【文档说明】辽宁省葫芦岛市兴城市高级中学等四校2022-2023学年高二12月月考 数学 答案.docx，共(21)页，1.269 MB，由envi的店铺上传

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2022—2023学年度上学期高二年级四校12月联考试题数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1向量()2,1,3ax=，()1,2,9by=−

，若//ab，则（）A.1xy==B.1=2x，12y=−C.16x=，32y=−D.16x=−，23y=【答案】C【解析】【分析】根据题意，设bka=，即()()2,1,31,2,9xky=−，即可求得x、y的值【详解】因为向量()2,1,3ax=，()1,2,9by=−，且//

ab，则设bka=，即()()2,1,31,2,9xky=−，则有13k=，则123x=，()1123y=−，解得16x=，32y=−，故选：C2.已知363434CCxx−=，则x=（）A.3或10B.3C.17D.3或17【答案】A【

解析】【分析】根据组合数的性质求解即可【详解】因为363434CCxx−=，故36xx=−或3634xx−=+，即3x=或10x=故选：A3.抛物线24yx=的焦点坐标是（）A.10,16B.10,8C.10,4D.10,2【答案】A【

解析】.【分析】先将方程化为抛物线的标准方程214xy=，可求出124p=，从而可求出2p的值，进而可求出焦点坐标【详解】由214xy=得124p=，则1216p=，且焦点在y轴正半轴上，所以焦点坐标是1

0,16.故选：A.4.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在

设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个．A.240B.360C.600D.720【答案】A【解析】【分析】直接利

用插空法计算得到答案.详解】利用插空法：共有4245AC240=种.故选：A5.若直线1:10lxmy++=与:20lxy−=垂直，直线2l的方程为2230xmy++=，则1l与2l间的距离为（）A.255B.455C.510D.55【答案】

C【解析】【分析】根据直线垂直求出m，再由平行线间距离公式求解.【详解】因为直线1:10lxmy++=与:20lxy−=垂直，所以120m−=，解得2m=，所以直线1l的方程为210xy++=，直线2l的方程为3202x

y++=，由平行线间的距离公式可得2231|1|52210512d−===+.故选：C.【6.与双曲线22148xy−=有共同渐近线，且经过点()2,4的双曲线的虚轴的长为（）A.22B.42C.2D.4【答案】D【解析】【分析】依题意，设双曲线的方程为()22048xy

−=，将点()2,4的坐标代入可求．即可求解.【详解】设与双曲线22148xy−=有共同的渐近线的双曲线的方程为()22048xy−=，该双曲线经过点()2,4，416148=−=−．所求的双曲线方程为：22148xy−=−，即22184yx−=．所以2b

=，所以虚轴长为4.故选：D7.已知Rt△EFG的直角顶点E在平面内，斜边FG∥，且FG＝12，EF，EG与平面分别成30°和45°角，则FG到平面的距离是（）A.5B.6C.23D.26【答案】D【解析】【分析】设FG到平面的距离是a，由题意知2,2EF

aEGa==，进而根据勾股定理求得a．【详解】解：设FG到平面的距离是a，分别过,FG作,FFGG⊥⊥于,FG，连接,EFEG，如下图则45,30FEFGEG==，由FG∥知FFGGa==，2,2EFaEGa==

，在Rt△EFG中，()()2222144aa+=，解得26a=．故选：D．8.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫

做圆锥曲线：当01e时，轨迹为椭圆：当1e=时，轨迹为抛物线：当1e时，轨迹为双曲线.现有方程()()22221223mxyyxy+++=−+表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（）A.()0,8B.()8,+C.()0

,5D.()5,+【答案】A【解析】【分析】将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式以及圆锥曲线的统一定义，可得m的不等式，即可求解【详解】()()22221223mxyyxy+++=−+即()()22212

23mxyxy++=−+，可得()221223mxyxy++=−+，所以()2211223xyxym++=−+，所以()()()22222212222322xyxym+++−=−++−，即()221882238xyxymm++==−+，可得动点(),Pxy到顶点()0,1−的距离和到定

直线2230xy−+=的距离之比为常数8m，由双曲线的定义可得81m，解得08m，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加202

2年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A.每人安排一项工作的不同方法数为54B.每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法数是454AC.每人安排一项工作，每项工作至

少有一人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为44AD.每人安排一项工作，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为2233535322CCCAA+【答案】ACD【解析

】【分析】根据乘法原理安排可判断A，分四组全排列可计算安排种数判断B，甲乙一组，共4组全排列计算种数可判断C，根据分组分配问题可判断D.【详解】对于A，安排5人参加4项工作,若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则有54种

安排方法，A正确;对于B，根据题意,分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有2454CA种安排方法，B错误;对于C，甲乙看作一组，与其余三人看作4组，分配到4种工作中去，共有44A种不同安排方法，C正确；对于D，分2步分析

：需要先将5人分为3组,有35C与225322CCA二种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作,有33A种情况，则有2233535322CCCAA+种不同安排方法,D正确;故选:ACD10.如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角为45=

的平面所截，截面是一个椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为4B.椭圆离心率为24C.椭圆的方程可以为22142xy+=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为22−【答案】ABD【解析】【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的ab，，由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为a，椭圆的长

半轴长为b，半焦距为c，由图象可得2cos4522a=，∴2a=，又2b=，222cab=−，∴2c=，∴椭圆的长轴长为4，A对，椭圆的离心率为22，B错，的圆的方程可以为22142xy+=，C对，椭圆上的点到焦点的

距离的最小值为22−，D对，故选：ABD.11.若动点P满足0PAkkPB=（且1k）（其中点AB，是不重合的两个定点），则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点20A−（，），

20B（，），动点P满足2PAPB=，点P的轨迹为圆C，则（）A.圆C的方程为22632xy−+=（）B.若圆C与线段AB交于点M，则2AMMB=C.若点P与点AB，不共线，则PAB面积的最大值为46D.若点P与点AB，不共线，PAB的周长的取值范围是81682

+（，）【答案】ABD【解析】【分析】设点(),Pxy代入关系式PAkPB=化简可得(),Pxy的轨迹方程为一个圆，然后依次对每个选项进行判断即可.详解】设Pxy（，），由2PAPB=得22222222xyxy++=−+（）（），整理得221240xyx+−+=，即22632xy

−+=（），故A正确；M在C上，所以2AMMB=，故B正确；点P到直线AB距离的最大值为C的半径42，所以PAB面积的最大值为1442822=，故C错误；PAB的周长124PAPBABPB++=++（），

因为B在圆C内部，故PB的取值范围为424424−+（，），所以124PB++（）的取值范围为81682+（，），所以PAB的周长的取值范围是81682+（，），故D正确.【故选:ABD.12.双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把

到定点()1,0Fa−，()2,0Fa距离之积等于()20aa的点的轨迹称为双扭线C．已知点()00,Pxy是双扭线C上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线C关于原点O中心对称；B.022aay−；C

.双扭线C上满足12PFPF=的点P有两个；D.PO的最大值为2a．【答案】ABD【解析】【分析】对A，设动点(),Cxy，则对称点(),xy−−代入轨迹方程，显然成立；对B，根据12PFF△的面积范围证明；对C，若12PFPF=，则()00,Pxy在y

轴上，代入轨迹方程求解；对D，根据余弦定理分析12PFF△中的边长关系，进而利用三角形的关系证明即可.【详解】对A，设动点(),Cxy，由题意可得C的轨迹方程为()()22222xayxaya−+++=把(),xy关于原点对称的点(),xy−−代入轨迹方

程，显然成立；对B，因为()00,Pxy，故12121212011sin22PFFSPFPFFPFFFy==．又212PFPFa=，所以2120sin2aFPFay=，即012sin22aayFPF=，故022aay−．故B正确；对C，若12PFPF=，则()00,Pxy在

12FF的中垂线即y轴上．故此时00x=，代入()()22222xayxaya−+++=，可得00y=，即()0,0P，仅有一个，故C错误；对D，因为12POFPOF+=，故12coscos0POFPOF

+=，222222112212022OPOFPFOPOFPFOPOFOPOF+−+−+=，因为12OFOFa==，212PFPFa=，故22221222OPaPFPF+=+．即()222121222OPaPFPFPFPF+=−+，所以()22122OPPFPF=−．又121

22PFPFFFa−=，当且仅当P，1F，2F共线时取等号．故()222122(2)OPPFPFa=−，即222OPa，解得2OPa，故D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作

不出图像时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每

人只去一个景点，设事件{A=三个人去的景点各不相同}，事件{B=甲独自去一个景点}，则()PAB=__________．【答案】12【解析】【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，种数为2

×2=4，所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12，因为三个人去的景点不同的种数为3×2×1=6，所以P（A|B）=61122=.故答案为1214.在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，

2PCPD==，则平面PAB与平面ABCD的夹角为___________【答案】π6##30【解析】【分析】由平面与平面的夹角的定义求解即可【详解】分别取,ABCD的中点,FG，连接,,PFPGFG，因为侧面PAB是等边三角形，2PCPD==，四边形ABC

D是边长为2的正方形，所以,,PFABPGDCABFG⊥⊥⊥，3,1,2PFPGFG===，又,PFABABFG⊥⊥，平面PAB平面ABCDAB=,所以PFG是平面PAB与平面ABCD的平面角，又3,1,2PFPGFG==

=，所以2223413cos22232PFFGPGPFGPFFG+−+−===，所以π6PFG=，所以平面PAB与平面ABCD夹角为π615.圆221:440Cxyxym++−+=关于直线20lxy−+=:对称的圆为2C，若圆1C和圆2C有公共点，则实数m的取值范围为_

_____.【答案】(,6−【解析】【分析】先由221:440Cxyxym++−+=得到m范围并求出2C方程，再由圆心距小于半径之和且大于0得到m范围.的【详解】221:440Cxyxym++−+=()()22228xym++−=−.得80m−8m.又设()2,2−关于20

：lxy−+=的对称点为()11,xy，则11111121020222022yxxyxy−=−=+=−+−+=，故2C：228xym+=−.又两圆有公共点，则()()220202028

m−−+−−6m.故答案为：(,6−.16.设抛物线24yx=的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为Q.若()3,0M，()1,0N−，PF与MQ相交于点T，且TNTPMT+

=，则TMF△的面积为______.【答案】233【解析】【分析】根据向量的线性关系确定TMFTQP△△，并确定相似比，再根据抛物线的定义即可求解.【详解】作图如下，由TNTPMT+=得，0,TNTPMT+−=即TMTNTP+=−,又因为(1,0)F为()3,0M，()1,0N

−的中点，所以2TMTNTF+=,所以2TFTP=−,所以T为PF的三等分点，且2TPTF=,又因为//PQMF,所以TMFTQP△△,且12MFTFQPTP==,所以24QPMF==,不妨设()00,Pxy，且在第

一象限，00142pQPxx=+=+=，所以03x=，因为点()00,Pxy在抛物线上，所以023y=，所以根据相似关系可得012333Tyy==，所以12323TMFTSMFy==△,故答案为：233.四、解答题：本题共6小题，共70

分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C的圆心在直线10xy+−=，且与直线20xy−=相切于点()0,0.（1）求圆C的方程；（2）直线l过点()3,3P−且与圆C相交，所得弦长为4，求直

线l的方程.【答案】（1）()()22215xy−++=（2）3x=或3430xy++=【解析】【分析】（1）分析可知圆心在直线20xy+=上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可得出圆C的方程；（2）利用勾股定理求出圆心

到直线l的距离，然后对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出直线l的方程.【小问1详解】解：过点()0,0且与直线20xy−=垂直的直线的方程为20xy+=，由题意可知，

圆心C即为直线20xy+=与直线10xy+−=的交点，联立2010xyxy+=+−=，解得21xy==−，故圆C的半径为()22215r=+−=，因此，圆C的方程为()()22215xy−++=.【小问

2详解】解：由勾股定理可知，圆心C到直线l的距离为2521d=−=.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x=，圆心C到直线l的距离为1，满足条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()33yk

x+=−，即330kxyk−−−=，由题意可得2221332111kkkdkk+−−+===++，解得34k=−，此时，直线l的方程为()3334yx+=−−，即3430xy++=.综上所述，直线l的

方程为3x=或3430xy++=.18.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比为5:2；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；③351163nnCC+−−=.已知在

31nxx-的展开式中，.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含1x的项.【答案】（1）2370x；（2）28x.【解析】【分析】无论选择①②③，均结合展开式的通项公式和组合数的运算求得8n=；（1）由二项式系数的性质可知第5项的二项式系数

最大，代入4r=可得结果；（2）令24516r−=−可求得r，代入通项公式可得结果.【详解】若选①，31nxx-展开式通项公式为()35611nrrrrnTCx−+=−，则第5项的系数为4n

C，第3项的系数为2nC，42:5:2nnCC=，解得：3n=−（舍）或8n=；若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数分别为1nC和2nnC−，121236nnnnnCCCC−+=+=，解得：9n=−（舍）或8n=；若选③，由351163nnCC+−−=得：8n=；831x

x-的展开式通项公式为()245611rrrrnTCx−+=−；（1）当8n=时，若8rC取得最大值，则4r=，即第5项的二项式系数最大，展开式中二项式系数最大的项为224335870TCxx==；

（2）令24516r−=−，解得：6r=，展开式中含1x的项为617828TCxx−==.19.已知抛物线22ypx=（0p）的焦点为F，点()02,Ay为抛物线上一点，且4AF=.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l：yxm=+与抛物线

交于不同两点P，Q，若OPOQ⊥，求m的值.【答案】（1）28yx=（2）8−【解析】【分析】（1）根据抛物线过点0(2,)Ay，且4AF=，利用抛物线的定义求解；（2）设1122(,),(,)PxyQxy，联立28

yxmyx=+=，根据OPOQ⊥，由0OPOQ=，结合韦达定理求解.【小问1详解】由抛物线22(0)ypxp=过点0(2,)Ay，且4AF=，得2442pp+==所以抛物线方程为28yx=；【小问2详解

】由不过原点的直线l：yxm=+与抛物线交于不同两点P，Q设1122(,),(,)PxyQxy，联立28yxmyx=+=得22(28)0xmxm+−+=，所以()22Δ28464320mmm=−−=−，所以2m，所以2121282,xxmxxm+=−=因

为OPOQ⊥，所以0OPOQ=，则2121212121212()()2()0xxyyxxxmxmxxmxxm+=+++=+++=，222(82)0mmmm+−+=，即280mm+=，解得0m=或8m=−，又当0m=时，直线与抛物线的交点

中有一点与原点O重合，不符合题意，故舍去；所以实数m的值为8−.20.如图，四棱锥CAEFB−中，底面AEFB为直角梯形，且90FBAEAB==，平面AEFB⊥平面ABC，6BFBC==，5,ABAC==四棱锥CAEFB−的体积为32.（1）求AE长

；（2）若M为EF中点，求直线CF与平面AMC所成角的正弦值.【答案】（1）2AE=（2）1734【解析】【分析】（1）作出辅助线，求出12ABCS=△，过点C作CHAB⊥，由面面垂直得到线面垂直，并求出四棱锥的高，利用体积列出方程，求出AE的长；（2）建立空间直角坐标

系，利用空间向量求解线面角.【小问1详解】取BC中点O，连,AO5ABAC==，,6AOBCBC⊥=，∴3BOOC==，由勾股定理得：224AOABBO=−=，∴11461222ABCSAOBC===，过点C作,CHABH⊥为垂足，平面AEFB⊥平面ABC，平面AEFB

平面ABCAB=，CH平面ABC，CH⊥平面AEFB22122455ABCSCHAB===，()()65124323265CAEFBBFAEABAEVCH−++===，解得：2AE=；【小问2详解】如图，以O为原点，,OCOA所在直线为x轴，

y轴建立空间直角坐标系.∵90FBA=，平面AEFB⊥平面ABC，平面AEFB平面ABCAB=，FB平面AEFB，∴FB⊥平面ABC，故()()()3,0,0,0,4,0,3,0,6CAF−，()0,4,2E，3,2,42M−

，设平面AMC的法向量为(,,)nxyz=，34092402nCAxynCMxyz=−+==−++=，取4x=得：()4,3,3n=，()6,0,6CF=−，设直线CF与平面AMC所成角为，则617sincos,346234CFFnnnCCF====

21.设点P为圆22:4Cxy+=上的动点，过点P作x轴垂线，垂足为点Q，动点M满足23MQPQ=（点P、Q不重合）（1）求动点M的轨迹方程E；（2）若过点()4,0T的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为31,2，直线NA的斜率为1k，直线NB的斜率为2k，试判断12

kk+是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）()221043xyy+=（2）12kk+的值为定值，定值为1−【解析】【分析】（1）由平面向量的坐标运算与相关点法求解，（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理化简后

求解，【小问1详解】设点P为()00,xy，动点M为(,)xy，则Q点为()0,0x，()()00,,0,MQxxyPQy=−−=−，()()00232,30,MQPQxxyy=−−=−，求得：0023xxyy=−=−又2222004443xyxy+=+=，即点M的轨迹方程为

：221(0)43xyy+=，【小问2详解】设直线AB方程为：4xmy=+，由224143xmyxy=++=得()223424360mymy+++=，()22(24)436340mm=−+2m或2m−，设A点()11,xy，B点()22,xy，则1212222436,343

4+=−=++myyyymm，求得：()121232myyyy=−+，()()1212121221212123332392223339myymyyyykkmymymyymyy+−+−−−+=+=+++++()()()1

212123923392myymyymyy−+−=−++++()()1212392392myymyy−+−=++1=−12kk+的值为定值，定值为1−．22.如图，三棱锥−PABC中，点P在底面的射影O在ABC的高CD上，

Q是侧棱PC上一点，截面QAB与底面ABC所成的二面角的大小等于OPC的大小.（1）求证：PC⊥平面QAB；（2）若4,,2DQPCDCPQDADB=====，求平面ABP与平面BPC所成夹角的余弦值.【答案

】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）连接DQ，证明AB⊥平面PCD得到ABPC⊥，根据二面角大小等于OPC得到PCDQ⊥，得到线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到向量，分别计算平面PAB和平面PBC的法向量，再根据

向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】连接DQ，PO⊥平面ABC，AB平面ABC，故POAB⊥，又CDABCDPOO⊥=，，,CDPO平面PCD，所以AB⊥平面PCD，,DQPC平面PCD，故,A

BPCABDQ⊥⊥.由二面角的定义可知：QDC即为截面QAB与底面ABC所成的二面角.又因为QDCOPC=，所以90PQDPOD==，即PCDQ⊥，又因为ABDQD=，所以PC⊥平面QAB.【小问2详解】以Q为坐标原点，向量QD，DB，Q

P所在方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Qxyz−，由题可知：()000Q，，，()002P，，，()420A−，，，()420B，，，()4,0,0D，所以()()()0,0,24,2,24,2,2QPPAPB==

−−=−，，，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为()()11112222,,,,nxyznxyz==，，则有1100nPAnPB==可得11111142204220xyzxyz−−=+−=，令11x=，得1102yz==，，所以()11,0,2n=，则有2

200nQPnPB==可得2222204220zxyz=+−=，令21x=，得2220yz=−=，，所以()21,2,0n=−，设平面ABP与平面BPC夹角的大小为θ，则121211cos555nnnn===.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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