【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第8章 第2节 两条直线的位置关系 含解析【高考】.doc，共(9)页，289.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-两条直线的位置关系[考试要求]1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线

l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，

y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线Ax＋By＋C

1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.[常用结论]直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包-2-括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行

于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2

＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l

1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．已知点(a,2)(a>0

)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.2B.2－2C.2－1D.2＋1C[由题意得|a－2＋3|2＝1，即|a＋1|＝2，又a>0，∴a＝2－1.]2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝_

_______.1[由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.]3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．－9[由y＝2x，x＋y＝3，得x＝1，y＝2.所以点(1

,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.]-3-4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．2[由两直线平行可知36＝4m，即m＝8.∴两直线方程

分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，则它们之间的距离d＝|7＋3|9＋16＝2.]考点一两条直线的位置关系由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋

B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2平行的充要条件A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2相交的充要条件A1B2≠A2B1l1与l2重合的充要条件A1B2＝A2B1且A1C

2＝A2C11．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当a＝1

时，显然l1∥l2，若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a

的值为()A.12B.32C.14D.34-4-D[由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝34.]3．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，

则实数m的取值集合为()A.－43，23B.43，－23C.－43，23，43D.－43，－23，23D[∵三条直线不能构成一个三角形，∴①当l1∥l3时，m＝23；②当l2∥l3时，m＝－43；③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角

形，由2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，得交点为－1，－13，代入mx－y－1＝0，得m＝－23.故选D.]点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”考点二两条直线的交点与距离问题1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方

程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且

x，y的系数对应相等．[典例1](1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()-5-A．1B．2C．3D．2(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________

．(3)已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为________．(1)B(2)x＋3y－5＝0或x＝－1(3)2x＋3y－1＝0[(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，

－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝|k·0＋(－1)·(－1)＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1＝k2＋2k＋1k2＋1＝1＋2kk2＋1.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝1＋2kk2＋1＝1＋2k＋1k，要

使d最大，需k＞0且k＋1k最小，∴当k＝1时，dmax＝2，故选B.法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋

1)的距离最大，且最大值为|AB|＝2，故选B.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－

3|，∴k＝－13，∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．(3)∵P(2,3)在已知的两条直线上，∴2a1＋3b1＝1，2a2＋3b2＝1.∴点Q1(a1，b1)，Q

2(a2，b2)是直线2x＋3y＝1上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＝1.]-6-点评：本例(3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理，学习中应反思这个解题要点．[跟进训练]1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0

与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295C[因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ

|的最小值为2910.]2．经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________．x＋2y－7＝0[由x＋y－4＝0，x－y＋2＝0，得x＝1，y＝3，∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x－

y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋C＝0，则1＋2×3＋C＝0，∴C＝－7.∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.]考点三对称问题对称问题的求解方法(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x′＝2a－x，y′＝2b－y

.(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，-7-则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋

B·b＋n2＋C＝0.(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．中心对称问题[典例2－1]过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．x＋4y

－4＝0[设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0

.]点评：点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解．轴对称问题[典例2－2](1)已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为

()A．(－2,4)B．(－2，－4)C．(2,4)D．(2，－4)(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．(1)C(2)

6x－y－6＝0[(1)设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则y－2x＋4×2＝－1，y＋22＝2×－4＋x2，解得x＝4，y＝－2，∴A′(4，－2)，由题意知，A′在直线BC上，∴BC所在直线方程

为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立3x＋y－10＝0，y＝2x，解得x＝2，y＝4，则C(2,4)．-8-(2)设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以

b－4a－(－3)·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.即M′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.]点评：在求对称点时，关键是抓住

两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．[跟进训练]1.如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从

点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．33B．6C．210D．25C[直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|C

D|＝62＋22＝210.]2．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.345[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7

,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3＋n2＝2×7＋m2－3，n－3m－7＝－12，-9-解得m＝35，n＝315，故m＋n＝345.]