=，求鳖臑（三棱锥EFCD−）中二面角FECD−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）45．【解析】【分析】（1）连接AC，通过证明BD⊥平面EAC来证得ECBD⊥.（2）建立空间直角坐

标系，利用平面ECF和平面ECD的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接AC，因为四边形ABCD是矩形，ABAD=，所以矩形ABCD是正方形，所以ACBD⊥，因为EA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以EABD⊥，因为EAACA=，EA

平面EAC，AC平面EAC，所以BD⊥平面EAC，因为EC平面EAC，所以ECBD⊥．（2）如图，鳖臑（三棱锥EFCD−）中的二面角FECD−−，即为堑堵ABEDCF−中的二面角FECD−−，在堑堵ABEDC

F−中，以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系Axyz−．则()0,0,0A，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,1E，()0,2,1F．于是()2,2,1EC=−，()0,2,0=EF，求得平面ECF的一个法向量

是()1,0,2m=，于是()2,2,1EC=−，()0,2,1ED=−，求得平面ECD的一个法向量是()0,1,2n=，所以44cos,555mnmnmn===．所以，鳖臑（三棱锥EFCD−）中二面角FECD−−的余弦值是45．【点睛】本小题主

要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，属于中档题.21.已知椭圆222:2(0)Cxyaa+=，过原点O且斜率不为0的直线与椭圆C交于P，Q两点．（1）若(1,0)F为椭圆C的一个焦点，求椭圆C的标准方程；（2）若经过椭圆C的右焦点的直线l与椭

圆C交于A，B两点，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线OP的方程，若不能，说明理由．【答案】（1）2212xy+=；（2）20xy=【解析】【分析】（1）变形2222:12xyCaa+=，根据,,abc的关系求解即可；（2）设

直线l的方程为22xmya=+，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，求得P点坐标，代入椭圆方程，即可求得m的值，进而可得直线OP的方程.【详解】解：（1）由已知得2222:12xyCaa+=，则2212aa−=，解得22a=，所以椭圆C的标准方程为2212xy+=；（2）设

()()()112200,,,,,AxyBxyPxy，椭圆C的右焦点2,02Fa,当直线l的斜率为0时，,,OAB三点共线，不符合题意，所以可设直线l的方程为22xmya=+，联立2222xya+=

，可得()2222202amyamy++−=，显然，，则12222amyym+=−+，若四边形OAPB为平行四边形，则OPOAOB=+，所以，012222amyyym=+=−+，()0121222222xxxmyyaam=+=++=+，因为P在椭圆上，所以222002xya+=，

即()()222222228422aamamm+=++，解得2m=，所以四边形OAPB能为平行四边行，此时00222OPymkx==−=，直线OP的方程为22yx=即20xy=.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，计算能力，属于中档题.22.已知函数()(

)221lnfxaxaxx=−−−（Ra）．（1）当1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）设函数()()12exaxagxfxx−−+=+，若2x=是()gx的唯一极值点，求a．【答案】（1）()fx的单调递增区间为

(0,2)，单调递减区间(2,)+；（2）0．【解析】【分析】（1）当1a=时，先求得()fx的定义域，然后利用导数求得()fx的单调区间.（2）求得()gx的导函数()gx，构造函数12()exhxaxxa−=−−+，求得其导函数

()hx，对a分成110,0,,022aaaa=等情况进行分类讨论，结合2x=是()gx的唯一极值点，求得a的值.【详解】（1）由题意，得2ln()fxxxx=−−，定义域为(0,)x+．212

()1fxxx−+=222xxx−++=2(1)(2)xxx−+−=，令()0fx=，得2x=．当02x时，()0fx，()fx在(0,2)上单调递增；当2x时，()0fx，()fx在(2,)+上单调递减．综上，()fx的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间(2,)+

．（2）由题意，得，12124212(e)(e)2()xxaaxaxaxgxaxxx−−−−−−+=−++123(2)(e)xxaxxax−−−−+=，(0,)x+．由于2x=是()gx的唯一极值点

，则有以下两种情形：情形一，12e0xaxxa−−−+对任意的(0,)x+恒成立；情形二，12e0xaxxa−−−+对任意的(0,)x+恒成立．设12()exhxaxxa−=−−+，(0,)x+，且有(1)0h=，1()e21xhxax−−=−．①当0a=时，1

()1xhxe−=−，则(1)0h=．当01x时，()0hx，()hx在(0,1)上单调递减；当1x时，()0hx，()hx在(1,)+上单调递增，所以()(1)0hxh=对任意的(0,)x+恒成立，符合题意．②当0a时，20a−，则1

()e21xhxax−−=−在(0,)+上单调递增．又1(0)10eh=−，(1)20ha=−，所以存在0(0,1)x，使得0()0hx=．当0xx时，()0hx，()hx在0(,)x+上单调递增，所以01

()()0(2)hxhh=，这与题意不符．③当0a时，设1()e21xpxax−=−−，Rx，则1()e2xpxa−−=；令()0px=，得1ln)2(xa=+．所以当1ln(2)xa+时，()0px，()px在,1

l(()n2)a−+上单调递减；当1ln(2)xa+时，()0px，()px在1ln2((),)a++上单调递增．ⅰ）当12a时，1ln2(1)a+，由于()hx在0,1ln(()2)a+上单调递减，则当01ln(2)xa+时，()(0)0hxh

，()hx在0,1ln(()2)a+上单调递减；所以1()(1)0(1ln(2))2hhha=+，这与题意不符．ⅱ）当102a时，1ln2(1)a+，由()()hxpx=的单调性及(0)0h，(1)0h知，(0,1]x时，都有()0hx

．又()hx在(1,3)上单调递增，221(3)e61e6102ha=−−−−，则存在0(1,3)x，使得0()0hx=，所以当00xx时，()0hx，()hx在0(0,

)x上单调递减；所以01()(1)0()2hhhx=，这与题意不符．综上，得0a=．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.