【文档说明】安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学（理）试题 含答案.doc，共(9)页，1.582 MB，由管理员店铺上传

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舒城中学2020—2021学年度第二学期开学考高二理数满分：150分时间：120分钟一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．下列判断正确的是（）A．命题:33p，:34q，则pq为真命题B．命题“45”是

命题“tan1”的必要不充分条件C．命题“对于任意的实数x，使得20x”的否定是“存在一个实数0x，使得020x”D．若命题“pq”为假命题，则命题p，q都是假命题2．已知复数z满足(1)2zii+=，则复数z=（）A．1i+B．1i−+C．1i−−D

．1i−3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．32C．53D．854．公差不为0的等差数列{}na的部分项123,,,kkkaaa构成等比数列{}nka，且11k=，22k=，36k=，则4

k（）A．20B．22C．24D．285．已知定义域为4,22aa−−的奇函数()32016sin2fxxxb=−++,则()()fafb+=（）A．0B．1C．2D．46．如图所示，点P是函数()()2sin,0yxxR=+

的图象的一个最高点，M,N是图象与x轴的交点.若0PMPN=，则的值为（）A.8B.4C．4D．87．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC

的面积222221()22abcSab+−=−根据此公式，若cos(2)cos0aBbcA+−=，且2224bca+-=，则ABC的面积为（）A．6B．23C．3D．328．已知正四面体ABCD中,4,4AEABCF

CD==则直线DE与BF所成角的余弦值为（）A．313B．413C．313−D．413−9．设ABCD，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC−体积的最大值为（）A．123B．183C．243D．54310．已知(,

)Pxy是直线)0(04=++kykx上一动点，PAPB、是圆C：0222=−+yyx的两条切线，AB、是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．22B．2C．3D．21211．在直三棱柱111ABCABC−中，2BAC=，1

1ABACAA===．已知Ｇ与Ｅ分别为11AB和1CC的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GDEF⊥，则线段DF的长度的取值范围为（）A．1,15B.1,25C．)1,2D．1,2512．设1F，2F分别是椭圆2222

1(0)xyCabab+=：的左、右焦点，直线l过1F交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足1132FCAF=且1230CFF=，则椭圆的离心率为（）A．16B．13C．36D．33二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设,xy满足约束条件2102700xyxyx−−+−，则3zxy=+的最大值为___________.14．以抛物线28yx=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以3yx=为渐近线的双曲线方程是___________.15．有一习题：“求证方

程345xxx+=只有一个解”.证明如下：“化为34155xx+=，设()34155xxfx=+−，则()fx在R上单调递减，且()20f=，所以原方程只有一个解2x=”。解题思想是转化为函数.类比上述思想，不等式()()362832322

xxxx−++−的解集是__________.16．如右图，抛物线xyC4:21=和圆()11:222=+−yxC，直线l经过1C的焦点，依次交21,CC于DCBA,,,,四点，则ABCD的值为.三、解答题：本大题共6小题

，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．（本题10分）在等差数列na中，31=a，其前n项和为nS，等比数列nb的各项均为正数，11=b，公比为q，且1222=+Sb，22bSq=.（1）求na与nb；（2）设数列nc满足1nncS=，求nc

的前n项和nT.18．（本题10分）已知关于x的一元二次函数.14)(2+−=bxaxxf（1）设集合{1,2,3}P=和{1,1,2,3,4}Q=−，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数)(xfy=在区间[1,)+上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域

−+0008yxyx内的随机点，求函数)(xfy=在区间[1,)+上是增函数的概率。19．（本题12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知222bcabc+=+.（1）

求角A的大小；（2）若2a=，求2bc−的取值范围.20．（本题13分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中//ADBC，ABAD⊥，122ABADBC===，4PA=，E为棱BC上的点，且14BEBC=.（1）求证：DE⊥平

面PAC；（2）求二面角APCD−−的正弦值；（3）设Q为棱CP上的点(不与C，P重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQCP的值.21．（本题12分）已知动点M到直线20x+=的距离比到点()1,0F的距离大1.（1）求动点M所在的

曲线C的方程；（2）已知点()1,2P，A､B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点.22．（本题13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22且经过点61(,)22．（1）求椭

圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于M、N两点，B为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）舒中高二开学考理数第4页（共4页）舒城中学2020—2021

学年度第二学期开学考高二理数满分：150分时间：120分钟一、单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．下列判断正确的是（）A．命题:33p，:34q，则pq为真命题B．命题“45”是命题“t

an1”的必要不充分条件C．命题“对于任意的实数x，使得20x”的否定是“存在一个实数0x，使得020x”D．若命题“pq”为假命题，则命题p，q都是假命题【答案】A对于A，命题:33p是真命题，:34q是真命题，则pq

为真命题，正确；对于B，当()tan-30031=时，30045=−，命题“45”不是命题“tan1”的必要不充分条件，错误；对于C，命题“对于任意的实数x，使得20x”的否定是“存在

一个实数0x，使得020x”，错误；对于D，若命题“pq”为假命题，则命题p，q都是假命题或者两个命题中有一个是假命题一个是真命题，错误；故选：A.2．已知复数z满足(1)2zii+=，则复数z=（）A．1i+B．1i−+C．1i−−D．1i−【答案】D解：由(1)2zi

i+=得()()()()21211111iiiziiiiii−===−=+++−，所以1zi=−.故选：D.3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．32C．53D．85【答案】C当0k=时进入循环，1k=，1121S+==，再进入循环，2k=，21322S+==，再进

入循环，3k=，3152332S+==，此时33否，此时输出的S值是53.故选：C4．公差不为0的等差数列{}na的部分项123,,,kkkaaa构成等比数列{}nka，且11k=，22k=，36k

=，则4k为（）A．20B．22C．24D．28[来源:学科网]【答案】B5．已知定义域为4,22aa−−的奇函数()32016sin2fxxxb=−++,则()()fafb+=（）A．0B．1C．2D．4【答

案】A6．如图所示，点P是函数()()2sin,0yxxR=+的图象的一个最高点，M,N是图象与x轴的交点.若0PMPN=，则的值为（）A.8B.4C.4D.8【答案】C7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，

c，则ABC的面积222221()22abcSab+−=−.根据此公式，若cos(2)cos0aBbcA+−=，且2224bca+-=，则ABC的面积为（）A．6B．23C．3D．32【答案】C由正弦定理边角互化可知cos(2)cos0aBbcA+−=化

简为()sincossin2sincos0ABBCA+−=，sincossincos2sincosABBACA+=即()sinsin2sincosABCCA+==sin0C，1cos2A=,222141cos2222bc

aAbcbc+−===，解得：4bc=，根据面积公式可知()22222111643222bcaSbc+−=−=−=.故选：C8．已知正四面体ABCD中,4,4AEABCFCD==则直线DE与BF所成角的余弦值为（）A.313B.413C.313−D.

413−【答案】B9．设ABCD，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC−体积的最大值为（）A．123B．183C．243D．543【答案】B10．已知

(,)Pxy是直线)0(04=++kykx上一动点，PAPB、是圆C：0222=−+yyx的两条切线，AB、是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A.22B.2C.3D.212【答案】B11．在直三棱柱111ABCABC−中，2BAC=，11ABACAA===.已知Ｇ与Ｅ分

别为11AB和1CC的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若GDEF⊥，则线段DF的长度的取值范围为（）A.1,15B.1,25C.)1,2D.1,25【答案】A12．设1F，2F分别是椭圆22221(0)xyCabab

+=：的左、右焦点，直线l过1F交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足1132FCAF=且1230CFF=，则椭圆的离心率为()A．16B．13C．36D．33【答案】D因为F1是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点，直线l过F1交y

轴于C点所以()1,0Fc−，即1OFc=因为1230CFF=，所以1233cCF=又因为1132FCAF=所以1439cAF=在三角形AF1F2中，1439cAF=，122FFc=，24329cAFa=−，根据余弦定理可得222112212112c

os2AFFFAFAFFAFFF+−=，代入得()()222434322993243229cccacc+−−−=，化简得3ac=所以离心率为33cea==所以选D二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,xy满足约束条件2102700x

yxyx−−+−，则3zxy=+的最大值为___________.【答案】9作出线性约束条件2102700xyxyx−−+−所表示的平面区域，如图由3zxy=+得3yx

z=−+，作03:lyx=−沿着可行域的方向平移可得过点A时，3zxy=+取得最大值，由210270xyxy−−=+−=可得23xy==，所以()2,3A，所以max3239z=+=，故答案为：914．以抛物线28yx=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以3yx=为渐近线的双曲线方程是

___________.【答案】2213yx−=15．有一习题：“求证方程345xxx+=只有一个解”.证明如下：“化为34155xx+=，设()34155xxfx=+−

，则()fx在R上单调递减，且()20f=，所以原方程只有一个解2x=”.解题思想是转化为函数.类比上述思想，不等式()()362832322xxxx−++−的解集是__________.【答案】()1,2,2−−+由不等式()()3628323

22xxxx−++−＞得()()()3322223232xxxx++++设函数()3fxxx=+，即()()2232fxfx+由()2310fxx=+，所以()fx在R上单调递增.根据条件得2232xx+，解得2x或12x−故答案为：()1,2,2−−

+16．如右图，抛物线xyC4:21=和圆()11:222=+−yxC，直线l经过1C的焦点，依次交21,CC于DCBA,,,,四点，则ABCD的值为.答案为：1三、解答题本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．（本题10分）在等差数列n

a中，31=a，其前n项和为nS，等比数列nb的各项均为正数，11=b，公比为q，且1222=+Sb，22bSq=.（1）求na与nb；（2）设数列nc满足1nncS=，求nc的前n项和nT.17.（1）设na的公差为d.因为

==+,,122222bSqSb所以+==++．，qdqdq6126解得3=q或4−=q（舍），3=d.故()3313nann=+−=，13−=nnb.（2）由（1）可知，()332nnnS+=，所以()1221

13331nncSnnnn===−++.故()21111121211322313131nnTnnnn=−+−++−=−=+++….18.（本题10

分）已知关于x的一元二次函数.14)(2+−=bxaxxf（1）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数)(xfy=在区间[),1+上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域−+0008yxyx内的随机点

，求函数),1[)(+=在区间xfy上是增函数的概率。18.解：（Ⅰ）∵函数14)(2+−=bxaxxf的图象的对称轴为,2abx=要使14)(2+−=bxaxxf在区间),1[+上为增函数，当且仅当a>0且abab2,12即若a

=1则b=－1；若a=2则b=－1，1；若a=3则b=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为51153=（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当ab2且a>0时，函数),1[14)(2++−=在区是间bxaxxf上为增函

数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)00ababab+−构成所求事件的区域为三角形部分。由),38,316(208得交点坐标为==−+abba∴所求事件的概率为31882138821==P19．（本题12分

）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知222bcabc+=+.（1）求角A的大小；（2）若2a=，求2bc−的取值范围.【答案】（1）3A=；（2）()2,4−.【详解】（1）2221cos222bcabcAbcbc+−===，()0,A3A=（2）3

A=，2a=，由正弦定理，4sinsinsin3bcaBCA===，4sin3bB=，4sin3cC=，()()()4422sinsin2sinsin33bcBCACC−=−=+−，()42sincos2cossinsin4cos3ACACCC=+−=；

又23BC+=，故203C，1cos12C−，()22,4bc−−.20．（本题13分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中//ADBC，ABAD⊥，122ABADBC===，4PA=，E为棱BC上的点，且14BE

BC=.（1）求证：DE⊥平面PAC；（2）求二面角APCD−−的正弦值；（3）设Q为棱CP上的点(不与C，P重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQCP的值.【答案】（1）证明见解析；（2）55；（3）23.（1）因为PA⊥平面ABCD，ABÌ平面ABCD

，AD平面ABCD，所以PAAB⊥，PAAD⊥，又因为ABAD⊥，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,2,0)D，(0,0,4)P，(2,1,0)E，所以(2,1,0)DE=−，(

2,4,0)AC=，(0,0,4)AP=，因为221400DEAC=−+=，0DEAP=，所以DEAC⊥，DEAP⊥，又APACA=，AP平面PAC，AC平面PAC，所以DE⊥平面PAC.（2）由（

1）可知DE⊥平面PAC，(2,1,0)DE=−可作为平面PAC的法向量，设平面PCD的法向量(,,)nxyz=因为(0,2,4)PD=−uuur，(2,4,4)PC=−uuur.所以00nPDnPC

==，即2402440yzxyz−=+−=，不妨设1z=，得(2,2,1)n=−.22222(2)(1)2025cos,52(1)(2)21DEnDEnDEn−+−+===−+−−++，又由图示知二面角APCD−−为锐角，所以二面角APCD−−的正弦值为

55.（3）设CQCP=(01)，即(2,4,4)CQCP==−−uuuruur，(2,1,0)DE=−，所以(22,44,4)Q=−−，即(2,43,4)QE=−−uuur，因为直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，

所以2222222(43)05cos52(1)(2)(43)(4)QEDEQEDEQEDE−−+===+−+−+−，即2362493−+=，解得23=，即23CQCP=.21．（本题12分）已知动点M到直线20x+=的距离比到点()1,0F的距离大1.（

1）求动点M所在的曲线C的方程；（2）已知点()1,2P，A､B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点.【答案】（1）24yx=；（2）直线过定点()1,0−，证明见解析.（1）设(,)Mxy，动点M到直线20x+=的距离比到点()1,0F的距

离大1即动点M到直线10x+=的距离等于到点()1,0F的距离，由抛物线定义可得曲线C的方程为24yx=.（2）证明：设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为2k−，所以直线PA的方程为2(1)ykx−=−，由（1）抛物线方程为24yx=，所以

22(1)4ykxyx−=−=，整理得24804yykk+−−=，解得()22242,kkAkk−−，直线PB的方程为()22(1)ykx−=−−，与抛物线联立()222(1)4ykxyx−=−−=，整理

得()22440kyyk−−+=，解得()222,22kkBkk−−,所以()()()22222422222222ABkkkkkkkkkkkkk−−−−==−+−−−，所以直线AB的方程为()()222222222kkkkkkkyxk−−−+

−=−−，整理得()()22122kkkyxk−−+=+，所以直线AB过定点()1,0−.22．（本题13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于M、N

两点，B为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）22.解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则，解之得：a

2＝2，b2＝c2＝1，∴椭圆C的标准方程为．（2）假设存在直线l使得点F（1，0）是△BMN的垂心，∵B（0，1），F（1，0），∴kBF＝﹣1，∵F是△BMN的垂心，∴BF⊥MN，从而kMN＝1，∴设直线

l的方程为y＝x+m．由，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，，△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，即m2＜3，∵NF⊥BM，则，又＝（1﹣x2，﹣y2）•（x1，y1﹣1）＝x1

﹣x1x2﹣y1y2+y2＝x1﹣x1x2﹣（x1+m）（x2+m）+（x2+m）＝，∴，化简可得：3m2+m﹣4＝0，∴m＝1或，当m＝1时点B为直线l与椭圆的交点，不合题意；当时，经检验与题意相符．

∴当直线l的方程为时，点F是△BMN的垂心．