【文档说明】【精准解析】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题.doc，共(21)页，1.735 MB，由小赞的店铺上传

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官渡一中高二年级2019-2020学年下学期期中考试理科数学试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.i是虚数单位，复数31izi+=+的虚部是（）A.0B.－1C.1D.

－i【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，即可求出复数的虚部；【详解】解：()()()()23133321112iiiiiiziiii+−+−+−====−++−所以复数31izi+=+的虚部为1−故选：B【点睛】本题

考查复数代数形式的除法运算及复数的相关概念，属于基础题.2.已知2=|230Axxx−−，2=|+0Bxxpxq+，满足=|12ABxx−，则p与q的关系为（）A.0pq−=B.0pq+=C.5pq+=−D.24pq+=−【答案】D

【解析】【分析】先求出集合A，再由=|12ABxx−可得方程20xpxq++=的一个根为2x=，从而可得结论【详解】由2230xx−−得，(1)(3)0xx+−，解得13x−，所以13Axx=−，因为=|12ABxx−

，2=|+0Bxxpxq+所以方程20xpxq++=的一个根为2x=，所以24pq+=−，故选：D【点睛】此题考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集运算，属于基础题3.在正项等比数列na中，244aa=，3=14S，数列nb满足2lognnba=，则数列

nb的前6项和是（）A.0B.2C.3D.5【答案】C【解析】【分析】先由244aa=，3=14S，求出数列na的通项公式，再由2lognnba=可求得4nbn=−，从而由等差数列的前n项和公式可求得结果【详解】解：设正项等比数列na的公比为(0)qq，因为244aa=，3=

14S，所以公比不为1，所以311314(1)141aqaqaqq=−=−，解得1812aq==，所以11411822nnnnaaq−−−===，所以422loglog2

4nnnban−===−，所以数列nb是以3为首项，1−为公差的等差数列，所以数列nb的前6项和为6563(1)32+−=，故选：C【点睛】此题考查等比数列的基本量计算，考查对数的运算性质的应用，属

于基础题4.函数()()sinfxAx=+（A，，为常数，0A，0）的部分图象如图所示，则()0f的值（）A.2B.22C.0D.2−【答案】A【解析】【分析】根据图象有43T=，2A=且353262+=

，即有32=，4=，得3()2sin()24fxx=+进而求得(0)f的值【详解】有图可知：54623T=−=，即43T=；且2A=∵最小正周期2||T=，0∴32=，又353262+=即4=综上，

有：3()2sin()24fxx=+∴(0)2f=故选：A【点睛】本题考查了应用三角函数图象求解析式，根据图象显示的周期(半周期或14周期)求，由最值求A，最后根据最值所对应的x值求，即可得到最终解析

式5.根据如图所示的程序框图，若输出y的值为4，则输入的x值为（）A.2−B.1C.2−或1−D.2−或1【答案】D【解析】【分析】把4y=分别代入函数2,31yxyx==+求出对应的x即可【详解】解：因为cos1y=，所以输出y

的值为4，可能是由函数2,31yxyx==+得到的把4y=代入2yx=中得24x=，2x=，由框图可知只能取2x=−，把4y=代入31yx=+中得314x+=，1x=满足题意，所以输入的x值可能为2−或1，故选：D【点睛】此题考查算法的条件结构框图，属于基础题6.一个正方体纸盒展开后如图，在

原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是()A.①②B.③④C.②③D.①③【答案】D【解析】【详解】将展开图还原为正方体，由于

EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行；EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.7.函数f(x)＝2log,02,0xxxax−+有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a<0B.0<a<C.<a<1D

.a≤0或a>1【答案】A【解析】【分析】函数y=f（x）只有一个零点，分段函数在0x时，2logyx=存在一个零点为1，在0x无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件.【详解】当0x时，y=2

logx，x=1是函数的一个零点，则当0y2xxa=−+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集，故选A【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性

和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D项是冲要条件，容易疏忽而出错.8.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当(,0x−时，()2xfxeexa−=−+，则函数()fx在1x=处的切线方

程为（）A.0xy+=B.10exye−+−=C.+10exye−−=D.0xy−=【答案】B【解析】【分析】利用(0)0f=先求出a的值，设(0,)x+，根据已知条件求出()fx−，再利用奇函数，求出()fx在(0,)+

上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．【详解】解：由题意得，(0)100fa=−+=，解得1a=−，当(x−，0]时，2()

1xfxeex−=−−，设(0,)x+，则0x−，2()1xfxeex−=−−，()fx是定义在R上的奇函数，2()()1xfxfxeex=−−=−++，此时(0,)x+，()2xfxeex

=−+，()1fe=，把1x=代入2()1xfxeex=−++得，()11f=，则切点为(1,1)，所求的切线方程为：1(1)yex−=−，化简得10exye−−+=，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，奇函数性质的利用，以及函数解析式，求函数在某范围

内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已知范围上去，考查了转化思想，属于基础题．9.ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，向量()1,3p→=−，()=cossinqBB→，，p→∥q→且coscos2sinbCcBaA+=，则C＝（）A.30°B.60°C.120°D.1

50°【答案】A【解析】【分析】由两向量的坐标及两向量平行满足的条件列出关系式，利用同角三角形函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再利用正弦定理化简已知的等式，利

用两角和与差的正弦函数公式化简后根据sinA的值不为0，求出sinA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，即可求出C的度数．【详解】解：向量(1,3)p=−，(cos,sin)qBB=，且//pq，sin3cos=−B

B，即tan3B=−，B为三角形的内角，120B=，把coscos2sinbCcBaA+=利用正弦定理化简得：2sincossincos2sinBCCBA+=，即2sin()sin2sinBCAA+==，sin0A，1sin2A=，又A为三角形的内角，30A=，则30C=

．故选：A．【点睛】本题考查了正弦定理，平面向量共线定理的应用，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,MN两点，O是坐标原点

，若OMON⊥，则双曲线的离心率为（）A.132+B.132−+C.152+D.152−+【答案】C【解析】【详解】设双曲线的右焦点(,0)c，将xc=代入双曲线方程得2bya=，又OMON⊥，根据对称性得22,bcbaca==，222,10c

aacee−=−−=，解得152e+=或152e−=（舍去）.故选：C.考点：双曲线的图象与性质.11.设()22xxfx−=−，若当,02−时，()2130cos1fmfm−+−−恒成立，则实数m的取值范围是（）A.(

),2−−B.(,2][1,)−−+C.()2,1−D.(,2)(1,)−−+【答案】D【解析】【分析】先判定函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质把不等式转化为213cos1mm+−−在,02−上恒成立

，进而结合的范围，得到不等式231mm+−−，即可求解.【详解】由题意，函数()22xxfx−=−，可得()22(22)()xxxxfxfx−−−=−=−−=−，所以函数()fx为奇函数，且在R上为单调递增函数，因为当,

02−时，()2130cos1fmfm−+−−恒成立，即当,02−时，()2213(3)cos1fmfmfm−−−=−−恒成立，所以213cos1mm−−−，即213cos1mm+−

−在,02−上恒成立，当,02−时，cos[0,1)，则11cos1−−，所以231mm+−−，解得2m−或1m>，即实数m的取值范围为(,2)(1,)−−+.故选：D.【点睛】本

题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中合理利用函数的基本性质进行转化是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.12.函数()fx定义域为D，若满足①()fx在D内是单调函数

；②存在[,]abD使()fx在,ab上的值域为,22ab，那么就称()yfx=为“成功函数”，若函数()log()(0,1)xafxataa=+是“成功函数”，则t的取值范围为A.()0,+B.1,4−C.10,4D.10,

4【答案】C【解析】【分析】由()()log(0,1)xafxataa=+是“成功函数”，知()fx在其定义域内为增函数，()()1log2xafxatx=+=，故2xxata+=，由此能求出t的取值范围.【详解】∵()()log(0,1)xafxataa=+是“

成功函数”，∴()fx在其定义域内为增函数，()()1log2xafxatx=+=，∴2xxata+=，20xxaat−+=，令20xmc=，∴20mmt−+=有两个不同的正数根，∴1400tt−，解得10,4t，故选C.【点睛】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是

正确理解“成功函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．第卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.91xx+展开式中的常数项为__________．【答案】84【解析】【分析】先求出二项式展开式的

通项公式39219rrrTCx−+=，然后令x的次数为0，求出r的值，从而可得展开式中的常数项【详解】解：二项式91xx+展开式的通项公式为39921991rrrrrrTCxCxx−−+==，令3902r−=，得6r=，所以91xx+展开式中的常数项为6984C

=故答案为：84【点睛】此题考查二项式定理的应用，属于基础题14.已知ABC的面积为1534，||3AB=，||5AC=uuur，0ABAC，则||BC=uuur_______.【答案】7【解析】【分析】根据三角形的面积求出A的大小，再利用余弦定理求解.【详解

】因为ABC的面积为1534，所以11531153sin,35sin2424bcAA==,所以3sin,2A=因为20,cos0,(0,),3ABACAAA=,由余弦定理得21||92523

5()492BC=+−−=,所以||7BC=.故答案为：7【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.现采用随机模拟的方

法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产

生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】34【解析】【分析】根据数据统计

击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为153204=.故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16.已知球面上有ABCD、、、四点，=1

AB，=3BC，=7AC，263BD=，且BD⊥平面ABC，则此球的体积为______________.【答案】43【解析】【分析】设ABC的外心为E，则三棱锥DABC−的外接球的球心在过点E，垂直于平面ABC的平面的直线，设球心为O，ABC的外接圆半径为r，利用正余

弦定理求出ABC的外接圆半径，再由BD⊥平面ABC，结合勾股定理可得外接球的半径【详解】解：设ABC的外心为E，则三棱锥DABC−的外接球的球心在过点E，垂直于平面ABC的平面的直线，设球心为O，ABC的外接圆半径为r，设外接球的半径为R，

因为=1AB，=3BC，=7AC，所以2221791cos22727ABACBCAABAC+−+−===−，所以27sin27A=，由正弦定理得，3672sin272727BCrA===，所以213r=，因为BD⊥平面ABC，263BD=，所以222163299BDRr=

+=+=，所以外接球的体积为()334434333R==故答案为：43【点睛】此题考查正余弦定理的应用，考查多面体外接球的体积的求法，属于中档题三、解答题（第17题10分，其它题12分，共70分）17.已知()cossin,3cosmxxx→=+，(

)cossin,2sinnxxx→=−，其中0，若函数()fxmn→→=，且()fx的对称中心到()fx对称轴的最近距离不小于4．（1）求的取值范围；（2）在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，且1a=，2bc+=，当

取最大值时，()1fA=，求ABC的面积．【答案】（1）(0,1]；（2）34.【解析】【分析】（1）先由向量的数量积公式求出()fx的解析式，再由()fx的对称中心到()fx对称轴的最近距离不小于4，可得44T…，再结周期公式可

求出的取值范围；（2）先结合（1）求出()2sin26fxx=+，再由()1fA=可得3A=，再由余弦定理可求出1bc=，从而可求得三角形的面积【详解】解：（1）22()cossin23sincosfxmnxxxx==−+r

rcos23sin22sin26xxx=+=+．∵0，∴22T==，由题意知44T…，即11…，∴01．故的取值范围是(0,1]．（2）由（1）知的最大值为1，所以()2sin26fxx=+，∵()1fA=且0A．∴1sin

262A+=，∴3A=，由余弦定理2221cos22bcaAbc+−==，∴222bcbca+−=．又2bc+=，1a=，∴1bc=，∴13sin24ABCSbcA==△．【点睛】此题考查三角函数的图像和性质的应用，考查三角函数恒等到变换公式的应用，考

查余弦定理的应用，属中档题18.正项数列na的前n项和Sn满足：222(1)()0nnSnnSnn−+−−+=(1)求数列na的通项公式na；(2)令221(2)nnnbna+=+，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜564.【答案】（1）2;nan=（

2）见解析【解析】【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，

数列的前项和.19.某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段)75,80,)80,85,)85,90,)90,95,95,100（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．（1

）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记X为3位学生中参加社区服务

时间不少于90小时的人数．试求随机变量X的分布列和数学期望EX．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可求出抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人，再根据古典概型概率公式可得

结果；（2）由已知得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，X～B（3，25），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．【详解】（1）根据题意，参加社区服务在时间段)90,95的学生人数为2000.06560=人；参加社区服务在时间段)95,100的学生人数为2000.02520=人

；∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人.∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为8022005P==.（2）由（1）可知，从全市高中学生中

任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为25，X～B（3，25），由已知得，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，则()03032327055125PXC===，()

12132354155125PXC===，()21232336255125PXC===，()3033238355125PXC===，随机变量X的分布列为：∴()27543686012312

51251251255EX=+++=.【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查离散型随机变量二项分布的分布列和数学期望，属于中档题．20.正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是

AC，BC的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB−−，如图2.在图2中：（1）求二面角EDFC−−的余弦值；（2）在线段BC上找一点P，使APDE⊥【答案】（1）217；（2）P是BC上的一个三等分点且||2||PCBP=.【解析】【分析】（1）

根据题意，建立空间直角坐标系Dxyz−，求得平面CDF和平面EDF的法向量，利用两个法向量所成角的余弦值得到二面角的余弦值；（2）利用向量垂直，向量数量积等于零，得到相应的等量关系式，求得结果.【详解】（1）以点D为坐标

原点，直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、x轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(0,0,2)A，(2,0,0)B，(0,23,0)C，(0,3,1)E，(1,3,0)F．平面CDF的法向量为(0,0,2)DA=．设平面EDF的法向量

为(,,)nxyz=，则00DFnDEn==即3030xyyz+=+=可取(3,3,3)n=−．621cos,7221||||DAnDAnxDAn===uuurruuuruuurr，所以，二面角EDFC−−的余弦值为21

7．（2）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为323yx=−+．设(,233,0)Pxx−，则(,233,2)APxx=−−，所以41033APDEAPDExBPBC⊥===uuuruuuruuruuur．

所以，P是BC上的一个三等分点且||2||PCBP=．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求二面角的余弦值，利用向量垂直得到直线垂直去判断点的位置，属于中档题目.21.已知椭圆2

22:1(1)xCyaa+=的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆()()22:313Mxy−+−=相切（1）求椭圆C的方程；（2）若不过点A的动直线l与椭圆C交于PQ、两点，且0APAQ=，求证：直线l过定点，并求该定点

坐标.【答案】（1）2213xy+=；（2）证明见解析；1(0,)2−.【解析】【分析】（1）圆M的圆心为(3,1)，半径3r=．直线AF的方程为0xcyc+−=，由直线AF与圆M相切，得22c=，2213ac=+=，由此能求出椭圆C的方程．（2）由0A

PAQ=，知APAQ⊥，设直线AP的方程为1ykx=+，直线AQ的方程为11yxk=−+．联立22113ykxxy=++=，整理得22(13)60kxkx++=，求得点P，点Q的坐标，再表示出直线的方程，由此能证明直线l过定点10,2−．【详解】解：（

1）解：圆M的圆心为(3,1)，半径3r=.由题意知(0,1)A，(c,0)F，直线AF的方程为1xyc+=，即0xcyc+−=，由直线AF与圆M相切，得2|3|31ccc+−=+，解得22c=，2213ac=+=，故椭圆C的方程为2213x

y+=.（2）证明：由0APAQ=知APAQ⊥，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为1ykx=+，直线AQ的方程为11yxk=−+.联立方程组22113ykxxy=++=，整理得22(13)60kxkx++=，解得0x=或2613kxk−=+，

故点P的坐标为222613,1313kkkk−−++，同理，点Q的坐标为22263,33kkkk−++.所以直线l的斜率为22222223131313664313kkkkkkkkkk−−−−++=−−++，所以直线l的方程为2222163

433kkkyxkkk−−=−+++，即21142kyxk−=−.所以直线l过定点10,2−.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题．22.已知函数()sinxfxex

=.⑴求函数()fx的单调区间；⑵如果对于任意的[0,]2x，()fxkx总成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）()fx的单调递增区间为3(2,2)44kk−+，单调递减区间为37(2,2)44kk++()kZ；（2）(,1]−【解析】【详解】试题分析：⑴求出

函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令()()sinxgxfxkxexkx=−=−，要使()fxkx总成立，只需[0,]2x时min()0gx，对讨论,利用导数求的最小值.试题解析：(1)由于()sinxfxex=，所以'(

)sincos(sincos)2sin()4xxxxfxexexexxex=+=+=+.当(2,2)4xkk++，即3(2,2)44xkk−+时，'()0fx；当(2,22)4xkk+++，

即37(2,2)44xkk++时，'()0fx.所以()fx的单调递增区间为3(2,2)44kk−+()kZ，单调递减区间为37(2,2)44kk++()kZ.(2)令()()sinxgx

fxkxexkx=−=−，要使()fxkx总成立，只需[0,]2x时min()0gx.对()gx求导得()(sincos)xgxexxk=+−，令()(sincos)xhxexx=+，则()2cos0xhxex=

，((0,)2x)所以()hx在[0,]2上为增函数，所以2()[1,]hxe.对分类讨论：①当1k时，()0gx恒成立，所以()gx在[0,]2上为增函数，所以min()(0)0gxg==，即()0gx恒成立；②当2

1ke时，()0gx=在上有实根0x，因为()hx在(0,)2上为增函数，所以当0(0,)xx时，()0gx，所以0()(0)0gxg=，不符合题意；③当2ke时，()0gx恒成立，所以()gx在(0,)2上为减函数，

则()(0)0gxg=，不符合题意.综合①②③可得，所求的实数的取值范围是(,1]−.考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.