【文档说明】辽宁省葫芦岛市兴城市高级中学等四校2022-2023学年高二12月月考数学试卷 含解析.doc，共(21)页，1.892 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年度上学期高二年级四校12月联考试题数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1向量()2,1,3ax=，()1,2,9by=−，若//ab，则（）A.

1xy==B.1=2x，12y=−C.16x=，32y=−D.16x=−，23y=【答案】C【解析】【详解】因为向量()2,1,3ax=，()1,2,9by=−，且//ab，则设bka=，即()()2,1,31,2,9xky=−，则有13k=，则123x=，()1123y=−，

解得16x=，32y=−，故选：C2.已知363434CCxx−=，则x=（）A.3或10B.3C.17D.3或17【答案】A【解析】【详解】因为363434CCxx−=，故36xx=−或3634xx−=+，即3x=或10x=故选：A3

.抛物线24yx=的焦点坐标是（）A.10,16B.10,8C.10,4D.10,2【答案】A【解析】【详解】由214xy=得124p=，则1216p=，且焦点在y轴正半轴上，所以焦点坐标是10,16.故选：A.4.公元五世纪，数学家祖

冲之估计圆周率的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如

果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个．A.240B.360C.600D.720【答案】A【解析】【详解】利用插空法：共有4245AC240=种.故选：A5.若直线1:10lxmy++=与:20lxy−=垂直，直线2l

的方程为2230xmy++=，则1l与2l间的距离为（）A.255B.455C.510D.55【答案】C【解析】【详解】因为直线1:10lxmy++=与:20lxy−=垂直，所以120m−=，解得2m=，所以直线1l的方程为210xy++=，直线2

l的方程为3202xy++=，由平行线间的距离公式可得2231|1|52210512d−===+.故选：C.6.与双曲线22148xy−=有共同渐近线，且经过点()2,4的双曲线的虚轴的长为（）A.22B.42C.2D.4【答案】D【解析】【详解】设与双曲线22148xy−=有共同的渐近线

的双曲线的方程为()22048xy−=，该双曲线经过点()2,4，416148=−=−．所求的双曲线方程为：22148xy−=−，即22184yx−=．所以2b=，所以虚轴长为4.故选：D7.已知Rt△

EFG的直角顶点E在平面内，斜边FG∥，且FG＝12，EF，EG与平面分别成30°和45°角，则FG到平面的距离是（）A.5B.6C.23D.26【答案】D【解析】【详解】解：设FG到平面的距离是a，分别过,FG作,FFGG⊥⊥于,FG，连接,EF

EG，如下图则45,30FEFGEG==，由FG∥知FFGGa==，2,2EFaEGa==，在Rt△EFG中，()()2222144aa+=，解得26a=．故选：D．8.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆

锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e时，轨迹为椭圆：当1e=时，轨迹为抛物线：当1e时，轨迹为双曲线.现有方程()()22221223mxyyxy+++=−+表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（）A.()

0,8B.()8,+C.()0,5D.()5,+【答案】A【解析】【详解】()()22221223mxyyxy+++=−+即()()2221223mxyxy++=−+，可得()221223mxyxy++=−

+，所以()2211223xyxym++=−+，所以()()()22222212222322xyxym+++−=−++−，即()221882238xyxymm++==−+，可得动点(),Pxy到顶点()0,1−的距离和到定直线2230xy−+

=的距离之比为常数8m，由双曲线的定义可得81m，解得08m，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年冬

奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A.每人安排一项工作的不同方法数为54B.每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法数是454AC.每人安排一项工作，每项工作至少有一

人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为44AD.每人安排一项工作，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为2233535322CCCAA+【答案】ACD【解析】【详解】对于A，安排5人参加4项工作,若每人都安排一项工作,每

人有4种安排方法,则有54种安排方法，A正确;对于B，根据题意,分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有2454CA种安排方法，B错误;对于C，甲乙看作一组，与其余三人看作4组，分配到4种工作中去，共有44A种不同安排方法，C正确；对于D，分2步分析：需要先

将5人分为3组,有35C与225322CCA二种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作,有33A种情况，则有2233535322CCCAA+种不同安排方法,D正确;故选:ACD10.如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角为45=的平面所截，截面是一个椭

圆，则（）A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为24C.椭圆的方程可以为22142xy+=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为22−【答案】ABD【解析】【详解】设椭圆的长半轴长为a，椭圆的长半轴长为b，半焦

距为c，由图象可得2cos4522a=，∴2a=，又2b=，222cab=−，∴2c=，∴椭圆的长轴长为4，A对，椭圆的离心率为22，B错，圆的方程可以为22142xy+=，C对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为22−，D对，故选：ABD.11

.若动点P满足0PAkkPB=（且1k）（其中点AB，是不重合的两个定点），则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆已知点20A−（，），20B（，），动点P满足2PAPB=，点P的轨迹为圆C，则（）A.圆C的方程为22632xy−+=（）B.若圆C与线

段AB交于点M，则2AMMB=C.若点P与点AB，不共线，则PAB面积的最大值为46D.若点P与点AB，不共线，PAB的周长的取值范围是81682+（，）【答案】ABD【解析】【详解】设Pxy（，），由2PAPB=得22222222xyxy++=−+（

）（），整理得221240xyx+−+=，即22632xy−+=（），故A正确；M在C上，所以2AMMB=，故B正确；点P到直线AB距离的最大值为C的半径42，所以PAB面积的最大值为1442822=，故C错误；PAB的周长124PAPB

ABPB++=++（），因为B在圆C内部，故PB的取值范围为424424−+（，），所以124PB++（）的取值范围为81682+（，），所以PAB的周长的取值范围是81682+（，），故D正确故选:ABD.12.双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯

努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0Fa−，()2,0Fa距离之积等于()20aa的点的轨迹称为双扭线C．已知点()00,Pxy是双扭线C上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线C关于原点O中

心对称；B.022aay−；C.双扭线C上满足12PFPF=的点P有两个；D.PO的最大值为2a．【答案】ABD【解析】【详解】对A，设动点(),Cxy，由题意可得C的轨迹方程为()()22222xayxaya

−+++=把(),xy关于原点对称的点(),xy−−代入轨迹方程，显然成立；对B，因为()00,Pxy，故12121212011sin22PFFSPFPFFPFFFy==．又212PFPFa=，所以2120sin2aFPFay=，即012sin22aayFPF=，故022

aay−．故B正确；对C，若12PFPF=，则()00,Pxy在12FF的中垂线即y轴上．故此时00x=，代入()()22222xayxaya−+++=，可得00y=，即()0,0P，仅有一个，故C错误；对D，因为12POFPOF+=，故12

coscos0POFPOF+=，222222112212022OPOFPFOPOFPFOPOFOPOF+−+−+=，因为12OFOFa==，212PFPFa=，故22221222OPaPFPF+=+．即()222121222OPaPFPFPFPF+=−+，所以()2

2122OPPFPF=−．又12122PFPFFFa−=，当且仅当P，1F，2F共线时取等号．故()222122(2)OPPFPFa=−，即222OPa，解得2OPa，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

.把答案填在答题卡的相应位置.13.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件{A=三个人去的景点各不相同}，事件{B=甲独自去一个景点}，则()PAB=__________．【答案】12【解析】【详解】甲独自

去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，种数为2×2=4，所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12，因为三个人去的景点不同的种数为3×2×1=6，所以P（A|B）=61122=.故答案为1214.在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边

长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，2PCPD==，则平面PAB与平面ABCD的夹角为___________【答案】π6##30【解析】【详解】分别取,ABCD的中点,FG，连接,,PFPGFG，因为侧面PAB是等边三角形，2PCPD==，四边形ABCD是边长为

2的正方形，所以,,PFABPGDCABFG⊥⊥⊥，3,1,2PFPGFG===，又,PFABABFG⊥⊥，平面PAB平面ABCDAB=,所以PFG是平面PAB与平面ABCD的平面角，又3,1,2PFPGFG===，所以

2223413cos22232PFFGPGPFGPFFG+−+−===，所以π6PFG=，所以平面PAB与平面ABCD的夹角为π615.圆221:440Cxyxym++−+=关于直线20lxy−+=:对称的圆为2C，若圆1C和圆2C有公共点，则实数m的取值范围为______.【答案】

(,6−【解析】【详解】221:440Cxyxym++−+=()()22228xym++−=−.得80m−8m.又设()2,2−关于20：lxy−+=的对称点为()11,xy，则11111121020222022yxxyxy−=−=

+=−+−+=，故2C：228xym+=−.又两圆有公共点，则()()220202028m−−+−−6m.故答案为：(,6−.16.设抛物线24yx=的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为Q.若()3,0M，()1,0N−，PF与MQ相交

于点T，且TNTPMT+=，则TMF△的面积为______.【答案】233【解析】【详解】作图如下，由TNTPMT+=得，0,TNTPMT+−=即TMTNTP+=−,又因为(1,0)F为()3,0M，()1,0N−的中点，所以2TMTNTF+=,所以2

TFTP=−,所以T为PF的三等分点，且2TPTF=,又因为//PQMF,所以TMFTQP△△,且12MFTFQPTP==,所以24QPMF==,不妨设()00,Pxy，且在第一象限，00142pQPxx=+=+=，所以03x=，因为点()00

,Pxy在抛物线上，所以023y=，所以根据相似关系可得012333Tyy==，所以12323TMFTSMFy==△,故答案为：233.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C的圆心在直线10xy

+−=，且与直线20xy−=相切于点()0,0.（1）求圆C的方程；（2）直线l过点()3,3P−且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程.【答案】（1）()()22215xy−++=（2）3x=或3430xy++=【解析】【小问1详解】解：

过点()0,0且与直线20xy−=垂直的直线的方程为20xy+=，由题意可知，圆心C即为直线20xy+=与直线10xy+−=的交点，联立2010xyxy+=+−=，解得21xy==−，故圆C的半径为()22215r=+−=，因此，圆C的方程为()()

22215xy−++=.【小问2详解】解：由勾股定理可知，圆心C到直线l的距离为2521d=−=.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x=，圆心C到直线l的距离为1，满足条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()33ykx+=−，即330kxyk−−−=，由题意可得

2221332111kkkdkk+−−+===++，解得34k=−，此时，直线l的方程为()3334yx+=−−，即3430xy++=.综上所述，直线l的方程为3x=或3430xy++=.18.请从下面三个条件中任

选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比为5:2；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；③351163nnCC+−−=.已知在31nxx-的展开式中，.（1）求展开式中二项式

系数最大的项；（2）求展开式中含1x的项.【答案】（1）2370x；（2）28x.【解析】【详解】若选①，31nxx-展开式通项公式为()35611nrrrrnTCx−+=−，则第5项的系数为4nC，第3项的系数为2nC，42:5:2nnCC=，

解得：3n=−（舍）或8n=；若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数分别为1nC和2nnC−，121236nnnnnCCCC−+=+=，解得：9n=−（舍）或8n=；若选③，由351163nnCC+−−=得：8n=；831xx-的展开式通项公

式为()245611rrrrnTCx−+=−；（1）当8n=时，若8rC取得最大值，则4r=，即第5项的二项式系数最大，展开式中二项式系数最大的项为224335870TCxx==；（2）令24516r−=−，解得：6r=，展开式中含1x的项为617828T

Cxx−==.19.已知抛物线22ypx=（0p）的焦点为F，点()02,Ay为抛物线上一点，且4AF=.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l：yxm=+与抛物线交于不同两点P，Q，若OPOQ⊥，求m的值.【答案】（1）28yx=（2）8−【解析】【小问1详解

】由抛物线22(0)ypxp=过点0(2,)Ay，且4AF=，得2442pp+==所以抛物线方程为28yx=；【小问2详解】由不过原点的直线l：yxm=+与抛物线交于不同两点P，Q设1122(,),(,)PxyQxy，联立2

8yxmyx=+=得22(28)0xmxm+−+=，所以()22Δ28464320mmm=−−=−，所以2m，所以2121282,xxmxxm+=−=因为OPOQ⊥，所以0OPOQ=，则2

121212121212()()2()0xxyyxxxmxmxxmxxm+=+++=+++=，222(82)0mmmm+−+=，即280mm+=，解得0m=或8m=−，又当0m=时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O重

合，不符合题意，故舍去；所以实数m的值为8−.20.如图，四棱锥CAEFB−中，底面AEFB为直角梯形，且90FBAEAB==，平面AEFB⊥平面ABC，6BFBC==，5,ABAC==四棱锥CAEFB−的体积为32.（1）求AE长；（2）若M为EF中点，求

直线CF与平面AMC所成角的正弦值.【答案】（1）2AE=（2）1734【解析】【小问1详解】取BC中点O，连,AO5ABAC==，,6AOBCBC⊥=，∴3BOOC==，由勾股定理得：224AOABBO=−=，∴11461222

ABCSAOBC===，过点C作,CHABH⊥为垂足，平面AEFB⊥平面ABC，平面AEFB平面ABCAB=，CH平面ABC，CH⊥平面AEFB22122455ABCSCHAB===，()

()65124323265CAEFBBFAEABAEVCH−++===，解得：2AE=；【小问2详解】如图，以O为原点，,OCOA所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系.∵90FBA=，平面AEFB⊥平面ABC，平面AEFB平

面ABCAB=，FB平面AEFB，∴FB⊥平面ABC，故()()()3,0,0,0,4,0,3,0,6CAF−，()0,4,2E，3,2,42M−，设平面AMC的法向量为(,,)nxyz=，34092402nCAxynCMxyz=−+=

=−++=，取4x=得：()4,3,3n=，()6,0,6CF=−，设直线CF与平面AMC所成角为，则617sincos,346234CFFnnnCCF====21.设点P为圆22:4Cxy+=上的动点，过点P作x轴

垂线，垂足为点Q，动点M满足23MQPQ=（点P、Q不重合）（1）求动点M的轨迹方程E；（2）若过点()4,0T的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为31,2，直线NA的斜率为1k，直线NB的斜率为2k，试判断12kk+是否为定值．若是，求

出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）()221043xyy+=（2）12kk+的值为定值，定值为1−【解析】【小问1详解】设点P为()00,xy，动点M为(,)xy，则Q点为()0,0x，()()00,,0,MQxxyPQy=−−=−，()()00232,30,M

QPQxxyy=−−=−，求得：0023xxyy=−=−又2222004443xyxy+=+=，即点M的轨迹方程为：221(0)43xyy+=，【小问2详解】设直线AB方程为：4xmy=+，由224143xmyxy=++=得()223424360mymy+++=，()2

2(24)436340mm=−+2m或2m−，设A点()11,xy，B点()22,xy，则1212222436,3434+=−=++myyyymm，求得：()121232myyyy=−+，()()121212122121212

3332392223339myymyyyykkmymymyymyy+−+−−−+=+=+++++()()()1212123923392myymyymyy−+−=−++++()()1212392392myymyy−+−=++1=−12kk+的值为定值，定值

为1−．22.如图，三棱锥−PABC中，点P在底面的射影O在ABC的高CD上，Q是侧棱PC上一点，截面QAB与底面ABC所成的二面角的大小等于OPC的大小.（1）求证：PC⊥平面QAB；（2）若4,,2DQPCDCPQDADB=====，求平面ABP与平面BPC所成夹角的余弦值.【答

案】（1）证明见解析（2）15【解析】【小问1详解】连接DQ，PO⊥平面ABC，AB平面ABC，故POAB⊥，又CDABCDPOO⊥=，，,CDPO平面PCD，所以AB⊥平面PCD，,DQPC平面PCD，故,ABPCABDQ⊥⊥

.由二面角的定义可知：QDC即为截面QAB与底面ABC所成的二面角.又因为QDCOPC=，所以90PQDPOD==，即PCDQ⊥，又因为ABDQD=，所以PC⊥平面QAB.【小问2详解】以Q为坐标原点，向量QD，DB，QP所在方向为x轴，y轴，z轴

的正方向建立空间直角坐标系Qxyz−，由题可知：()000Q，，，()002P，，，()420A−，，，()420B，，，()4,0,0D，所以()()()0,0,24,2,24,2,2QPPAPB==−−=−，，，设平面PAB和平面PBC的法向量分别

为()()11112222,,,,nxyznxyz==，，则有1100nPAnPB==可得11111142204220xyzxyz−−=+−=，令11x=，得1102yz==，，所以()11,0,2n=，则有2200nQPnPB==可得2222204220z

xyz=+−=，令21x=，得2220yz=−=，，所以()21,2,0n=−，设平面ABP与平面BPC夹角的大小为θ，则121211cos555nnnn===.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

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