【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 含解析【高考】.doc，共(9)页，478.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1～2道小题，1道解答题，分值约占20～24分．2.考查内容(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基．(2)对直线与

圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考试要求]1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的

直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋

转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．(2)当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0，倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率-2-(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表

示，即k＝tan_α，倾斜角是π2的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称几何条件方

程适用条件斜截式纵截距，斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点，斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点，且与两坐标轴均不垂直的

直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面内所有直线都适用提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．[常用结论]1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系如图，当α∈0，π2时，斜率

k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．2．特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；(3)y轴的方程为x

＝0；(4)x轴的方程为y＝0.-3-一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(3)直线的截距就是直线与坐标

轴的交点到原点的距离．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)×(2)×(3)×

(4)√二、教材习题衍生1．已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33D[kAB＝3＋1－3－3＝－33，故选D.]2．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x－3y＋6＋3＝0B.3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋

6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0A[直线的斜率k＝tan30°＝33.由点斜式方程得y－2＝33(x＋1)，即3x－3y＋6＋3＝0，故选A.]3．在x轴、y轴上的截距分别是4，－3的直线方程为________．3x－4y－12＝0[由题意知，直线方程为x4＋y－3＝

1，即3x－4y－12＝0.]4．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________．π4或3π4[设直线的倾斜角为α，则|tanα|＝1，∴tanα＝±1.又α∈[0，π)，∴α＝π4或3π4.]-4-考点一直线的倾斜

角与斜率斜率取值范围的两种求法1．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y等于()A．－1B．－3C．0D．2B[由题意可知2y＋1－(－3)4－2＝tan3π4＝－1，解得y＝－3.故选

B.]2．若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是________．0，π4∪3π4，π[当－1≤k＜0时，3π4≤θ＜π，当0≤k≤1时，0≤θ≤π4.因此θ的取值范围是0，π4∪3π4，π.]3．直线l

过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3

]∪[1，＋∞)．]点评：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想．注意区分含有90°和不含90°两种情况的讨论．(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．考点二直线方程的求法-5-求直线方程的两种

方法[典例1]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)直线经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求

直线MN的方程．[解](1)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的

方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l的方程为y－2＝－(x

－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.-6-(2)由3x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3.又直线过点A(－3，

3)，所以所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.(3)设C(x0，y0)，则M5＋x02，y0－22，N7＋x02，y0＋32.因为点M在y轴上，所以5＋x02＝0，所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以y0＋32＝0，所以y0＝－3

，即C(－5，－3)，所以M0，－52，N(1,0)，所以直线MN的方程为x1＋y－52＝1，即5x－2y－5＝0.点评：当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，此时横、纵截距均不为零，可

直接用待定系数法求解．[跟进训练]已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．[解](1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，得BC的方程为y－

13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.-7-BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0

.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考点三直线方程的综合应用处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有

关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．[典例2]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，

求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．[解](1)证明：法一：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1.

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线恒过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经

过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，

0，B(0,1＋2k)．-8-依题意得－1＋2kk＜0，1＋2k＞0，解得k＞0.∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·(1＋2k)2k＝124k＋1k＋4≥12×

(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝1k，即k＝12，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.点评：本例(3)在求解中常忽略条件“－1＋2kk＜01＋2k＞0”的书写，进而导致S最值的求解失误．[跟进训练]1．已知直线l过点M(2,

1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当|MA→|·|MB→|取得最小值时，直线l的方程为________．x＋y－3＝0[设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，直线l的方程为xa＋yb＝1，所以2a＋1b＝

1.|MA→|·|MB→|＝－MA→·MB→＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a＋1b－5＝2ba＋2ab≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.]-9-2．已知直线l1：ax－2

y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.12[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的

面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，四边形的面积最小，故实数a的值为12.]