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高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共12题60分）1.若复数z满足(1)izi−=（i是虚数单位），则z的虚部为()A.12B.12−C.0D.1【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z，由此求得z的虚部.【详解】依题意()()()11111122iiiziiii

+===−+−−+，所以z的虚部为12.故答案为：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的虚部，属于基础题.2.已知集合2{1,2,3,4},|60ABxxx==−−，则AB=()A.{1,2}B.{1,

2,3}C.{0,1,2,3}D.(1,2)【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B，由此求得AB.【详解】由()()26320xxxx−−=−+，解得23x−，所以()2,3B=−，所以AB={1,2}.故选：A【点睛

】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A.甲所得分数的极差为22B.乙所得分数的中位数为18C.两人所得分数的众数相等D.

甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数

的众数都为22，C正确；甲的平均分为11151720222224323319699x++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x++++++++==乙，甲所得分数的

平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.若实数,xy满足约束条件40400xyxyx+−−−，则2zx

y=+的最大值为（）A.-4B.0C.4D.8【答案】D【解析】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值．详解：作出不等式组所对应的平面区域（阴影部分ABC），令0z=，则2yx=−，表示经过原点的

直线，由2zxy=+有2yxz=−+，当此直线的纵截距有最大值时，z有最大值，由图知，当直线经过A点时，纵截距有最大值，由4040xyxy+−=−−=有40xy==，即(4,0)A，此时2408z=+=，选D.点睛：本题主要考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题方法，属于中

档题．5.已知等差数列na的前n项和为nS，且452a=，1015S=，则7a=（）A.12B.1C.32D.2【答案】A【解析】分析：利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质，求出476aa+=，从而求出7a的值．详解：由1015S=有11010()152aa+=，1103aa+=，由等差数

列的性质有11047aaaa+=+，所以473aa+=，又452a=，所以712a=，选A.点睛：本题主要考查了等差数列的前n项和公式和等差数列的基本性质，属于基础题．在等差数列na中，若,,,mnpqN，且mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+．6.已知曲线1cos:sinxCy

=+=(为参数).若直线323xy+=与曲线C相交于不同的两点,AB，则AB的值为（）A.12B.32C.1D.3【答案】C【解析】分析：消参求出曲线C的普通方程：22(1)1xy−+=，再求出圆心(1,0)到直线的距离d，则弦长222ABrd=−．详解：

根据22cossin1+=，求出曲线C的普通方程为22(1)1xy−+=，圆心(1,0)到直线的距离3233231d−==+，所以弦长222ABrd=−321=14=−，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为

普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．7.已知函数()sin,0,621,0.xxxfxx+=+则()()21ff−+=()A.632+B.632−C.72D.52【

答案】C【解析】【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【详解】解：1(2)sin(2)sin662f−=−+==，f（1）1213=+=，17(2)(1)322ff−+=+=，故选C．【点睛】本题主要考查函

数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．8.ABC中，角A，B，C的对边分别为,,abc．若向量(),cosmaA=−r，()cos,2nCbc=−r，且0mn=rr，则角A的大小为（）A.6B.4C.3

D.2【答案】B【解析】【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A的方程，得解．【详解】由0mn=得，0(,cos)(cos,2)cos(2)cosaACbcaCbcA=−−=−−，由正弦定理得，sincos

2sincossincos0ACBACA−+=，化为sin()2sincos0ACBA+−=，即sin2sincos0BBA−=，由于sin0B，2cos2A=，又()0,A4A=，故选B．【点睛】本题主要考查平面向量的

数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x(万公里)与维修保养费用y(万元)的五组数据，并根据这五组数据求得y与x的线性回归方程为0.4606ˆ.1yx=+.由于工作人员疏忽，行驶

8万公里的数据被污损了，如下表所示.行驶里程x(单位:万公里)12458维修保养费用y(单位:万元)0.500.902.32.7则被污损的数据为（）A.3.20B.3.6C.3.76D.3.84【答案】B【解析】分析：分别求出行驶里程x和维修保养费用y的平均值,xy，线性回归方

程经过样本的中心点(),xy，这样求出被污损的数据．详解：设被污损的数据为t，由已知有111(12458)4,(0.500.902.32.7)(6.4)555xytt=++++==++++=+，而线性回归方程0.4606ˆ

.1yx=+经过点1(4,(6.4))5t+，代入有1(6.4)0.4640.165t+=+，解得3.6t=，选B.点睛：本题主要考查了线性回归方程恒过样本的中心点(),xy，属于容易题．回归直线方程一定经过样本的中心点(),xy，根据此性质可以解决有

关的计算问题．10.已知函数()()221xfxxaxe=++，则“2a=”是“函数()fx在-1x=处取得极小值”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出原函数的导函数，分析函数()fx在1x

=−处取得极小值时的a的范围，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：若()fx在1x=−取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)xxfxxaxaexxae=++++=+++．令()0fx

=，得1x=−或21xa=−−．①当0a=时，2()(1)0xfxxe=+…．故()fx在R上单调递增，()fx无最小值；②当0a时，211a−−−，故当21xa−−时，()0fx，()f

x单调递增；当211ax−−−时，()0fx，()fx单调递减；当1x−时，()0fx，()fx单调递增．故()fx在1x=−处取得极小值．综上，函数()fx在1x=−处取得极小值0a．“2a=”是“函数()fx在1x=−处取得极小值”的充分

不必要条件．故选A．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．11.执行如图所示的程序框图，则输出的m的值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输

出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得开始0S=1m=①1122100=2m=②12122210100+=3m=③12312223234100++=4m=④12341222324298100

+++=5m=⑤123451222324252258100++++=6m=故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.设函数()2,0165

,1lnxxfxxxx−=−+−.若曲线20kxy−−=与函数()fx的图象有4个不同的公共点,则实数k的取值范围是（）A.()627,e−B.()627,2−C.2,23D.2,3e【答案】A【解析】分析：由20kxy

−−=有2ykx=，直线2ykx=与函数()fx的图象有4个不同的交点．数形结合求出k的范围．详解：由20kxy−−=有2ykx=，显然0k，在同一坐标系中分别作出直线2ykx=+和函数()fx的图象，当直线2ykx=−+与ln(01)yxx=−相切时，

求出ke=，当直线2ykx=+与265(1)yxxx=−+−相切时，求得627k=−，所以627ke−，又当直线2ykx=−+经过点(1,0)时，2k=，此时2ykx=+与265(1)yxxx=−+−有两个交点

，一共还是4个交点，符合．，综上，627ke−，选A.点睛：本题主要考查函数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题．画出这两个函数的图象是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，共4题20分）13.已知曲线C：

2cossinxy==（为参数）．若点P在曲线C上运动，点Q为直线l：2420xy+−=上的动点，则PQ的最小值为__________．【答案】2105【解析】【分析】先表示出曲线C上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求

|PQ|的最小值.【详解】表示曲线2cos,:(sinxCy==为参数）上任意点(2cos,sin)P到直线:2420lxy+−=的距离2|2cos2sin42||22sin()42|512d+−+−==+，当sin()1+=时，22

210||55minminPQd===．故答案为2105【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14.

已知()fx是定义在(),−上的奇函数，其导函数为()fx，24f=，且当()0,x时，()()sincos0fxxfxx+．则不等式()sin1fxx的解集为__________．【答案】,44−【解析】【分析】令()()sinFxf

xx=，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出()sinfxx的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集．【详解】令()()sin(0)Fxfxxx=，则()()sin()cos0(0)Fxfxxfxxx=+，所以()()sinFxfxx=在(0,)

上为单调递增，且()()sin1444Ff==，所以()()sin()4FxfxxF=，解得04x．由()fx是定义在(,)−上的奇函数得，()()sin()()sinFxfxxfxxf−=−−=−−=（x)sinx

=F(x)所以()()sinFxfxx=在(,)−为偶函数，且(0)(0)sin00Ff==所以不等式()sin1fxx的解集为(),44−，故答案为(),44−．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．

15.已知na为等差数列，nS为其前n项和，若16a=，350aa+=，则6=S_______.【答案】6【解析】试题分析：因为na是等差数列，所以35420aaa+==，即40a=，又4136aad−==−，所以2d=−，所以616156615(2)6Sad=+=+−

=．故答案为6．【考点】等差数列的基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体

代换思想及方程思想的应用.16.已知数列na中，122a=，11(1,)1nnnaannNa++=−，则2019a=______.【答案】2−【解析】【分析】根据递推关系式得到数列na的周期性，由此求

得2019a.【详解】依题意122a=，11(1,)1nnnaannNa++=−，则()112121111nnnnnnaaaaaa+−−++===−+−−−.所以()()()()2422241111222322222222212a+=−+=−+=−+=−++=+−−

+−，()()32211111212222121322a=−+=−+=−−=−−−=−−−+−+，()()4221112213222112a=−+=−+=−+−=−++−−，()()()5221221111422221

3222222a+=−+=−+=−+=−+−−−−++−1221122a=−++==.所以数列na是周期为4的周期数列.所以2019201635044332aaaa++====−.故答案为：2−【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.三、解答题（共6题，共70分）17.已知函数()3

2133fxxmxnx=+++，其导函数()fx的图象关于y轴对称，()213f=−．（Ⅰ）求实数,mn的值；（Ⅱ）若函数()yfx=−的图象与x轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）0m=，4n=−（Ⅱ）725,33−【解析】【分析】（Ⅰ）根据导函数()fx

的图象关于y轴对称求出m的值，再根据()213f=−求出n的值；（Ⅱ）问题等价于方程()fx=有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（Ⅰ）()22fxxmxn=++.函数()

fx的图象关于y轴对称，0m=.又()121333fn=++=−，解得4n=−.0m=，4n=−.（Ⅱ）问题等价于方程()fx=有三个不相等的实根时，求的取值范围.由（Ⅰ），得()31433fxxx=−+.()24fxx=−.令()0fx=，解得2x=

.当2x−或2x时，()0fx，()fx在(),2−−，()2+，上分别单调递增.又当22x−时，()0fx，()fx在()2,2−上单调递减.()fx的极大值为()2523f−=，极小值为()723f=−

.实数的取值范围为725,33−.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．18.在ABC中，

内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知sin2sinbAcB=，4a=，1cos4B=．（1）求b的值；（2）求cos23B−的值．【答案】（1）4（2）35716−【解析】【分析】利用正弦定理边弦的关系，将sin2csinbAB=转化为2abbc=，结合已知

条件，求得b值；根据cosB的值，求sin2B,cos2B的值，结合余弦两角和公式，求cos23B−的值．【详解】解：（1）由sin2csinbAB=，得2abbc=，即2ac=．4a=，2c=．由余弦定理，得2221cos42acbBac+−==．211644242b+−=

，解得4b=．（2）1cos4B=，15sin4B=，则15sin22sincos8BBB==，27cos22cos18BB=−=−．357cos2cos2cossin2sin33316BBB−−=+=．【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，及两角差余弦公式求值

，属于中等题.19.在ABC中，内角、、ABC的对边分别为abc、、，且3cossin3aBbAc+=.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若2a=，ABC的面积为3，求bc+的值.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）4.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化

简已知条件，求得tanA的值，由此求得A的大小.（Ⅱ）利用三角形的面积求得bc，结合余弦定理列方程，化简求得bc+.【详解】（Ⅰ）由3cossin3aBbAc+=，由正弦定理：2sinsinsinabcRABC===

有：()3sincossinsinsinsin[()]sin3ABBACABAB+==−+=+，3sincossinsinsincoscossin3ABBAABAB+=+，3sinsincossin3BAAB=，0,sin0BB，sin3cosAA=，tan30A=，而0

,2A，3A=.（Ⅱ）由3ABCS=即：1sin323bc=4bc=（1）在ABC中，由余弦定理：2222cosabcbcA=+−即：224bcbc=+−24()3bcbc=+−（2）（1）代入（2）得：4bc+=【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.20.已知数列na满足：111,21(1,)nnaaannN+==+.（Ⅰ）求证：数列1na+是等比数列，并求数列na的通项公式；（Ⅱ）设()

4log1nnba=+，求数列11nnbb+的前n项和nT.【答案】（Ⅰ）证明见解析，21nna=−；（Ⅱ）41nnTn=+.【解析】【分析】（Ⅰ）利用配凑法证得数列1na+是等比数列，进而求得数列na的通项公式.（Ⅱ）求得n

b的通项公式，利用裂项求和法求得nT.【详解】（Ⅰ）由已知，数列na满足：111,21nnaaa+==+.()1121nnaa++=+1121nnaa++=+1na+是以11a+为首项，2为公比的等比数列.即：1122nna−+=21nna=−（Ⅱ）由（Ⅰ）知：12nna

+=()4log22nnnb==114114(1)1nnbbnnnn+==−++11111412231nTnn=−+−++−+41nn=+.【点睛】本小题主要考查递推关系求通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.21.已知函数()1xxx

fxaee=−−，其中0a．（1）当2a=时，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若函数()fx有唯一零点，求a的值．【答案】(1)10xy−+=；(2)1a=【解析】【分析】（1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）问

题等价于关于x的方程1(1)xxxaee=+有唯一的解时，求a的值．令1()(1)xxxgxee=+，求得()gx的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a的值；【详解】解：（1）当2a=时，()2

1xxxfxee=−−，所以()12xxxfxee−=−，所以()0211f=−=．又()0211f=−=，所以曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为1yx−=，即10xy−+=．（2）问题等价于关于x的方程11xxxaee=+有唯

一的解时，求a的值．令()11xxxgxee=+，则()212xxxegxe−−=．令()12xhxxe=−−，则()20xhxe=−−，()hx在(),−+上单调递减．又()00h=，当(),0x−时，()0hx，即()0gx，()gx在

(),0−上单调递增；当()0,x+时，()0hx，即()0gx，()gx在()0,+上单调递减．()gx的极大值为()01g=．当(,0x−时，()(,1gx−；当()0,x+时，()()0,

1gx．又0a，当方程11xxxaee=+有唯一的解时，1a=．综上，当函数()fx有唯一零点时，a的值为1．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函

数法，以及化简运算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程是21222xtyt=+=（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是4cos3

=−.（Ⅰ）求曲线2C的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C与曲线2C交于,AB两点，求||AB的值.【答案】（Ⅰ）222230xyxx+−−=；（Ⅱ）10.【解析】【分析】（Ⅰ）曲线2C的极坐标

方程l转化为22cos23sin=+，由此能求出曲线2C的直角坐标方程．（Ⅱ）将曲线1C的参数方程代入曲线2C的直角坐标方程，可得2610tt−−=，设,AB对应的t值分别为12tt、，利用韦达定理可得121261tttt+=

=−，最后利用弦长公式计算可得；【详解】解：（Ⅰ）213:4cos4cossin322C=−=+22cos23sin=+即222230xyxx+−−=（Ⅱ）由题意，联立222122022230xtytxyxx=+=

++−−=得2610tt−−=设,AB对应的t值分别为12tt、，则121261tttt+==−1212||ABtttt=+=−()()221212124tttttt=−=+−()26410=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角

坐标方程的转化，直线的参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.