【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第三章 函数、导数及其应用 考点测试8 函数的单调性 含解析.doc，共(14)页，316.619 KB，由envi的店铺上传

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1考点测试8函数的单调性高考概览本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查．题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为低、中、高各种档次考点研读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2．会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性一、基础小题1．下列函数中，在区间(0

，1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4答案A解析函数y＝3－x，y＝1x，y＝－x2＋4在区间(0，1)上均为减函数，y＝|x|在区间(0，1)上为增函数．故选A.2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上()A．单调递减B．单调

递增C．先单调递减后单调递增D．先单调递增后单调递减答案C解析由函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，对称轴为直线x＝3，知y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上先单调递减后单调递增．故选C.3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围为()A．

12，＋∞B．－∞，12C．12，＋∞D．－∞，122答案D解析当2a－1<0，即a<12时，该函数是R上的减函数．故选D.4．函数f(x)＝－x＋1x在－2，－13上的最大值是()A．32B．－83C．－2D．2答案A解析因为f(x)＝－x＋1x在

－2，－13上为减函数，所以当x＝－2时，f(x)取得最大值，且为2－12＝32.故选A.5．函数f(x)＝x＋c（x≥0），x－1（x<0）是增函数，则实数c的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－1]答案A

解析∵f(x)在R上单调递增，∴c≥－1，即实数c的取值范围是[－1，＋∞).故选A.6．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A．y＝1f（x）在R上为减函数B．y＝|f(x)|在R上为增函数C．y＝－1f（x）在R上为增函数D．y＝－f(x

)在R上为减函数答案D解析A错误，如f(x)＝x，y＝1f（x）在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；B错误，如f(x)＝x，y＝|f(x)|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；C错误，如f(x)＝

x，y＝－1f（x）在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．故选D.37．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1]B．(－

1，0)∪(0，1)C．(0，1)D．(0，1]答案D解析f(x)＝－(x－a)2＋a2，当a≤1时，f(x)在[1，2]上是减函数；g(x)＝ax＋1，当a>0时，g(x)在[1，2]上是减函数，则a的取值范围是0<a≤1.故选D.8．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当

x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c答案D解析因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f－12＝f

52.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e，所以f(2)>f52>f(e)，所以b>a>c.9．(多选)已知函数f(x)＝l

og23(x2－2x－3)，规定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)，则下列区间可作为E的是()A．(3，6)B．(－1，0)C．(－4，－2)D．(－3，－1)答案CD解析由题意知函数f(x)＝l

og23(x2－2x－3)在区间E上单调递增，由x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，当x∈(－∞，－1)时，函数y＝x2－2x－3是减函数，结4合复合函数的单调性可知，函数f(x)＝log23(x2－2

x－3)是增函数，即(－∞，－1)为函数f(x)＝log23(x2－2x－3)的单调递增区间，而(－4，－2)⊆(－∞，－1)，(－3，－1)⊆(－∞，－1)，所以(－4，－2)和(－3，－1)可作为E.故选CD

.10．(多选)如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对于任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函数”的是()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝3

x－13xC．f(x)＝x3－3xD．f(x)＝x|x|答案BD解析根据题意，对于任意两个不相等实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的

增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sinx为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x

为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝x2，x≥0，－x2，x＜0为奇函数且在R上为增函数，符合题意．故选BD.11．设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，log2x，x

>4.若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，5需满足a≥4或a＋1≤2，

即a≤1或a≥4.12．已知f(x)＝ax＋1x＋2，若对任意x1，x2∈(－2，＋∞)，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则a的取值范围是________．答案12，＋∞解析由f(x)＝ax＋1x＋2＝a＋1－2ax＋2，且y＝f(x)在(－2，＋∞)上

是增函数，得1－2a<0，即a>12.二、高考小题13．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A．f(x)＝－xB．f(x)＝23xC．f(x)＝x2D．f(x)＝3x答案D解析解法一(排除法)：取x1＝－1，x2＝0，对于A，有f(x1)＝1

，f(x2)＝0，所以A不符合题意；对于B，有f(x1)＝32，f(x2)＝1，所以B不符合题意；对于C，有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C不符合题意．故选D.解法二(图象法)：如图，在同一平面直角坐标系中分别作

出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，由图可快速直观地判断D项符合题意．故选D.14．(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在12，＋∞单调递增6B．是奇函数，且在－1

2，12单调递减C．是偶函数，且在－∞，－12单调递增D．是奇函数，且在－∞，－12单调递减答案D解析f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x

x≠±12，关于坐标原点对称，又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为定义域上的奇函数，可排除A，C；当x∈－12，12时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，∵y＝ln(2x＋1)在

－12，12上单调递增，y＝ln(1－2x)在－12，12上单调递减，∴f(x)在－12，12上单调递增，排除B；当x∈－∞，－12时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－

2x)＝ln2x＋12x－1＝ln1＋22x－1，∵μ＝1＋22x－1在－∞，－12上单调递减，f(μ)＝lnμ在定义域内单调递增，∴根据复合函数单调性可知f(x)在－∞，－12上单调递减，D正确．故选D.15．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y

＜3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0答案A解析由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y.令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2x为R上的增函数，y＝3－x为

R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数．∴x＜y，∴y－x＞0，∴y－x＋1＞1，∴ln(y－x＋1)＞0，故A正确，B错误．∵|x－y|与1的大小关系不确定，故C，D无法确定．故选A.16．(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数

f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞)7B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]答案D解析因为定义在R上的奇

函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得x<0，－2≤

x－1≤0或x－1≥2或x>0，0≤x－1≤2或x－1≤－2或x＝0，解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.17．(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调

递减，则()A．flog314>f(2－32)>f(2－23)B．flog314>f(2－23)>f(2－32)C．f(2－32)>f(2－23)>flog314D．f(2－23)>f(2－32)>flog

314答案C解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以flog314＝f(－log34)＝f(log34).又因为log34>1>2－23>2－32>0，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(log34)<f(2－23)<f(2－32).故选C.三、模拟小题818．(2

022·山东日照高三上开学校际联考)指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数，则函数g(x)＝(a－2)x3在R上的单调性为()A.单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上

单调递增C．单调递减D．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减答案C解析∵指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数，∴0<a<1，∴a－2<0，∴g(x)＝(a－2)x3在R上是减函数．故选C.

19．(2022·河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一))已知函数y＝log12(x2＋ax＋6)在(－∞，2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．[－5，－4]B．(－∞，－4]C．(－5，－4]D．[－4，＋∞)答案A解析令g(x)＝x2＋ax＋6，∵0<12<1，∴y＝log1

2g(x)是单调递减函数，而已知复合函数y＝log12(x2＋ax＋6)在(－∞，2)上单调递增，则g(x)在(－∞，2)上单调递减，且g(x)>0在(－∞，2)上恒成立，即－a2≥2，g（2）＝4

＋2a＋6≥0⇒a≤－4，a≥－5，则实数a的取值范围是[－5，－4].故选A.20．(2021·广西南宁高三阶段训练)已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x≥1时，f(x)＝x－2x，则{x|f(x

＋2)>1}＝()A．{x|x<－3或x>0}B．{x|x<0或x>2}C．{x|x<－2或x>0}9D．{x|x<2或x>4}答案C解析由f(1－x)＝f(1＋x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x≥1时，f(x)＝x－2x在[1，＋∞)上单调递增，f(

2)＝1，又函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(0)＝1，且f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以由f(x＋2)＞1得x＋2<0或x＋2>2，故x<－2或x>0，所以{x|f(x＋2)>1}＝{x|x<－2或x>0}．故选C.21．(多选)(2021·山东临沂期末)

已知函数f(x)在R上单调递增，且f(1＋x)＋f(1－x)＝0，f(2)＝1，则()A．f(x)的图象关于(1，0)对称B．f13＋f43＞0C．f23＋f53＞0D．不等式[f(x)]2＞1的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)答案AC

D解析函数f(x)满足f(1＋x)＋f(1－x)＝0，可得f(x)的图象关于(1，0)对称，A正确；令x＝23，得f13＋f53＝0，又函数f(x)在R上单调递增，则f43＜f53，即f13＋f43＜0，B错误；f

13＜f23，即f23＋f53＞0，C正确；令x＝1，得f(0)＝－f(2)＝－1，又[f(x)]2＞1等价于f(x)＞1或f(x)＜－1，∵f(x)在R上单调递增，∴x＜0或x＞2，D正确．故选ACD.22．

(多选)(2022·海口模拟)若存在正实数a，b，使得∀x∈R有f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，则称f(x)为“限增函数”．给出以下四个函数，其中是“限增函数”的是()A．f(x)＝x2＋x＋1B．f(x)＝|x|C．f(x)＝sin(x2)

D．f(x)＝x答案BCD解析对于A，f(x＋a)≤f(x)＋b即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤10－a2－a＋b，x≤－a2－a＋b2a对一切x∈R恒成立，显然不存在这样的正实数a，b；对于B，f(x)＝|x|，即|x＋a|≤|x|＋b，|x＋a|≤|x|＋

b2＋2b|x|，而|x＋a|≤|x|＋a，∴只要存在正实数a，b满足|x|＋a≤|x|＋b2＋2b|x|即可，则|x|≥a－b22b，显然，当a≤b2时式子恒成立，∴f(x)＝|x|是“限增函数”；对于C，f(x)＝sin(x2)，－1≤

f(x)＝sin(x2)≤1，故f(x＋a)－f(x)≤2，当b≥2时，对于任意的正实数a，b都成立，∴f(x)＝sin(x2)是“限增函数”；对于D，f(x)＝x，即x＋a≤x＋b，显然，当a≤b时式子恒成立，∴f(x)＝x是“限增函数”．故选BCD.23

．(2022·北京交通大学附属中学高三上开学考试)设函数f(x)的定义域为[0，1]，能说明“若函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，则函数f(x)在[0，1]上单调递增”为假命题的一个函数是________________．答案f(x)＝x－122＋

34，x∈[0，1](答案不唯一)解析根据题意，要求函数f(x)的定义域为[0，1]，在[0，1]上的最大值为f(1)，但f(x)在[0，1]上不是增函数，可以考虑定义域为[0，1]且先减后增的二次函数，函数f

(x)＝x－122＋34，x∈[0，1]符合．24．(2021·辽宁省辽阳市高三联考)设函数f(x)＝x＋1，x≤1，log2x＋2，x>1，则满足f(x)＋f(x－1)>2的x的取值范围是________．答案12，＋∞解析

易知f(x)在R上单调递增，所以y＝f(x)＋f(x－1)在R上单调递增．当x＝1时，f(x)＋f(x－1)＝3>2；当x>1时，f(x)＋f(x－1)>2成立；当x≤1时，f(x)＋f(x－1)＝x＋1＋x>2，解得12<x≤1.综上，x的取值范围是1

2，＋∞.一、高考大题11本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2021·深圳调研)函数f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1].(1)当a＝－1时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围.解(1)因为a＝－1，所以函数f

(x)＝2x＋1x≥22当且仅当x＝22时，等号成立，所以函数f(x)的值域为[22，＋∞).(2)若函数f(x)在定义域上是减函数，则任取x1，x2∈(0，1]且x1<x2都有f(x1)>f(x2)成立，即f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)

a＋2x1x2x1x2>0，只要a<－2x1x2即可，由x1，x2∈(0，1]，得－2x1x2∈(－2，0)，所以a≤－2，故a的取值范围是(－∞，－2].2．(2022·湖北宜昌模拟)已知二次函数f(x)＝

ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝f（x），x>0，－f（x），x<0.若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解(1)因为f(－1)＝0，所以a－b

＋1＝0，所以b＝a＋1，所以f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.因为对任意实数x均有f(x)≥0成立，所以a>0，Δ＝（a＋1）2－4a≤0，所以a>0，（a－1）2≤0.12所以a＝1，从而b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1，所以F(x)＝x2＋2x＋1，x>0，－

x2－2x－1，x<0.(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.因为g(x)在[－2，2]上是单调函数，所以k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6.故实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).3．(

2021·陕西西安长安区大联考)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为增函数；(3)若f15＝－1，求f(x)在125，125上的最

值.解(1)因为函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x1x2>1，所以fx1x2>0，所以f(x

1)－f(x2)＝fx2·x1x2－f(x2)＝f(x2)＋fx1x2－f(x2)＝fx1x2>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)得f(x)在(0，＋∞)上是增

函数．若f15＝－1，则f15＋f15＝f125＝－2，因为f15×5＝f(1)＝f15＋f(5)＝0，所以f(5)＝1，则f(5)＋f(5)＝f(

25)＝2，13f(5)＋f(25)＝f(125)＝3，即f(x)在125，125上的最小值为－2，最大值为3.4．(2022·湖南湘潭摸底)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(

1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0，有f（a）＋f（b）a＋b>0成立．(1)判断函数f(x)在[－1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明；(2)解不等式fx＋12>f2x－12；(3)若对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]，m2－2

am＋1≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)f(x)在[－1，1]上是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1]，又f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f（x1）＋f（－x2）x1－x2·(x1－x

2)，由已知得f（x1）＋f（－x2）x1＋（－x2）>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在[－1，1]上是增函数．(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，∴x＋12>2x－12，－1≤x＋12≤1，－1≤2x－12≤1

，∴－14≤x≤12，∴不等式的解集为x－14≤x≤12.(3)∵f(x)在[－1，1]上是增函数，14∴f(x)≤f(1)＝1，即1是f(x)的最大值．若m2－2am＋1≥f(x)对所有x∈[－1，1]，

a∈[－1，1]恒成立，则有m2－2am＋1≥1对a∈[－1，1]恒成立，即m2－2am≥0恒成立．令g(a)＝－2ma＋m2，它的图象是一条线段，那么g（－1）＝m2＋2m≥0，g（1）＝m2－2m≥0，解得m∈(－∞，－2]∪{0}∪

[2，＋∞).