【文档说明】【精准解析】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学（理）试题.doc，共(22)页，1.515 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省叙州区第一中学高二第一学月考试理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑

.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线30xya+−=的倾斜角为（）A.

30°B.150C.120D.与a取值有关【答案】B【解析】【分析】先根据直线的方程求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．【详解】直线x+3y﹣a=0的斜率为﹣3

3，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣33．又0°≤θ＜180°，∴θ=150°，故选B．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，属于基础题.2.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系

统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（）A.3，8，13B.2，7，12C.3，9，15D.2，6，12【答案】B【

解析】【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5，当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2，所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，1

2．故选：B．【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．3.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x甲、x乙表示，则下列结论正确的是()A.

xx甲乙，且甲比乙成绩稳定B.xx甲乙，且乙比甲成绩稳定C.xx甲乙，且甲比乙成绩稳定D.xx甲乙，且乙比甲成绩稳定【答案】A【解析】【分析】利用茎叶图求出甲、乙两位同学的平均成绩和方差，分别比较这两个数的大

小，可得出结论．【详解】由茎叶图可知，甲同学成绩的平均数为8889909192905x++++==甲，方差为24101425S++++==甲，乙同学成绩的平均数为8388898991885x++++==乙，方差为22508198.65S+

+++==乙，则xx甲乙，22SS甲乙，因此，xx甲乙，且甲比成绩稳乙定，故选A．【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数和方差的计算，在求解有关茎叶图中数据的计算时，先将数据由小到大或由大到小排列，结合相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．4.若方程220xyxym−++=+表示一个

圆，则m的取值范围是()A.2mB.2mC.12mD.12m【答案】C【解析】【分析】把方程化简为圆的标准方程，利用半径大于零，解不等式即可．【详解】由方程220xyxym−++=+，化简得22111222xym−++=−，方程表示一个圆，102m−，解

得12m.故选C．【点睛】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，一般化简为圆的标准方程，属于基础题.5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.403B.323C.8323+D.16323+【答案】D【解析】【分析】由三视图还原原几何体，是一个长方体上方有一个半球．

再根据体公式计算．【详解】由三视图知该几何体是由一个长方体上方放一个半球组合的，尺寸见三视图，31416442232233V=+=+．故选：D.【点睛】本题考查三视图，考查组合体的体积（柱体和球的体积），解题关键是由三视图还原出原几何体．6.平面∥

平面的一个充分条件是（）A.存在一条直线a，a∥，a∥B.存在一条直线a，a⊂，a∥C.存在两条平行直线a，b，a⊂，b⊂，a∥，b∥D.存在两条异面直线a，b，a⊂，b⊂，a∥，b∥【答案】D【解析】试题分

析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的

两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确考点：空间线面平行的判定与性质7.已知直线1l：(3)(4)10kxky−+−+=与2l：2(3)230kxy−−+=平行，则k的值是（）.A.1或3B.1或5C.3或5D

.1或2【答案】C【解析】当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为y=-1和y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0

时，由()k34k1/32k32−−=−−，可得k=5．综上，k的值是3或5，故选C．8.若圆：()22:21Cxy++=关于直线:0lxym−+=对称，1:420lxy−+=，则l与1l间的距离是（）A.1B.2C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行

间距离公式求得距离．【详解】由题意(2,0)C−，圆()22:21Cxy++=关于直线:0lxym−+=对称，则200m−−+=，2m=，即l方程为20xy−+=，所求距离为2224231(1)d−==+−．

故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．9.已知两点(1,63)A，(0,53)B到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A.1aB

.01aC.01aD.02a【答案】B【解析】【分析】由题意做出简图，分别讨论,AB在同一侧和两侧两种情况，只需a小于,AB两点距离的一半，再由两点间的距离公式即可求出a的取值范围.【详解】解：由题意如图所示：因为若,AB在直线的同

一侧，可做两条直线，所以若这样的直线有4条，则当,AB两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a小于,AB的距离，因为22||(10)(6353)2AB=−+−=，所以022a，所以：01a，故选：

B.【点睛】考查点到直线的距离公式，属于中档题.10.三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A.272B.2732πC.273D.27π【答案】B【解析】【分析】计算棱锥的高，判断外接球球心位置，利用勾

股定理求出外接球的半径，代入体积公式计算．【详解】解：∵PA＝PB＝3，PA⊥PB，∴AB＝32．∵PA＝PB＝PC，∴P在底面ABC的射影为△ABC的中心O，设BC的中点为D，则AD362=，AO23=AD6=，∴OP223PAOA=−=，设三棱锥P

﹣ABC的外接球球心为M，∵OP＜OA，∴M在PO延长线上，设OM＝h，则MA22OAh=+=OP+h，∴6+h2＝（3+h）2，解得h32=，∴外接球的半径r333322=+=．∴外接球的体积V34433r==（332）32732=．故选B．【点睛】本题考查了棱锥与外

接球的位置关系，考查计算能力，空间想象能力，属于中档题．11.抛物线22yx=的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为（）A.3B.23C.2D.2【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设2,2mPm

，求出PMF△的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积.【详解】据题意知，PMF△为等边三角形，PFPM=，∴PM⊥抛物线的准线，设2,2mPm，则1,2Mm−，等边三角形边长

为2122m+，102F，，所以由PFPM=，得2221112222mm+=++，解得3m=，∴等边三角形边长为2，其面积为1322322=，故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题，考查了学

生综合把握所学知识和基本的运算能力，属于中档题.12.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别是1F，2F，过2F的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若112PFFF=，且222QFPF=，则该双曲线的离心率为（）A.53B.73C.512+D.312+【答案】A【解

析】【分析】把1PQF中的线段121212,,,,PFPFQFQFFF根据已知条件和双曲线的定义用,ac表示出来，然后通过2121coscosPFFQFF=−建立等式，变形后可求得离心率．【详解】解：12PFc=，12

2PFPFa−=，得222PFca=−，22244QFPFca==−，故142QFca=−，2121coscosPFFQFF=−，222222(22)(2)(2)(44)(2)(42)2(22)22(44)2cac

ccaccacaccac−+−−+−−=−−−，22222216()44(2)(22)(2)(2)2caccacacc−+−−−+−=−，()()()222248222cacacca−=−−−+−()()22212222cacca−+=−，223850caca

−+=，23850ee−+=，53e=或1e=（舍）．故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,ac的等式．本题结合已知条件分析，在1PQF中利用2121coscosPFFQFF=−可建立关系式．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分.13.命题“2,210xRxx−−”的否定形式是______．【答案】2000,210xRxx−−．【解析】试题分析：由全称命题,()xMpx，的否定为：00,()xMpx，得：命题“2,21

0xRxx−−”的否定形式是：2000,210xRxx−−．故应填入：2000,210xRxx−−．考点：全称命题的否定．14.已知x､y满足约束条件420yxxyy++,则2zxy

=+的最小值为_____________.【答案】-6【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】由约束条件420yxxyy++作出可行域如图：联立2yxy==−，解得()

2,2A−−，化目标函数2zxy=+为2yxz=−+，由图可知，当直线2yxz=−+过()2,2A−−时，即2,2xy=−=−时直线在y轴上的截距最小，z有最小值为()2226−−=−.故答案为:﹣6.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出可行域是解题

的关键.15.已知点1232MN（，），（，），点F是直线l:3yx=−上的一个动点，当MFN最大时，过点M，N，F的圆的方程是__________.【答案】22(2)(1)2xy−+−=【解析】【详解】试题分析：根据题意，设

圆心坐标为C（2，a），当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆与直线y=x-3相切．∴()()22232122aa−−−+−=，∴a=1或9，a=1时，r=2，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=52，∠MCN＜90°，∠MFN＜45

°，则所求圆的方程为22(2)(1)2xy−+−=考点：圆的标准方程16.已知0,0,0abc，若点(),Pab在直线2xyc++=上，则4ababc+++的最小值为___________.【答案】222+【解析】【分析】由(),Pab在直线2xyc++=上，可得20abc+=−，

设2cmcn−==，则2mn+=，原式化为4212mnmn++−，展开后利用基本不等式可得结果.【详解】(),Pab在2xyc++=上，2abc++=，20abc+=−，4422abc

abccc+−+=++−4212cc=+−−，设2cmcn−==，则2mn+=，42424222mnccmnmn++=+=+−22332322nmnmmnmn=+++=+，当222mn=，即222c=−时，“=”成立，42132212222cc+−+−=+−

，即4ababc+++的最小值为222+，故答案为222+.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相

等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.命题p：方程230xxm−+=有实数解，命题q：方程22192xymm+=−−表示焦点在x轴上

的椭圆．(1)若命题p为真，求m的取值范围；(2)若命题pq为真，求m的取值范围．【答案】（1）94m.（2）924m【解析】【分析】（1）原题转化为方程230xxm−+=有实数解，23)40m=−−（；（2）pq为真，即每个命题都为真

，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.【详解】（1）∵230xxm−+=有实数解，∴293)40,4mm（=−−（2）∵椭椭圆焦点在x轴上,所以902092mmmm−−−−，∴1122m∵pq为真，119224mm且，924m.【点睛】由简单命题和逻

辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“

p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．18.已知圆1C经过两点()2,0E−，()4,2F−，且圆心1C在直线l：280xy−+=上．（1）求圆1C的方程；（2）设圆1C与x轴相交于A、

B两点，点P为圆1C上不同于A、B的任意一点，直线PA、PB交y轴于M、N点．当点P变化时，以MN为直径的圆2C是否经过圆1C内一定点？请证明你的结论．【答案】（1）()2244xy++=；（2）当点P变化时，以MN为直径的圆2C经过定点()23,0−．证明见解析【解析】【分析】（1）设圆圆心为(

)1,24Caa+，由11CECF=求得a的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程；（2）设()00,Pxy（00y），由条件求得M，N的坐标，可得圆2C的方程，再根据定点在x轴上，求出定点的坐标．【详解】（1）设圆圆心为()1,28Caa+，由11CECF=得，()()()()2222

228426aaaa+++=+++，解得4a=−，∴()14,0C−，半径为()22422(4)82−++−+=，所以圆1C：()2244xy++=（2）设()00,Pxy（00y），则()220044xy++=．又()6,0A−，()2,0

B−，所以PAl：()0066yyxx=++，0060,6yMx+，PBl：()0012yyxx=++，0020,2yNx+．圆2C的方程为220000200006262626222yyyyxxxxxy+−+++++−=

．化简得2200006212062yyxyyxx+−+−=++，由动点()00,Pxy关于x轴的对称性可知，定点必在x轴上，令0y=，得23x=．又点()23,0−在圆1C内，所以当点P变化时，以MN为直径的圆2C经过定点()23,0−．【点睛】本

题主要考查求圆的标准方程的方法，圆经过定点问题，体现了转化的思想，属于中档题．19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(

2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)

[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5【答案】（1）0.005a＝（2）73(分)（3）10【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；（3）按

表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[5090，）之外的人数．【详解】解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成

绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为

0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为1455,4020,3040,2025234

===.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.【点睛】本题考查频率分布直方图及计算，解题关键是认真识图，不遗漏条件，属于基础题.20.如图，已知AB⊥平面,//,BCECDABB

CE是正三角形，2ABBCCD==.（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；（2）求二面角ADEB−−的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）153.【解析】【分析】（1）取BE的中点FAE、的中点G，证明CFDG，由CFBFCFAB⊥⊥，，根据线面垂直判定定理可得CFABE⊥平面，可

得DG⊥平面ABE，结合面面垂直的判定定理，可得平面ABE⊥平面ADE；（2）过G作GMDE⊥，连接BM，可以得到BMG为二面角ADEB−−的平面角，解三角形BMG即可求出二面角ADEB−−的正切值．【详解】解：（1）取BE的中点F.AE的中

点G，连接GD，CF∴2GFAB1=,GF∥AB又∵12DCAB=,CD∥AB∴CD∥GF，CD=GF,∴CFGD是平行四边形,∴CF∥GD,又∵CF⊥BF，CF⊥AB∴CF⊥平面ABE∵CF∥DG∴DG⊥平面ABE，∵DG⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面AD

E；（2）∵AB=BE，∴AE⊥BG，∴BG⊥平面ADE，过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE，则∠BMG为二面角A−DE−B的平面角，设AB=BC=2CD=2，则2BGGE==,在Rt△DCE中，CD=1，CE=2,∴5DE=,又3DGCF==,由DE⋅GM=DG⋅EG得305GM

=,所以215tan3305BGBMGGM===，故面角ADEB−−的正切值为：153.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理及二面角的平面角的作法，重点考查了空间想象能力，属中档题.21.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公

司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x:(单位

：元/月）和购买人数y(单位：万人）的关系如表:流量包的定价（元/月）3035404550购买人数（万人）18141085（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）①求出y关于x的回归方程；②若

该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.参考数据：25000158，26000161，27000164.参考公式：相关系数()()

()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，回归直线方程ybxa=+$$$，其中()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−$$.【答案】(1)见解析;(2)①0.6436.6yx=−+;②一个月内购

买该流量包的人数会超过20万人.【解析】【分析】(1)根据题意，得x,,y计算出相关系数r，从而可以作出判断;(2)①求出回归直线方程，②由①知，若25x=，则0.642536.6ˆ52.6y=−+=，从而预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人【

详解】（1）根据题意，得()13035404550405x=++++=，()118141085115y=++++=.可列表如下根据表格和参考数据，得()()51160iiixxyy=−−=，()()

55221125010426000161iiiixxyy==−−==.因而相关系数()()()()515522111600.99161iiiiiiixxyyrxxyy===−−−==−−−.由于0.99r很接

近1，因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于0r，故其关系为负相关.（2）①()()()515211600.6425ˆ0iiiiixxyybxx==−−−===−−，110.64406ˆ3.6a=+=，因而y关于x的回归方程为0.643

6.ˆ6yx=−+.②由①知，若25x=，则0.642536.6ˆ52.6y=−+=，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【点睛】本题主要考查线性回归方

程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nniiiiixyxxy==的值；③计算回归系数ˆˆ,ab；④写出回归直线方程为ˆˆˆybxa=+；回归直线过样本点中心(),xy是一条重要性质，利用线性

回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.22.如图已知椭圆()222210xyabab+=，()2,0A是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且0ACBC=，2OCOBBCBA−=−.（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）设,PQ为椭圆上异于,AB且不重合的

两点，且PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数，使得PQAB=，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）223144xy+=（Ⅱ）max233=【解析】【分析】（Ⅰ）易知2,a=根据条件确定AOC形状，即得C坐标，代入椭圆方程可得2b，（Ⅱ）即

先判断PQAB∥是否成立，设PC的直线方程，与椭圆联立方程组解得P坐标，根据P、Q关系可得Q坐标，利用斜率坐标公式即得PQ斜率，进而判断PQAB∥成立，然后根据两点间距离公式计算PQ长度最大值，即可得的最大值.【详解】（Ⅰ）∵0AC

BC=，∴,90ACBCACB⊥=又2OCOBBCBA−=−，即2BCAC=，22,OCACOCAC==∴AOC是等腰直角三角形∵(2,0)A，∴(1,1)C因为点C在椭圆上，∴22111,2,aab+==∴243b=∴所求椭圆方程为223144xy+=（Ⅱ）对于

椭圆上两点P、Q，∵PCQ的平分线总是垂直于x轴∴PC与CQ所在直线关于1x=对称，设(0PCkkk=且1)k，则CQkk=−，则PC的直线方程1(1)(1)1ykxykx−=−=−+①QC的直线方1(1)(1)1ykxykx−=−−

−−+②将①代入223144xy+=得222(13)6(1)3610kxkkxkk+−−+−−=③∵(1,1)C在椭圆上，∴1x=是方程③的一个根，∴22361113ppkkxxk−−==+以k−替换

k，得到2236131Qkkxk+−=+.222226242()211313121231313pQpQPQpQpQkkkkyykxxkkkkkkxxxxkk−−−−+−++=====−−−−++因为(1,1)B−−,所以1,3ABk=

∴,PQABkk=∴PQAB∥，∴存在实数，使得PQAB=22222222222124160160230||()()()()11313(13)396pqpqkkkPQxxyykkkkk−−=−+−=+==+++++当2219kk=时即213,33kk==时取等号，又||10AB=，max2

30233310==【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在．其中直线和圆锥曲线的位置关系，

一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.