【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第8章 第3节 圆的方程 含解析【高考】.doc，共(9)页，361.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-圆的方程[考试要求]1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(

y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心－D2，－E2，半径12D2＋E2－4F提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点－D2，－E2；当D2＋E2

－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(

y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用结论]1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆

相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.-2-一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(

2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey

＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材习题衍生1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2,3)，3B．(－2,3)，3C．(－2，－3)，13D．(2

，－3)，13D[圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.]2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝2C．

x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4A[AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，所以圆的方程为x2＋y2＝2.]3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－

3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB

|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.]4．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的

圆的方程为________．x2＋y2－2x＝0[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，-3-∴F＝0，2＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0.∴圆的方程为x2＋

y2－2x＝0.]考点一圆的方程求圆的方程的两种方法1．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．7[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E

2－4F＞0)，分别代入A，B，C三点坐标，得25＋5D＋F＝0，1－D＋F＝0，9＋9－3D＋3E＋F＝0，解得D＝－4，E＝－253，F＝－5.所以A，B，C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－253y－5＝0.因为D(a,3)也在此圆上，所以a2＋9－

4a－25－5＝0.所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.]2．(2020·包头青山区模拟)已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________．(x－3)2＋(y－2)2＝13[法一：(几何法)kAB

＝5－01－6＝－1，则AB的垂直平分线方程为y－52＝x－72，-4-即x－y－1＝0，联立方程x－y－1＝0，2x－7y＋8＝0，解得x＝3，y＝2，r＝(6－3)2＋(0－2)2＝13，故圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.法二：(

待定系数法)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意可得(6－a)2＋(0－b)2＝r2，(1－a)2＋(5－b)2＝r2，2a－7b＋8＝0，解得a＝3，b＝2，r2＝13，故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)

2＝13.]3．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________．(x－1)2＋(y＋1)2＝2[法一：由圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a，－a)．又∵圆C与直线x－y＝0

相切，∴半径r＝2|a|2＝2|a|.又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝|2a－3|2，∴d2＋622＝r2，即(2a－3)22＋32＝2a2，解

得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为－D2，－E2，半径r＝12D2＋E2－4F，∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－D2－E2＝0，即D＋E＝0，①又∵圆C与直线x－y＝0相切，-5-∴

－D2＋E22＝12D2＋E2－4F，即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②又知圆心－D2，－E2到直线x－y－3＝0的距离d＝－D2＋E2－32，由已知得d2＋622＝r2，∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2

－4F)，③联立①②③，解得D＝－2，E＝2，F＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆

，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4)5[由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程

为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．]点评：(1)几何法的关键是定圆心．(2)已知圆心位置常设圆的标准形式，已知圆上三点常设圆的一般式．(3)涉及圆的弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距和半径构成直角三角形求解．(

4)方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为A＝B＞0，C＝0，D2＋E2－4AF＞0.-6-考点二与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为

动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．斜率型、截距型、距离型最值问题[典例1－1]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(

2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相

切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.图1图2图3(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或

最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原-7-点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3

)．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.点评：与圆有关的斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

利用对称性求最值[典例1－2]已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.17A[P是x轴上

任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3(图略)，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋

|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.]点评：求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和

，一般要通过对称性解决．[跟进训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]A[圆心(2,0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|2＝22，

所以点P到直线的距离d1∈[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝12|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S-8-∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．

]2．(2020·南宁模拟)一束光线从点A(－3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是()A．4B．5C．52－1D．26－1C[根据题意，设A′与A关于x轴对称，且A(－3,2)，则A′的坐标为(－3，－2)，又由A′C＝25＋25＝52，则A′到圆C上

的点的最短距离为52－1.故这束光线从点A(－3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是52－1，故选C.]考点三与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的四种方法[典例2]已知

直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解](1)法一：(直接法)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，

所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：(定义法)设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,

0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．-9-所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝

2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

点评：此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．[跟进训练]1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ＞0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距

离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹围成区域的面积为()A．πB．2πC．3πD．4πD[以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(3,0)．设M(x，y)，依题意有x2＋y2(x－3)2＋y2＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4

)2＋y2＝4，则圆的面积为4π.故选D.]2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1A[设圆

上任一点为Q(x0，y0)，PQ中点为M(x，y)，根据中点坐标公式得，x0＝2x－4，y0＝2y＋2，因为Q(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.]