【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第8章 第7节 双曲线 含解析【高考】.doc，共(17)页，447.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-双曲线[考试要求]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.

了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲

线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若a＜c，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为两条射线；③若a＞c，则集合

P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点-2-顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，

a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(

c>a>0，c>b>0)3．等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相

互垂直．[常用结论]1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)

同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.(5)P是双曲线

上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝-3-t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．一、易错易误辨析(正确

的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)

的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()A．x2－y23

＝1B.x23－y2＝1C．x2－y22＝1D.x24－y23＝1A[设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0).所以a＝1，

c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y23＝1.]2．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．x28－y28＝1[设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．由题意得9－1＝λ，∴λ＝8.即x28－y28＝1.]3．若方程x22＋m－

y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．-4-(－∞，－2)∪(－1，＋∞)[因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.]4．双曲线x224－y225＝－1的实轴长为________，离心率为__

______，渐近线方程为________．1075y＝±5612x[双曲线y225－x224＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，∴实轴长为2a＝10，离心率e＝ca＝75，渐近线方程为y＝±5612x.]考点一双曲线的定义及其应用双曲线

定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，

运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[典例1](1)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于

________．(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在

C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.(1)6(2)x2－y28＝1(x≤－1)(3)34[(1)设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|

PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝17－1，故|PF2|＝6.-5-(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|

，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的

左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，所以co

s∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.][母题变迁]1．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？[解]不妨设点P在双曲线的

右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.2．将本例(3)

中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F1PF2的面积是多少？-6-[解]不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→，∴在△F1P

F2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2.点评：(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)

．(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)．[跟进训练]1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为()A．3B．16＋2C．

12＋2D．24B[由于2b＝2，e＝ca＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝24.由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝22，①|BF2|－|BF1|＝22，②①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1

|＋|BF1|)＝2，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋2，则△ABF2的周长为16＋2，故选B.]2．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上

的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．9[设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以-7-当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图像(图略)

，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.]考点二双曲线的标准方程求双曲线的标准方程的方法1．(2020·兰州诊断)经过点M(23，25)且与双曲线x23－y22＝1

有相同渐近线的双曲线方程是()A.x218－y212＝1B.x212－y218＝1C.y218－x212＝1D.y212－x218＝1D[设所求双曲线方程为x23－y22＝λ(λ≠0)，又双曲线过点M(23，25)，所以λ＝－6.即双曲线方程为y212－x218

＝1，故选D.]2．已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为()A.x24－y22＝1B.x23－y22＝1C.x24－y2

8＝1D．x2－y22＝1-8-D[由题意可知|PF1|＝43c3，|PF2|＝23c3，2b＝22，由双曲线的定义可得43c3－23c3＝2a，即c＝3a.又b＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y22＝1，故选D.]3．经过点P

(3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________．y225－x275＝1[设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解得m＝

－175，n＝－125.∴双曲线方程为y225－x275＝1.]点评：结合题设条件，灵活选择双曲线的设法，可以快速求解双曲线的标准方程．考点三双曲线的几何性质1.求双曲线渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近

线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2－y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2－x2b2＝0，得y＝±abx.2．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等

式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．求双曲线的渐近线方程[典例2－1](1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A

．y＝±2xB．y＝±3x-9-C．y＝±22xD．y＝±32x(2)(2020·广州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF

2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0(1)A(2)B[(1)法一：(直接法)由题意知，e＝ca＝3，所以c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a，即ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y

＝±bax＝±2x.法二：(公式法)由e＝ca＝1＋ba2＝3，得ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x.(2)假设点P在双曲线的右支上，则|PF1|＋|PF2|＝6a，|PF1|－|PF2|＝2a

，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos30°，∴c2－23a

c＋3a2＝0，∴e2－23e＋3＝0，∴e＝3，∴ca＝3，∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，∴ba＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，故选B.]点评：双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝ba＝c2a2－1＝e2－1，或e＝ca＝a2＋b2a2＝1＋k2.双曲

线的离心率-10-[典例2－2](1)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(

1,2)C．(2,1＋2)D．(1,1＋2)(2)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心

率为()A.2B.3C．2D.5(1)B(2)A[(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，则b2a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e

－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.(2)令双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝a2＋b2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，

则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝c2，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得c22＋c22＝a2，∴ca＝2，即离心率e＝2.故选A.]点评：解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几

何图形，多借助圆的几何性质，挖掘出隐含条件，如垂直关系、线段或角的等量关系等．[跟进训练]-11-1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率

为()A.5B．5C.2D．2A[由题意可知b＝2a，∴e＝ca＝1＋b2a2＝5，故选A.]2．(2020·衡水模拟)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋3

4a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A.1，233B.233，＋∞C．(1,2)D．(2，＋∞)A[由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±ba

x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝14a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝12a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得|ab|a2＋b2<12a，即c>2b，即c2>4b2，又

知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<43a2，所以e＝ca<233，又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为1，233.]3．(2020·安徽示范高中联考)如图，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0

)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线交于A，B两点．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±23xB．y＝±22xC．y＝±3xD．y＝±2x-12-A[由题

意可设|AB|＝3k，则|BF1|＝4k，|AF1|＝5k，则易得BF1⊥BF2，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，则可得|AF2|＝5k－2a，|BF2|＝8k－2a，再根据双曲线的定义得|BF2|－|BF1|＝2a，得k＝a，即|

BF1|＝4a，|BF2|＝6a，|F1F2|＝2c，在直角三角形BF1F2中，得16a2＋36a2＝4c2＝4(a2＋b2)，则ba＝23，双曲线的渐近线方程为y＝±23x，故选A.]备考技法6“设而不求”在解析几何中

的妙用“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.活用定义，转化坐标[技法展示1]在平面直角坐标系xOy

中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．y＝±22x[设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋p2＋yB＋p2

＝4×p2⇒yA＋yB＝p，由x2a2－y2b2＝1，x2＝2py可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以yA＋yB＝2pb2a2＝p，解得a＝2b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±22x.][

评析]设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF|＋|BF|＝4|OF|的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a，b的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程．[技法应用]抛物线y2＝4mx

(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则|PF||PA|的最小值为________．-13-22[设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋

m)2＋y2P＝(xP＋m)2＋4mxP，则|PF||PA|2＝(xP＋m)2(xP＋m)2＋4mxP＝11＋4mxP(xP＋m)2≥11＋4mxP(2xP·m)2＝12(当且仅当xP＝m时取等号)，所以|PF||PA|≥22，所以|PF||PA|的最小值为22.]妙

用“点差法”，构造斜率[技法展示2]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的标准方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y2

18＝1D.x218＋y29＝1D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)a2＋(y1＋y2)(y1－y2)b2＝0，所以kAB＝y1

－y2x1－x2＝－b2(x1＋x2)a2(y1＋y2)＝b2a2.又kAB＝0＋13－1＝12，所以b2a2＝12.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为x218＋y29＝1.]-14-[评析]

该题目属于中点弦问题，可设出A，B两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[技法应用]1．抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是__

______．(－2，2)[当k＝0时，显然成立．当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y21＝2x1，y22＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直

线BC的斜率kBC＝y1－y2x1－x2＝2y1＋y2＝22y0＝1y0，由对称性知kBC＝－1k，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y20<2x0，即(－k)2<2，所以－2<k<2，且k≠0.综上，k的取值范

围为(－2，2)．]2．已知双曲线x2－y22＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？[解]假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由

x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)2＝0，又x1＋x22＝1，y1＋y22＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝y1－y2x1－x2＝2，故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－

1.由y＝2x－1，x2－y22＝1，消去y得2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．-15-巧引参数，整

体代入[技法展示3]已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并

求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解](1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－65，所以M－65，45.(2)设直线AM的斜率为k

，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程y＝k(x＋2)，x24＋y2＝1，化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.则xA＋xM＝－16k21＋4k2，xM＝－xA－16k21＋4k2＝2－16k21＋4k2＝2－8k2

1＋4k2.同理，可得xN＝2k2－8k2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P－65，0.证明如下：因为kMP＝yMxM＋65＝k2－8k21＋4k2＋22－8k21＋4k2＋65＝5k4－4k2，同理可计算得kPN＝5k4－4k2.所以直线MN过

x轴上的一定点P－65，0.-16-[评析]第(2)问先设出AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程，利用根与系数的关系求出xM，在此基础上借助kAM·kAN＝－1，整体代入求出xN.[技法应用]已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l

1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值．[解]法一：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F12，0，设l1：x＝ty＋12，则直线l1的斜率为1t

，联立方程得y2＝2x，x＝ty＋12，消去x得y2－2ty－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.所以|AB|＝t2＋1|y1－y2|＝t2＋1·(y1＋y2)2－4y1y2＝t2＋1·4t2＋4＝2t2＋2，同理得，用1t替换t可得|DE

|＝2t2＋2，所以|AB|＋|DE|＝2t2＋1t2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝1t2，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.法二：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F12，0，不妨设l1的斜率为k，则l

1：y＝kx－12，l2：y＝－1kx－12.由y2＝2x，y＝kx－12，消去y得k2x2－(k2＋2)x＋k24＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1

＋x2＝1＋2k2.由抛物线的定义知，|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋2k2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋2k2＋2-17-＋2k2＝4＋2k2＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k2，即k＝±1时等号成立

，故|AB|＋|DE|的最小值为8.