【文档说明】江苏省南京市中华中学2023-2024学年高三暑期小练（1）数学解析.docx，共(20)页，1.144 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-481fa8f22bb6b269f150179411867bd6.html

以下为本文档部分文字说明：

中华中学2023-2024学年度暑期小练（1）试卷高三数学本卷考试时间：90分钟总分：100分命题人：审核人：一､选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1

．已知复数113iz=+，21iz=−，且复数z满足12zzz=，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】根据复数的除法运算先求出z，再根据共轭复数的关系求出复数z，根据复数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为复数113iz=+

，21iz=−，所以()()()()1213i1i13i12i1i1i1izzz+++====−+−−+，所以复数12iz=−−，所以z在复平面内对应的点为()1,2−−，位于第三象限.故选：C.2．设命题p：x

R，ln1−xx，则p为（）A．0xR，00ln1xx−B．xR，ln1xx−C．0xR，00ln1xx−D．0xR，00ln1xx−【答案】A【分析】由全称量词命题的否定求解即

可.【详解】全称量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，因为p：xR，ln1−xx，所以p为0xR，00ln1xx−.故选：A.3．在ABC中，角,,ABC的对边分别为π,,,6,3abcaA==，则ABC外接圆的面积为（）A．4πB．12πC．16πD．48π【答案】B【分析】利

用正弦定理结合已知可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积》【详解】设ABC外接圆的半径为R，则6243sin32aRA===，解得23R=，所以ABC外接圆的面积为12π.故选：B.4．在ABC中，()()()acacbbc+−=+，

则A=（）A．30B．60C．120D．150【答案】C【分析】先由()()()acacbbc+−=+得到222acbbc−=+，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】因为()()()acacbbc+−=+，所以222acbbc−=+，所以222bcbca−=+−，由

余弦定理，可得：2221cos22bcaAbc+−==−，所以120A=o.故选:C5．设直线yx=与椭圆2cossin,xy==交于A、B两点，点P在直线3ykx=+上．若2PAPB+=，则实数k的取值范围是（）A．(2,2)−B．[22,22]−C．(,2)(2,)−

−+D．(,22][22,)−−+【答案】D【分析】先消参将参数方程转化为普通方程，得A、B两点关于原点对称，转化PAPB+为2PO，则问题转化为定点O到直线上一点P距离为1，建立不等式求斜率范围即可.【详解】椭圆方程为2214xy+=，椭圆中心在原点，直线

yx=与椭圆交于A、B两点，则由对称性可知，A、B关于原点对称，所以|||2|2PAPBPO+==，所以||1PO=，故原点到直线3ykx=+的距离2311dk=+，解得22k或22k−，故选：D.【点睛】关于三角形中线的向量表示：在ABC中，AM是边

BC上的中线，则1122AMABAC=+.6．比较，，的大小（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可求出，，进而可判断三者的大小关系.【详解】解：因为，所以，，，则，故选：B.备选：设13a=，7ln5b=，1sin3c=，则（）A．c<a<

bB．b<c<aC．cbaD．abc【答案】A【分析】因为72(1)145731215−==+，所以构造函数2(1)()ln1xfxxx−=−+(0)x，利用导数判断单调性，可得ba，令()singxxx=−，π[0,)2x，利用导数判断单调性，可得ac.【详解】因

为72(1)145731215−==+，所以设2(1)()ln1xfxxx−=−+(0)x，21(1)(1)()2(1)xxfxxx+−−=−+22(1)(1)xxx−=+0，所以()fx在(0,)+上为增函数，所以7()(1)

05ff=，所以72(1)75ln07515−−+，所以71ln053−，即71ln53，所以ba.令()singxxx=−，π[0,)2x，()1cos0gxx=−≥，所以()singxxx=−在π[0,)2上为增函数，所以1()(0)03gg=，所以1

1sin033−，即11sin33，所以ac，综上所述：bac.故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数2(1)()ln1xfxxx−=−+(0)x，()singxxx=−，π[0,)2x，利用导数判断单调性，根据单调性比较大

小是解题关键.7.设函数()()11fxaxxb=−−+为奇函数且在R上为减函数，则关于,ab的值表述正确的是（）A．1,1ab=B．1,1abC．1,1ab=D．1,1ab【答案】C【分析】根据函数奇偶性的定义结合二次

函数的单调性即可得解.【详解】因为函数()()11fxaxxb=−−+为R上的奇函数，且递减，所以10a−且()()11ff−=−，即()()112abab−−−=−−−，所以2bb−=−，解得1b=，经检验符合题意，故()()()()221,011,0axxfxaxxaxx−

=−=−−，因为函数()()1fxaxx=−在R上为减函数，所以10a−，所以1a.故选：C.8.已知点G为三角形ABC的重心，且GAGBGAGB+=−，当C取最大值时，cosC=（）A．45B．35C．25D．15【答案】A【分析】由题设可得0AGBG=，结合1()3A

GACAB=+，1()3BGBABC=+及余弦定理可得2cos()5abCba=+，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GAGBGAGB+=−，所以22()()GAGBGAGB+=−，即222222GAGBGAGBGAGBGAGB++=+−，所以0GAGB=uuru

uur，所以AGBG⊥，又211()()323AGACABACAB=+=+，211()()323BGBABCBABC=+=+，则11()()()099AGBGACABBABCACBAACBCABBAABBC=++=+++=，所以2CACBACABBABCAB=+

+，即2coscoscosabCbcAacBc=++，由222cos2bcaAbc+−=，222cos2acbBac+−=，222cos2abcCab+−=，所以2225abc+=，所以222244cos()2555abcababCabbaba+−==+=

，当且仅当ab=时等号成立，又cosyx=在()0,π上单调递减，()0,πC，所以当C取最大值时，cosC=45.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得2225abc+=

，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.二､多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．若a，b，c为实数，下列说法正确

的是（）A．若ab，则22acbcB．若0ab，则22aabbC．“关于x的不等式20axbxc++恒成立”的充要条件是“0a，240bac−”D．“1a”是“关于x的方程20xxa++=有两个异号的实根”的必要不充分条件【答案】BD【解析】若

0c=，则A选项不成立；根据不等式的性质，可判断B正确；根据充要条件的概念，可判断C错；根据充分条件和必要条件的概念，结合方程根的个数，可判断D正确.【详解】A选项，若ab，0c=，则22acbc=，A错；B

选项，若0ab，则2aab，2abb，即22aabb，B正确；C选项，不等式20axbxc++不一定是一元二次不等式，所以不能推出0a；由0a，240bac−，可得出不等式20axbxc++恒成立，所以“关于x的不等式20

axbxc++恒成立”的充要条件不是“0a，240bac−”，C错；D选项，若关于x的方程20xxa++=有两个异号的实根，则0140aa=−，即a<0，因此“1a”是“关于x的方程20x

xa++=有两个异号的实根”的必要不充分条件，D正确.故选：BD.10．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为sinyAx=，其中A影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度

越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉．平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是()()111sinsin2sin3sin323fxxxxnxnn=++++．则下列说法正确的有（）A．()fx是偶函数；B．()fx的最小正周期可能为π；C

．若声音甲的函数近似为()1sinsin33fxxx=+，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22hxx=的响度大；D．若声音乙的函数近似为()1sinsin22gxxx=+，则声音乙一定比纯音()1sin33mxx=低沉．【答案】CD【分析

】对于A，根据奇函数的定义判断，可知A错误；对于B，根据函数周期性的定义，可知B错误；对于C，比较振幅的大小，可知C正确；对于D，求出频率，比较大小，可知D正确.【详解】对于A，因为()()()()()1111()s

insin2sin3sin4sin234fxxxxxnxn−=−+−+−+−++−1111sinsin2sin3sin4sin()234xxxxnxfxn+++++=−，所以函数1111()sinsin2sin3sin4sin234fxxxxxnxn=+++++是奇函

数，故A错误；对于B，因为()()()()()111πsinπsin2πsin3πsinπ23fxxxxnxn+=++++++++()111sinsin2sin3sin23xxxnxfxn=−+−++，故B错误；对

于C，因为π()4f=212232+12，所以声音甲的振幅大于12，而纯音()1sin22hxx=的振幅等于12，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22hxx=响度大，故C正确；对于D，因为sinyx=的最小正周期为2π，1sin22yx=的最小正周期为π，所以()1sin

sin22gxxx=+的最小正周期为π，频率为1π，()1sin32hxx=的频率为32π，13π2π，所以声音甲一定比纯音()1sin32hxx=更低沉．故D正确.故选：CD11.已知0,0,1abab+=，则下列结论正确的是（）A

．22abab+的最大值为14B．+ab的最大值为1C．22abab++的最小值为743+D．1422abab+++的最小值为3【答案】AC【分析】根据均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解.【详解】0,0,1abab+=

.对于()2221A,24abababababab++=+==，当且仅当12ab==时取等号，故A正确；对于B，当12ab==时，21ab+=，故B错误；对于()()222234343434C,7743ababababababa

bababbababa++++++===+=++=+++，当且仅当34abba=时取等号，故C正确；对于D，()()()421414112225322223322ababababababababab

ab+++=++++=++++++++，但是当()42222abababab++=++时，0a=不符合题意，故等号不成立，故D错误.故选：AC.12.已知两曲线exy=与lnyxa=+，则

下列结论不正确的是（）A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标()1,2xB．若3a=，则两曲线只有一条公切线C．若2a=，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为eD．若1,,aPQ=分别是两曲线上的点，

则,PQ两点距离的最小值为1【答案】ABD【分析】对于选项A，由公切线斜率相等，可得关系00e1xx=，借助导数求出x范围；对于选项B，由()eln3xhxx=−−有两个零点可判断为错误；对于选项C，由导数的几何意义，表示出切线方程

，解方程组可判断；对于选项D，由图象，或找到两曲线斜率相等的切线，求出切线间的距离，可判断.【详解】若两曲线只有一个交点，记交点为()00,exAx，则00elnxxa=+，且在此处的切线为公切线，所以001exx=，即0x满足00e1xx=.设()exfxx

=，则()1,x−+时单调递增，()1e1f=，所以A错误.如上图，3a=时，设()eln3xhxx=−−，则1()exhxx=−，由于(1)e10h=−，1()e202h=−，所以存在01(,1)2x，使得()0hx=，那么当0

(0,)xx时，()0hx，()hx为单调递减函数，当0(,)xx+时，()0hx，()hx为单调递增函数，且1()eln2302h=+−，所以()0hx=有两个零点，则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以B错误.2a=时，设(),ett是曲线exy=

上的一点，exy=，所以在点(),ett处的曲线exy=切线方程为()eettyxt−=−，即()e1ettyxt=+−①，设(),ln2ss+是曲线lnyxa=+上的一点，1yx=，所以在点(),ln2ss+处的切线方程为()()1ln2ysxs

s−+=−，即1ln1yxss=++所以1e(1)eln1ttsts=−=+，解得0=t或1t=所以所以两斜率分别是1和e，所以C正确.1a=时，曲线exy=的一条切线为1yx=+，lnyxa=+的一条切线yx=,两切线间

的距离为最小值22，所以D错误.二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填写在题中的横线上.）13．已知命题p：对xR，23220xxa−+，若p为真命题，则实数a的最小值是______．【答案】23【分析】利用一元二次不等

式恒成立，求出a的范围作答.【详解】因为xR，23220xxa−+，于是2(22)120a=−，解得23a，所以实数a的最小值是23.故答案为：2314.已知sinπ2α43−=，则sin2=___________.【答案】59【解析】【分析】

“给值求值”问题，找角与角之间的关系【详解】2sinsin443−=−−=所以2sin43−=−所以2225sin2cos2cos212sin12244

39=−=−=−−=−−=故答案为：5915．已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则.【答案】2【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.【详解】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影为，∴

，∴，∴，∴.故答案为：216.若存在实数,ab使得eeln3abab+++，则ab+的值为__________.【答案】1e/1e−【分析】由已知得ln1eeln3++++abab，令()e1xfxx=−−，利用导数可得e1xx+，再根据

等号成立的条件可得答案.【详解】由已知得ln1eeln3++++abab，令()e1xfxx=−−，则()e1xfx=−，当0x时，()0fx¢>，()fx单调递增，当0x时，()0fx，()fx单调递减，所以()()0=0fxf，可得e1xx+，

所以ln1e1eln11,++++abab，即ln1eeln3++++abab，当且仅当0ln10,=+=ab即1eb=等号成立，此时ab+的值为1e.故答案为：1e.备选在ABC中，a，b，c分别是角A，

B，C所对的边，C为最大角，若222sinsinsin2ABC++=.且25ba+=，则ac+的最小值为___________．【答案】4【解析】由222sinsinsin2ABC++=，利用二倍角公式，和差化积化简为2cosC()coscosCAB=−，再根据C为最大角，得到2C

=，设0,2B=，则cos,sinacbc==，由25ba+=，得到5sin2cosc=+，从而得到()51cossin2cosac++=+，然后令1cos0sin2cost+=+，利用三角函数的性质求解.【详解】因为222sinsin

sin2ABC++=，所以21cos21cos21cos222AbC−−++−=，()21coscos2cos22CAB=−+，()()coscosABAB=−+−，()coscosCAB=−，又因为C为最大角，所以ABC−，所以cos0C=，即2C=，设0,2B

=，则cos,sinacbc==，所以2sin2cos5bacc+=+=，解得5sin2cosc=+，所以()51cossin2cosac++=+，令1cos0sin2cost+=+，则()21cossin1tt−+=

，所以()()()222221sin21tttt−++−+，即()22211tt−+，解得45t或0t（舍去），所以ac+的最小值为4，故答案为：4【点睛】关键点点睛：本题关键是由2cosC()c

oscosCAB=−，结合C为最大角，得到2C=，从而设0,2B=，建立()51cossin2cosac++=+，利用三角函数的性质得解.四､解答题（本大题共4小题，共44分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17．(10分)已知集合18Ax

x=−，21=|=log,[,32]8Byyxx.(1)求集合AB；(2)若121Cxmxm=+−，()CAB，求实数m的取值范围.【答案】(1)3,8−(2)3m【分析】（1）先化简集合A、B，再利

用并集定义去求AB即可解决；（2）利用题给条件列出关于实数m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【详解】（1）因为集合18Axx=−，21=|=log,[,32]|358Byyxxyy=−，所以=|3

5|18|383,8AByyxxxx−−=−=−（2）由（1）得，=|35|18|151,5AByyxxxx−−=−=−当2m时，+121mm−，C=，满足()CAB，符合题意；当2m时，C，若1

,5C−则211215mmm+−−，解之得23m综上，实数m的取值范围是3m18．(10分)在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3sincosaBbAb−=．（1）求A；

（2）若2bc+=，当a取最小值时，求ABC的面积．【答案】（1）3；（2）34ABCS=!.【分析】（1）先由正弦定理得3sincos1AA−=，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数即得；（2）利用余弦定理得222abcbc

=+−及基本不等式可得不等式成立时可得ABC为等边三角形，进而即得.【详解】（1）在ABC中，由正弦定理得3sinsinsincossinABBAB−=，又()0,B，所以sin0B，∴3sincos1AA−=，∴2sin16A

−=，得1sin62A−=，又()0,A，所以66A−=，即3A=．（2）因为3A=，所以222222cosabcbcAbcbc=+−=+−又2bc+=，所以()()22223312bca

bcbcbc+=+−+−=．当且仅当1bc==时，a取得最小值1，即ABC为等边三角形．所以34ABCS=!．19．(12分)已知函数()22sincos23cos3222xxxfx=+−.(1)若不等式()3fx

m−对任意,63x−恒成立，求整数m的最大值；(2)若函数()2gxfx=−，将函数()gx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位，

得到函数()yhx=的图象，若关于x的方程()()1sincos02hxkxx−+=在5,1212x−上有解，求实数k的取值范围.【答案】(1)4(2)22,22−(1)由题意得，()22sincos23cos3222xxxfx=+−2si

n32cos12xx=+−sin3cosxx=+π2sin3x=+.因为ππ,63x−，所以ππ2π633x+，所以1πsin123x+，所以当π6x=−时，()fx的最小值为1；当π6x=时，()fx的最大值为2，所以

()12fx.由题意得，()33fxm−−，所以()33mfxm−+对一切ππ,63x−恒成立，所以3132mm−+，解得14m−，所以整数m的最大值为4.(2)由题意知，()ππππ2sin2sin2236gxfxxx=−=−+=+

，将函数()gx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得π2sin26yx=+，再向右平移π12个单位得()ππ2sin22sin2126hxxx=−+=，因为关于x的

方程()()1sincos02hxkxx−+=在区间π5π,1212−上有解，整理得：()sin2sincos0xkxx−+=，即()2sincossincos0xxkxx−+=（*）在区间π5π,1212−上有解，πsincos2sin4txxx=+=+，因

为π5π,1212x−，所以π2π,436x+令π22sin,242tx=+，（*）式可转化为：210tkt−−=在2,22t内有解，所以1ktt=−，2,22t，又因为yt=和1yt=−在2,

22t为增函数，所以1ytt=−在2,22为增函数，所以当22t=时，1ktt=−取得最小值22−；当2t=时，1ktt=−取得最大值22，所以22,22k−，综上所述：k的取值范围为22,22−.20．(12分)设函数

()exfxax=−，其中aR.(1)讨论函数()fx在[1,)+上的极值；(2)若函数f(x)有两零点()1212,xxxx，且满足1211xx++，求正实数的取值范围.【答案】(1)答案见解

析(2)[1,)+【分析】（1）求出()exfxa=−，分ea、ea讨论，可得答案；（2）由零点存在定理可知120lnxax，而题设1212ee0xxaxax−=−=，消去a可得221121eeexxxxxx−==，令21

1xtx=，且21lntxx=−，求出2x，1x，将其代入1211xx++得(1)(1)()ln01tFttt+−=−+，再利用导数分1、01讨论可得答案..【详解】（1）由()exfxax=−知()exfxa=−，1）

当ea时，且有[1,)x+，()0fx，()fx单调递增，故无极值；2）当ea时，有(1,ln)xa，()0fx，()fx单调递减，而(ln,)xa+，()0fx，()fx单增，故()(ln)lnfxfaaaa==−极小值，()fx无极大值.综上，当ea时，()fx无极

值；当ea时，()fx极小值为lnaa−，()fx无极大值；（2）由（1）可知当ea时，(ln)(1ln)0faaa=−，1(00f=），且xfx→+→+，（），由零点存在定理可知120l

nxax，而题设可知1212ee0xxaxax−=−=，消去a可得221121eeexxxxxx−==，令211xtx=，且21lntxx=−，即2ln1ttxt=−，1ln1txt=−，将其代入1211xx++，整理可令得(1)(1)()ln01tF

ttt+−=−+，而()()22221(1)1(1)(1)(1)ttFttttt−−+=−=++，1)当1时，且(1,)t+，有()22(1)0(1)tFttt−+，()Ft单调递增，()(1)0FtF=，满足题设；2)当01时，且211,t

，有()0Ft，()Ft单调递减，()(1)0FtF=，不满足题设；综上，的取值范围为[1,)+.【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是1212ee0xxaxax−=−=消去a可得221121eeexxxxxx−==，令

211xtx=得2x、1x，将其代入1211xx++构造函数(1)(1)()ln01tFttt+−=−+，本题还考查了学生思维能力、运算能力.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com