【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(24)页，2.051 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省宜宾市叙州区第一中学高二第四学月考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选

择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11izi+=−，则||z=()A.1B.2C.2D.22【答案】A

【解析】【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数即可得到复数z，进一步得到复数的模.【详解】21i(1i)2ii1i(1i)(1+i)2z++====−−，所以|1|z=.故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算以及求复数的模，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.设函数24yx=−

−的定义域A，函数2yx=−的定义域为B，则AB=()A.()1,2B.(1,2C.2,0−D.22−,【答案】D【解析】【分析】求出集合A、B，再利用交集的定义计算即可.【详解】由已知，240x−，解得22x−，故[2,2]A=−，又BR=，所以AB=22−,.故选：D【

点睛】本题考查集合间的交集运算，涉及到求函数的定义域，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3.命题“[1,2]x−，使2210xx+−”的否定为()A.2[1,2],210xxx−+−B.2[1,2],

210xxx−+−C.(,1)(2,)x−−+，2210xx++D.(,1)(2,)x−−+，2210xx+−≥【答案】B【解析】【分析】,()xMpx的否定为,()xMpx.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，知[1,2]x−，使2210xx+−的否定为2[1,2],210xxx−+−.故选：B【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，做此类题要注意两个方面的变换：1.量词，2.结论.是一道容易

题.4.抛物线28yx=−的焦点坐标是（）A.()0,2−B.()2,0−C.10,32−D.1,032−【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为28yx=−可化为218=−xy，所以12

8=−p，且焦点在y轴负半轴，因此焦点坐标为10,32−故选C【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.5.随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”

，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是（）A.9B.12C.15D.17【答案】D【解析】【分析】根据

等距抽样的特点，求得抽样距离，即可列出抽取的号码，从而判断.【详解】由等距抽样的方法可知，23号和29号差6，则可以抽到5号，11号，17号，23号，29号，故选：D．【点睛】本题考查系统抽样的特点，属基础题.6.已知函数()2()lnfxxfex=+，则()fe=()A.e−B.eC.

1−D.1【答案】C【解析】【分析】先求导，再计算出()fe，再求()fe.【详解】由题得111()2(),()2(),()fxfefefefexee=+=+=−，所以1()2()ln2()11feefeeee=+=+−=−.故选：C.【点睛】

本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A.25B.24C.21D.9【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果.【详解】第一次循环：09S=+，97

T=+：第二次循环：97S=+，975T=++；第三次循环：975S=++，9753T=+++；第四次循环：9753S=+++，97531T=++++；第五次循环：97531S=++++，()975311T=+++++−，此时循环结束，可得()591252S+==.选A.【点睛】本题考查了循环

结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.8.已知命题:p对任意xR，总有20x；:"1"qx是"2"x的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】D【解析】试题分析：由

题设可知：p是真命题，q是假命题；所以，p是假命题，q是真命题；所以，pq是假命题，pq是假命题，pq是假命题，pq是真命题；故选D.考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题

的真假.9.若向量()1,1,2a=−，()2,1,3b=−，则2ab+=rr（）A.7B.22C.3D.32【答案】D【解析】【分析】根据题意得，()24,1,1ab+=−rr，所以22224(1)132.ab+=+−+=rr【详解】由于向

量()1,1,2a=−，()2,1,3b=−，所以()24,1,1ab+=−rr.故22224(1)11832.ab+=+−+==rr故选：D.【点睛】本题主要考查向量的模长问题，属于基础题目.10.函数2lnxxyx=的图象大致是

（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除B,当0x时,利用导数得()fx在1(0,)e上递减,在1(,)e+上递增,根据单调性分析,AC不正确,故只能选D.【详解】令2ln||()||xxfxx=,

则2()ln||()()||xxfxfxx−−−==−,所以函数()fx为偶函数,其图像关于y轴对称,故B不正确,当0x时,2ln()lnxxfxxxx==,()1lnfxx=+,由()0fx,得1xe,由()0

fx,得10xe,所以()fx在1(0,)e上递减,在1(,)e+上递增,结合图像分析,,AC不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.11.在四面体ABCD

中，AB，BC，BD两两垂直，4ABBCBD===，E、F分别为棱BC、AD的中点，则直线EF与平面ACD所成角的余弦值（）A.13B.33C.223D.63【答案】C【解析】【分析】因为AB，BC，BD两两

垂直，以BA为X轴，以BD为Y轴，以BC为Z轴建立空间直角坐标系，求出向量EF与平面ACD的法向量n，再根据cos,||||EFnEFnEFn=，即可得出答案.【详解】因为在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，以BA为X轴

，以BD为Y轴，以BC为Z轴建立空间直角坐标系，又因为4ABBCBD===；()4,0,0,(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4)ABDC，又因为E、F分别为棱BC、AD的中点所以(0,0,2),(2,2,0)EF故()2,

2,2EF=−，(4,4,0)AD=−，(4,0,4)AC=−.设平面ACD的法向量为(,,)nxyz=，则00nADnAC==令1,x=则1yz==；所以(1,1,1)n=21cos,3||||332EFnEFnEFn===设直线EF与平面ACD所成角为

，则sin=cos,EFn所以222cos1sin3=−=故选：C【点睛】本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.12.已知函数()fxkx=，ln()xgxx=，若关于x的方程()()fxgx=在区间1[,]ee内有两个实数解，则实数k

的取值范围是()A.211[,)2eeB.11(,]2eeC.21(0,)eD.1(,)e+【答案】A【解析】【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过导数研究函数的单调性即极值，通过对k与函数()hx的极值的大小关系的讨论得到结果.【详解】易知当k≤0时，方程只有一个解

，所以k>0．令2()lnhxkxx=−，2121(21)(21)()2kxkxkxhxkxxxx−−+=−==，令()0hx=得12xk=，12xk=为函数的极小值点，又关于x的方程()fx=()gx在区间1[,]ee内有两个实数解，所以()01()01()02112h

ehehkeek，解得211[,)2kee，故选A.【点睛】该题考查的是有关根据方程在某个区间上的根的个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将根的个数转化为

函数图象交点的个数来完成，属于中档题目.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“2230axax−−不成立”是真命题，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】2230axax

−−恒成立，当0a=时，30−成立；当0a时，20{4120aaa=+得30a−；30a−14.函数()2lnfxxx=+在点(1,2)处的切线方程为________．【答案】310xy−−=【解析】【分析】设切点()00,Axy由已知可得000(

)()yyfxxx−=−，即可解得所求．【详解】由()2lnfxxx=+，得()12fxx=+，故()13f=，函数()2lnfxxx=+在点(1,2)处的切线方程为函数23(1)yx−=−.即310xy−−=.故答案为：310xy−−=.【点睛】本题考查导

数的几何意义，解题关键是掌握导数求曲线切线的方法，考查学生的计算能力，比较基础.15.设x，y满足约束条件1124xyxyxy−+−……„，则()222zxy=++的最小值为_______.【答案】92【解析】【分析】先画出可行

域，根据22(2)zxy=++表示可行域内的点到定点()0,2−的距离的平方，即可求出最小值．【详解】作出不等式组表示的可行域为一个三角形区域（包括边界），22(2)zxy=++表示可行域内的点到定点()0,2−的距离

的平方，由图可知，该距离的最小值为点()0,2−到直线1xy+=的距离|021|322d−−==，故max92z=.【点睛】本题考查线性规划，属于基础题．16.若01ab，e为自然数()2.71828e，则下列不等式：①11++abba；②lnln−

−abeeab；③()()log1log1++abab，其中一定成立的序号是__________．【答案】①③.【解析】【分析】对于①根据不等式,作差并构造函数()ln1xfxx=+,利用导数证明函数的单调性即可比较大小;对于不等式②

,根据移项变形,构造函数()lnxgxex=−,通过求()',''()gxgx即可判断函数的单调性,比较大小即可;对于③,构造函数()()log1xhxx=+,利用换底公式,求导即可判断函数的单调性,进而比较大小即可.【详解】对于①若11++

abba成立.两边同时取对数可得11lnlnabba++,化简得()()1ln1lnabba++因为01ab则10,10ab++,不等式两边同时除以()()11ab++可得lnln11baba++令()ln1xfxx=+,()0,1x

则()()()()22111ln1ln'11xxxxxfxxx+−+−==++当()0,1x时,11ln0xx+−,所以()'0fx即()ln1xfxx=+在()0,1x内单调递增所以当01ab

时()()fbfa,即lnln11baba++所以11++abba故①正确对于②若lnln−−abeeab,化简可得lnlnabeaeb−−令()lnxgxex=−,()0,1x则()()211',''xxgxegxexx=

−=+由()''0gx可知()1'xgxex=−在()0,1x内单调递增而()()'0,'110gge→−=−所以()1'xgxex=−在()0,1x内先负后正因而()lnxgxex=−在()0,1x内先递减,再递增,所以当01ab时无法判断lnaea−与lnbeb−的大小关

系.故②错误.对于③,若()()log1log1++abab令()()log1xhxx=+利用换底公式化简可得()()ln1lnxhxx+=,()0,1x则()()()()()()()()22ln1lnln1ln1ln11''lnl

n1lnxxxxxxxxxhxxxxxx+−+−+++===+当()0,1x时,()()ln0,1ln10xxxx++所以()()ln1ln10xxxx−++,即()'0hx则()()ln1lnxhxx+=在()0,1x内单调递减所以当01ab

时,()()ln1ln1lnlnabab++即()()log1log1++abab所以③正确综上可知,正确的为①③故答案为:①③【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,通过构造函数比较不等式大小,对分析问题的能力要求较高,属于难题

.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数221()(1)2xfxxaeaxax=−−−+，其中

ea.（1）若2a=，求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（2）若()fx在(1,2)内只有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）23yx=−；（2）()0,1.【解析】【分析】（1）将2a=代入，求出函数解析式，可得

(0)f的值，利用导数求出(0)f的值，可得()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（2）求出函数的导函数，结合a的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.【详解】解：（1）22,()(3)e4,(0)3xafxxxx

f==−−+=−,()(2)e24xfxxx=−−+，则(0)2f=，故所求切线方程为23yx=−；（2）()()()exfxxaa=−−，当1a„时，()0fx对(1,2)x恒成立，则()fx在(1,2)上单调递增，从而()21(1)e02(2)(1)e20faafaa

=−−=−−，则(0,1)a，当12a时，()fx在(1,)a上单调递减，在(,2)a上单调递增，121(1)e0,()0,(2)02afaafaf=−−

则a，当2ea„时，()0fx对(1,2)x恒成立，则()fx在(1,2)上单调递减，(1)0,()ffx在（1，2）内没有零点，综上，a的取值范围为（0，1）.【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.18.如

图，在正方体1111ABCDABCD−中，点E为AB的中点，F为1DC的中点.（1）证明：//EF平面11ADDA；（2）若2AE=，求二面角DEFC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）19【解析】【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标

系，()4,0,2EF=−，平面11ADDA的法向量()10,1,0n=，10EFn=，得到证明.（2）计算平面DEF的法向量()1,2,2n=−，平面CEF的法向量()1,2,2m=，计算夹角得到答案.【详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设

4AB=，则()4,2,0E，()0,2,2F，()4,0,2EF=−，平面11ADDA的法向量()10,1,0n=，∵10EFn=，EF平面11ADDA，∴//EF平面11ADDA.（2）2AE=，()0,0,0D，()4,2,0E，()0,2,2F，()0,4,0C，()4

,2,0DE=，()0,2,2DF=，()4,2,0CE=−，()0,2,2CF=−，设平面DEF的法向量(),,nxyz=，则420220nDExynDFyz=+==+=，取1x=，得()1,

2,2n=−，设平面CEF的法向量(),,mabc=ur，则420220mCEabmCFbc=−==−+=，取得1a=，得()1,2,2m=，设二面角DEFC−−的平面角为，则二面角DEFC−−的余弦值为11cos339m

nmn===.、【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫

困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积x（单位：亩）12345管理时间y（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村

民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为

x,求x的分布列及数学期望．参考公式：1122111()(),()()niinniiixxyyrxxyy===−−=−−22(),()()()()nadbckabcdacbd−=++++其中nabcd=+++．临界值表：20()PKk0.

1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.828参考数据：63525.2【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）分别求出3x=，16y=，从而521()10iixx=−=，521()254

iiyy=−=，51()()47iiixxyy=−−=，求出12211()()470.93310254()()niiinniiiixxyyrxxyy===−−==−−，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出218.

7510.828K=，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】解：依题意

：123458101325243,1655xy++++++++====故51()()(2)(8)(1)(6)192847ixxyy=−−=−−−−++=552211()411410,()643698164254iixxy

y==−=+++=−=++++=则5155221111()()47470.933102542635()()iiixxyyrxxyy===−−===−−，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不

愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得2k的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k−===故有99.9%的把握认为

村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16，故35125(0)(),6216PX===1235125(1)(),6

672PXC===233332515(2)(11(3)62),721666PPXXCC======故x的分布列为X0123P12521625725721216则数学期望为12525511()012321672722162EX=+++=（或由1(3,)6XB，得

11()362EX==【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．20.在圆:O224xy+=上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M形成轨迹C．（1）求轨迹C的方程；（2）若直线yx=与

曲线C交于AB两点，Q为曲线C上一动点，求ABQ△面积的最大值【答案】（1）2214yx+=；（2）面积最大为2．【解析】【分析】（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆224xy+=整理得线段PD的中点M的轨迹方程；（2）联立直线yx=和椭圆2214yx+

=，求出AB的长；设过Q且与直线yx=平行的直线为yxt=+，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出t，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值．【详解】设(),Mxy，由题意(),0Dx，()1,0PxM为线段PD的中点，102yy+=即12yy=又()1,Pxy在圆224

xy+=上，2214xy+=2244xy+=，即2214yx+=，所以轨迹C为椭圆，且方程为2214yx+=.联立直线yx=和椭圆2214yx+=，得到254x=，即255x=即有25252525,,,5555AB−−

222525252541055555AB=+++=设过Q且与直线yx=平行的直线为yxt=+，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，将yxt=+代入椭圆方程得：2258440xtxt++−=由相切的条件得

()226445440tt=−−=解得5t=，则所求直线为5yx=+或5yx=−，故与直线yx=的距离为51022d==，则ABQ△的面积的最大值为1410102252S==.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直

线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题．21.已知函数()2ln2fxxxaxx=−+，aR．（Ⅰ）若()fx在()0,+内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ

）若函数()fx有两个极值点分别为1x，2x，证明：1212xxa+．【答案】（Ⅰ）e,4a+（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（I）先求得函数的导数，根据函数在()0,+上的单调性列不等式，分离常数a后利用构造函数法求得a的取值范围.（II）将极

值点12,xx代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明12112221ln1xxxxxx−+，利用构造函数法证得上述不等式成立.【详解】（I）()ln24fxxax+=−．∴()fx在()0,+内单调递减，∴()ln240fxxax=+−在()0,+内恒成立，即ln2

4xaxx+在()0,+内恒成立．令()ln2xgxxx=+，则()21lnxgxx−−=，∴当10ex时，()0gx，即()gx在10,e内为增函数；当1xe时，()0g

x，即()gx在1,e+内为减函数．∴()gx的最大值为1gee=，∴e,4a+（Ⅱ）若函数()fx有两个极值点分别为1x，2x，则()ln240fxxax=+−=在(

)0,+内有两根1x，2x，由（I），知e04a．由1122ln240ln240xaxxax+−=+−=，两式相减，得()1212lnln4xxaxx−=−．不妨设120xx，∴要证明1212xxa+，只需证明()()121212142lnlnxxaxxaxx+−−．即证明

()1212122lnlnxxxxxx−−+，亦即证明12112221ln1xxxxxx−+．令函数．∴22(1)'()0(1)xhxxx−−=+，即函数()hx在(0,1内单调递减．∴()0,1x时，有()

()10hxh=，∴2(1)ln1xxx−+．即不等式12112221ln1xxxxxx−+成立．综上，得1212xxa+．【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值

点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为22sin2sin=+−，

直线l的极坐标方程为()cossin1−=，设l与C交于A、B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E、F.以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy.（1）求C的直角坐标方程与点M的直角坐标；（2）求证：MAM

BMEMF=.【答案】（1）22:12xCy+=，21,33M−；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程变形为()22sin2+=，再由222sinxyy=+=可将曲线C的

极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的方程与曲线C的方程联立，求出点A、B的坐标，即可得出线段AB的中点M的坐标；（2）求得223MAMB==，写出直线EF的参数方程，将直线EF的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用韦达定理求得MEMF的值，

进而可得出结论.【详解】（1）曲线C的极坐标方程可化为()222sin=−，即()22sin2+=，将222sinxyy=+=代入曲线C的方程得2222xy+=，所以，曲线C的直角坐标方程为22:12xCy+=.将直线l的极坐标方程化为

普通方程得1xy−=，联立22112xyxy−=+=，得01xy==−或4313xy==，则点()0,1A−、41,33B，因此，线段AB的中点为21,33M−；（2）由（1）得223MAMB==，89MAMB=，易知AB的垂直平分线EF

的参数方程为22321232xtyt=−=−+（t为参数），代入C的普通方程得234240233tt−−=，483392MEMF−==，因此，MAMBMEMF=.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程

之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()21fxx=−，xR.（1）解不等式()21fxx+；（2）若对,xyR，有113xy−−，1216y+，求证：

()1fx.【答案】（1）{|02}xx．（2）见解析【解析】【分析】（1）利用零点分段法解绝对值不等式，即可得答案；（2）根据三角形绝对值不等式，即可证明不等式；【详解】（1）∵()1fxx+，∴

211xx−+，即12211xxx−+或102121xxx−+或0121xxx−−+解得：122x或102x或无解．故不等式()1fxx+的解集为{|02}xx．（2）

证明：()()()()1152121212121212121366fxxxyyxyyxyy=−=−−++−−++=−−+++=.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解和证明，考查逻辑推理能、运算求解能力，属于基础题.