【文档说明】内蒙古集宁一中西校区2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.276 MB，由小赞的店铺上传

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集宁一中西校区2019-2020学年第二学期期中考试高二年级理科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、单选题1.已知集合12log1Axx=−，1,0,1,2,3B=−则AB=（）A.1,0,1−B.{}1,0,1,2-C.1D.0,1【答案】C【解析】【分析】利用对

数函数的单调性对集合A化简得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【详解】12log1Axx=−＝1122loglog2xx{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故选C【点睛】考查对

数不等式的解法，以及集合的交集及其运算．2.已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝（）A.2B.5C.5D.52【答案】C【解析】【分析】利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出.【详解】∵(1＋2i)z＝

－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝2222(3)412−++＝5.故选：C.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，以及复数模的求法，是基础题.3.下列说法正确的有（）①在

回归分析中，可以借助散点图判断两个变量是否呈线性相关关系．②在回归分析中，可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．③在回归分析模型中，相关系数的绝对值越大，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程0.110ˆyx=+中，当解释变量x每增加1个单位时，预报

变量y增加0.1个单位．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据散点图的应用、利用“残差”的意义、相关系数的作用、回归方程的意义，即可得出正确的判断.【详解】对于①，可以借助散点图直观判断两个变量是否呈线性相关关系，所以正确；对于②，可用残差的平方

和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以正确；对于③，相关系数的绝对值越大，只能说明两个变量具有较强的相关性，不能作为分析模型的拟合效果好坏的依据，应该是相关指数越大，模型的拟合效果越好，所以错误；对于④，在回归直线方程0.110ˆyx=+中，当解释变量x

每增加1个单位时，预报变量y增加0.1个单位，所以正确．故选：C.【点睛】本题考查回归分析以及线性回归直线方程，要注意区分“相关系数”与“相关指数”，属于基础题.4.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直

径（单位：mm）服从正态分布()280,5N，则直径在(75,90内的概率为（）附：若()2~,XN，则()0.6826PX−+=„，()220.9544PX−+=„A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544【答案】C【解析】【分析】根据

服从的正态分布可得80=，5=，将所求概率转化为()2PX−+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，80=，5=，则()75850.6826PX=„，()70900.9544PX

=„，所以()()185900.95440.68260.13592PX=−=„，()75900.68260.13590.8185PX=+=„.故果实直径在(75,90内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的

概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.5.在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数2R依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数2R为()A.0.95B.0.81C.0.74D.0.36【答案】A【解析】【分析】比较相关指数

2R的大小，越接近于1，模型的拟合效果越好．【详解】在两个变量x与y的回归模型中，它们的相关指数2R越接近于1，模型的拟合效果越好，在题目所给的四个数据中0.95是最大的相关指数，所以选A．【点睛】本题考查相关指数，在回归

模型中，相关指数2R越接近于1，模型的拟合效果越好，属于简单题．6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有4个白球，2个红球．从袋中不放回地逐个取球，取完红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量X，则(3)PX==（）A.21

5B.25C.110D.120【答案】A【解析】【分析】根据排列组合知识，结合古典概型的概率公式，即可求解.【详解】最后一次取到的一定是红球，前两次是一红球一白球，112422362(3)15CCAPX

A===，故选：A.【点睛】本题考查随机变量的概率，应用排列组合求古典概型的概率，属于基础题.7.函数sincosyxxx=+的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为()01

f=，所以排除A,C,当函数在y轴右侧靠近原点的一个较小区间()0,a时，()sincossincos0fxxxxxxx=+−=，函数单调递增，故选D.考点：函数图象与函数性质．8.在极坐标系中，若点3,,3,

36AB−，则AOB的面积为（）A.34B.3C.94D.9【答案】C【解析】AOB的面积为1π95π933sin(π)sin()263264+−==,选C.9.过椭圆C：2co

s3sinxy==（为参数）的右焦点F作直线l：交C于M，N两点，MFm=，NFn=，则11mn+的值为（）A.23B.43C.83D.不能确定【答案】B【解析】【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得

焦点坐标，写出直线l的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11mn+的值.【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143xy+=，故焦点()1,0F，设直线l的参数方程为1cossinxtyt=+=（为参数），代入椭圆

方程并化简得()223sin6cos90tt++−=.故1212226cos9,03sin3sintttt+=−=−++（12,tt异号）.故11mnmnmn++=()212121212124tttttttttt+−−===43.故选B.

【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.函数332yxxk=−+有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A

.()1,+B.()1,1−C.(),1−−D.1,1−【答案】B【解析】【分析】先对函数求导,利用导数研究出函数的单调性与极值,再利用零点个数确定极值正负,据此列式求解即可.【详解】332yx

xk=−+,则2333(1)(1)yxxx=−=+−,令01yx−或1x,令011yx−,因此函数332yxxk=−+在(,1)−−上单调递增,在(1,1)−上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以函

数在1x=−有极大值22yk=+,在1x=时有极小值22yk=−+,因为函数332yxxk=−+有三个不同的零点,所以22011220kkk+−−+,故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零

点问题,涉及函数的单调性与极值,难度不大.11.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答

案】A【解析】【详解】试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲．考点：推理与证明．12.若函数()212ln2fxxxax=−

+有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A.1aB.10a−C.1aD.01a【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】()fx的定义

域是（0，+∞），()222axxafxxxx−+=−+=，若函数()fx有两个不同的极值点，则()22gxxxa=−+在（0，+∞）由2个不同的实数根，故144024402aax=−−−=，解得：01a，故

选D．【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．第Ⅱ卷（非选择题)三、填空题（满分20分）13.设函数()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f−=，当0x时，()()0xfxfx−，则使得()0fx成立的x的取值范围是．【答案】（

－∞，－1）∪（0,1）【解析】【详解】解：设()()fxgxx=，则()gx的导数为：2()()()xfxfxgxx−=，当0x时总有()()xfxfx成立，即当0x时，()gx恒小于0，当0x时，函数()()fx

gxx=为减函数，又()()()()()fxfxfxgxgxxxx−−−====−−，函数()gx为定义域上的偶函数又(1)(1)01fg−−==−，函数()gx的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式(

)0()0fxxgx0()0xgx或0()0xgx，01x或1x−．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）．考点：函数的单调性与导数的关系14.已知7270

127()xmaaxaxax−=++++的展开式中4x的系数是－35，则m=______.1237aaaa++++=______.【答案】(1).1(2).1【解析】【分析】利用二项展开式的通项求参数1m

=,令0x=,求得01a=−,令1x=求得01270++++=aaaa,然后可求得1237++++aaaa【详解】由7270127()xmaaxaxax−=++++的展开式的通项()717Trrrr

xm−+=−ð令74r−=得3r=,所以由()33735m−=−ð解得1m=,所以得7270127(1)−=++++xaaxaxax令0x=得70(01)1=−=−a令1x=得01270++++=aaaa,所以127012700(1)1+++=+

+++−=−−=aaaaaaaa故答案为:1;1.【点睛】本题考查了二项展定理的应用,赋值法求参数的应用,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于一般难度的题.15.椭圆22:12yCx+=经过2:

2xxyy==变换后所得曲线'C的焦点坐标为____________.【答案】()0,2【解析】【分析】2222xxxxyyyy====代入2212yx+=中即可得到变换后的曲线方程，进一步

可得焦点坐标.【详解】由2222xxxxyyyy====，代入2212yx+=得'2'2148xy+=.变换后所得曲线'C的焦点坐标为()0,2.故答案为：()0,2【点睛】本题考查曲线的伸缩

变换，要注意哪个是变换前的坐标，哪个是变换后的坐标，“谁代谁”，是一道容易题.16.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知lg20.3010=，lg

30.4771=）【答案】11【解析】【分析】设需要至少布置n门高炮，则1(10.2)0.9n−−，由此能求出结果．【详解】解：设需要至少布置n门高炮，某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入

这个区域后有0.9以上的概率被击中，1(10.2)0.9n−−，解得10.3n，nN，需要至少布置11门高炮．故答案为：11．【点睛】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求

解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．三、解答题（满分70分）17.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件

数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司

员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【答案】（1）平均数为36，众数为33；（2）

详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.【解析】【分析】（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.（2）由题意能求出X的可能取值为1

36，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【详解】（1）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：()1323333383536393341403610x=+++++++++=，众数为

33.（2）设a为乙公司员工B投递件数，则当34a=时，136X=元，当35a时，()354357Xa=+−元，X的可能取值为136，147，154，189，203，()113610PX==，()314710PX==，()215410PX==，()318

910PX==，()120310PX==，X的分布列为：X136147154189203P110310210310110()132311655136147154189203165.5101010101010EX=++++==（元）.（3）

根据图中数据，由（2）可估算：甲公司被抽取员工该月收入364.5304860==元，乙公司被抽取员工该月收入165.5304965==元.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力

，是一道容易题.18.为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高80学习积极性不高60合计

200已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为25.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随

机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.附：()20PKk…0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()

()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.【答案】（1）表格见解析；（2）有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关，理由见解析；（3）910【解析】【分析】（1

）计算学习积极性不高的有2200805=人，完善列联表得到答案.（2）233.3310.828K，对比临界值表得到答案.（3）有2人学习积极性高，设为A、B，有3人学习积极性不高，设为C、D、E，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【

详解】（1）根据题意，全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为25，则学习积极性不高的有2200805=人，据此可得：列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高8040120学习积极性不高206080合计100100200（2）根据题

意，由列联表可得：22200(80602040)33.3310.82812080100100K−=；故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法

选取5人，有2人学习积极性高，设为A、B，有3人学习积极性不高，设为C、D、E，从中选取2人，有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种情况，其中至少有1人学习积极性不高的有AC、AD、AE、BC、B

D、BE、CD、CE、DE，共9种情况，至少有1人学习积极性不高的概率910P=.【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.已知函数()32427xaxf

x=−+.（1）若()fx在()1,3aa−+上存在极大值，求a的取值范围；（2）若x轴是曲线()yfx=的一条切线，证明：当1x−时，()2327fxx−.【答案】（1）()()9,00,1−；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求

得()fx的导函数()'fx，对a分成0,0,0aaa=三种情况，结合()fx在()1,3aa−+上存在极大值，求得a的取值范围.（2）首先根据x轴是曲线()yfx=的一条切线求得a的值，构造函数()()2327gxxxf=−

−，利用导数求得()gx在区间)1,−+上的最小值为0，由此证得()0gx，从而证得不等式成立.【详解】（1）解：()()2'3232fxxaxxxa=−=−，令()'0fx=，得10x=，223ax=

.当0a=时，()'0fx，()fx单调递增，()fx无极值，不合题意；当0a时，()fx在23ax=处取得极小值，在0x=处取得极大值，则103aa−+，又0a，所以01a；当0a时，()fx在2

3ax=处取得极大值，在0x=处取得极小值，则2133aaa−+，又0a，所以90a−.综上，a的取值范围为()()9,00,1−.（2）证明：由题意得()00f=，或203af=，即4027=（不成立），或344027

27a−+=，解得1a=.设函数()()3223127gxfxxxxx−−=−−+=，()()()'311gxxx=+−，当113x−−或1x时，()'0gx；当113−x时，()'0gx.所以()

gx在1x=处取得极小值，且极小值为()10g=.又()10g−=，所以当1x−时，()0gx，故当1x−时，()2327fxx−.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，

考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20.已知函数()1xfxeax=−−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当0x时，2()fxxx−…恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析

；（2）(,1]e−−【解析】【分析】（1）求导得到()xfxea=−，讨论0a„和0a两种情况，分别计算得到答案.（2）0x时，11xeaxxx−−+，令1()1(0)xehxxxxx=−−+，求函数的最小值为min()(1)1hxhe==−，得到答案.【详解】（1

）函数的定义域为R，()xfxea=−，若0a„，则()0fx，所以()fx在R上单调递增；若0a，令()0xfxea=−=，则lnxa=，当(,ln)xa−）时，()0fx，()fx单调递减；当(ln,)xa+时，()0fx，()f

x单调递增；综上所述，0a„，函数在(,)−+上单调递增，0a时，函数在(,ln)a−上单调递减，在(ln,)a+上单调递增.（2）当0x时，2()fxxx−…，即11xeaxxx−−+„，令1()

1(0)xehxxxxx=−−+，则()222(1)1(1)1()xxxexexxhxxx−−−−−+==，令()1(0)xgxexx=−−，则()10xgxe=−，当0x时，()gx单调递增，()(0)0gxg=，所以

当01x时，()0,()hxhx单调递减，当1x时，()0hx，()hx单调递增，故min()(1)1hxhe==−，所以a的取值范围是(,1]e−−.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成

立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程232xcosysin==(为参数)，直线l的参数方程3cos1sinxtyt=+=+(t为参数).（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；

（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为2,6时，求直线l的倾斜角.【答案】（1）221124xy+=；（2）56.【解析】【分析】（1）消去参数后化简整理即可得

到曲线C的普通方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，可得到关于t的一元二次方程，由韦达定理并结合参数t的几何意义可得122262303sincosttcossin++=−=+，从而求得33tan=−，最后写出直线的倾斜角即可.【详解】（1）由曲线C的参数

方程232xcosysin==(为参数)，可得：cos23sin2xy==，由221sincos+=，得：221124xy+=，曲线C的参数方程化为普通方程为：221124xy+=；（

2）中点的极坐标2,6化成直角坐标为()3,1，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得：()()22311124tcostsin+++=，化简整理得：()()222362360cossin

tsincost+++−=，122262303sincosttcossin++=−=+，即6230sincos−−=，3cos3sin=−，即33tan=−，又(0,)，直线l的倾斜角为56.【点睛】本题主要

考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数方程中t的几何意义的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.22.在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为()3cos33sinxy为参数==+

以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin436−=，射线OM：56=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q,求线段PQ的

长.【答案】（1）()2239xy+−=；（2）1.【解析】【分析】()1参数方程化为普通方程可得圆C的普通方程为()2239xy+−=.()2圆C的极坐标方程得6sin=，联立极坐标方程可得53,6P，54,6Q，结合

极坐标的几何意义可得线段PQ的长为1.【详解】()1圆C的参数方程为()333xcosysin==+为参数消去参数可得圆C的普通方程为()2239xy+−=.()2化圆C的普通方程为极坐标方程得6sin

=，设()11,P,则由656sin==解得13=，156=，设()22,Q,则由243656sin−==解得24=，256=，211PQ=−=.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的

应用，极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.