【文档说明】湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高二下学期2月月考数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.327 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-41aa1aa565fdcca6590cc0c22253f44a.html

以下为本文档部分文字说明：

2022—2023学年度下学期2021级二月月考数学试卷命题人：陈婷审题人：肖述友考试时间：2023年2月23日一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若数列na的前6项为234561,,,,,3

57911−−−，则数列na的通项公式可以为na=（）A.1nn+B.21nn−C.(1)21nnn−−D.1(1)21nnn+−−【答案】D【解析】【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母的取值的

规律，即可找出数列的通项公式.【详解】通过观察数列na的前6项，可以发现有如下规律：且奇数项为正，偶数项为负，故用1(1)n+−表示各项的正负；各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故第n项的

绝对值是21nn−，所以数列na的通项可为()11?21nnnan+=−−，故选：D2.已知等比数列na的前n项和为nS，其中51031,1023SS==，8a的值为（）A.128B.64C.63D.127【答案】A【解析】【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，列出方程，即可求得

1,aq，从而求得结果.【详解】由题意，显然首项不为0且公比不为1，可得()()511011311110231aqqaqq−=−−=−，解得112aq==，所以781128aaq==故选:A3.数列na满足12211,3,nnnaa

aaa++==+=，则2023a的值为（）A.2−B.1C.3D.2【答案】B【解析】【分析】计算数列的前几项，归纳出数列的周期性，从而易得结论．【详解】由已知21nnnaaa++=−，3312a=−=，4231a=−=−，5123a=−−=−，63(1)2a

=−−−=−，7(2)(3)1a=−−−=，81(2)3a=−−=，因此数列{}na是周期数列，周期是6，所以202311aa==．故选：B．4.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy−−=的距离为（）A.55B.255C.355D.455【

答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0aaa，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线23

0xy−−=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为()(

)222xayaa−+−=.由题意可得()()22221aaa−+−=，可得2650aa−+=，解得1a=或5a=，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d−−==；圆心到直线的距离均为225532555d−−==圆

心到直线230xy−−=的距离均为22555d−==；所以，圆心到直线230xy−−=的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5.若椭圆22194xy+=的弦AB被点()1,1P平分，则AB所在直线的方程为（）

A.49130xy+−=B.94130xy+−=C.230xy+−=D.340xy+−=【答案】A【解析】【分析】利用点差法求解得49ABk=−，再根据点斜式求解即可得答案.【详解】设()()1122

,,,AxyBxy，则22112222194194xyxy+=+=所以22221212094xxyy−−+=，整理得()()1212121249xxyyxxyy+−=−−+，因为()1,1P为弦AB的中点，所以

12122,2xxyy+=+=，所以()()121212124499ABxxyykxxyy+−==−=−−+，所以弦AB所在直线的方程为()4119yx−=−−，即49130xy+−=.故选：A.6.已知等差数列na共有21n+项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1na+的

值为（）．A.30B.29C.28D.27【答案】B【解析】【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有()1n+项，其和为()()121121129022nnaaann++++=+=，∴()11290nna++=．偶数项共有

n项，其和为2211226122nnnaaannna+++===，∴129026129na+=−=．故选：B．7.斐波拉契数列na满足：11a=，21a=，()*21Nnnnaaan++=+．该数列与如图所示的美丽曲线有深

刻联系，设12nnSaaa=+++，22212nnTaaa=+++，给出以下三个命题：（）①22213nnnnaaaa+++−=；②21nnSa+=−；③2111nnnnTaaa+++=+．其中真

命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由321nnnaaa+++=+且21nnnaaa++=−即可判断①的正误；利用21nnnaaa++=−，应用累加法判断②的正误；由21121n

nnnnaaaaa++++=−，应用累加法判断③的正误.【详解】由()*21Nnnnaaan++=+，则321nnnaaa+++=+且21nnnaaa++=−，所以22213nnnnaaaa+++−=，故①正确；由324

32112222))...1((()nnnnnnSaaaaaaaaaaaa++++=−−++−=−==++++−，故②正确；由12nnnaaa++=−，则21121nnnnnaaaaa++++=−，又11a=，21a=，所以2121aaa=，223221aaaaa=−，234332

aaaaa=−，…，21121nnnnnaaaaa++++=−，则22221121211111()nnnnnnnnnnTaaaaaaaaaaa++++++++==+=+=+++，故③正确.故选：D8.已知,AB是圆()()()22:240Cxymm−

+−=上两点，且23AB=．若存在Ra，使得直线1:0laxy−=与2:240lxaya++−=的交点P恰为AB的中点，则实数m的取值范围为（）A.[52,2]−B.[52,5]−C.[2,25]+D.[5,2+5]【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相交弦长可得AB的中点M的轨迹方

程为圆()()2221xym−+−=，又根据直线12,ll的方程可确定12ll⊥，交点P的轨迹22(2)(1)5xy−++=，若P恰为AB的中点，即圆M与圆P有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数m的取值范围.【详解】解：圆()()()22:2

40Cxymm−+−=，半径2r=，因为M恰为AB的中点，直线与圆相交弦长22223ABrMC=−=，所以1MC=，M的轨迹方程是()()2221xym−+−=．又直线1:0laxy−=过定点(0,0)Q，直线2:240lxaya++−=过定

点(4,2)S−，且12ll⊥，则点P是两垂线的交点，所以P在以QS为直径的圆上，则圆心()2,1-，半径为152QS=P的轨迹方程是22(2)(1)5xy−++=由于1l的斜率存在，所以点P的轨迹要除去点()0,2−，由已知得圆M与圆P有公共点，5151MP−

+，即51151m−++，又0m，所以51151m−++，解得525m−.∴实数m的取值范围为[52,5]−.故选：B.二、多选题(本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出

的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.)9.已知数列na的前n项和为210nSnn=−，则下列结论正确的有（）A.na是递减数列B.60aC.110SD.当nS最小时，5n=【答案】BCD【解析】【分析】由数列前n项和为210nSnn=−，可

求数列通项，然后逐个验证选项.【详解】210nSnn=−，当1n=时，111109aS==−=−；当2n时，221(10)(1)10(1)211nnnaSSnnnnn−=−=−−−−−=−注意到1n=时也满足12111a=−，所以数列na的通项公式为211nan=−，*N

n，12nnaa+−=，na是递增数列，A选项错误；6261110a=−=，B选项正确；()111116111102aaSa+==，C选项正确；()2210525nSnnn=−=−−，*Nn，当nS最小时，5n=，D选项正确.故选：

BCD.10.已知数列na的通项公式为316nnan=−，则（）A.数列na为递增数列B.4862+=aaaC.5a为最小项D.6a为最大项【答案】CD【解析】【分析】根据数列na的通项公式，利用分离常数法得出11616393nan=+−，结合*Nn及函数的

性质即可判断A、C、D；求得486,aaa+即可判断B．【详解】11616316393nnann==+−−，当5n(*Nn)时，0na，且单调递减；当5n(*Nn)时，0na，且单调递减，则5a为最小项，6

a为最大项，故C、D正确，A错误；4803414863816aa+=−−+=，6336616a==−，则4862aaa+，故B错误，故选：CD．11.已知曲线C的方程为22|2|xyxy+=+，

圆222:(5)(0)Mxyrr−+=，则（）A.C表示一条直线B.当4r=时，C与圆M有3个公共点C.当2r=时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点D.当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是(4,)+【答案】BC

【解析】【分析】对于A，由222xyxy+=+，得()430yxy+=，则C表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可【详解】由222xyxy+=+，得22222244xyxyxxyy+=+=++，即(

)430yxy+=，则C表示两条直线，其方程分别0y=与430xy+=，所以A错误；因为()5,0M到直线430xy+=的距离2045d==，所以当4r=时，直线430xy+=与圆M相切，易知直线0y=与圆M相交，C

与圆M有3个公共点，所以B正确；为当2r=时，存在圆N，使得圆M内切于圆N，且圆N与这两条直线都相交，即与C有4个公共点C与圆M的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；当=5r时，圆M与直线0y=、430x

y+=交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误，故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是对方程22|2|xyxy+=+得22222244xyxyxxyy+=+=++，即()430yxy+=，从而可得曲线C表示的是直线0y=

与430xy+=，从而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题12.已知双曲线221169xy−=的左､右焦点分别是12,FF,点P在双曲线的右支上,则()A.若直线1PF的斜率为k,则30,4kB.使得12PFF△为等腰三角形的点P有且仅

有2个C.点P到两条渐近线的距离乘积为14425D.已知点()7,5Q,则2FPPQ+的最小值为5【答案】AC【解析】【分析】对于A,设()0004,,Pxyx,根据题意,将直线1PF的斜率为k化简为二次函数,利用二次函数求出范围;对于B,21210==PFFF和

11210==PFFF各有两个,可判断正误;对于C,利用点到直线距离公式可求点P到两条渐近线的距离,进而判断C的正误;对于D,根据点与双曲线的位置关系可求最小值.【详解】对于A,由题意可知,()15,0F−,设()0004,,Pxyx,则直线1PF的斜率为005=+ykx,()

()220202200991655−==++xykxx,令05,9,xtt+=则()222222229994581(5)910259811451916161681616816tttttkttttt−−−+−−+====−+

，,令11,0,,9mmt=则228145916816kmm=−+在10,9单调递减,290,,16k则30,,4k故A正确.对于B,当21210==PFFF,则满足

条件的P有两个;当11210==PFFF,则满足条件的P有两个;易得不存在P满足21PFPF=,满足12PFF△为等腰三角形的P有4个,故B错误.对于C,渐近线方程为34yx=?,即340xy=,所以2200000012916343414

4552525xyxyxydd−+−===,故C正确.对于D,点Q与2F在双曲线两侧，当2,,PQF三点共线时,2FPPQ+有最小值,此时()22752529FPPQ+=−+=,故D错误.故选:AC.三、填空题（本题共

4小题，每小题5分，共20分.）13.设等比数列na的前n项和为nS，且满足①10a，②na是递增数列，③3113Sa，写出一个满足上述三个条件的一个数列通项na=________.【答案】2nna=(答

案不唯一，只要满足10a,13q即可)【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的单调性进行求解即可，【详解】因为10a，na是递增数列，所以1q由13311(1)1343113aqaqqSa−−

−且1q，而1q，所以13q，即只需满足10,13aq取12,2aq==，则2nna=故答案为:2nna=14.已知等差数列nnab，的通项公式分别为21,32nnanbn=−=−，将数列na与nb的公共项从

小到大排列得到数列nc，则nc的前n项和为________．【答案】232nn−【解析】【分析】首先判断出数列21n−与32n−项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解

】因为数列21n−是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列32n−是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列nc是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以nc

的前n项和为2(1)16322nnnnn−+=−，故答案为：232nn−.15.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线24xy=上的一个动点，则点P到直线40xy++=的距离的最小值是_____.【答案】322【解析】【分析】根据题意，找到与直线40xy++=平行且与曲线24xy=

相切时的切点坐标，再结合点到直线的距离公式，即可得到结果.【详解】设直线0xyb++=与214yx=相切，则切线的斜率为1−且12yx=，令112yx==−，则2x=−，即切点的横坐标为2−，将2x=−，代入214yx=，可得1y=，即切点坐标为()2,1−，所以点P到直线40xy++=

的距离的最小值即为()2,1−到直线的距离，即21432211d−++==+，故答案为:32216.已知,,ABC是椭圆2222+1(0)xyabab=上的三个点，O为坐标原点，,AB两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若OAOF

=且2AFCF=，则该椭圆的离心率是_____．【答案】53##153【解析】【分析】方法一：设椭圆的左焦点为F，由条件证明四边形AFBF为矩形，设CFm=，结合椭圆的定义求AF，CF，利用勾股定

理列方程可得,ac关系由此可求离心率.方法二：设(),Ast，(),Cmn，由OAOF=可得222stc+=，由2AFCF=可得23,20mscnt+=+=，结合点,AC坐标满足椭圆方程列方程，消元可得,ac关系由此可求离心率.【详解】方法一

：设椭圆的半焦距为c，左焦点为F，则OFOFc==因为,AB两点关于原点对称，所以OAOB=，又OAOF=，所以OAOBc==，所以四边形AFBF为矩形，设CFm=，因为2AFCF=，所以2AFm=，由椭圆的定

义可得22AFam=−，2CFam=−，在RtCAF，3CAm=，2CFam=−，22AFam=−，所以()()2222922ammam−=+−，所以3am=，故23aAF=，43aAF=，在RtFAF中，2F

Fc=，所以222416499aac=+，的所以22950ca−=，所以离心率53cea==.方法二：设椭圆的半焦距为c，点A的坐标为(),st，点C的坐标为(),mn，则点B的坐标为(),st−−，点F的坐标为(),0c，且2222+1stab=①，2222+1mnab

=②，②×4－①可得，()()()()222222+3msmsntntab+−−+=，因为AC经过右焦点F，2AFCF=，所以2AFFC=，所以()(),2,cstmcn−−=−，故23,20mscnt+=+=，所以

22amsc−=，又23msc+=，所以22233222cacascc−=−=，因为OAOF=，所以222stc+=，又2222+1stab=，所以()22222acbsc−=，所以()()22222234caacb−=−，所以422491450caca−+=，即()()2222950

caca−−=，又0ca，所以22950ca−=，所以离心率53cea==.故答案为：53.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c

的齐次式，结合222bac＝－转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或2a转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列na为等差数列．（1）43a=，79a=，求8a；（2）若31012aa+=，求12S．【答案】（1）11（2）72【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差

即可；(2)根据等差数列的性质和前n项和公式求解.【小问1详解】设公差为d，由41713369aadaad=+==+=，解得132ad=−=，所以18711aad=+=，【小问2详解】因为31011212aaaa+=+

=，所以1121211212()6()722aaSaa+==+=.18.在平面直角坐标系中，(1,2),(2,1),(3,4),(0,)ABCDa−四点在同一个圆E上．（1）求实数a的值；（2）若点(,)Pxy在圆E

上，求222xxy++的取值范围．【答案】（1）1a=或5；（2）[17265−，17265+]．【解析】【分析】(1)利用圆的一般方程，待定系数法求解；(2)根据22222(1)1,xxyxy++=++−几何几何意义求解.

【小问1详解】设过A、B、C的圆的方程为220.xyDxEyF++++=将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，得14204120916340DEFDEFDEF+−++=++++=++++=，解得：2,

6,5,DEF=−=−=得圆的方程为222650.xyxy+−−+=将点D的坐标代入上述所得圆的方程，得2650,aa−+=解得a＝1或5；【小问2详解】点(,)Pxy在圆E：22(1)(3)5xy−+−=上，22222(1)1,xxyx

y++=++−其几何意义为圆E上的点到(1,0)M−距离的平方减1．如图：222313,EM=+=∴222xxy++的最小值为2(135)1−−＝17265−；222xxy++的最大值为2(135)117265+−=+．∴2

22xxy++的取值范围是[17265−，17265+]．19.在数列na中，14a=，1431nnaan+=−+，*nN．（1）设nnban=−，求证：数列nb是等比数列；（2）求数列na的前n项和nS．【答案】（1）证明见解析（2）(

)1412nnnnS+=+−【解析】【分析】（1）利用1431nnaan+=−+，化简可知14nnbb+=，进而可知数列nb是首项为3、公比为4的等比数列；（2）通过()1可知134nnan−=+，进而利用分组求和法计算即得结

论．【小问1详解】证明：1431,nnaan+=−+11(1)43114()4,nnnnnbanannanb++=−+=−+−−=−=又111413,ba=−=−=数列nb是首项为3、公比为4

的等比数列；【小问2详解】由（1）可知134nnan−−=，即134nnan−=+，()()()31411412142nnnnnnnS−++=+=+−−.20.已知公差不为0的等差数列na的首项12a=，且11a+、21a+、41a+成等比数列

.（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，nN，nS是数列nb的前n项和，求使319nS成立的最大的正整数n.【答案】（1）31nan=−（2）11【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，根据已知条件可得出关于实数d的等式，结合

0d可求得d的值，由此可得出数列na的通项公式；（2）利用裂项求和法求出nS，解不等式319nS即可得出结果.【小问1详解】解：设等差数列na的公差为d，则0d，由题意可得()()()2214111aaa+=++，即()()23333dd+=+，整理得230d

d−=，0d，解得3d=，故()1131naandn=+−=−.【小问2详解】解：()()111111313233132nnnbaannnn+===−−+−+，所以，()1111111111325

5831323232232nnSnnnn=−+−++−=−=−+++，由319nS得()323219nn+，可得12n，所以，满足319nS成立的最大的正整数n的值为11.21.汶川震后在社会各界的

支持和帮助下，汶川一中临时搭建了学校，学校餐厅也做到了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），为了让学生们能够安心上课对学生的用餐情况进行了调查．调查资料表明，凡

是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有30％改选A，若用,nnAB分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数．（1）试以nA表示1nA+；（2）若1200A=，求nA的通项公式；（3）在（2）的条件下，问第n个星期一时，选A与选B

的人数相等？【答案】（1）113002nnAA+=+．（2）()11400()6002nnA−=−+；（3）第3个星期一．【解析】【分析】（1）根据题意可得1(10.2)0.3nnnAAB+=−+，

结合1000nnAB+=，即可以用nA表示1nA+；（2）由（1）确定600nA−是首项为﹣400，公比为12的等比数列，即可求nA的通项公式；（3）确定An＝500，利用通项建立方程，即可求得结

论．【详解】（1）由题可知，∵在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，∴1(10.2)0.3nnnAAB+=−+又1000nnAB+=，所以整理得：113002nnAA+

=+．（2）若1200A=，且113002nnAA+=+，设()112nnAxAx++=+，则600x=−∴()116006002nnAA+−=−，即600nA−可以看成是首项为﹣400，公比为12的等比

数列．∴()11400()6002nnA−=−+；（3）∵nnAB=又1000nnAB+=，则500nA=由()11400()6005002n−−+=得3n=即第3个星期一时，选A与选B的人数相等．【点睛】本题考查数列的应用，考查求数列的通项

，解题的关键是确定数列递推式，从而确定数列的通项．22.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，且过点()2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN⊥，ADMN⊥，D为垂足．

证明：存在定点Q，使得DQ为定值．【答案】（1）22163xy+=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于,,abc方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为ykxm=+,联立直线方程与椭圆方程，根据已

知条件，已得到,mk的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411caababc=+==+

，解得：2226,3abc===，故椭圆方程为：22163xy+=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,MxyNxy，若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：ykxm=+，代入椭圆方程消去y并整理得：()

222124260kxkmxm+++−=，的可得122412kmxxk+=−+，21222612mxxk−=+，因为AMAN⊥，所以·0AMAN=，即()()()()121222110xxyy−−+−−=，根据1122,kxmykxmy=+

=+,代入整理可得：()()()()22121212140xxkmkxxkm++−−++−+=，所以()()()22222264121401212mkmkkmkmkk−++−−−+−+=++

，整理化简得()()231210kmkm+++−=，因为(2,1)A不在直线MN上，所以210km+−，故23101kmk++=，，于是MN的方程为2133ykx=−−()1k，所以直

线过定点直线过定点21,33P−.当直线MN的斜率不存在时，可得()11,Nxy−，由·0AMAN=得：()()()()111122110xxyy−−+−−−=，得()1221210xy−+−=，结合2211163xy+=可得：2113840

xx−+=，解得：123x=或22x=（舍）.此时直线MN过点21,33P−.令Q为AP中点，即41,33Q，若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP△的斜边，故12223DQAP==

，若D与P重合，则12DQAP=，故存在点41,33Q，使得DQ为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163xy+++=，的设直线MN的方程为4mxny+=．将直线MN方程与椭圆方程联立得224

240xxyy+++=，即22()2()0xmxnyxymxnyy+++++=，化简得22(2)()(1)0nymnxymx+++++=，即2(2)()(1)0yynmnmxx+++++=．设()()1122,,,MxyNxy，因为AMAN⊥则1212AMA

Nyykkxx=112mn+==−+，即3mn=−−．代入直线MN方程中得()340nyxx−−−=．则在新坐标系下直线MN过定点44,33−−，则在原坐标系下直线MN过定点21,33P−．又ADMN⊥，D在以AP为直径的圆上．AP的中点41,33

即为圆心Q．经检验，直线MN垂直于x轴时也成立．故存在41,33Q，使得122||||23DQAP==．［方法三］：建立曲线系A点处的切线方程为21163xy+=，即30xy+−=．设直线MA的方程为11210kxyk−−+=，直线MB的方程为22210kx

yk−−+=，直线MN的方程为0kxym−+=．由题意得121kk?-．则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MAMB可表示为()()22112212121063xykxykkxyk+−+−−+−−+=（其中为系数）．用直线MN及点A处的切线可表示为()(3)0kxymx

y−++−=（其中为系数）．即()()22112212121()(3)63xykxykkxykkxymxy+−+−−+−−+=−++−．对比xy项、x项及y项系数得()()()121212(1),4(3),2

1(3).kkkkkmkkkm+=−++=−+−=+①②③将①代入②③，消去,并化简得3210mk++=，即2133mk=−−．故直线MN的方程为2133ykx=−−，直线MN过定点21,33P−

．又ADMN⊥，D在以AP为直径的圆上．AP中点41,33即为圆心Q．经检验，直线MN垂直于x轴时也成立．故存在41,33Q，使得122||||23DQAP==．［方法四］：设()()1122,,,M

xyNxy．若直线MN的斜率不存在，则()()1111,,,MxyNxy−．因为AMAN⊥，则0AMAN=，即()1221210xy−+−=．由2211163xy+=，解得123x=或12x=（舍）．所以直线MN的方程为23x=．

若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为ykxm=+，则()()()222122()6120xkxmkxxxx++−=+−−=．令2x=，则()()1222(21)(21)2212kmkmxxk+−++−−=+．又()()221221262ymyyyyykk−+−=+

−−，令1y=，则()()122(21)(21)1112kmkmyyk+−−+−−−=+．因为AMAN⊥，所以()()()()12122211AMANxxyy=−−+−−2(21)(231)12kmkmk+−++=+0=，即21mk=−+或2133mk=−−．当21m

k=−+时，直线MN的方程为21(2)1ykxkkx=−+=−+．所以直线MN恒过(2,1)A，不合题意；当2133mk=−−时，直线MN的方程为21213333ykxkkx=−−=−−，所以直线MN恒

过21,33P−．综上，直线MN恒过21,33P−，所以42||3AP=．又因为ADMN⊥，即ADAP⊥，所以点D在以线段AP为直径的圆上运动．取线段AP的中点为41,33Q，则122||||23DQAP==．所以存在定点Q，使得||DQ为

定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P，再根据平面几何知识可知定点Q即为AP的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线MN的方程为4mxny+=

，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,mn的关系，从而可知直线过定点P，从而可知定点Q即为AP的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MNykxm=+，再利用过点,,AMN的曲线系，根据比较对应项系数可求出,mk的关系，从而求出直线过定点P，故可知定点Q即为AP的中点；方法

四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222−−xx以及()()1211yy−−的计算．