【文档说明】《七年级数学下册基础知识专项讲练（华东师大版）》专题10.13 简单的轴对称图形-折叠问题（知识讲解）.docx，共(9)页，248.067 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题10.13简单的轴对称图形-折叠问题（知识讲解）【学习目标】1、理解折叠问题的内涵，认识折叠（对折）的本质；2、理解并掌握重叠图形的对应边，对应角；拆㡾所在直线是对应点连线的垂直平分线；3、能用折叠原理解决一些基本图形的边和角。【要点梳理】知识要点一：折叠（对折）的定义一条直线把一个平

面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.知识要点二：折叠（对折）的特点1、折叠问题实际上就是对称变换；2、折叠是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折㡾所在直线）是对应点的连线的垂直平分线，折

叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；3、教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解决。知识要点三：折叠（对折）的基本图形及图形特点1、折叠图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出折叠前后相等边与

角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思想进行解题。2、折叠特点：有折叠----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、等面积法结合图形特点进行解题。【典型例题】1.如图，直线AB∥CD，直线l与

直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．⑴若∠PEF＝48°,点Q恰好落在其中的一条平行线上,则∠EFP的度数为．⑵若∠PEF

＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．2【答案】⑴∠EFP=42°或66°⑵∠EFP的度数为35°或63°.【解析】试题分析：()1当点Q落在AB上，根据三角形的内角和即可得到结论；当点Q落在CD上，由折叠的性质得到PF垂直平分EQ，得到12

=，根据平行线的性质即可得到结论；()2①如图1，当点Q在平行线AB，CD之间时，设PFQx=，由折叠可得.EFPx=根据平行线的性质即可得到结论；②如图2，当点Q在CD的下方时，设CFQx，=由1.?2CFQPF

C=得，2PFCx=.根据平行线的性质即可得到结论．试题解析：()142EFP=o或66.o()2ⅰ如图1，当点Q在平行线AB，CD之间时：设PFQ的度数为x，由折叠可得：.EFPx=1.2CFQPFC=Q.PFQCFQx==.?ABCDQP

,180.AEFCFE+=75180.xxx+++=解得：35.x=即：35.EFP=3ⅱ如图2，当点Q在CD的下方时,设CFQx，=由12CFQPFC=Q得：2.PFCx=3PFQx

=，由折叠得3.PFEPFQx==,?ABCDQP180.AEFCFE+=2375180.xx++=解得：21.x=363.EFPx==综上：EFP的度数为35或63.【变式1】如图，将△ABC沿DE，E

F翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF＝142°，则∠C的度数为（）A．38°B．39°C．42°D．48°【答案】A【解析】根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠

A+∠B，利用三角形内角和解答即可．解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣14

2°=38°．故选A．4点拨：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．【变式2】如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、

CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且'ED在AEF内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FED′的度数为___________(用含n的代数式表示)．【答案】1804n−

【分析】先根据角之间的关系表示出∠AEA′+∠DED′，再由折叠的性质得到∠A′EF+∠D′EG，然后根据∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′可表示出∠FEG，最后利用角平分线的性质求出∠FED′即可.解：∵∠AEA′+∠DED′－∠A′ED′=180°

，∠A′ED′=n°，∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，由折叠的性质可知，∠AEA′=2∠A′EF，∠DED′=2∠D′EG，∴∠A′EF+∠D′EG=1802n+oo，∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′=1802nn+−ooo=1802n−oo，

∵ED′平分∠FEG，∴∠FED′=12∠FEG=1804n−oo.【点拨】本题考查与折叠、角平分线有关的角度问题，明确折叠的性质，正确找出角与角之间的关系是解题的关键.2.如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．（均只需写出结论即可）

（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是．5（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系是．（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系是．（4）将上述问题推广，如图4，将四

边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是．【答案】(1)∠AMC′＝2∠ACB；（2）∠AMC′＋∠BNC′＝2∠ACB；（3）∠AMC′－∠BNC′＝2∠ACB；（4）∠AMD′+∠BNC

′＝2(∠C＋∠D－180°).试题分析：（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；（2）先根据折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由两个平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′

等于360°与四个折叠角的差，化简为结果；（3）利用两次外角定理得出结论；（4）与（2）类似，先由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由两平角的和为360°得：∠AMD′+∠BNC′=3

60°﹣2∠DMN﹣2∠CNM，根据四边形的内角和得：∠DMN+∠CNM=360°﹣∠C﹣∠D，代入前式可得结论．试题解析：解：（1）由折叠得：∠ACB=∠MC′C，∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，∴∠AMC′=2∠ACB；故答案为：∠AMC′=

2∠ACB；（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由是：由折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，∵∠CMA+∠CNB=360°，∴∠AMC′+∠′BNC′=360°﹣∠CMN﹣∠C′MN﹣∠CNM﹣∠C′NM=360°﹣2∠CMN﹣2∠CNM，

∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）=2∠ACB；（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，∵∠C=∠C′，∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，∴∠AMC′﹣∠BNC′=2∠AC

B；（4）由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，∵∠DMA+∠CNB=360°，∴∠AMD′+∠BNC′=360°﹣2∠DMN﹣2∠CNM，∵∠DMN+∠CNM=360°﹣∠C﹣∠D，∴∠AMD

′+∠BNC′=360°﹣2（360°﹣∠C﹣∠D）=2（∠C+∠D-180°），故答案为：∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D﹣180°）．6点拨：本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是

利用平角和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．【变式1】将△ABC的∠C折起，翻折后角的顶点位置记作C′，当C′落在AC上时（如图1），易证：∠1=2∠2．当C′点落在CA和CB之间（如图2）时，或当C′落在CB、CA的同旁（如图3）时，∠1、∠2、∠3

关系又如何，请写出你的猜想，并就其中一种情况给出证明．图1图2图3【答案】∠1－∠3=2∠2，证明见解析．【分析】利用轴对称的知识找出等解即可进行推理判断．解：当C′点落在CA和CB之间（如图2）时，∠1+∠3=2∠

2；当C′落在CB、CA的同旁（如图3）时，∠1－∠3=2∠2；对于图2证明如下：连结CC’，如图4所示，∵⊿EC’D是由⊿ECD翻折得到的，∴⊿EC’D≌⊿ECD，由此得EC=EC’，DC=DC’，∠EC’D=

∠ECD，∴∠EC’C=∠ECC；∠DC’C=∠DCC，∵∠1=∠DC’C+∠DCC’，∠3=∠EC’C+∠ECC’，∴∠1+∠3=∠DC’C+∠DCC’+∠EC’C+∠ECC’=2∠DC’C+2∠EC’C=2(∠DC’C+∠EC’C)

=2∠2；∴∠1+∠3=2∠2；对于图3证明如下：设AC与DC’在⊿ABC内部所夹角为∠4，如图5所示，7则有∠1=∠C+∠4，∠4=∠3+∠2，又由翻折得：∠2=∠C，∴∠1=∠2+∠3+∠2=∠3+2∠2，∴∠1－∠3=2∠2．【点拨】本

题主要考查了轴对称的性质.找准对称轴是解题的关键．【变式2】如图1，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G．若∠EFG=20°，（1）求∠AEG，∠BGE的度数．（2）再沿GF折叠成如图2，求图2中的∠CFE的度数.图1图2【答案】（1）∠AEG=140˚,∠BGE=40˚；

（2）∠CFE=120˚【解析】【分析】（1）如图，由折叠的性质可得，∠D′EF=∠FEG，根据平行线的性质可得，∠D′EF=∠EFG=20°，根据平角的定义即可求得∠AEG，从而再由平行线的性质求得∠BGE

；（2）由（1）可知∠GFC的度数，根据∠CFE=∠GFC-∠EFG进行计算即可得.【详解】（1）由折叠的性质可得，∠D′EF=∠FEG，∵AE//BG，∴∠D′EF=∠EFG=20°，∴∠D′EG=∠D′EF+∠FEG=40°，∴∠AEG=1

80°-∠D′EG=140°，∵AE//BG，∴∠BGE=∠D′EG=40°；（2）∵FC//DG，∴∠FGD+∠GFC=180°，∵∠FGD=∠BGE=40°，∴∠GFC=140°，8∴∠CFE=∠GFC-∠EFG=14

0°-20°=120°.【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题）；平行线的性质等，结合图形灵活运用相关知识解题是关键，注意要弄清折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化.【变式3】如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，M、N分别在射线

BC和射线AD上，连接EM，EN，将三角形MBE沿EM折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B落在点B’处；将三角形NAE沿EN折叠，点A落在点A’处.（1）若MEB30=，NEA45=，用直尺、量角器画出射线EB’与EA’；（2）若MEB3

0=，NEA45=，求A'EB'的度数；（3）若MEBα=，NEAβ=，用含αβ、的代数式表示A'EB'的度数.【答案】（1）作图见解析；（2）30°；（3）∠A'EB'=180°－2(α+β)或2(α+β)－180°．【分析】（1）根据已知作图即可；（2）由折叠的性质得到∠AE

N=∠A'EN，∠BEM=∠B'EM，根据平角的定义得到2∠AEN+2∠BEM+∠A'EB'=180°，即可得到结论；（3）分两种情况讨论：①当α+β≤90°时，②当α+β＞90°时．解：（1）如图：9（2）由折叠的性质得：∠AEN=∠A'EN，∠BEM=∠B'EM．∵2∠

AEN+2∠BEM+∠A'EB'=180°，∴∠A'EB'=180°－2(∠AEN+∠BEM)=180°－2(45°+30°)=30°；（3）分两种情况讨论：①当α+β≤90°时，如图1，由（2）可知：∠A'EB'=180°－

2(∠AEN+∠BEM)=180°－2(α+β)；②当α+β＞90°时，如图2，类似可得：∠A'EB'=2(∠AEN+∠BEM)－180°=2(α+β)－180°．综上所述：∠A'EB'=180°－2(α+β)或2(α+β)－180°．【点拨】

本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，正确的识别图形是解答本题的关键．