【文档说明】《七年级数学下册基础知识专项讲练（华东师大版）》专题10.12 简单的轴对称图形-角平分线（专项练习）.docx，共(40)页，1.263 MB，由管理员店铺上传

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1专题10.12简单的轴对称图形-角平分线（专项练习）一、单选题1．下列定理中，没有逆定理的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等C．两个全等三角形的对应角相等D．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等2．用直尺和圆规作一个

角的平分线如图所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是()．A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等3．如图，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线，能得出射线OC就是∠AOB的角平分线的根据是（）A．SSSB．SASC．AS

AD．AAS4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）2A．角的内部到角的两边的距离相

等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．三角形三条垂直平分线的交点到三个定点的距离相等5．角是轴对称图形，它的对称轴是（）A．角平分线B．角平分线所在的射线C．角平分线所在的线段D．角平分线所在的直线二、填空题6．角平分线

上的任意一点到这个角的两边的______相等；线段垂直平分线上的点到______的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到______的所有点的集合；角平分线可以看作是到______的所有点的集合．7．如图，ABC中，90C=o∠，BD是角平分线，点D在AB的垂直平分线上，若4=AD，则A

C=________．8．角平分线的性质定理：角平分线上的点_____________________________。9．如图，//ADBC，ABC的角平分线BP与BAD的角平分线AP相交于点P，作PE

AB⊥于点E．若9PE=，则两平行线AD与BC间的距离为_______．10．如图，已知ABAC=，D为BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；3如图，已知ABAC=，D、E为BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图，已知ABAC=，D、E、F为B

AC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是______．三、解答题11．请在下列横线上注明理由．如图，在ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若//PEAB，PFDC

=，点D到PE和PF的距离相等.求证：点D到AB和AC的距离相等．证明：∵PFDC=（已知），∴//PFAC（______），∴DPFDAC=（______），∵//PEAB（已知），∴EPDBAD=（______），∵点D到PE和P

F的距离相等（已知），∴PD是EPF的角平分线（______），∴EPDFPD=（角平分线的定义），∴BADDAC=（______），即AD平分BAC（角平分线的定义），∴点D到AB和AC的距

离相等（______）．12．三角形中的角平分线的性质与一个角的平分线性质相同.如题:如图,△ABC中,AD是4∠BAC的角平分线,且BD=CD,DE,DF分别垂直于AB,AC,垂足为E,F.请你结合条件认真研究,然后写出三个正确的结论.13．如图，在ABCV中，,ABACAD=是ABC

V的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AFBF=．14．命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：________________求证：___________________证明：___________

_________．15．如图，AD是ABC的角平分线，EFAD⊥，与AB交于E，与AC交于F．求证DEDF=．16．如图，在ABC△中，CD是C的角平分线，2AB=，求证：BCACAD=+．517．如图，已知BD是ABC的角平分线，ABCB=．求证：ABDCBD≌△△

．18．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线BD与∠ACB的邻补角的平分线CE相交于点P；求证：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；19．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：如图，在△ABC中，

分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，∴=（）．同理可得，PB=．∴=（等

量代换）．6∴（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的）∴AB、BC、AC的垂直平分线．20．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．（1）如图①，∠C=90°，∠B=45°，点E在边AB上，AE=AC，请直接写出图中所有与BE相等的线段；（2）如图②，∠C≠

90°，如果∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD．21．在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC．（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与

OA、OB相交于点E、F（如图①）．度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由．（3）探究：画∠AOB=50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF=130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两

点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由．22．如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点D．（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）连接AD，若40BDC=，求

DAC的度数．723．如图,点P是△ABC中∠BAC的平分线和△ABC的外角∠BCD的平分线的交点.求证:点P到BC,BE的距离相等.24．教材呈现：如图是某版八年级上册数学教材第96页的部分角平分线回忆我们已经知道角

是轴对称图，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图，OC是AOB的角平分线，F是OC上的任意一点，作PDOA⊥，PEOB⊥，垂足分别为点D和点E，将AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合，由此即有角平分线

的性质定理：角平分线上的点到角两边的距相等．已知：如图，OC是AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PDOA⊥，PEOB⊥，垂直分别为D和点E．求证：PDPE=．请写出定理的证明过程分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO只要证明这两个三角形全等，即可证明PDPE=．8请根

据教材中的分折，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过珵．定理应用：如图②，在四边形ABCD中，BC=，点E在边BC上，AE平分BAD，DE平分ADC．（1）求证：BECE=．（2）若四边形ABCD的周长为

24，2BE=，面积为30，求ABE△的边AB的高的长．25．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE．（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；（2）求∠DEB的度数．26．如图，BD是

等边三角形ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DF=BC，垂足为F．BF与EF相等吗？为什么？27．在ABCV中，若AD是BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DEAB⊥，垂足为E，DFAC⊥，

垂足为F（如图()1），则可以得到以下两个结论：①180AEDAFD+=o；②DEDF=．那么在ABCV中，仍然有条件“AD是BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC9上”，请探究以下两个问题：()1若180AEDAFD

+=o（如图()2），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．()2若DEDF=，则180AEDAFD+=o是否成立？（只写出结论，不证明）28．命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，

请举一反例．29．已知，如图，在ABC中，90BAC=，ADBC⊥于D，ABC的平分线交AD于E，交AC于F，CAD的角平分线AG交BF于H，交DC于G．（1）求证:AEAF=；（2）判断BF与AG的位置关系，

并说明理由．（3）再找出二组相等的线段：①________；②___________．30．填空，完成下列证明过程已知，如图，ABCV中，AD平分BAC，DGBC⊥且平分BC，DEAB⊥于E，DFAC⊥于F.求证：2ABACBE−=．证明：

DGBC⊥Q且平分BC，DBDC=（）．10ADQ为BAC的平分线，DEAB⊥，DFAC⊥，______=______（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），90AEDBEDAFDDFC===

=．在RtDBEV和RtDCFV中，DBDC=Q，DEDF=，RtRtDBE≌△△______（），BECF=（）．在RtADE△和RtADFV中，ADAD=Q，______=______，()RtRtHLDDEFAA△△≌，___

___AF=．ABACAEBEAC−=+−=______2BEACACCFBEACCFBEBE+−=++−=+=．31．课本例题已知：如图，AD是ABCV的角平分线，DEAB⊥，DFAC⊥，垂足分别为E、F．求证：AD垂直平分EF．小明做法证明：因为AD是ABCV

的角平分线，DEAB⊥，DFAC⊥，所以DEDF=理由是：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．因为DEDF=，所以AD垂直平分EF．理由是：“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．老师观点老师说：小明的做法是错误的！请你解决11()1指出小明

做法的错误；()2正确、完整的解决这道题．32．如图所示，在三角形ABC中，AD是中线及角平分线，求证：ABAC=.33．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．3．角平分线回忆：我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图，OC是AOB的角平分线

，P所示OC上的任意一点，作PDOA⊥，PEOB⊥，垂足分别为点D和点E，将AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合，由此即有：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图，OC是AO

B的平分线，点P是OC上的任意一点，PDOA⊥，PEOB⊥，垂足分别为点D和点E．求证：PDPE=，请写出定理的证明过程．分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，即可证明PDPE=

．12请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：如图②，在四边形ABCD中，BC=，点E在边BC上，AE平分BAD，DE平分ADC．（1）求证：BECE=．（2）若四边形ABCD的周长为24，2BE=，面积为30，则ABE△的边A

B的高的长为_________．34．请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．求证：D

CBDACAB=．证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．∴Ð1=ÐE,Ð2=Ð3．①AD是角平分线，∴Ð1=Ð2．E=3．AEAC=．②又CEAD//，13DCBDAEAB=．③D

CBDACAB=．（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请

你通过研究△ABD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．35．如图，△ABC≌△ADC，AM是△ABC中∠BAC的角平分线，仅用无刻度直尺（不必写作法，但得保留作图痕迹）作出△ADC中∠DAC的角平分线AN.36．求证：角平分线上的点到角两边的距离相等.已知：A是MON平分线上的

点，过A作,ABOMACON⊥⊥，垂足分别为BC、.求证：ABAC=.DABC14参考答案1．C【分析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项，逐一写出各选项的逆命题，判定即可．【详解】A选项，逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，；B选项，逆命题是到线段两端点距离

相等的点在线段的垂直平分线上，正确；C选项，逆命题是对应角相等的两个三角形全等，错误；D选项，逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，正确；故答案为C.【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的

关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假．2．A【详解】试题分析：连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC考点：(1)、全等三角形的判定与性质；(2)、作图—基本作图．3．A【分

析】利用画法得到OM=ON，CM=CN，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COM≌△CON，据此可以得出OC就是∠AOB的平分线．【详解】：由作法得OM=ON，CM=CN，而OC为公共边，所以可根据“SSS”证明

△COM≌△CON，15所以∠COA=∠COB，即OC平分∠AOB．故选A．【点拨】考查作图—基本作图，全等三角形的判定，掌握角平分线的作法是解题的关键.4．A【分析】过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，根据题意可得CE=CF，再

根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在

这个角的平分线上)，故选:A.【点拨】考查基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键.角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.5．D【分析】根据角的对称性解答．解：角的对称轴是“角平分线所在的直线

”．故选：D．【点拨】本题考查了角的对称轴，需要注意轴对称图形的对称轴是直线，此题容易说成是“角平分线”而导致出错．6．距离线段两端点线段两端点距离相等角两边距离相等【解析】【分析】分别根据角平分线及线段垂直平分线的性质、线段

的定义解答即可．16解：角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合；角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合．故答案为：距离；线段两端点；线段两端

点距离相等；角两边距离相等．【点拨】本题考查角平分线及线段垂直平分线的性质，掌握角平分线及线段垂直平分线的性质等是解题的关键．7．6【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠A=∠ABD，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余

求出∠CBD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，然后求解即可．解：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD=4，∴∠A=∠ABD，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵∠C=90°，∴∠A+∠

ABD+∠CBD=90°，∴∠CBD=30°，11CDBD4222===，∴AC=AD+CD=4+2=6．故答案为6．【点拨】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，题目难度稍微复杂，熟

记性质是解题的关键．8．到角的两边的距离相等【解析】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。故答案为：到角的两边距离相等9．18；17【分析】过点P作MN⊥AD，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN

=2，即可得出答案．解：过点P作MN⊥AD∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E∴AP⊥BP，PN⊥BC∴PM=PE=9，PE=PN=9∴MN=9+9=18故答案为18．【点拨】

此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．10．)(12nn+【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有)(12nn+个全等

三角形即可．解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有)(12nn+个全等三角形．故答案为：)(12nn+．

18【点拨】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．11．同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；等量代换；角平分线上的点到角的两边的

距离相等．【分析】根据角平分线的性质及平行线的性质与判定即可解答．证明：∵∠PFD=∠C（已知），∴PF∥AC（同位角相等，两直线平行）,∴∠DPF=∠DAC（两直线平行，同位角相等）.∵PE∥AB（已知），∴∠E

PD=∠BAD（两直线平行，同位角相等）.∵点D到PE和PF的距离相等（已知），∴PD是∠EPF的角平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）,∴∠EPD=∠FPD（角平分线的定义）,∴∠BAD=∠DAC（等量代换）,即AD平分∠BAC（角平分线的定义）,∴点D到AB

和AC的距离相等（角平分线上的点到角的两边的距离相等）【点拨】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线性质，此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质，注意数形结合思想的应用．12．如:(1)△BDE≌△CDF,(2)B

E=CF,(3)∠B=∠C.【解析】试题分析：此题答案不唯一，如先利用角平分线的性质，可得DE=DF；在Rt△BDE和Rt△CDF中，再结合已知条件，可证出Rt△BDE≌Rt△CDF，那么就有BE=CF，∠B=∠C

．解：答案不唯一,如:(1)△BDE≌△CDF；(2)BE=CF；(3)∠B=∠C.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，又∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE=CF，

∠B=∠C．13．见解析【分析】连接CF，根据等腰三角形的性质可得,BDCDADBC=⊥，根据线段垂直平分19线的性质得BFCF=，AFCF=，进而得结论．证明：连接CF，∵ABAC=，AD平分BAC，∴,BDCDADBC=⊥，∴BFCF=，∵FE是AC的垂直平分线，∴AFCF=，∴A

FBF=．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．14．见解析【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，求出,ABCACBECBDBC==，利用全等三角形的判定，证明BCECB

D,由全等三角形的性质即可证明．已知：在ABC中，ABAC=，BD、CE分别是ABC和ACB的角平分线，求证：BDCE=.证明：ABAC=Q,ABCACB=,QBD、CE分别是ABC和ACB的角平分线,11,22CBDABCBC

EACB==,CBDBCE=,20在BCD和BCE中BCDCBEBCCBCBDBCE===()BCECBDASA，BDCE=，即等腰三角形两底角的角平分线相等．【点拨】考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记

性质和判定定理是解题的关键．15．见解析【分析】如图，根据ASA易证AOEAOF△≌△，从而可得OEOF=，于是可得AD是EF的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即得结论．证明：如图，∵AD是ABCV的角平分线，∴12

=．∵EFAD⊥，∴3490==．∵AOAO=，∴AOEAOF△≌△（ASA）．∴OEOF=．∴AD是EF的垂直平分线．∴DEDF=．【点拨】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判

定和性质以及线段垂直平分线的性质是解此题的关键．16．详见解析【分析】在BC上取一点E使得CEAC=，易证ACDV≌ECDV，可得212DECAB==，再根据三角形的外角可得2BBDEDECB+==∠，所以BBD

E=，可得DEBE=，通过等量代换可得出BCACAD=+.解：如图，在BC上找到E点，使得CEAC=，在ACDV和ECDV中，ACCEACDECDCDCD===，∴ACDV≌ECDV（SAS

）．∴DEAD=．∵2AB=，BBDEDECA+==，∴BBDE=．∴DEBE=．∵BCBECE=+，∴BCDEACADAC=+=+【点拨】本题考查利用截长补短的辅助线结合全等解题；本题的解题关键是看到三条线段之间和或者差

的关系，要利用截长方法在较长线段上截取与其中一条较短线段相等的线段，构造全等三角形，或者利用补短的方法，将其中一条较短线段延长，构造全等三角形.17．见解析【分析】由BD是ABC的角平分线，可得ABDCBD=，由ABCB=和公共边

BD，可证()ABDCBDSAS△≌△．【详解】证明：∵BD是ABC的角平分线（已知），∴ABDCBD=（角平分线定义），22在ABCV与CBDV中，∵()()()ABCBABDCBDBDBD===已知已证公共边，∴()ABDCBDS

AS△≌△．【点拨】本题考查三角形全等证明，掌握三角形全等的证明方法是解题关键．18．详见解析.【分析】过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.根据角平分线性质定理即可证明结论.证明：如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.则垂线段PQ

、PM、PN,即为P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离.∵P是∠ABC的平分线BD上的一点,∴PQ=PM.∵P是∠ACM的平分线CE上的一点,∴PN=PM.∴PQ=PM=PN.即点到三边AB、BC、CA所在直线的

距离相等.【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理的运用，正确作出辅助线，熟练运用角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.19．PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直

平分线上；相交于点P．【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根据线段垂直平分线的性质可得出点P是AC边垂直平线上的一点，23从而证出结论．证明：∵点P是AB边

垂直平线上的一点，∴PB="PA"（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．同理可得，PB=PC（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．∴PA=PC（等量代换）．∴点P是AC边垂直平线上的一点

（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．故答案为PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到

线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是找出点P是AC边垂直平线上的一点．本题属于基础题，难度不大，解

决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键．20．（1）DE和DC，（2）证明见解析【分析】（1）先写出图中所有与BE相等的线段，再根据题目中的条件和全等三角形的判定和性质即可说明有与BE相等的线段成立的条件；（2）仿照（1）中的方法，可以证明

AB=AC+CD．解：（1）与BE相等的线段是DE和DC，理由：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△AED和△ACD中AEACEADCADADAD===∴△AED≌△ACD（SAS），∴

DE=DC，∠DEA=∠C=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=45°，∴∠B=∠BDE，∴BE=DE，24∴BE=DE=DC，即与BE相等的线段是DE和DC；（2）在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为△ABC的角平分线，∴∠CA

D=∠EAD，在△AED和△ACD中AEACEADCADADAD===∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠C=∠AED，CD=ED，∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴ED=E

B，∴EB=CD，∵AB=AE+EB，∴AB=AC+CD．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（1）PE=PF；（2）P

E=PF；理由见解析；（3）PE=PF；理由见解析【解析】试题分析：（1）由条件可知PE=PF；（2）过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；（3）过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出

结25论；试题解析：（1）PE=PF；（2）PE=PF，理由如下：过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，则∠PGE=∠PHF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PG=PH，∵∠AOB=∠PGE=∠PHF=90°，∴∠GPH=90°，∵∠EPF=90°，∴∠GPE=

∠FPH，∴△PEG≌△PFH（ASA），∴PE=PF；（3）PE=PF，理由如下：过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，则∠PGE=∠PHF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PG=PH，∵∠AOB=50°，∴∠GPH=130°，∵∠EPF=130°，∴∠GPE=∠FPH，∴△PEG≌△

PFH（ASA），∴PE=PF；【点拨】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，证明三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL．22．（1）证明见解析；（2）∠DAC=50°．【分析】()1证明：过

点D作DEDFDG、、分别垂直于边AB、CA、BC所在的直线；根据角平分线的性质得到DFDG=，DEDG=从而得到，点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；26()2根据外角的性质得到DCGDBCBDC=+∠∠∠，ACGABCBAC=+∠∠∠从而得到2BDCBAC=，求出80

BAC=，由（1）可得DEDF=根据角平分线的性质，得到50DAC=．【详解】()1证明：过点D作DEDFDG、、分别垂直于边AB、CA、BC所在的直线，QCD平分ACG，DFDG=QBD平分AB

CDEDG=DEDFDG==，即点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等，()2解：QDCG是BCD的外角，DCGDBCBDC=+∠∠∠QACG是ABC的外角ACGABCBAC=+∠∠∠，2BDCBAC=Q40BDC=，8

0BAC=由（1）可得DEDF=AD平分EAC，50DAC=．【点拨】27本题考查了角平分线的定义及性质，以及外角的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．23．见解析【分析】过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BG，垂足

分别为E、F、G，再由角平分线的性质即可得出结论．【详解】过点P作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,PH⊥AC于H,如图所示.∵AP平分∠BAC,∴PH=PM.同理,PN=PH.∴PM=PN=PH.即点P到BC,BE的距离相

等.【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用：角平分线上的点到角两边的距离相等.正确作出辅助线是解题的关键.24．教材呈现：定理证明见解析；定理应用：（1）证明见解析；（2）ABE△的边AB的高的长为3．【分析】教材呈现：证明△POD≌△POE（AAS），即可得出PD=PE；（1

）由角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，通过证明三角形全等，得出BE=EC；（2）证明Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），得出AF=AG，同理DG=DH，由（1）得出△BEF≌△CEH，得出BF=CH，设BF=CH=x，AF=AG=y，DG=

DH=z，由四边形ABCD的周长得出x+y+z=10，由四边形ABCD的面积得出(x+y+z)•EF=30，求出EF=3即可．【详解】教材呈现：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；已知：OC是AOB的平分

线，点P是OC上的任意一点，PDOA⊥，PEOB⊥，垂足分别是点D和E；求证：PDPE=；28证明：∵OC是AOB的平分线，∴=PODPOE，∵,⊥⊥PDOAPEOB，∴90PDOPEO==，在PODV和POE△中，PODPOEPDOPEOOPOP===

，∴()PODPOEAASVV≌，∴PDPE=；定理应用：（1）证明：过E作EFAB⊥于F，EGAD⊥于G，EHCD⊥于H，∵AE平分BAD，DE平分ADC，∴EFEGEF==，在BEFV与CEH△中，90BCBFECHEEFE

H====，∴()BEFCEHAASVV≌，∴BECE=；（2）解：由（1）得：EFEGEH==，在RtAEFV和RtAEGV中，29AEAEEFEG==，∴()RtAEFRtAEGHLVV≌，∴AFA

G=，同理：DGDH=，由（1）得：BEFCEHVV≌，∴BFCH=，设BFCHx==，AFAGy==，DGDHz==，∵四边形ABCD的周长为24，2CEBE==，∴2224xyyzzx+++++++=，∴10xyz++=，∵四边形ABCD的面积为

30，∴111()()()30222xyEFyzEGzxED+++++=，整理得：()30xyzEF++=，即1030EF=，∴3EF=，即ABE△的边AB的高的长为3．【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识；构造全等三

角形是解题的关键，25．（1）见解析；（2）30°．【详解】（1）过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°，∵∠CAH=180°﹣120°=60°，∴AE平分∠HAD，30∴EH=EG，∵BE平

分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH=EF，∴EF=EG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠DEB+∠DBE，∴12CDA=∠DEB+12∠ABC，∴∠DEB=1

2（∠CDA﹣∠ABC）=12∠BAD=30°．【点拨】本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相

等．26．BF与EF相等，证明见解析.【分析】根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，再由BD是角平分线得∠CBD=30°，接着根据等腰三角形的性质，由CD=CE得到∠CDE=∠E，利用三角形外角性质可计算出∠E

=30°，所以∠DBE=∠E，于是可判断△DBE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可得BF=EF．证明：BF与EF相等。理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD是等边三角形ABC的

角平分线，∴∠CBD=30°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，而∠BCD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∴∠DBE=∠E，∴△DBE为等腰三角形，∵DF⊥BC，31∴BF=EF.【点拨】本题考查了等边三角

形以及30°的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握等边三角形的性质及30°直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键.27．（1）DEDF=，理由见解析，（2）不一定成立，理由见解析【分析】（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据

角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM=DN，再根据∠AED+∠AFD=180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN=180°，可以推出∠DFN=∠AED，然后利用角角边定理证明△DME与△DNF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）不一定成立，若DE

、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧，则成立，若是同侧则不成立．解全：()1DEDF=．理由如下：过点D作DMAB⊥于M，DNAC⊥于N，∵AD平分BAC，DMAB⊥，DNAC⊥，∴DMDN=，∵180AEDAFD+=

o，180AFDDFN+=o，∴DFNAED=，∴()DMEDNFAASVV，∴DEDF=；()2不一定成立．如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，经过()1的证明，若在垂线段上或两侧则成立，所以不

一定成立．32【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要．28．真命题，见解析.【分析】根据角平分线定义，得到AOPBOP=，然后利用AAS证明PODPOE≌，然后即可得到PDPE=.解：真命题

．已知，如图，点P在AOB的平分线上，且PDOA⊥于点D，PEOB⊥于点E．求证：PDPE=．证明：∵OP平分AOB（已知），∴AOPBOP=（角平分线的定义）．又∵PDOA⊥，PEOB⊥（已知），∴90PDOPEO=

=（垂直的定义）．在POD和POE中，(),(),()PDOPEOPODPOEPOPO===已证已证公共边，∴(AAS)PODPOE≌．∴PDPE=（全等三角形的对应边相等）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质

，以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.29．（1）见解析；（2）BFAG⊥，理由见解析；（3）①EHFH=，②BABG=33【分析】(1)利用等角的余角相等结合对顶角相等即可证明结论；(2)利用(1)的结论，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得BF与AG相互垂直

；(3)根据(2)的结论知EHFH=，利用三角形外角的性质可得∠AGB=∠GAC+∠C，利用同角的余角相等的性质证得∠BAD=∠C，根据角平分线的性质即可证得∠AGB=∠BAG，得到BA=BG．证明：(1)∵90BAC=，ADBC⊥，∴90AFBABF+=，

90BEDEBD+=，又∵BF平分ABC，∴ABFEBD=，∴AFBBED=，∵AEFBED=，∴AEFAFB=，∴AEAF=；(2)BFAG⊥，理由如下：由(1)得AEAF=，∵AG平分CAD

，∴AHEF⊥(三线合一)，∴BFAG⊥；(3)由(2)得：EHFH=；∵90BAC=，ADBC⊥，∴90BADDAC+=，90DACC+=，∴BADC=，∵AG平分CAD，∴DAGGAC=，∵∠AGB=∠

GAC+∠C，∠BAG=∠BAD+∠DAG，∴∠AGB=∠BAG，∴BABG=．故答案为：EHFH=，BABG=．34【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，等角的余角相等，三角形外角的性质，熟练掌握定理是解题的关键．30．线段垂直平分线上的点与这条

线段两个端点的距离相等，DE，DF，DCF，HL，全等三角形的对应边相等，DE，DF，AE，AF．【分析】先根据垂直平分线的性质可得DBDC=，再根据角平分线的性质定理可得DE=DF，然后再运用HL证明RtRtDBE≌△△DCF，由全等的性质可得BECF=；再运用H

L证明RtRtADEADF≌△△得到AE=AF，最后运用线段的和差证明即可．证明：DGBC⊥Q且平分BC，DBDC=（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）．ADQ为BAC的平分线，DEAB⊥，DFAC⊥，DE=DF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），90A

EDBEDAFDDFC====．在RtDBEV和RtDCFV中，DBDC=Q，DEDF=，RtRtDBE≌△△DCF（HL），BECF=（全等三角形的对应边相等）．在RtADE△和RtADFV中，ADAD=Q，DE=DF，()RtRtHLDDEFAA△△≌，∴AEAF=．ABAC

AEBEAC−=+−=AF2BEACACCFBEACCFBEBE+−=++−=+=．故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，DE，DF，DCF，HL，全等三角形的对应边相等，DE，DF，AE

，AF．【点拨】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质以及三角形全等的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．31．()1见解析；()2见解析.【分析】()1小明证明DEDF=不能说明AD垂直平分EF，只有再证明AEAF

=时，A也在EF的35垂直平分线上，两点确定一条直线，才能得结论；()2先利用角平分线性质得出DEDF=；再证AEDV≌AFDV，易证AD垂直平分EF．【详解】()1由DEDF=，只能得D在EF的垂直平分线上，不能说AD垂直平分EF．()

2ADQ是ABCV的角平分线，DEAB⊥，DFAC⊥，DEDF=，在RtADEV和RtADFV中，ADADDEDF==，RtADEV≌()RtADFHLV，AEAF=，又DEDF=，AD垂直平分EF(到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上)．【点拨】本题考查了全等

三角形的性质和判定，角平分线的性质和线段垂直平分线逆定理的应用，题目比较新颖，属于基础题，理解线段垂直平分线逆定理是关键．32．见解析【分析】延长AD至E，使DEAD=，连结BE，CE，证四边形ABEC是平行四边形，得到BE=AC，BE∥AC，再证明△ABE是

等腰三角形即可.证明：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，CE，∵BC、AE，相互平分，∴ABEC是平行四边形，∴BE=AC，BE∥AC，∴∠BAD=∠DAC=∠BED，∴AB=BE，∴AB=AC.36【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，及等腰三角形的判定，正确作出辅助线是

解答本题的关键.33．分析：证明见解析；定理应用：（1）证明见解析；（2）3【分析】分析：证明PEOPDO△△≌即可得出结论；定理应用：（1）过E点分别向AB、AD、CD作垂线，进而通过全等证明即可；（2）根据AB、BE、CD之间的关系，利用等面积法进行整体转换，结合（1）中

的结论，即可求解．分析：已知：射线OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D，求证：PE=PD，证明：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP，∵PE⊥OB于EPD⊥OA于D，∴∠PEO=∠PDO=90，在△POD与△POE中，POEPO

DPEOPDOOPOP===∴△POD≌△POE(AAS)，∴PD=PE；定理应用：（1）如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，37∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴EF=EG=EH，在△BEF与△CEH中BCBFECHEE

FEH===∴△BEF≌△CEH(AAS)，∴BE=CE；（2）由（1）可知，EFEGEH==，24BCBE==，则24420ABADCD++=−=，12ABESABEF=Q△，12AD

ESADEG=△，12CEDSCDEH=△，()1302ABEADECEDABCDSSSABADSCDEF+++=+==△△△，3EF=，即：ABE△的边AB的高为3．【点拨】本题考查了角平分线性质的证明与运用，及等面积法转换三角形面积，

熟练掌握角平分线的性质证明过程及灵活运用是解题关键．34．（1）①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理；（2）4211cm．（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由比例式ABBDAEDC=，想到作平行线，用到了平行线的性质定理；只要证38明

AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE∥AD，写出比例式ABBDACDC=，用到了平行线分线段成比例定理（推论）；（2）利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据计算出结果．（3）根据三角形的面积公式进行证明即可．试题解析：（1）证明过程中用到的定

理有：①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理；（2）∵AD是角平分线，∴BDABDCAC=，又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，∴764BDBD=−，∴BD=4211（cm）．（3）∵

△ABD和△ACD的高相等，可得：△ABD和△ACD面积的比=11221122BDhABhBDABDCACDChACh===，可得：BDABDCAC=．考点：相似形综合题．35．见解析.【分析】连接M

D，交AC于E，连接BE，延长BE交CD于N，连接AN.解：如图，AN即为所求.39作法与证明：连接MD，交AC于E，连接BE，延长BE交CD于N，连接AN，∵△ABC≌△ADC，∴∠ACB=∠ACD，BC=

CD，∠BAC=∠DAC，∵BC=CD，∠ACB=∠ACD，CE=CE，∴△BCE≌△DCE，∴∠CBE=∠CDE，又∵BC=CD，∠BCN=∠DCM，∴△BCN≌△DCM，∴MC=NC，又∵∠ACB=

∠ACD，AC=AC，∴△AMC≌△ANC，∴∠MAC=∠NAC，∵AM平分∠BAC，∠BAC=∠DAC，∴AN平分∠DAC，∴AN即为所求.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS、AAS、SAS、ASA、HL等，熟练

掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键.36．证明见解析.【分析】根据角平分线的性质得出AOBAOC=，然后利用全等三角形的判定得出ABOACO≌，即可解决问题.证明：40OA平分MON，∴

AOBAOC=,ABOMACON⊥⊥，∴90ABOACO==在ABO和ACO中∵,,AOBAOCABOACOAOAO===∴ABOACO≌∴ABAC=.【点拨】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确理

解题意，熟练掌握角平分线的性质，能够由角平分线得出相等的角.