【文档说明】2024届高考二轮复习文科数学试题（老高考旧教材） 考点突破练12　圆锥曲线的方程与性质 Word版含答案.docx，共(7)页，316.917 KB，由小赞的店铺上传

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考点突破练12圆锥曲线的方程与性质一、选择题1.(2023北京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,且点P的横坐标为4,则|PF|=()A.2B.3C.4D.52.(2023四川达州二模

)设F1,F2是双曲线C:𝑥24−𝑦23=1的左、右焦点,过点F2的直线与C的右支交于P,Q两点,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=()A.5B.6C.8D.123.(2023新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:𝑥2𝑎2+y2=1(a>1),C2:𝑥24+y2

=1的离心率分别为e1,e2.若e2=√3e1,则a=()A.2√33B.√2C.√3D.√64.(2022全国乙,文6)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2B.2√2C.3D.3√

25.(2023陕西西安名校2月联考)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为C上一点,若线段MF1的中点为(0,1),且△MF1F2的周长为8+4√2,

则C的标准方程为()A.𝑥216+𝑦28=1B.𝑥28+𝑦24=1C.𝑥216+𝑦24=1D.𝑥232+𝑦216=16.(2023河南洛阳三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上的

点,线段AF的垂直平分线经过点B0,5𝑝2,则|AF|=()A.2√3pB.√3pC.2√5pD.2p7.已知点F1,F2分别为双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M为C的左支上一点,|

MF1|=|F1F2|=2c,若圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,则C的离心率为()A.√3+12B.√3+1C.√5D.√5+128.已知椭圆E与双曲线C:𝑥22-y2=1有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个交点,且𝑃𝐹1⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,过右焦点F2作倾斜角为π6的直线交椭圆E于A,B两点,且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则λ可以取()A.4B.5C.7D.89.(2023内蒙古赤峰二模)双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P,若PF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.√2-1B.√2C.√2±1D.√2+110.设椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别

为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点(点M在第一象限).若|MN|=|F1F2|,|𝑁𝐹1||𝑀𝐹1|≥√33,则椭圆C的离心率e的最大值为()A.√6-12B.√6-1C.√3-12D.√3-111.(2023江西

鹰潭二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0),其焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于点A,B(其中点A在x轴上方),A,B两点在抛物线的准线上的射影分别为点M,N,若|MF|=2√3,|NF|=2,则p=()A.√3B.2C.3D.412.已知F2,F1是双曲线𝑥2𝑎2

−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为()A.3B.√3C.2D.√213.(2023广西南宁二模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F

1(-√3,0),F2(√3,0),离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点,且∠F1PF2=π3,若e2=√3,则椭圆C1的方程为()A.𝑥29+𝑦26=1B.𝑥26+𝑦23=1C.𝑥212+𝑦29=1D.𝑥24+y2=114.(2023湘豫名校联考二

)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的上顶点为A,直线l:9x-10y-57=0与椭圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为B,直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F,且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则椭圆C的离心率为()A.√1010B.√

55C.√55或2√55D.√1010或3√1010二、填空题15.(2022全国甲,文15)记双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值.16.(2023全国乙,文13)已知点A(1,√5)在

抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为.17.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),F1,F2分别为C的左、右焦点,P为椭圆C上一点,且△PF1F2的内心I(s,1),若△PF1F2的面积为2b,则椭圆的离心率e为.18

.(2023陕西安康二模)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)上有不同的三点A,B,P,且A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPA·kPB∈14,1,则离心率e的取值范围是.19.(2023山东滨州一模)已知椭圆C:𝑥2

𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过点F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,△ADE的周长是13,则|DE|=.20.已知直线l:x-√3y=0交双曲线Γ:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=

1(a>0,b>0)于A,B两点.已知点P是双曲线上不同于点A,B的任意一点,则kPA·kPB=(结果用a,b表示);过点A作直线l的垂线AC交双曲线Γ于点C,若∠ABC=π3,则双曲线Γ的离心率为.考点突破练12圆锥曲线的方程与性质1.D解析抛物

线y2=4x的准线方程为x=-1,由抛物线的定义,得|PF|=4+1=5.故选D.2.C解析由题意得a=2,∴|F1P|-|PF2|=2a=4,|F1Q|-|QF2|=2a=4,∴|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|+|F1Q|-(|PF2|+|QF2|

)=|F1P|-|PF2|+|F1Q|-|QF2|=8.故选C.3.A解析由题意,在C1:𝑥2𝑎2+y2=1中,a>1,b=1,c=√𝑎2-𝑏2=√𝑎2-1,∴e1=𝑐𝑎=√𝑎2-1𝑎.在C2:𝑥24+y2=1中,a=2,b=1,c=√𝑎2-𝑏2=√3,∴e2=�

�𝑎=√32.∵e2=√3e1,∴√32=√3×√𝑎2-1𝑎,解得a=2√33.故选A.4.B解析设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以𝑦𝐴

2=4.所以|AB|=√(𝑥𝐴-3)2+𝑦𝐴2=2√2.5.A解析因为△MF1F2的周长为8+4√2,所以2a+2c=8+4√2,则a+c=4+2√2,又F1(-c,0),MF1的中点为(0,1),所以M的坐标

为(c,2),故𝑐2𝑎2+4𝑏2=1,则𝑏2𝑎=2,结合a2=b2+c2,解得a=4,b=c=2√2,所以椭圆C的标准方程为𝑥216+𝑦28=1.故选A.6.D解析抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F0,𝑝2,设A(x1,y1),线段AF的垂直平分线经

过点B0,5𝑝2,所以|BF|=|BA|,即52p-𝑝2=√𝑥12+(𝑦1-5𝑝2)2,所以4p2=𝑥12+(𝑦1-5𝑝2)2,因为𝑥12=2py1,则4𝑦12-12py1+9p2=

0,(2𝑦1-3𝑝)2=0,解得y1=3𝑝2,根据抛物线定义可得|AF|=y1+𝑝2=2p.故选D.7.A解析作F1D⊥MF2,垂足为D,因为圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,所以

|DF1|=c.因为|F1F2|=2c,所以|DF2|=√3c,又|MF1|=|F1F2|,所以|MF2|=2√3c,由双曲线的定义得|MF2|-|MF1|=2a,即2√3c-2c=2a,所以e=𝑐𝑎=1√3-1=√3+12,故选A.8.D解

析设椭圆E的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),由双曲线C:𝑥22-y2=1,得焦点F1(-√3,0),F2(√3,0),可得a2-b2=3.因为𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即PF1⊥PF2,设|P

F1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,|m-n|=2√2,m2+n2=|F1F2|2=12,可得4a2=12+4=16,解得a=2,b=1,则椭圆的方程为𝑥24+y2=1.过右焦点F2作倾斜角为π6的直线方程为y=√33x-1,联立直线方程和椭圆方程,消去y可得

7x2-8√3x=0,解得x1=0,x2=8√37,可得交点为(0,-1),(8√37,17),可得|AB|=√(0-8√37)2+(-1-17)2=167,|AF2|=√3+1=2或|AF2|=√(8√37-√3)2+(17-0)2=

27,则λ=|𝐴𝐵||𝐴𝐹2|=87或8.故选D.9.D解析设P(x0,y0),因为PF2垂直于x轴,∠PF1F2=45°,所以|F1F2|=|PF2|,x0=c,则𝑐2𝑎2−𝑦02𝑏2=1,解得y0=𝑏2𝑎,故

|PF2|=𝑏2𝑎,所以𝑏2𝑎=2c,结合b2=c2-a2,可得c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-1=0,解得e=1±√2,1-√2舍去,故离心率为√2+1.故选D.10.D解析依题意作图:由于|MN|=|F1F2|,并且线段MN,F1F2互相平分,∴四边形MF1NF2是

矩形,其中∠F1MF2=π2,|NF1|=|MF2|.设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,根据勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即x2+(2a-x)2=4c2,整理得x2-2ax+2b2=0,由于点M在第一象

限,则x<a,即x=a-√𝑎2-2𝑏2,由题意|𝑁𝐹1||𝑀𝐹1|=|𝑀𝐹2||𝑀𝐹1|≥√33,则∠MF1F2≥π6,则|MF2|≥12|F1F2|,a-√𝑎2-2𝑏2≥c,整理得2a2-2ac-c2≥0,e2+2e-2≤0,解得0<e≤√3-1,即e的最大值为√

3-1.11.A解析如图,由题意知,|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,则∠AMF=∠AFM,∠BFN=∠BNF.由AM∥BN∥x轴,可知2∠AFM+2∠BFN=π,则∠MFN=π2.∴|MN|2=|NF|2+|MF|2=16,∴|MN|=4.∵△MNF的面积S△

MNF=12p·|MN|=12|MF|·|NF|=2√3,∴p=√3.故选A.12.C解析由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=𝑎𝑏x,则点F2到渐近线的距离为𝑏𝑐√𝑎2+𝑏

2=b.设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.

∴c=2a,∴e=2.故选C.13.A解析设椭圆C1:𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏12=1(a1>b1>0),双曲线C2:𝑥2𝑎22−𝑦2𝑏22=1(a2>0,b2>0).如图,因为椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点,∴c1=c2=√3,∵e2=√3,∴a2=𝑐2𝑒2=1,b2

=√𝑐22-𝑎22=√2,∴双曲线C2的方程为x2-𝑦22=1.由余弦定理|𝐹1𝐹2|2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,得12=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-|PF1|·|PF2|,又∵|P

F1|-|PF2|=2a2=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a1=6,∴a1=3,b1=√𝑎12-𝑐12=√6,∴椭圆C1的方程为𝑥29+𝑦26=1.故选A.14.D解析(方法一)

设F(c,0),A(0,b),P(x1,y1),Q(x2,y2),B(x0,y0).因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即(c,-b)=2(x0-c,y0).所以x0=3𝑐2,y0=-𝑏2,即B3𝑐2,-𝑏2.因为点B为

线段PQ的中点,所以x1+x2=3c,y1+y2=-b.又P,Q为椭圆上的点,所以{𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1,两式相减得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)𝑎2+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)𝑏

2=0,所以直线l的斜率kPQ=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑏2𝑎2·𝑥1+𝑥2𝑦1+𝑦2=-𝑏2𝑎2·3𝑐-𝑏=910,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c

2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.所以𝑏𝑐=3或𝑏𝑐=13,当𝑏𝑐=3时,离心率e=𝑐𝑎=√𝑐2𝑏2+𝑐2=√1(𝑏𝑐)2+1=√1010,当𝑏𝑐=13时,e=√1(𝑏𝑐)2+1=3√1010.故选D.(方法二)如

图,连接OB,过点F作FE∥BO交y轴于点E,设直线PQ的斜率是kPQ,直线OB的斜率是kOB,则kPQ·kOB=-𝑏2𝑎2.由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗知点F为AB的三等分点,所以点E也为OA的三等分点,则E0,𝑏3.设直线EF的斜率是kEF,所以kOB=kEF=0-𝑏

3𝑐-0=-𝑏3𝑐,kPQ=910,则有-𝑏3𝑐×910=-𝑏2𝑎2,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.所以𝑏𝑐=3或𝑏𝑐=13.当𝑏

𝑐=3时,离心率e=𝑐𝑎=√𝑐2𝑏2+𝑐2=√1(𝑏𝑐)2+1=√1010,当𝑏𝑐=13时,e=√1(𝑏𝑐)2+1=3√1010.故选D.15.2(答案不唯一,只要1<e≤√5即可)解析由题意知,双曲线C的渐近线方

程为y=±𝑏𝑎x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需𝑏𝑎≤2即可.由𝑏𝑎≤2,得𝑐2-𝑎2𝑎2≤4,所以e2≤5,故1<e≤√5.16.94解析因为点A(1,√5)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=52,所以抛物

线C的准线方程为x=-𝑝2=-54,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+54=94.17.35解析由题意,△PF1F2的内心I(s,1)到x轴的距离为内切圆的半径,即r=1,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c,𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12(|P

F1|+|PF2|+|F1F2|)r=a+c=2b,所以(a+c)2=4(a2-c2),所以5e2+2e-3=0,解得e=35或e=-1(舍去).18.√52,√2解析设P(x0,y0),A(x1,y1),∵A,B关于原点对称,∴

B(-x1,-y1).∴kPA=𝑦0-𝑦1𝑥0-𝑥1,kPB=𝑦0+𝑦1𝑥0+𝑥1,∴kPA·kPB=𝑦02-𝑦12𝑥02-𝑥12.又点P,A都在双曲线上,∴𝑥02𝑎2−𝑦02𝑏2=1,𝑥12𝑎2−𝑦12𝑏2=1,两式相减得𝑥02-𝑥12�

�2=𝑦02-𝑦12𝑏2,∴𝑦02-𝑦12𝑥02-𝑥12=𝑏2𝑎2,∴kPA·kPB=𝑏2𝑎2∈14,1.又𝑏2𝑎2=𝑐2-𝑎2𝑎2,∴14<𝑐2-𝑎2𝑎2<1,∴14<e2-1<

1,解得√52<e<√2.∴e的取值范围是√52,√2.19.6解析如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为12,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=

|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|.则△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+

|EF1|=4a=13,所以a=134,c=138,而∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=√33(x+c).由{𝑦=√33(𝑥+𝑐),𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1,消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,Δ>0显然成立.设D

(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-8𝑐13,x1x2=-32𝑐213,∴|DE|=√[1+(√33)2][(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2]=√43[(-8𝑐13)2+4×32𝑐213]=48𝑐13=6.20

.𝑏2𝑎2√2解析设A(m,n),B(-m,-n),P(x0,y0),可得𝑚2𝑎2−𝑛2𝑏2=1,𝑥02𝑎2−𝑦02𝑏2=1,两式相减可得𝑚2-𝑥02𝑎2=𝑛2-𝑦02𝑏2,即有kPA

·kPB=𝑛-𝑦0𝑚-𝑥0·𝑛+𝑦0𝑚+𝑥0=𝑛2-𝑦02𝑚2-𝑥02=𝑏2𝑎2.直线AB的方程为x-√3y=0,其斜率为√33,倾斜角为π6,过B作直线BE与x轴平行,可得∠ABE=π6,由AB⊥AC,可得直线AC的倾斜角为2π3,由∠AB

C=π3,得直线BC的倾斜角为5π6,由kPA·kPB=𝑏2𝑎2的结论,可得AC,BC的斜率之积为𝑏2𝑎2,则有tan2π3·tan5π6=(-√3)×(-√33)=𝑏2𝑎2=1,所以e=𝑐𝑎=√

1+𝑏2𝑎2=√2.