【文档说明】四川省德阳市广汉中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学（理）试题 含解析.docx，共(18)页，1.334 MB，由小赞的店铺上传

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四川省广汉中学高2021级高二下第一次月考理科数学试卷一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.1.已知集合240Axxx=−，21,Bxxnn==−N，则AB=（）A.3B.1,3C.1,3,4D.1,2,

3,4【答案】B【解析】【分析】解出集合A，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】24004Axxxxx=−=，当nN时，211n−−，所以，集合21,Bxxnn==−N为不小于1−的奇数组合的集合，因此，1,3AB=.故选：B.2.“1a=”是“

函数()()22xxfa−−=在区间)2,+上的增函数”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义，

即可得到结论.【详解】解：若函数()()22xxfa−−=在区间)2,+上为增函数，则对称轴2xa=，当1a=时，满足2a，即充分性成立，当2a=时，满足2a，但1a=不成立，即必要性不成立，所以“1a=”是“函数()()22xxfa−−=在区间)2,+上的增函数”的充分不必要条件，

故选：C.3.已知函数()fx的定义域为R，其导函数为()fx，()fx的部分图象如图所示，则（）.A.()fx在区间(0,1)上单调递减B.()fx的一个增区间为(1,1)−C.()fx的一个极大值为(1)f−D.()fx的最大值为(1)f【答案】B【解析】【

分析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可【详解】由()fx

的部分图像可得：在(1,1)−上，()0fx，所以()fx单调递增，所以A不正确，B正确；由(1)0f−=，导函数在=1x−左右两侧的函数值异号，所以(1)f−是()fx的一个极小值，所以C不正确，同理可知(1)f是()fx的一个极大值，并不一定是最大值，D不正确.故选：B.4.已

知焦点在y轴上的椭圆22214xym+=的焦距等于2，则实数m的值为（）A.3或5B.3或5C.3D.3【答案】D【解析】【分析】由椭圆的焦点在y轴上确定24m，再根据222abc=+即可求.【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以24m，根据题意可得241m−=，解得3m=

.故选：D.5.根据如下样本数据得到的回归方程为ˆˆˆybxa=+．若ˆ7.9a=，则x每增加1个单位，y就（）x34567y42.50.5−0.52−A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位D.减少1.2

个单位．【答案】B【解析】【分析】先根据数据求出,xy，代入回归直线可得ˆb，根据ˆb的符号判定.【详解】由题意可得1(34567)55x=++++=，1(42.50.50.52)0.95y=+−+−=，回归方程为ˆˆˆyb

xa=+．若ˆ7.9a=，且回归直线过点(5,0.9)，ˆ0.957.9b=+，解得ˆ1.4b=−，x每增加1个单位，y就减少1.4个单位，故选：B．6.下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（）A.

10B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】由三视图确定几何体为圆锥体，应用圆锥体侧面积公式求面积即可.【详解】由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体，∴其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半

径的扇形，故几何体的侧面积为221312102S=+=，故选：A7.抛物线的方程为28xy=，抛物线上一点P的横坐标为22，则点P到抛物线的焦点的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出抛物线上点P的纵坐标，再结合抛物线定义求解作答.【详解】依

题意，抛物线28xy=的准线方程为=2y−，而点0(22,)Py在抛物线28xy=上，则01y=，所以点P到抛物线焦点的距离为()023y−−=.故选：B8.函数lnyxx=在区间(01)，上是（）A.单调增函数B.单调减函数

C.在10e，上单调减函数，在11e，上是单调增函数D.在10e，上是单调增函数，在11e，上是单调减函数【答案】C【解析】【详解】主要考查导数在研究函数的单调性等

方面的应用．解：函数定义域为(0,)+．由ln10yx+=得1xe，所以函数lnyxx=在区间(01)，上是“在10e，上是单调减函数，在11e，上是单调增函数”，故选C

．9.命题“[2,)+x，24x”的否定为（）A.[2,)+x，24xB.0[2,)+x，204x是C.0[2,)+x，204xD.)02,x+，204x【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否

定的定义求解.【详解】解：因为[2,)+x，24x是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即)02,x+，204x，故选：D10.为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶

图.有下列结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的序号是（）A.②③B.①④C.①③D.②

④【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；【详解】甲的得分为25,28,29,31,32；乙的得分为28,29,30,31,32；因为()12528293132295++++=，()12829303132305++++=()()()()

()2222212529282929293129322965−+−+−+−+−=()()()()()2222212830293030303130323025−+−+−+−+−=故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为6、2；故正确的有②③；故选：A1

1.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1中点，O，M分别为BD，EF的中点，则下列说法错误的是（）A.四点B，D，E，F在同一平面内B.三条直线BF，DE，CC1有公共点C.直线A1C与直线OF不是异面直

线D.直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线【答案】C【解析】【分析】利用两条平行线确定一个平面可判断选项A，利用点共线定理可判断选项B，根据异面直线的定义可判断选项C，连结OM即可判断选项D．【详解】作出图象如图所示，连结B1D1，则B1D1∥BD，B1D1∥EF，所以B

D∥EF，所以四点B，D，E，F在同一平面内，故选项A正确；的延长BF，DE，则BF，DE相交于点P，又BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DD1C1C，则P∈平面BCC1B1，P∈平面DD1C1C，又平面B

CC1B1∩平面DD1C1C＝CC1，所以P∈CC1，即三条直线BF，DE，CC1有公共点P，故选项B正确；因为直线A1C为长方体的体对角线，所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内，所以直线A1C与直线OF

是异面直线，故选项C错误；A1，O，C，C1均在平面AA1C1C内，连结OM，则OM与直线A1C相交，所以直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线，故选项D正确．故选：C【点睛】关键点点睛：根据异面直线的判定定理判定异面直线是解题的关键，属于中档题.12.设定义域为R的函数()f

x满足()()fxfx，则不等式()()121xefxfx−−的解集为（）A.(),e−B.(),1−C.(),e+D.()1,+【答案】D【解析】【分析】令()()xfxgxe=，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．

【详解】解：令()()xfxgxe=，则()()()0xfxfxgxe−=，故g（x）在R递增，不等式()()121xefxfx−−，即21()(21)xxfxfxee−−，故()(21)gxgx−，故x＜2x−1，解得：x＞1，故选：

D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.曲线223yxx=−+在点()1,6A−处的切线方程是______.【答案】42yx=−+【解析】【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由2

23yxx=−+可得22yx=−，所以曲线223yxx=−+在点()1,6A−处斜率()2124k=−−=−，所以曲线223yxx=−+在点()1,6A−处的切线方程为()641yx−=−+，整理得42yx

=−+，故答案为：42yx=−+14.已知函数()'cossin4fxfxx=+，则4f的值为__________．【答案】1【解析】【详解】()''sincos4fxfxx=−

+，''sincos4444ff=−+，解得'214f=−，故()22'cossin211444422ff=+=−+=，故答案为1.15.已知焦点在x轴上的双曲线22221

1xymm−=−的左右焦点别为1F和2F，其右支上存在一点P满足12PFPF⊥，且12PFF△的面积为3，则该双曲线的离心率为______.【答案】72【解析】【分析】根据双曲线焦点三角形面积公式即可求出24

m=，即可求出离心率.【详解】解：由双曲线中焦点三角形面积1222213490tan45tan2PFFbmSm−====，所以24a=，24417c=+−=，则72cea==，故答案为：72.16.如图，棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1AB上的动点（不含端

点），有下列结论:①平面11ADP⊥平面1AAP;②多面体1DCDP−的体积为定值;③直线1DP与BC所成的角可能为3;④1APD可能是钝角三角形.其中结论正确的序号是____________（填上所有序号）.【答案】①②④【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可知①正确，由等体积法可知②正确

，由直线1DP与BC所成的角的最大值小于45可知③错误，由1cos,0PAPD可知④正确.【详解】对于①，正方体1111ABCDABCD−中，111ADAA⊥，11ADAB⊥，111111AAABAAAABAAPAD=

⊥，，平面，平面1AAP11AD平面11DAP，平面11DAP⊥平面1AAP，故①正确;对于②，1111122CDDSP==，到平面1CDD的距离1BC=，三棱锥1DCDP−的体积111111326DCDPPCDDVV−−==

=，为定值，故②正确;对于③，易得BC∥11AD，11ADP即为直线1DP与BC所成角，，当点P与点B重合时，1DCB是直角三角形，1112tan122BCDBCDC===，所以145DBC，而此时直线1DP与BC所成的角是最大角，所以直线1

DP与BC所成的角不可能为3，故③错误；对于④，以点D为原点建立空间直角坐标系如上图所示：由题得()()1100001AD，，，，，，设()11(01)Pyyy−，，，所以()()1011PAyyPDyy=−−+=

−−，，，，，，所以21112(21)cos,yyyyPAPDPAPDPAPD−−==当102y时，1cos,0PAPD，即1APD是钝角.此时1APD△是钝角三角形.故④正确.故答案为：①②④三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.西

昌邛海湿地马拉松比赛是四川省内最专业的国际马拉松赛事，42.195公里，每一步都来之不易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城市的精彩．为积极参与马拉松比赛，某校决定从3000名学生随机抽取100名学生进行

体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是)50,60、)60,70、)70,80、)80,90、90,100．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计

这100名学生比赛成绩的中位数（结果精确到0.01）；（3）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？【答案】（1）0.005a=（2）71.67（3）2250人【解析】【分析】（1）由频率

分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得实数a的值；（2）设中位数为m，根据中位数的定义可得出关于m的等式，解之即可；（3）样本中80分钟之频率，乘以3000可得结果.【小问1详解】解：由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可得(

)2100.040.030.02101a+++=，解得0.005a=.【小问2详解】解：前两个矩形的面积之和为()0.0050.04100.450.5+=，前三个矩形的面积之和为()0.0050.

040.03100.750.5++=，所以，中位数()70,80m，所以，()0.45700.030.5x+−=，解得71.67m.的【小问3详解】解：样本中80分钟之前频率为()0.0050.040.03100.75++=，因

此，估计该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为30000.752250=.18.已知等差数列na满足：37a=，5726aa+=．na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令211nnba=−（nN+）,求数列nb的前n项和nT．【

答案】（Ⅰ）21,(2)nnanSnn=+=+;（Ⅱ）4(1)nn+．【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列{}na公差为d，由已知3577,26aaa=+=可得1127{21026adad+=+=解得1

,ad，则na及nS可求；（2）由（1）可得111()41nbnn=−+，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列{}na的公差为d，因为37a=，5726aa+=，所以有1127{21026adad+

=+=，解得13,2ad==，所以32(1)21nann=+−=+，2(1)3222nnnSnnn−=+=+.（2）由（1）知，21nan=+，所以22111111()1(21)14(1)41nnbannnnn====−−+−++，所以11111111(1

)(1)42231414(1)nnTnnnn=−+−++−=−=+++，即数列{}nb的前n项和4(1)nnTn=+.考点：等差数列的通项公式，前n项和公式．裂项求和19.设函数()32962fxxxxa=−+−

.（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值；的（2）若方程()0fx=有且仅有一个实根，求a的取值范围.【答案】（1）34−（2）()5,2,2−+【解析】【分析】（1）对()fx求导，得到()fx为二次函数，因为()fxm

恒成立，所以有min()mfx，利用二次函数性质，求()fx的最小值即可；（2）方程只有一个实根，说明三次函数()fx只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围．【小问

1详解】解：已知函数()32962fxxxxa=−+−，xR，则2()396fxxx−=+，因为对于任意实数x，()fxm恒成立，则min()mfx，对称轴93232x−=−=，所以2min3333()()3()962224fxf==−+=−，可得34m−，即m的最

大值为34−.【小问2详解】（2）令()0fx=，即()()23963120xxxx−+=−−=，解得1x=或2x=，当1x时，()0fx；当12x时，()0fx；当2x时，()0fx.所以()fx在区间(),1,

2,−+上单调递增，在区间1,2上单调递减，当1x=时，()fx取极大值5(1)2fa=−；当2x=时，()fx取极小值(2)2fa=−，故当(2)0f或(1)0f时，方程()0fx=仅有一个实根，解得2a或52a，所以a的取值范围为()5,2

,2−+.20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD//QA，PD⊥平面ABCD，且22ADQA==，2PD=.（1）求证：//QB平面PDC.（2）求平面PBC与平面PBQ所成角的正弦值.【答案】（1）证明

见解析（2）12【解析】【分析】（1）由已知条件根据面面平行的判定定理，可证平面//QAB平面PDC，再由面面平行的性质即可证明//QB平面PDC；（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求

出平面PBC与平面PBQ的法向量，再根据二面角的余弦公式求得3cos,2mn=，进而得到平面PBC与平面PBQ所成角的正弦值.【小问1详解】证明：已知四边形ABCD是正方形，所以//CDAB，又PD//QA，且PDCDD=，A

QABA=，,PDCD平面PDC，,AQAB平面QAB，所以平面//QAB平面PDC，而QB平面ABQ，所以//QB平面PDC.【小问2详解】因为四边形ABCD是正方形，所以ADCD⊥，又PD⊥平面ABCD，所以PD，AD，CD两两互相垂直，以D为

原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,2)P，(2,2,0)B，(0,2,0)C，(2,0,1)Q，(2,2,2)PB=−，(2,0,0)CB=，(0,2

,1)QB=−设(,,)mxyz=是平面PBC的一个法向量，则222020mPBxyzmCBx=+−===，取1y=，得(0,1,1)m=，设(,,)nabc=是平面PBQ的一个法向量，则222020nPBabcnQBbc

=+−==−=，取1b=，得(1,1,2)n=，13cos,2262mn+==，则1sin,2mn=，平面PBC与平面PBQ所成角的正弦值为12.21.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的长轴长为4，点31,2−−

在E上.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线:2lykx=+与E交于A，B两点，若2OAOB=uuruuur(O为坐标原点)，求k的值.【答案】（1）2214xy+=（2）426【解析】【分析】（1）由题可得2

a=，再结合点31,2−−在E上，代入即可解出b，得出椭圆方程；（2）设A，B的坐标为()11,xy，()22,xy，联立直线与椭圆，由韦达定理结合2OAOB=uuruuur建立方程，即可求出k值.【详解】（1）解：由题意得2a=，又点31,2

−−在E上，所以213144b+=，解得1b=，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=.（2）解：设A，B的坐标为()11,xy，()22,xy，依题意得，联立方程组22142xyykx+==+消去y，得()221416120kxkx+++

=.()()221648140kk=−+，所以234k1221614kxxk−+=+，1221214xxk=+，1212OAOBxxyy=+()()121222xxkxkx=+++()()212121

24kxxkxx=++++()22212161241414kkkkk−=+++++221220414kk−=++，∵2OAOB=，所以2212204214kk−+=+，则27364k=，所以426

k=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.22.已知函数1()lnfxxaxx=++．（1）若函数()fx在)1,+上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）已知函数1()gxxx=+，对于任意

11,ex，总存在21,ex，使得12()()fxgx成立，求正实数a的取值范围．【答案】（1）0a或14a−≤；（2）101ea−．【解析】【分析】（1）先求导，将问题转化为()0fx或()0fx对任

意)1,x+恒成立，参变分离后换元构造函数，求出最值即可求得实数a的取值范围；（2）先由单调性求出()(),fxgx在1,e上的最值，再将问题转化为maxmax()()fxgx，解不等式求出正实数a的

取值范围即可．【详解】（1）222111()axxfxaxxx+−=−+=，)1,x+，由于函数()fx在)1,+上是单调函数，()0fx或()0fx对任意)1,x+恒成立，即210axx+−或210axx+−对任意)1,x+恒成立，211

xxa−或211axx−对任意)1,x+恒成立，令1tx=，由于)1,x+，(0,1t，设2211()24htttt=−=−−，由01t得1()04ht−，所以

实数a的取值范围为0a或14a−≤；（2）由（1）知，当0a时，函数()fx在1,e上为增函数，故(1)()(e)ffxf，即11()1eeafxa+++，22211()1xgxxx−=−=，则当1,ex时，()0gx，所以函数()gx在1,e上是单调递

增函数，(1)()(e)gxgg，即12()eegx+，对任意11,ex，总存在21,ex，使得12()()fxgx成立，可知在区间1,e上maxmax()()fxgx，即111eeee

a+++，即11ea−，故所求正实数a的取值范围101ea−．