【文档说明】浙江省浙北G2联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.459 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-46e02caaef965eddd63d63697562c903.html

以下为本文档部分文字说明：

浙北G2期中联考2023学年第一学期高二数学试题命题：湖州中学审题：嘉兴一中考生须知：1.全卷分试卷和答卷.试卷4页，答卷4页，共8页.满分150分，考试时间120分钟.2.本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效.3.请用钢

笔或水笔将班级､姓名､试场号､座位号分别填写在答卷的相应位置上.4.本试题卷分选择题和非选择题两部分.试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线50xy−+=的倾斜角=

()A.135B.120C.60D.45【答案】D【解析】【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】解:设直线50xy−+=的倾斜角为，将直线50xy−+=的方程变为5yx=+，所以直线的斜率1k=，即tan1=，又因为0180

，所以45=．故选：D．2.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,1,1)P关于平面xOz对称的点Q的坐标是（）A.(1,1,1)−B.(1,1,1)−−C.(1,1,1)−D.(1,1,1)−【答案】D【解析】【分析】由点(1,1,

1)P关于平面xOz对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.【详解】点(1,1,1)P关于平面xOz对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数则对称点(1,1,1)Q−故选：D【点睛】本题主要考查了求关于坐标平面对称点的坐标，属于基础题.3.下列方程是圆22(1)(3)1x

y−++=的切线方程的是A.0xy−=B.0xy+=C.0x=D.0y=【答案】C【解析】【详解】试题分析：已知圆的圆心为(1,3)C−，半径为1，圆心C只有到直线0x=的距离为1，即此直线与圆相切．故选C．考点：直线与圆的位置关系．4.已

知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若222sin3sinsinsinsinBACAC+=+，则B=（）A.3B.6C.4D.2【答案】B【解析】【分析】由正弦定理角化边，再利用余弦定理可得答案

.【详解】因为222sin3sinsinsinsinBACAC+=+，所以，由正弦定理得2223bacac+=+，即2223acbac+−=，由余弦定理得2223cos22acbBac+−==．因为0B，所以6B

=．故选：B.5.平行六面体1111ABCDABCD−中，1ABAD==，12AA=，90DAB=，11120AADAAB==，则线段1AC的长度是（）A.4B.22C.2D.2【答案】D【解析】【分析】根据11ACABADA

A=++，根据向量数量积定义和运算律可求得21AC，由此可得结果.【详解】111ACACCCABADAA=+=++，()2222211111222ACABADAAABADAAABADABAAADAA=++=++++

+11404cos1204cos1206222=+++++=−−=，12AC=，即线段1AC的长度为2.故选：D.6.已知12,FF分别是椭圆22112xym+=的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点P满

足1260FPF=，则实数m的取值范围是（）A.(0,9B.(0,6C.(0,3D.3,6【答案】A【解析】【分析】由1F，2F分别是椭圆C：22112xym+=的左、右两个焦点，求得m的范围，

当点P位于短轴端点时，12FPF取最大值，要使C上存在点P满足1260FPF=，则12FPF的最大值大于或等于60，从而可得答案.的【详解】解：由1F，2F分别是椭圆C：22112xym+=的左、右两个焦点，则012m，当

点P位于短轴端点时，12FPF取最大值，要使C上存在点P满足1260FPF=，则12FPF的最大值大于或等于60，即点P位于短轴端点时，12FPF大于或等于60，则111121sin212OFcmFPOPFa−===，解得09m．故选：A.7.如图，在三棱柱11ABCABC

−中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6ABAA==.若E是棱1BB的中点，则异面直线1AE与1AC所成角的余弦值为（）A.1313B.21313C.31313D.1326【答案】A【解析】【分析】以{

,,}abc为基底表示出11,AEAC，利用向量夹角公式计算出异面直线1AE与1AC所成角的余弦值.【详解】设1,,ABaACbAAc===，则{,,}abc构成空间的一个基底，111112AEABBEac=+=−，11ACACCCbc=

+=+，111111cos,||||AEACAEACAEAC=1()21||2acbcacbc−+=−+()222112212abbcaccacbc−+−=−+22222144cos600062124aacc

bbcc−+−=−+++222281814064064−=−+++1013135213−==−.所以异面直线1AE与1AC所成角的余弦值为1313.故选：A【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.8.已知F为双曲

线22221(0)xyabab−=的右焦点，过点F的直线分别交两条渐近线于,AB两点.若OAAB⊥，且3ABOAOB=+，则该双曲线的离心率是（）A.103B.52C.102D.5【答案】A【解析】【分析】根据勾股关系确定4,3OAAB=进

而可得3tan4ABAOBOA==，结合AOB与渐近线的倾斜角的倍角关系求解.【详解】不妨设OA的倾斜角为锐角，因为0ab，所以01ba，所以渐近线1l的倾斜角取值范围为π0,4，222222,11bc

aeaa−==−所以212,e|,,3|||||ABOAOBOAAB=+⊥Q222||||||(||||)(||||)3(||||)||ABOBOAOBOAOBOAOBOAAB=−=−+=−,所以

||3(||||)ABOBOA=−，所以1||||||3OBOAAB−=，又因为3ABOAOB=+，所以43OAAB=，在直角三角形OAB中，3tan4ABAOBOA==,设直线OA的斜率为1tan2kAOB=，所以223tan14

kAOBk==−，所以23830kk+−=，解得13k=或3k=−（舍），所以13ba=，所以该双曲线的离心率为21013bea=+=，故选：A.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全

部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若直线1ykx=+与圆C：()2229xy−+=相交于A，B两点，则AB的长度可能．．等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】CD【解析】【分析】首先找到直线所过定点()0,1P，根据直

线所截圆的弦长公式求出弦长AB的取值范围，进而求出AB的长度可能的取值.【详解】已知直线1ykx=+恒过点()0,1P，圆()22:29Cxy−+=的圆心坐标为()2,0C，半径3r=.当直线经过圆心时

，所得弦长AB最大，max26ABr==；当直线与PC所在直线垂直时，所得弦长AB最小，22min22954ABrPC=−=−=，因此可得：46AB，故AB的长度可能等于4或5.故选：CD10.若,,abc是空间的一个基底，则下列向量组可以作为空间的基底的是（）A.a

b+、ab−、aB.ab+、ab−、cC.ab+、abc++rrr、bc+D.ab+、abc++rrr、c【答案】BC【解析】【分析】利用空间向量基底的概念判断可得出结论.【详解】因为,,abc是空间的一个基底，对于A选项，()()12aabab=++−，则a

b+、ab−、a共面，A不满足；对于B选项，假设ab+、ab−、c共面，则存在、R，使得()()()()cababab=++−=++−，所以，c、a、b共面，矛盾，假设不成立，所以，ab+、ab−、c可以构成空间中的一组基底，B满足；对

于C选项，假设ab+、abc++rrr、bc+共面，则存m、nR，使得()()()abcmabnbcmamnbnc++=+++=+++，在因为,,abc是空间的一个基底，则111mmnn=+==，该方程组无解，所以，假设

不成立，故ab+、abc++rrr、bc+可以构成空间中的一组基底，C满足；对于D选项，因为()abcabc++=++rrrrrr，则ab+、abc++rrr、c共面，D不满足.故选：BC.11.已知F为椭圆221259xy+=的右焦点，直线()0R

xmym+=与椭圆交于,PQ两点，直线PF与椭圆交于另一点M，则（）A.PM的最小值为185B.FPQ△周长的最小值为16C.PF的最大值为9D.直线PM与QM的斜率之积为925−【答案】ABD【解析】【分析】

根据椭圆的标准方程及椭圆的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由椭圆的方程221259xy+=，可得5,3ab==，则224cab=−=，对于A中，因为PM经过椭圆的交点，由椭圆的性质，可得通径最短，其中通径长为22185ba=，所以PM的最小值为185，所以A

正确；对于B中，根据椭圆的对称性，可得1PFFQ=，由椭圆的定义可得1210PFQFPFPFa+=+==，又由过原点的直线交得椭圆的弦长中，短轴长最短，其中短轴长为26b=，所以FPQ△周长的最小值为16，所以B正确；设椭

圆的长轴的两个端点分别为12,AA，由椭圆221259xy+=根据椭圆的性质，可得1549AFac=+=+=，此时直线1AF的斜率为0，因为直线()0Rxmym+=斜率不为0，所以9PF，所以C不正确；设1122(),(,)Mxy

Pxy，则22(,)Qxy−−，则在,PMQM的斜率都存时，可得12121212,PMQMyyyykkxxxx−+==−+，则22221212121222221212121299(9)(9)9252525PMQMxxyyyyyykkxxxxxxxx−−−−+−

====−−+−−，所以D正确.故选：ABD.12.如图，直三棱柱111ABCABC-中，11AAAB==，2AC=，5BC=．点P在线段1BC上（不含端点），则（）A.存点P，使得1ABBP⊥B.PAPB+的最小值为有5C.ABP面积的最小值为55D.三棱锥1BPAB−与三棱锥1CPAC−

的体积之和为定值【答案】ACD【解析】【分析】以A为原点，AB，AC，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，其中点P坐标，可设1CPCB=（01），即可得出.在对于A选项，要使1A

BBP⊥，即10ABBP=，得到关于的方程，解方程即可；对于B选项，将1BBC△和1ABCV沿1BC展开，连接AB，PAPB+的最小值即AB的长度，利用锐角三角函数和两角和的余弦公式求出cosABC，再由余弦定理即可得到AB；对于C选项，设ABP=（0

2），利用向量的夹角公式求得cos，由同角三角函数的平方关系得到sin，代入三角形面积公式：1sin2ABPSABPBABP=△，结合二次函数的性质讨论最值即可；对于D选项，利用等体积法得1111BPABCPACPABBPACCVVVV−

−−−+=+，即可求解.【详解】由题意得，222BCABAC=+，即ABAC⊥，又在直三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥底面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，1AAAB⊥，1AAAC⊥，则以A为原点，AB，AC，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间

直角坐标系.因为11AAAB==，2AC=，所以()0,0,0A，()1,0,0B，()0,2,0C，()10,0,1A，()11,0,1B，()10,2,1C，(),,Pxyz，则(),2,CPxyz=−，()11,2,1CB=−

，设1CPCB=（01），则()(),2,1,2,1xyz−=−，解得xλ=，22y=−，z=，所以(),22,P−，对于A选项，()11,0,1AB=，()1,22,BP=−−，要使1ABBP⊥，即()()111

02210ABBP=−+−+=，解得12=，当112CPCB=，即P在1CB中点时，1ABBP⊥，故A选项正确；对于B选项，如图所示，将1BBC△和1ABCV沿1BC展开，如图所示，连接AB交1BC于点T，可知PAPBAB+，当点P与点T重合时取得最小

值AB，由题意得，2AC=，11BB=，12AB=，5BC=，16BC=，所以112cos6ACBCABC==，1112sin6ABBCABC==，115cos6BCBCBBC==，1111sin6BBBCBBC==，则()112521

252coscos66666ACBBCABCB−=+=−=，在ABC中，由余弦定理得，2222cosABACBCACBCACB=+−()()22225252721025225633+−+=+−==，则615

3AB+=，所以PAPB+的最小值为6153+，故B选项错误；对于C选项，()1,0,0AB=，()1,22,BP=−−，设ABP=（02），则1coscos,ABBPABBPPBABBP−===，即1cosPB−=，所以(

)2222211584sin1PBPBPBPB−−−−+=−==，则2211584144sin1522255ABPSABPBABPPBPB−+===−+

△，因为01，所以当4=5时，ABPS△取得最小值145255=，故C选项正确；对于D选项，11111111113232BPABCPACPABBPACCPPVVVVABBByACCCx−−−−+=+=+()11111111112221

32323333=−+=−+=，故D选项正确，故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的动点的相关线段的位置关系、线段长度、面积和体积的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和逻

辑推理及转化思想的应用.解答本题关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决空间的中的相关问题，同时对于转化思想的应用，利用两点之间线段最短求距离的最值，本题中B选项，将1BBC△和1ABCV沿1BC展开，利用两点之间的线段最短，PAPBAB+，求解AB

即可.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线2214yx−=的渐近线方程是__________．【答案】2yx=【解析】【详解】根据双曲线的渐近线公式得到,2ayxyxb==故答案为2yx=.14.若直线1:210lxy+

+=与直线2:230lxay+−=平行，则1l与2l间的距离是__________.【答案】52##152【解析】【分析】利用两直线平行求出实数a的值，再利用平行线间的距离公式可求得1l与2l间的距离.【详解】因为直线1:210lxy++=与直

线2:230lxay+−=平行，则23121a−=，解得4a=，所以，直线1l的方程可化为2420xy++=，直线2l的方程可化为2430xy+−=，因此，1l与2l间的距离是22235224d+==+.故答案为：52.15.如图，正四棱柱1111ABCDABCD−中，设

11,3ADDD==，点P在线段1CC上，且12CPPC=，则直线1AP与平面PBD所成角的正弦值是__________.【答案】223##223【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值.【详解】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xy

z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,3,0,1,1,1,1,0,0,0,0APBD，设平面PBD的法向量为(),,mxyz=，则()()()(),,0,1,10,,1,1,00mDPxyzyzmDBxyz

xy==+===+=，令1y=，则1xz==−，故()1,1,1m=−−，设直线1AP与平面PBD所成角大小为，则()()1111,1,11,1,211222sincos,311111436mAPmAPmAP−−−−++===

==++++，故答案为：22316.若对任意R，直线π:sincos2cos406lxy+−−−=与圆C：22()(3)1xaya−+−=均无公共点，则实数a的取值范围是__________.【答案】15(,)22−【解析】【分析】由题意可得出

圆心C到直线的距离22πsin3cos2cos461cossinaad+−−−=+，化简为223a−，解不等式即可得出答案.【详解】圆C：22()(3)1xaya−+−=的圆心(),3Caa，1

r=，由题意，圆心C到直线的距离22πsin3cos2cos461cossinaad+−−−=+，所以22ππ2sin2sin4331cossina+−+−

+，()π22sin413a−+−()π22sin413a−+−或()π22sin413a−+−−，即()π22sin53a−+或()π22sin33a−+对任意R恒成立

，即()π22sin33a−+对任意R恒成立，所以223a−，所以3223a−−，解得：1522a−．故答案为：15(,)22−.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17已知直线l过点()2,1P−.（1）若直线l与直线

2350xy++=垂直，求直线l的方程；（2）若直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点.若AOB的面积为12，求直线l的方程.【答案】（1）3280xy−+=（2）420xy+−=【解析】【分

析】（1）与直线2350xy++=垂直的直线l的方程可设为320xym−+=，将点P的坐标代入直线l的方程，求出m的值，即可得出直线l的方程；（2）设直线l的方程为()10,0xyabab+=，根据已知条件可得出关于a、b的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线l的方程

.【小问1详解】解：与直线2350xy++=垂直的直线l的方程可设为320xym−+=，将点P的坐标代入直线l的方程得()32210m−−+=，解得8m=，所以直线l的方程为3280xy−+=.【小问2详解】解：设直线l的方程为()10,0xyabab+=，由

题意可的21111220,0AOBabSabab−+===，解的212ab==，所以直线l的方程为212xy+=，即420xy+−=.18.在平面直角坐标系中，圆C过点()()4,

0,2,2AB，且圆心C在20xy+−=上..（1）求圆C的标准方程；（2）若点P为圆上任意一点，且点Q的坐标为()6,0，求线段PQ的中点M的轨迹方程.【答案】（1）22(2)4xy−+=（2）22(4)1xy−+=【解析】【分析】（1）设圆心坐标(,2)Caa−，由A

CBCr==，可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程；（2）设(),Mxy，()6,0Q，结合中点坐标公式，利用M点坐标表示出P点坐标，代入圆C方程即可得到所求轨迹方程.【小问1详解】因为C在20xy+−=上，所以设圆心(,2)Caa−，又因为圆C过点()(

)4,0,2,2AB，所以2222(4)(2)(2)aaaa−+−=−+，得：2a=，则半径()22242raa=−+==，所以圆C的标准方程为22(2)4xy−+=.【小问2详解】设中点(,)Mxy，因为线段PQ的中点M，

点Q的坐标为()6,0，则(26,2)Pxy−，因为点P为圆上任意一点，所以代入22(28)44xy−+=，化简得：22(4)1xy−+=.所以线段PQ的中点M的轨迹方程为：22(4)1xy−+=.1

9.已知函数()2sin23sin2xfxx=−.（1）求函数()fx的最小正周期及其所有的对称轴；（2）求函数()fx在区间2π0,3上的最小值.【答案】（1）2πT=，ππ6xk=+（Zx）（2）mi

n()3fx=−.【解析】【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式变形π()2sin()33fxx=+−，进一步计算即可；（2）结合函数解析式，求出变量范围，找到最小值点，进行计算即可.【小问1详解】由题意得()2sin

23sin2xfxx=−1cossin232xx−=−πsin3cos32sin()33xxx=+−=+−所以2πT=.又πππ32xk+=+得，ππ6xk=+，故所有的对称轴为ππ6xk=+（Zx）.【小问2详解】由2π[0,]3x，得πππ33x+，所以当ππ3x+=即

2π3x=时，min()3fx=−.20.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点()2,0F，离心率为233.（1）求双曲线的方程；（2）过点3,02P直线与双曲线交于,AB两点，设直线,AFBF的斜率分别为()1212,0kkkk，

求证：12kk+为定值.【答案】20.2213xy−=；21.证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出,ab，即可写出双曲线方程.（2）先根据题意可判断直线AB的斜率存在且不为0,结合过点()2,0F设出直线方

程；再与双曲线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出12,kk，结合韦达定理化简即可证明结果.【小问1详解】由题意得2222233ccacab===+，解得31ab==，所以双曲线的方程为2213xy−=.【

小问2详解】由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB方程为32xty=+，11(,)Axy，22(,)Bxy.联立223213xtyxy=+−=，消去x得223(3)304tyty−+−=，所以()()()22212212

2303Δ3430433343ttttyytyyt−=−−−+=−−=−−.121212121212121212()2111122()()2222tyyykyyyyyxxtytytkyty−++=+=+=−

−−−−−，又1212221332()022(3)2(3)tttyyyytt−+=−+=−−，120kk+=.21.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是直角梯形，且//ADBC，BCCD⊥，60ABC=，22BC

AD==，3PC=，PAB是正三角形.（1）求证：ABPC⊥；（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）31313【解析】分析】（1）取AB中点M，连接MP，MC，AC，利用线线垂直证明线面垂直；（2）以点D为坐标原

点建立空间直角坐标系，利用坐标法求面面夹角.【小问1详解】取AB的中点M，连接PM，CM，CA，PAB△是正三角形，PMAB⊥，在直角梯形ABCD中，60ABC=，22BCAD==，2ABAC==，ABC是正

三角形，COAB⊥，又COPOO=，AB⊥平面POC，而PC平面POC，ABPC⊥；【小问2详解】以D为原点，DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.【则()0,0,0D，()1,

0,0A，()2,3,0B，()0,3,0C，设()000,,Pxyz由题意可得2PAPB==，3PC=，故()()()()2220002220002220001423439xyzxyzxyz−++=−+−+=+−+=，解得943432xyz==

=，所以933,,442P，则533,,442AP=，()1,3,0AB=，设平面PAB的法向量()1111,,nxyz=，则1111111533044230nAPxyznABxy=++==+=，令13y=−，则()13,3

,2n=−−，933,,442DP=，()0,3,0DC=，平面PCD的法向量()2222,,nxyz=，则222222933044230nDPxyznDCy=++===，令22x=，则()22,0,3n=−，()(

)()()()()12222222323023313cos,13332203nn+−+−−==+−+−++−，平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为31313.22.已知椭圆22221(0)xyabab+=的长轴长为22，过坐标原点的直线交椭圆于,PQ两点，点P在第一

象限，PEx⊥轴，垂足为E，连结QE并延长交椭圆于点1,2GPGQGkk=−（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：PQG是直角三角形；（3）求PQG面积的最大值.【答案】22.2212xy+=；23.证明见解析；24.89【解析】【分析】（1）根据长轴长求出a，结合2212GPGQbk

ka=−=−求出b，即可求得椭圆的标准方程；（2）分别求出,GPGQkk，并得到1GPQPkk=−，进而得到GPQP⊥即可得证；（3）分别求出||,||PGPQ，写出面积后利用均值不等式求解.【小问1详解】2222aa==，设椭圆的标准方程为22212x

yb+=，001111(,),(,),(,)GxyPxyQxy−−，则22002222222201010122222011121202212xyxxyyyybbbxxxyb+=−−−+==−−+=22201010122

010101122GPGQyyyyyybkkxxxxxx−+−===−=−−+−，则21b=，所以椭圆的标准方程为：2212xy+=【小问2详解】设222(,),0,0,12mPmkmmkkm+=，所以(,),(

,0)QmkmEm−−，22GQEQkmkkkm===，1122GPkkk−==−，所以GPQP⊥，所以PQG是直角三角形【小问3详解】直线2:QGxymk=+，代入2212xy+=，得：22222(24)420kymkymkk+++−=

，所以2222224QPmkkyyk−=+又Qykm=−，所以()()2222224Gmkkykkm−=+−，则2222222222225211(24)()(24)mkkkmmPGkkmkkkkmkm−+−=+−=++−+因

为(),Pmkm在2212xy+=上，所以()222211122mkmmk+==+又212PQkm=+，故222222222422212()12522(1)2(1)(1)1515224(2)()1222PQG

kkmmkkkkkSPGPQkkkkkkkkk++−++==+===+++++++令12tkk=+?，所以224811922PQGtSttt==++，当且仅当2t=时取等.所以PQG面积的最大值为89.获得更多资源请扫码加入享学资源

网微信公众号www.xiangxue100.com