【文档说明】四川省盐亭中学2022-2023学年高二下学期第一学月教学质量监测理科数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.623 MB，由小赞的店铺上传

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四川省盐亭中学高2021级2023年春第一学月教学质量监测（理科）（数学）一、选择题（每题5分）1.下列说法中正确的是（）A.命题“0xR，2000xx−”的否定是“xR，20xx−”B.若0ab，且0c，

则bbcaac++C.“22acbc”的充要条件是“ab”D.函数4πsin0,sin2yxxx=+的最小值为4【答案】A【解析】【分析】根据命题否定的定义可判断A，利用不等式的性质可判断B,C，根据基本不等

式判断D.【详解】对于A，命题“0xR，2000xx−”的否定是“xR，20xx−”，A正确；对于B，()()()()()bbcbacabcbacaacaacaac++−+−−==+++，因为0ab，且0c，所以()0()bacaac−+，所以bbcaac

++，B错误；对于C，22acbc能推出ab，但ab在0c=时推不出22acbc，C错误；对于D，44sin2sin4sinsinyxxxx=+=，当且仅当4sinsinxx=即sin2x=时取得等号，但是因为π0,2x，(sin0,1x，所以

等号不成立，D错误，故选:A.2.若()3,1,2m=−是直线l的方向向量，()2,3,1n=−是平面的法向量，则l与的位置关系是（）A.l∥B.l⊥C.lD.l与相交但不垂直【答案】D【解析】【分析

】根据直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可判断直线与平面的位置关系可得.【详解】因为312,231−−且()()32132110+−+−=所以m与n不平行，也不垂直，所以l与相交但不垂直.故选：D3.设xR，则“02

x”是“2x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用定义法直接判断.【详解】因为对任意“02x”，都满足“2x”.故充分性满足；取=1x−符合“2x”，但是不满足“02x”.故必要性不满足.所以“

02x”是“2x”的充分不必要条件.故选：A4.下列各式正确的是（）A.ππsincos88=B.()cossinxx=C.()lnxxaaa=D.()5615xx−−=−【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断即可.【详解】πsin08=

，()cossinxx=−，()lnxxaaa=，()565xx−−=−，C对，ABD错.故选：C.5.若命题“1,2x，210xa+−”为真命题，则a的取值范围是（）A.2aB.2aC.5aD.5a【答案】C【解析】【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来

求解21yx=+的最大值即可.【详解】由已知1,2x，210xa+−，则()2max1ax+，即5a，所以a的取值范围是5a.故选：C.6.已知空间向量()1,2,3a=−−，()4,2,bm=，若()aba+⊥则m=（）．A.3B.113C.133D.143【答

案】D【解析】【分析】由已知可得()3,4,3mab=−+，然后根据已知可得()0aba+=，根据坐标运算即可得出m.【详解】由已知可得，()()()23,4,31,,34,2,mabm+=−−=−+.

又()aba+⊥，所以()()()()3142333140abamm+=−++−−=−+=，所以，143m=.故选：D.7.如图，已知函数()fx的图象在点(2,(2))Pf处的切线为l，则(2)(2)ff+=（）A.2−B.1−C.0D.2【答案】C【解析】【分析

】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算()()22ff+.【详解】由图象可得，切线过点()0,6和()3,0，切线斜率为60203k−==−−，()22f=−，切线方程为136xy+=，则切点坐标为()2,2，有()22f=，所以()()22220ff

+=−=.故选：C8.已知,,abc是空间的一个基底，则可以与向量2mab=+，nac=−构成空间另一个基底的向量是（）A.22abc+−B.4abc++C.bc−D.22abc−−【答案】C【解析】【分析】根据空间

基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为22(2)()abcabac+−=++−，42(2)()abcabac++=+−−，222()abcac−−=−(2)ab−+，所以向量22abc+−，4abc

++，22abc−−均与向量m，n共面．故选：C9.如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，F是PB上靠近P点的四等分点，则FE=（）A.111232PAPBPC−+B.111242PAPBPC−+C.111343PAPBPC++D.212343PAPBPC−

+【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【详解】解：E是AC的中点，F是PB上靠近P点的四等分点，则()1111142242FEFPPEPBPAPCPAPBPC=+=−++=−+．故选：B．.10.

在空间直角坐标系中，已知()()()1,1,0,4,3,0,5,4,1ABC−−，则A到BC的距离为（）A.3B.583C.2173D.783【答案】D【解析】【分析】根据题意，由点的坐标即可得到空间向量的坐标，然后由坐标运算公式即可得到结果.【详

解】由已知，()()3,4,0,1,1,1,5,3,7BABCBABCBABC=−−=−===−所以A到BC的距离为22492678||25333BABCBABC−=−==，故选:D．11.若()1,0,ax=−，()2,1,

3bxx=−+，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A.1,2−B.1(,1)1,2−−−C1,2+D.1,3(3,)2+【答案】B【解析】【分析】令a与b共线，求出x的值

，依题意0ab且a与b不共线反向，根据数量积的坐标表示得到不等式组，解得即可.【详解】因为()1,0,ax=−，()2,1,3bxx=−+，令a与b共线，则ba=，即()()2,1,31,0,xxx=−

−+，即2103xxx−=−+==，解得13x=−=−，此时()1,0,1a=−−，()3,0,3b=，即3ba=−rr，此时a与b反向，又a与b的夹角为钝角，所以0ab且a与b不共线反向，即()230xx−−+且1x−，.解得1x−或112x−，即1(

,1)1,2x−−−.故选：B12.空间有一四面体A-BCD，满足ADAB⊥，ADAC⊥，则所有正确的选项为（）①2DBDCDAABAC=−；②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若ABDA且AC

DA，则∠BDC是锐角A.②B.①③C.②④D.②③④【答案】C【解析】【分析】由题意知0ADAB=，0ADAC=，()()2DBDCDAABDAACDAABAC=++=+可判断①；若∠BAC是直角，则0A

BAC=，20DBDCDA=可判断②；设120BAC=，1ABADAC===，由余弦定理可判断③；若ABDA且ACDA，则2cosABACBACDA，可得0DBDC可判断④.【详解】对于①，因为ADAB⊥，ADAC⊥，所以0ADAB=，

0ADAC=，则()()2DBDCDAABDAACDAABAC=++=+，故①不正确；对于②，若∠BAC是直角，则0ABAC=，()()220DBDCDAABDAACDAABACDA=++=+=所以∠BDC锐角，故②正确

；对于③，若∠BAC是钝角，设120BAC=，1ABADAC===，在ABC中，由余弦定理可得：211211cos1203BC=+−=，而2DBDC==，所以在DBC△中，222223cos

02222BDDCBCBDCBDDC+−+−==，所以∠BDC为锐角，所以③不正确；对于④，()()2cosDBDCDAABDAACDAABACBAC=++=+，若ABDA且ACDA，则2ABACDA，是因为

()()20,π,cos1,1,cosBACBACABACBACDA−，0DBDC，所以∠BDC是锐角，故④正确；故选：C.二、填空题（每题5分）13.若()2,3,1a=−,()2,0,3b=,()

3,4,2c=,则()abc+=______.【答案】3【解析】【分析】先求出向量的和,再利用数量积的坐标形式可求数量积.【详解】()()()2,3,1,2,0,3,3,4,2abc=−==,故()5,4,5bc+=,所以()101253abc+=−+=.故答案为:3.14.已知平面的一

个法向量为()11,2,3n=−，平面的一个法向量为()22,4,nk=−−，若//，则k的值为______【答案】6【解析】【分析】因为法向量定义，把//转化为12//nn，可得k的值.【详解】因为平面的一个法向量为(

)11,2,3n=−，平面的一个法向量为()22,4,nk=−−，又因为//，所以12//nn，可得()()342k−−=，即得6k=.故答案为：6.15.已知非零向量1e，2e不共线，则使12kee+与12eke+共线的k的值是________．【答案】1【解析】【分析

】由平面向量共线定理可设()1212keeeke+=+，由平面向量基本定理列方程即可求解.【详解】若12kee+与12eke+共线，则()1212keeeke+=+因为非零向量1e，2e不共线，所以1kk==，即21k=，所以1k

=，故答案为：116.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，P，Q分别为111,ACAB的中点，点T在正方体的表面上运动，满足PTBQ⊥．给出下列四个结论：①点T可以是棱1DD的中点；②线段PT长度的最小值为12a；③点T的轨迹是矩形；④点

T的轨迹围成的多边形的面积为252a．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】②③④【解析】【分析】以C点为坐标原点建立空间直角坐标系，令正方体1111ABCDABCD−棱长2a=可简化计算，得到对应点和

向量的坐标，通过空间向量数量积的运算即可判断对应的垂直关系，通过计算和几何关系得点T的轨迹为四边形EFGH，通过证明得到则点T的轨迹为矩形EFGH，即可求解点T的轨迹围成的多边形的面积和线段PT长度的最

小值，从而得到答案.【详解】由题知，以C点为坐标原点，以1,,CDCBCC所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体1111ABCDABCD−棱长2a=则()0,0,0C，()2,0,0D，()0,2,0B，()2,2,0A，()1

0,0,2C，()12,0,2D，()10,2,2B，()12,2,2A，()1,1,1P，()1,2,2Q，设(),,Txyz，对于①，当点T为棱1DD的中点时，()2,0,1T，则()()1,1,0,1,0,2PTBQ=−=，10010PTBQ=++=不满

足PTBQ⊥，所以点T不是棱1DD的中点，故①错误.()1,1,1PTxyz=−−−，因为PTBQ⊥所以()1210xz−+−=，当0x=时，32z=，当2x=时，12z=取12,0,2E，12,2,2F，30,2,2G，30,0,2H

，连结EF，FG，GH，HE，则()0,2,0EFHG==，()2,0,1EHFG==−，0EFEH=，即EFEH⊥所以四边形EFGH为矩形，因为0EFBQ=，0EHBQ=，所以EFBQ⊥，EHBQ⊥，又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，所以BQ⊥平面EF

GH，又11,1,2EP=−，11,1,2PG=−，所以P为EG的中点，则P平面EFGH，为使PTBQ⊥，必有点T平面EFGH，又点T在正方体表面上运动，所以点T的轨迹为四边形EFGH，又2EFGH==，5EHFG==，所以EFEH，则点T的轨迹为

矩形EFGH，故③正确面积为2525=，即252a，故④正确又因为()1,0,2BQ=，()1,1,1PTxyz=−−−，PTBQ⊥，则()1210xz−+−=，即230xz+−=，所以32xz=−，点T在正方体表面运动

，则0322z−，解得1322z，所以()()()()()22222111511PTxyzzy=−+−+−=−+−，结合点T的轨迹为矩形EFGH，分类讨论下列两种可能取得最小值的情况当1z=，0y=或2y=时，1PT=，当1y=，12z=或

32z=时，52PT=因为512，所以当1z=，0y=或2y=时，PT取得最小值为1，即12a，故②正确.综上所述：正确结论的序号是②③④故答案为：②③④.【点睛】本题以正方体为载体，考查空间向量在立体几何中的综合运用和空间几何关系的证明，属于难题，解题的关键是建立空间直

角坐标系，设棱长为数值可简化运算，通过空间向量即可证明和求解对应项.17.已知曲线31433yx=+.（1）求曲线在点(2,4)P处的切线方程；（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程.【答案】（1）440xy−−=（2）3320xy−+=和20xy−+=.【

解析】【分析】（1）对曲线31433yx=+求导,求出点(2,4)P处切线的斜率,再求出切线方程;（2）设切点为()00,xy,由曲线的切线斜率为1,求出切点坐标,再求出切线方程.【小问1详解】由31433

yx=+,得2yx=，∴在点(2,4)P处切线的斜率2'4xky===∣.∴曲线在点(2,4)P处的切线方程为44(2)yx−=−，即440xy−−=.【小问2详解】设切点为()00,xy，则切线的斜率为20kx=.曲线的切线斜率为1,201x=,解得01x=

，切点为51,3，(1,1)−.切线方程为513yx−=−和11yx−=+，即3320xy−+=和20xy−+=.18.已知2:7100pxx−+，22430q:xmxm−+，其中m＞0．（1）若m＝

4且pq为真，求x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）()4,5（2）5,23【解析】【分析】（1）解不等式得到:25px，q:412x，由pq

为真得到两命题均为真，从而求出x的取值范围；（2）由q是p的充分不必要条件，得到p是q的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实数m的取值范围.【小问1详解】27100xx−+，解得：25x，故:25p

x，当4m=时，216480xx+−，解得：412x，故q:412x，因为pq为真，所以,pq均为真，所以:25px与q:412x同时成立，故25x与412x求交集得：45x，故x的取值范围时()4

,5；【小问2详解】因为0m，22430xmxm−+，解得：3mxm，故:3qmxm，因为q是p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，即:25:3pxqmxm，但:3qmxm

:25px，故0235mm或0235mm，解得：523m，故实数m的取值范围是5,2319.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=4

5°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．【答案】（1）3；（2）见解析.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线PB与CD所成角大小

．（2）求出平面PBC的一个法向量，利用向量法的距离公式求点D到平面PBC的距离．【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），

∴PB=（1，0，﹣1），CD=（﹣1，1，0），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ=12PBCDPBCD=,所以异面直线PB与CD所成角大小为3．（2）设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），PB=（1，0，﹣1），BC=（0，2，0），CD=（﹣1，1，

0），则020nPBxznBCy=−===，取x=1，得n=（1，0，1），∴点D到平面PBC的距离d=22nCDnCD=．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解角和距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法

向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹

角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．20.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,3,ABCDPAADBC=∥，90,2,3ABCABBCAD====，点M在棱PD

上，2PMMD=，点N为BC中点.（1）求证：MC平面PAB；（2）求二面角NPMC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）539.【解析】【分析】（1）通过线线平行证线面平行，即在PA上取一点E，使得23PEPA=，得四边形BCME为平行四边形，从而得证；（2）建立以A为中心的空间坐

标系，利用二个面的法向量夹角求得二面角NPMC−−的余弦值.【小问1详解】如图，在PA上取一点E，使得23PEPA=.22,,3PMMDMEADMEADBC===∥四边形BCME为平行四边形，MCBE∥，又

MC平面,PABBE平面PAB，直线MC平面PAB.【小问2详解】由条件可以A为坐标原点，,,ABADAP正方向为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则()()()()()()2,0,0,2,2,0,0,3,00,0,3,0,3,0,2,1,0BCDPDN，()

()()()2,2,3,2,1,0,0,3,3,2,1,3DCPCPDPN=−=−−=−=设平面CPM的法向量()1111,,nxyz=，则1111110203300DCnxyyzPDn=−=

−==令12z=，解得：()1111,2,1,2,2xyn===；设平面PNM的法向量为()2222,,nxyz=，则222222203302300PDnyzxyzPNn=−=+−==令21z=，解得

：()2221,1,1,1xyn===设二面角NPMC−−为121212553,coscos,933nnnnnn====.由图象可知，二面角NPMC−−为锐角，故二面角NPMC−−的余弦值为：539.21.如图所示，在正方体AB

CD－A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD1上的一点.（1）若点E为OD1的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）是否存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O？若存在，请指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【

答案】（1）23015；（2）存在，且点E为线段OD1上靠近点O的三等分点，证明见解析.【解析】【分析】（1）由于图形是正方体，建立空间直角坐标系很方便，所以要求线面角，在建立空间直角坐标系后分别求出1OD以及平面CDE的法向量再运用公式计算即可；（2）先假设存在点E，再求平面CDE的法向

量和平面CD1O的法向量，根据平面垂直就可以计算出结果.【详解】（1）不妨设正方体的棱长为2.以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，O(1，1，0

).因为E为OD1的中点，所以E11(,,1)22.则1OD＝(－1，－1，2)，11(,,1)22DE=，DC＝(0，2，0).设p＝(x0，y0，z0)是平面CDE的法向量，则00pDEpDC==，即0000111022220xyzy++==，取x0＝2，则

y0＝0，z0＝－1，所以p＝(2，0，－1)为平面CDE的一个法向量.设直线OD1与平面CDE所成角θ，所以sinθ＝|cos〈1OD，p〉|＝11||||||ODpODp＝2222212(1)02(1)(1)(1)22(1)−+−+−−+−++−＝23015，为即直线OD1与平面

CDE所成角的正弦值为23015.（2）存在，且点E为线段OD1上靠近点O的三等分点.理由如下.假设存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O.同第（1）问建立空间直角坐标系，易知点E不与点O重合，设1DEEO=，λ∈[0，

＋∞)，OC＝(－1，1，0)，1OD＝(－1，－1，2).设m＝(x1，y1，z1)是平面CD1O的法向量，则100mOCmOD==，即11111020xyxyz−+=−−+=，取x1＝1，则y1＝1，z1＝1，

所以m＝(1，1，1)为平面CD1O的一个法向量.因为1DEEO=，所以点E的坐标为2(,,)111+++，所以2(,,)111DE=+++.设n＝(x2，y2，z2)是平面CDE的法向量，则00nD

EnDC==，即22222011120xyzy++=+++=，取x2＝1，则y2＝0，z2＝2−，所以n＝(1,0,)2−为平面CDE的一个法向量.因为平面CDE⊥平面CD1O，所以mn⊥.则0mn=，所以102−=，解得2=.所以当12DE

EO=，即点E为线段OD1上靠近点O的三等分点时，平面CDE⊥平面CD1O.22.如图，在四棱锥PABCD−中，60BDPCABC⊥=，，四边形ABCD是菱形，22PBABPAE==，是棱PD上的动点，且PEPD=．（1）证明:PA⊥平面ABCD．（2

）是否存在实数，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是21929?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在实数13=，使得面PAB与面ACE所成锐二面角的余弦值是21919.【解析】【分析】（1）由题设BDAC⊥，根据线面垂直的判定得B

D⊥平面PAC，再由线面垂直的性质有BDPA⊥，并由勾股定理证ABPA⊥，最后应用线面垂直的判定证结论；（2）取棱CD的中点F，连接AF，构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求

参数，即可判断存在性.【小问1详解】因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC⊥.因为,,BDPCACPC⊥平面PAC，且ACPCC=，所以BD⊥平面PAC.因为PA平面PAC，所以BDPA⊥.因为22PBABPA==，所以222PBABPA=+，即ABPA⊥.因为,ABBD平面ABCD，

且ABBDB=，所以PA⊥平面ABCD.【小问2详解】取棱CD的中点F，连接AF，易证,,ABAFAP两两垂直，故以A为原点，分别以,,ABAFAP的方向为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系．设2AB=，则()()()()0,0,01,3,01,3,00,0,2ACDP−，，，，故()()(

)1,3,01,3,20,0,2ACPDAP==−−=，，，所以(),3,22AEAPPEAPPD=+=+=−−，设平面ACE的法向量为(),,nxyz=r，则()303220nACxynAExyz=+==−++−=，令3x=，得33,1,1n=−

−．平面PAB一个法向量为()0,1,0m=,设面PAB与面ACE所成的锐二面角为，的则221219coscos,193421nmnmnm====+−+，整理得23210+−=，解得113==−或(舍去)．故存在实数13=，使得面PAB与面ACE所成

锐二面角的余弦值是21919．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com