【文档说明】2024届高考二轮复习文科数学试题（老高考旧教材） 考点突破练3　三角函数与解三角形 Word版含答案.docx，共(7)页，70.539 KB，由小赞的店铺上传

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考点突破练3三角函数与解三角形1.(2023北京东城一模)已知函数f(x)=sinx+sinx+π3.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若π6是函数y=f(x)-f(x+φ)(φ>0)的一个零点,求φ的最小值.2.(2023辽宁辽阳一模)

已知函数f(x)=4sinωx+π3(ω>0)在π6,π上单调递减.(1)求ω的最大值;(2)若f(x)的图象关于点3π2,0中心对称,且f(x)在-9π20,m上的值域为[-2,4],求m的取值范围.3.(2023陕西西安八校联考二)设△ABC的内角A,B,C的对边

分别为a,b,c.已知cosA=2√77,cosB=5√714.(1)求C的值;(2)若a+b=12,求△ABC的面积.4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知√3bsinπ2+A=asinB.(1)求角A的大小;(2)若b,a,c成等比数列,判断△ABC的形状.5

.如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(30√3-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.6.(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的

对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为√3,D为BC的中点,且AD=1.(1)若∠ADC=π3,求tanB;(2)若b2+c2=8,求b,c.7.(2023四川乐山一模)设函数f(x)=cos2x+π3+sin2x.(1

)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积.若f𝐵2=-14,且b=√3,求√3cosAcosC+S的最大值.8.(2023四川内

江一模)已知函数f(x)=√3sinx·cosx-cos2x+12,x∈R.(1)已知f(x)=-12,求cos4x-π3的值;(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=1,c=3,若向量m=(-1,sinA)与n=(sinB

,2)垂直,求△ABC的周长.考点突破练3三角函数与解三角形1.解(1)∵f(x)=sinx+sinx+π3=sinx+12sinx+√32cosx=32sinx+√32cosx=√3sinx+π6,∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由题设y=f(x)-f(x+φ)=√

3sinx+π6-√3sinx+π6+φ,由π6是该函数零点可知,√3sinπ6+π6-√3sinπ6+π6+φ=0,即sinπ3+φ=√32.故π3+φ=π3+2kπ,k∈Z或π3+φ=2π3+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ,k∈Z或φ=π3+2kπ,k∈Z.∵φ>0,∴φ的最小值为π3.2.解

(1)由条件知x∈π6,π,则ωx+π3∈π𝜔6+π3,πω+π3,由正弦函数的性质可知π𝜔6+π3,πω+π3⊆π2+2kπ,3π2+2kπ,∴{π6𝜔+π3≥π2+2𝑘π,π𝜔+π3≤3π2+2𝑘π,k∈Z,∴ω∈1+12k,76+2k,k∈Z.又有π-π6=5π6

≤𝑇2=π𝜔,∴0<ω≤65,当k=0时,1≤ω≤76符合题意;当k≥1时,ω>65,不符合题意,∴ω的最大值为76.(2)∵f(x)的图象关于点3π2,0中心对称,∴3π2ω+π3=kπ(k∈Z),即ω=2𝑘3−29(k∈Z).由(1)得1≤ω≤76,∴ω=

109,则f(x)=4sin109x+π3,当x∈-9π20,m时,109x+π3∈-π6,109m+π3.∵f(x)在-9π20,m上的值域为[-2,4],∴sin109x+π3∈-12,1,则π2≤109m+π3≤7π6,解得3π20≤m≤3

π4,∴m的取值范围是3π20,3π4.3.解(1)由题意得A,B,C∈(0,π),又cosA=2√77,cosB=5√714,∴sinA=√217,sinB=√2114,∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-2

√77×5√714+√217×√2114=-12,∴C=2π3.(2)由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,得𝑎+𝑏sin𝐴+sin𝐵=𝑐sin𝐶,即123√2114=𝑐

√32,解得c=4√7,∴由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶=4√7√32,得a=8.∴△ABC的面积为S△ABC=12acsinB=12×8×4√7×√2114=8√3.4.解(1)∵√3bsinπ2+A=asinB,由正弦定理得√3sinBcosA=sinA

sinB,∵sinB≠0,∴√3cosA=sinA,∴tanA=√3,∵A∈(0,π),∴A=π3.(2)∵b,a,c成等比数列,∴a2=bc,又∵cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=𝑏2+𝑐2-𝑏𝑐2𝑏𝑐=12,∴b2+c2-bc=bc,∴(b-c)2=0,∴b=c,又

∵A=π3,∴△ABC为等边三角形.5.解(1)在△ABC中,AB=60,BC=30√3-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(30√3-30)2-2×60×(30√3-30)

·cos120°=5400.AC=30√6,∴小岛A到小岛C的最短距离是30√6海里.(2)由正弦定理,得𝐴𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵,∴30√6sin120°=60sin∠𝐴𝐶𝐵,解

得sin∠ACB=√22,在△ABC中,∵BC<AC,∴∠ACB为锐角,∴∠ACB=45°,∴∠CAB=180°-120°-45°=15°,由75°-15°=60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行.答:小岛A到小岛C的最短距离是30√6海里;游船

应该沿北偏东60°的方向航行.6.解(1)(方法一正弦定理+余弦定理)由题意可知S△ABC=12acsinB=√3,故acsinB=2√3.①在△ABD中,有𝐴𝐷sin𝐵=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐷𝐵,由∠ADC=π3,得∠ADB=2π3,所以1sin𝐵=𝑐sin2π

3,故csinB=√32.②将②式代入①式,得a=4.在△ADB中,由余弦定理得AB2=c2=AD2+BD2-2AD·BDcos2π3,即c2=12+22-2×1×2×(-12)=7,得c=√7.在△ABD中,cosB=𝐴𝐵2+𝐵𝐷2-𝐴𝐷2

2𝐴𝐵·𝐵𝐷=7+4-12√7×2=52√7>0,故B∈(0,π2),则sinB=√32√7,tanB=√35.(方法二余弦定理)因为AD为△ABC的中线,所以S△ABC=2S△ADC=2×12×𝑎2×1×sinπ3=√

34a=√3,故a=4.在△ADC中,由余弦定理知b2=12+22-2×1×2×cosπ3=3.在△ABD中,c2=AB2=12+22-2×1×2×cos2π3=7.在△ABC中,cosB=𝑐2+𝑎2-𝑏22𝑐𝑎=7+16

-32√7×4=52√7>0,故B∈(0,π2),有sinB=√32√7,tanB=√35.(2)(方法一)在△ABC中,由𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,得|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|2=14|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗|2=14(|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2+2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗).由余弦定理得2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐵𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗|2.故|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|2=14(2|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+2|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2),即AD2=12(b2+c2)-14a2,得a=2√3.由S△ABC=12bcsinA和b2+c2-a2=2bccosA,得S△ABC=14(b

2+c2-a2)tanA,得tanA=-√3<0,故A∈(π2,π),有A=2π3.又因为S△ABC=12bcsinA,所以bc=4.由b2+c2=8和bc=4,得b=c=2.(方法二几何法)过点A作AH⊥BC交BC于点H(图略).在△ABC,△ABD中

,由余弦定理得cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=(𝑎2)2+𝑐2-12𝑎𝑐,解得a2=2(b2+c2)-4.将b2+c2=8代入a2=2(b2+c2)-4中得a=2√3.S△ABC=12BC·AH=12×2√3AH=√3,则AH=1.又因为AD=1,所以点H与点D重合,即AD为边

BC的中垂线,所以b=c=√𝐴𝐷2+(𝑎2)2=√1+3=2.7.解(1)f(x)=cos2x+π3+sin2x=12cos2x-√32sin2x+1-cos2𝑥2=12−√32sin2x,∴函数f(x)的最大值为1+√32,最小正周期为π.(2)由(1)

得f(x)=12−√32sin2x,∵f𝐵2=12−√32sinB=-14,∴sinB=√32.∵B为锐角,∴B=π3.∵𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶=𝑏sin𝐵,∴a=2sinA,c=2sinC.∴S=12acsinB=√34ac=√3sinAs

inC.∴√3cosAcosC+S=√3(cosAcosC+sinAsinC)=√3cos(A-C).当A=C=π3时,原式有最大值√3.∴√3cosAcosC+S的最大值为√3.8.解(1)∵f(x)=√3sinxcosx-cos2x+12=√32sin2x-1

+cos2𝑥2+12=sin2x-π6,又f(x)=-12,∴sin2x-π6=-12,∴cos4x-π3=1-2sin22x-π6=1-2×14=12.(2)由(1)得f(C)=sin2C-π6=1,则

2C-π6=π2+2kπ,k∈Z,∴C=π3+kπ,k∈Z,又0<C<π,∴C=π3,又向量m=(-1,sinA)与n=(sinB,2)垂直,∴m·n=-sinB+2sinA=0,∴-sinB+2sinB+π3

=-sinB+212sinB+√32cosB=√3cosB=0,即cosB=0,又0<B<π,∴B=π2,则A=π-B-C=π6.由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=3√32=2√3,则a=2√3sinA=√3,b=2√3sinB=2√3,∴△ABC的周长

为3+√3+2√3=3+3√3.