【文档说明】河南省鹤壁市2024届高三上学期第二次模拟考试（10月）+数学+含解析.docx，共(28)页，1.185 MB，由小赞的店铺上传

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2024届高三年级第二次模拟考试·数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合|,MyyxxxR==−，|,NyyxxR==，则MN=A0,1B.1C.0D.2

.已知a∈R，复数2111aiii++−+为纯虚数，则a＝（）A.3B.﹣3C.2D.﹣23.已知函数()lnfxx=，则“()0fx”是“(())0ffx”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件4.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，1()2xfxx−=+，若对于任意实数11[,)42t−，都有1(21)()3ftfa−恒成立，其中0a，则实数a的取值范围是（）A.9(

,)2+B.1(0,)2C.3(,)2+D.(1,2)5.已知函数()()1xxfxaka−=+−（0a且1a）是偶函数，则关于x的不等式()21logkafxa+的解集是（）A.()2,+B.()10,2,2+C1,22

D.以上答案都不对6.函数()2fxax=−与()xgxe=的图象上存在关于直线yx=对称的点，则a的取值范围是（）A.,4e−B.,2e−C.(,e−D.(2,e−7.在ABC中，2AB=，3AC=，5cos6A=，若O为ABC的外

心（即三角形外接圆的圆心），且AOmABnAC→→→=−，则2nm−−=（）A.199B.4122−C.111−D.17118.已知不等式(1)lnxxeaxx−+对任意正数x恒成立，则实数a的最大值是（）..A.12B.1C.2D.2e二、选择题：本题共4

小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（）A.1212zzzz=B.若12,zz互为共轭复

数，则12=zzC.若12=zz，则2212zz=D.若复数()11izmm=++−为纯虚数，则1m=−10.某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅%a，第二次涨幅%b；乙：第一次涨幅%2ab+，第二次涨

幅%2ab+；丙：第一次涨幅%ab，第二次涨幅%ab.其中0ab，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（）A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采

用方案丙工资涨得比方案甲多11.已知函数()()fxgx，的定义域为R，()gx为()gx的导函数，且()()100fxgx+−=，()(4)100fxgx−−−=，若()gx为偶函数，则下列一定成立的有（）A.()210f=B

.410f=（）C.(1)(3)ff−=−D.()20230f=12.已知函数()()()lnsinlncosfxxx=，下列说法正确的是（）A.()fx定义域为π2π,2π+,Z2kkkB.()()fxfx−=C.π4fx

+是偶函数D.()fx在区间π0,2上有唯一极大值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设sin，cos是2420xaxa++=的两根，则a的值为__________．14

.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC外接圆的圆心，若3a=，且23cos2cCb+=，AOmABnAC=+，则mn+的最大值为______．15.设函数()()sin06fxx=−在区间,2ππ内有零点，无极值点，则的取

值范围是_______．16.在ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则22Sabc+的最大值为______四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设ABC内角A，B，C的对边分别为a，b

，c，已知3c=，且1sincos64CC−=.（1）求角C大小；（2）若向量()1,sinmA=与()2,sinnB=共线，求ABC的周长.18.已知na是等比数列，nb是等差数列，且11a=，13b=，227ab+=，3311+=ab.（1）求

数列na和nb的通项公式；（2）设1nnnbca=+，*nN，求数列nc的前n项和nT.19.已知将函数()2sincos(04)36fxxx=++−图像向左平移3个单位长度后得到函数()gx的图像关于原点中心对称.（

1）求函数()fx的解析式；（2）若三角形ABC满足2,,12BCfMN=是边BC上的两点，且1,2BMBNBAMCANCMCN==，求三角形ABC面积的取值范围.20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=，离心率为12，直线0mxym+−=恒过E的一

个焦点F.（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，,ACBD交于F，且0,2,2ACBDOAOCOMOBODON=+=+=，若直线AC的倾斜角的余弦值为55，求直线MN与x轴交点的坐标.21.已知()()()2xfxaxbex=+++在点()()0,0f处的切

线方程为60xy−=.的的的（1）求实数a，b的值；（2）当0x时，证明：()2ln23fxxx++.22.已知函数()2(2)xxfxaeeax−=++−，（aR，e是自然对数的底数）．（1）讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()(2)cosfxax+

，求a的取值范围．2024届高三年级第二次模拟考试·数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合|,MyyxxxR==−，|,NyyxxR==，则MN=A.0,1B

.1C.0D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的值域求法求出集合0Myy=、0Nyy=，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由0,02,0xyxxxx=−=，所以,0MyyxxxR

yy==−=，由,0NyyxxRyy===，所以0MN=.故选：C【点睛】本题考查了集合的交运算、函数的值域，属于基础题.2.已知a∈R，复数2111aiii++−+为纯虚数，则a＝（）A.3B.﹣3C.2D.﹣2【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简

，再由实部为0且虚部不为0列式求解.【详解】∵()()()()()()212113111111122aiiaiiaaiiiiiii+++−−++=+=+−+−++−为纯虚数，∴3010aa−=+，解得a=3故选：A.【

点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.已知函数()lnfxx=，则“()0fx”是“(())0ffx”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别解对应的不等式，再根据充分

条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数()lnfxx=，所以由()0fx得(1,)x+；由(())0ffx得ln(ln)0x，所以ln1x，所以(,)xe+．因为(,)(1,)e++，所以“()0f

x”是“(())0ffx”的必要不充分条件.故选：B．【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及对数不等式的解法，属于基础题型.4.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，1()2xfxx−=+，若对

于任意实数11[,)42t−，都有1(21)()3ftfa−恒成立，其中0a，则实数a的取值范围是（）A.9(,)2+B.1(0,)2C.3(,)2+D.(1,2)【答案】A【解析】【分析】利用分离常数化简解析式，结合函数解析式可判断函数()fx在)0,

+上是增函数；结合偶函数性质将不等式化为简，再利用单调性可得1213ta−，()0a，再由t的范围，求得21t−的最大值，即可得a的范围.【详解】当0x时，()13122xfxxx−==−++，所以()fx在)0,

+上为单调递增函数，而()1213ftfa−，又()fx是定义在R上的偶函数，所以由偶函数性质可得()1213ftfa−，则1213ta−，()0a，因为对任意实数11,42t−，所以321,02t−−，所以21t−的最大值为32，既

有1332a，解得92a，即a的取值范围为9(,)2+，故选：A.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合运用，由函数单调性解不等式，绝对值函数的最值求法，属于中档题.5.已知函数()()1xxfxaka−=+−（0a且

1a）是偶函数，则关于x的不等式()21logkafxa+的解集是（）A.()2,+B.()10,2,2+C.1,22D.以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】根据()fx是偶函数求得2k=，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于2log1x，解不等式即

可.【详解】∵()fx是偶函数∴()()fxfx−=，即()()11xxxxakaaka−−+−=+−化简得()()20xxkaa−−−=∴2k=，()xxfxaa−=+（0a，1a）()()'lnxxfxaaa−=−

,1,01aa时都能得到()()'ln0xxfxaaa−=−，所以()xxfxaa−=+在)0,+上是增函数∴()xxfxaa−=+（0a，1a）为偶函数且在)0,+上是增函数，∴()21logkafxa+，

()()2log1fxf，即2log1x，即2log1x或2log1x−解得2x或102x.即()10,2,2x+.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.6.函数()2fxax=−与()xgxe

=的图象上存在关于直线yx=对称的点，则a的取值范围是（）A.,4e−B.,2e−C.(,e−D.(2,e−【答案】C【解析】【分析】由题可知，曲线()2fxax=−与lnyx=有

公共点，即方程2lnaxx−=有解，可得2lnxax+=有解，令()2lnxhxx+=，则()21lnxhxx−−=，对x分类讨论，得出1=xe时，()hx取得极大值1hee=，也即为最大值，进而

得出结论.【详解】解：由题可知，曲线()2fxax=−与lnyx=有公共点，即方程2lnaxx−=有解，即2lnxax+=有解，令()2lnxhxx+=，则()21lnxhxx−−=，则当10xe时，()0hx；当1xe时，()0hx，故

1=xe时，()hx取得极大值1hee=，也即为最大值，当x趋近于0时，()hx趋近于−，所以ae满足条件．故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能

力，属于难题．7.在ABC中，2AB=，3AC=，5cos6A=，若O为ABC的外心（即三角形外接圆的圆心），且AOmABnAC→→→=−，则2nm−−=（）A.199B.4122−C.111−D.1711【答案】D【解析】【分析】先设D，E分别为AB，AC的中

点，连接OD，OE，根据向量数量积运算以及题意，得到21202mODABABnACAB−=+=，21202nOEACACmABAC+=−=，求解，即可得出结果.【详解】设D，E分别为AB，AC的

中点，连接OD，OE，则ODAB⊥，OEAC⊥，因为ODADAO=−，AOmABnAC→→→=−，所以11222mODABmABnACABnAC−=−+=+，同理可得：122nOEAEAOACmAB+=−=−；因为21202mODABABnACAB−

=+=，所以124502mn−+=①；因为21202nOEACACmABAC+=−=，所以129502nm+−=②；联立①②，解得：922811mn=−=−，因此17211nm−−=.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，以及平面向量基本定理

的应用，属于常考题型.8.已知不等式(1)lnxxeaxx−+对任意正数x恒成立，则实数a的最大值是（）A.12B.1C.2D.2e【答案】B【解析】【分析】把不等式(1)lnxxeaxx−+化为ln1xxexax−+，设()ln,01xxexfx

xx−=+，求得的导数()()221(1)1ln1xxxexxfxx++−−−=+，设()21(1)1lnxgxxxexx=++−−−，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.【详解】不等式(1)lnxxeaxx−+可化为(1)ln

xaxxex+−，因为0x，所以ln1xxexax−+，设()ln,01xxexfxxx−=+，则()()221(1)1ln1xxxexxfxx++−−−=+，设()21(1)1lnxgxxxexx=+

+−−−，其中0x，则()21(1)[(2)]0xgxxxex=+++恒成立，则()gx在(0,)+上单调递增，由()2211(1)1ln(1)1lnxxxgxxxexxexexxx=++−−−=+−−−+，令

0()0gx=，得001xex=，所以()fx在0(0,)x单调递减，0(,)x+单调递增，所以()00000min00ln1()111xxexxfxfxxx−+====++，对任意正数x恒成立，即()min1afx=.故选

：B【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、选择题：本题共

4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（）A.1212zzzz=B.若12,zz互为共轭复数，则12=zz.

C.若12=zz，则2212zz=D.若复数()11izmm=++−为纯虚数，则1m=−【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：令12i,i

zabzcd=+=+则()()()12iiizzabcdacbdadbc=++=−++()()22acbdadbc=−++22222222acbdadbc=+++()()22222222222212zzabcdacbdadbc=++=+++所以1212zzzz=，故A正确；

对于选项B：令12i,izabzab=+=−，222212,zabzab=+=+，所以12=zz，故B正确；对于选项C：令12i,izabzab=+=−，2212zzab==+，根据复数的乘法运算可知：()22221i

2izababab=+=−+，()22222i2izababab=−=−−，2212zz，所以C错误；对于选项D：若复数()11izmm=++−为纯虚数，则10m+=，即1m=−，故D正确.故选：ABD10.某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工

资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅%a，第二次涨幅%b；乙：第一次涨幅%2ab+，第二次涨幅%2ab+；丙：第一次涨幅%ab，第二次涨幅%ab.其中0ab，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的

有（）A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多【答案】BC【解析】【分析】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解.【详解】方案甲：两次涨

幅后的价格为：(1%)(1%)1%%0.01%ababab++=+++；方案乙：两次涨幅后的价格为：2(1%)(1%)1%%0.01()%222abababab+++++=+++；方案丙：两次涨幅后的价格为：(1%)(1%)12%0.01%abababab++=++；因为0a

b，由均值不等式2abab+，当且仅当ab=时等号成立，故2()2abab+，因为ab¹，所以2()2abab+，2abab+，所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，故选：BC.11.已知函数()()fxgx，的定义域为R，()gx为()gx的导函

数，且()()100fxgx+−=，()(4)100fxgx−−−=，若()gx为偶函数，则下列一定成立的有（）A.()210f=B.410f=（）C.(1)(3)ff−=−D.()20230f=【答案】ABC【解析】【分析】由()gx是偶函数得出()gx

是奇函数，由已知两条件推出()gx是以4为周期的函数，进而可得()fx为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得．【详解】因为()gx是偶函数，则()()gxgx−=，两边求导得()()gxgx

−−=，所以()gx是奇函数，故(0)0g=，由()()100gxfx−+=，()()1004gfxx−−−=，得()10()(4)fxgxgx−=−=−，即()(4)gxgx−=−+，所以()gx是周期函数，且周期为4，(0)(4)0gg==，(2)(24)(2)(2)

gggg=−=−=−，所以(2)0g=，对选项A：由()()100gxfx−+=，令2x=得，()()22100gf+−=，所以()210f=，故A正确；对选项B：由()()1004gfxx−−−=，令4x=得，()()04

100gf−−=，故()410f=，所以B正确；对选项C：由()()100gxfx−+=，可得()()44100xxgf−−+−=，又()()1004gfxx−−−=，所以()(4)20fxfx+−=，

又()gx是奇函数，()()()()10100fxfxgxgx−+−=−−−=−，所以()()20fxfx+−=，又()(4)20fxfx+−=，所以()(4)fxfx−=−，即()(4)fxfx=+，所以()(

4)fxfx=+，()()0fxfx−−=，()()fxfx=−，所以函数()fx为周期为4的偶函数，所以()()()133fff−==−，故C正确；对选项D：()()()2023345053fff+==，由题得不出(3)0f=，所以()20230f=不一定

成立，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数()gx的奇偶性及周期性，进而得到函数()fx的性质，然后利用赋值法求解.12.已知函数()()()lnsinlncosfxxx=

，下列说法正确的是（）A.()fx定义域为π2π,2π+,Z2kkkB.()()fxfx−=C.π4fx+是偶函数D.()fx在区间π0,2上有唯一极大值点【答案】ACD【解析】【分析】

根据函数解析式结合三角函数性质求得定义域，判断A；由于函数的定义域不关于原点对称，故可判断B；根据函数奇偶性的定义可判断C；求出函数的导数，根据其结构特点，构造函数，再次求导，判断导数正负，进而判断函数单调性，进而判断极大值点，即可判断D

.【详解】A.()fx的定义域为sin0cos0xx，解得()fx的定义域为π2π,2π,Z,A2kkk+正确B.由于()fx的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；C.设()πππlnsinlncos444gxfxxx

=+=++，则定义域ππ2π,2π,44Zkkk−+，()ππlnsinlncos44gxxx−=−+−+

()ππlncoslnsin44xxgx=++=，即π4fx+是偶函数，C正确D.()()()()()22cosln

cossinlnsinsincoslnsinlncoscossinsincosxxxxxxfxxxxxxx−−=+=()()2222coslncossinlnsinπ,0,2sincos2xxxxxxx−=，令()()(

)()()()ln1ln1,0,1,1ln1ln1gttttttgttt=−−−=+++−，令()()1ln1ln1httt=+++−，由()()111211thttttt−=−=−−，当10,2

t时，()0ht，即当10,2t时，()gt单调递增，当1,12t时，()()0htgt在1,12t单调递减，且122ln202g=−，22221111(1)2

0e2lnleneeg=++−=，222211111(1)20eeee2lnlng=++−−=,结合0,0tt→时，()gt→−；1,1tt→时，()gt→−，故存在12110,,,122tt

使得()0gt=，即有()gt在()10,t单调递减，在()12,tt单调递增，在()2,1t单调递减，注意到102g=，且1t−→时，()0,0gtt+→→时，()0gt→，从而对于2costx=，当,42x

时()()0,0gtfx，为()fx\在区间ππ,42单调递减，当π0,4x时()0gt，()0fx¢>，()fx\在区间π0,4单调递增，π4x=为()fx在区间π0,2上的唯一极

大值点，故D正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：利用导数解决()fx在区间π0,2上有唯一极大值点的问题时，求出函数的导数，由于导数形式比较复杂，故而难点就在于要根据导数的结构形式构造函数，进而再次求导

结合零点存在定理判断导数正负，从而判断函数的单调性，解决极大值点问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设sin，cos是2420xaxa++=的两根，则a的值为__________．【答案】15−【解析】【分析】根据判别式和韦达定理列式，利用同角公式可求出结果

.【详解】依题意可得24160sincos2sincos4aaaa=−+=−=，由24160aa−得0a或4a；由sincos2a+=−和sincos4a=得21244aa+=，即2240aa−−=，解得15a=−或15a=+，因为015

4+，所以15a=+应舍去，所以15a=−.故答案为：15−14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC外接圆的圆心，若3a=，且23cos2cCb+=，AOmABnAC=+，则mn+的最大值为

______．【答案】23【解析】【分析】通过23cos2cCb+=，可求得3A=，进一步通过正弦定理和余弦定理求得半径和BOC的大小；通过将向量AB→和AC→进行拆解，将AO→与,OBOC→→联系起来，通过平方运

算，得到关于,mn的等量关系，最终利用基本不等式得到mn+的最大值．【详解】由23cos2cCb+=可得：22223223abccbb+−+=即222bcabc+−=1cos2A=3A=由正弦定理可得圆O半径为：112sinaA=，即1AOOBOC→→→===根

据余弦定理可知：2221131cos222OBOCaBOCOBOC→→→→+−+−===−23BOC=又()AOmABnACmOBOAnOCOAmOBnOCmnAO→→→→→→→→→→=+=−+−=+++()1

mnAOmOBnOC→→→−−=+()22222212cosmnAOmOBnOCmnOBOCBOC→→→→→−−=++()2221mnmnmn−−=+−整理可得：3221mnmn=+−又22mnmn+

得：()()23214mnmn+−+解得：23mn+或2mn+当2mn+时，点O在ABC外部，且BOCA+=，所以,,,BOCA四点共圆，不满足题意，舍去23mn+（当且仅当13mn==时取等号）本题正确结

果：23【点睛】本题将解三角形、平面向量、基本不等式等几个部分相结合，对学生各部分知识的综合运用能力要求较高．难点在于将AOmABnAC→→→=+中的AB→和AC→通过向量的线性运算，表示为夹角和模长全都已知的向量OB→和OC→的关系，这也是解决平面向量线性关系中常用的处理问题的方法：将未知向

量向已知向量进行转化．15.设函数()()sin06fxx=−在区间,2ππ内有零点，无极值点，则的取值范围是_______．【答案】1145,,6333

U【解析】【分析】依题意首先求出的大致范围，再根据在区间,2ππ内有零点，无极值点，得到不等式组22662kkkk−+−−+，()kZ，即可求出的

取值范围.【详解】解：()()sin06fxx=−依题意得22πTπ−T2T=02,2πxπ，2666x−−−因为函数()()sin06fxx=−

在区间,2ππ内有零点，无极值点，22662kkkk−+−−+，()kZ，解得2122331263kkkk−++++，()kZ，当0k=时，1163满足条件，当1k=时，4533满足条件

，当2k时，显然不满足条件，综上可得1145,,6333U故答案为：1145,,6333U【点睛】本题考查三角函数的性质，综合性强，难度比较大，属于难题.16.在ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则22

Sabc+的最大值为______【答案】312【解析】【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.【详解】2221sin1sin222cos2222cosbcASAbcabcbcbcAbcAcb==++−

+++−1sin4cos2AA−−（当且仅当bc=时取等号）.令sin,cosAyAx==，故21242Syabcx−+−，因为221xy+=，且0y，故可得点(,)xy表示的平面区域是半圆

弧上的点，如下图所示：目标函数2yzx=−上，表示圆弧上一点到点(2,0)A点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点13,22H，即60A=时，取得最小值33−，故可得3,023yzx=−−，又21242Syabcx−+−，故可得213324312Sa

bc−−=+，当且仅当60,Abc==，即三角形等边三角形时，取得最大值.故答案为：312.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.17.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c=，且1sincos64CC−=.（1）求角C的大小；（2）若向量()1,sinmA=与()2,sinnB=共线，求A

BC的周长.【答案】（1）3C=，（2）333+.【解析】【分析】（1）将1sincos64CC−=变形到sin216C−=，即可求出角C；（2）由向量()1,sinmA=与()2,sinnB=共线可得20ba

−=，然后结合余弦定理解出a、b即可.为【详解】（1）因为1sincos64CC−=，所以311sincoscos224CCC−=所以3111sin2cos24444CC−−=，所以sin216C−=所以22,62CkkZ

−=+，所以,3CkkZ=+因为C是ABC的内角，所以3C=（2）因为向量()1,sinmA=与()2,sinnB=共线所以sin2sin0BA−=，即20ba−=由余弦定理可得2222

coscababC=+−，即22219442aaa=+−解得3,23ab==所以ABC的周长为333+【点睛】本题考查的是三角恒等变换和正余弦定理的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.18.已知na是等比数列，nb是等差数列，且11a=，13b=，227ab+=，3311+=ab

.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设1nnnbca=+，*nN，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）12nna−=,21nbn=+（2）()3111102122nnnTnn−−=−−+

+【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,代入即可求得等差数列的公差和等比数列的公比,进而求得数列na和nb的通项公式;（2）代入数列na和nb的通项公式可得nc的通项公式.根据错位相减法及分组求和法,即可求得数列

nc的前n项和nT.【详解】（1）设等比数列na的公比为q,等差数列nb的公差为d.11a=,13b=,227ab+=,3311+=ab.由等差数列与等比数列通项公式可得2373211qdqd++=++=解得22qd==或04

qd==(舍)所以12nna−=,()32121nbnn=+−=+（2）1nnnbca=+,代入12nna−=,21nbn=+可得()121121nncn−=++则12321nnnnTcccccc−−=+++++()()()012321

111111357232121222222nnnnTnnnn−−−=+++−+−+++()()()123211111111135723212122222222nnnnTnnnn−−

=+++−+−+++两式相减可得()12321111111113222222122222222nnnnTnn−−=+++++−+

+()1232111111111322122222222nnnnTnn−−=+++++−++()1111221113221122212

nnnTnn−−=+−++−即()211115212222nnnTnn−=−−++所以()3111102122nnnTnn−−=−−++【点睛】本题考查了等差数列与

等比数列通项公式的应用,等比数列求和公式的应用,错位相减法求数列的前n项和,分组求和法求数列的和,属于中档题.19.已知将函数()2sincos(04)36fxxx=++−的图像向左平移3个单位长度后得到函数()gx的

图像关于原点中心对称.（1）求函数()fx的解析式；（2）若三角形ABC满足2,,12BCfMN=是边BC上的两点，且1,2BMBNBAMCANCMCN==，求三角形ABC面积的取值范围.【答

案】（1）()3sin23fxx=+（2）(0,182【解析】【分析】(1)根据题意将函数化简，利用正弦函数的平移变化得到()3sin33gxx=++，结合图象关于原点中心

对称即可求出函数解析式；(2)结合（1）可得6BC=，结合题意，建立平面直角坐标系得到点A的轨迹方程为22(9)72xy−+=，再根据几何关系即可求解.【小问1详解】（1）由已知化简得()333cossin3sin223fxxxx=+=+，()3sin3

3gxx=++，由()00g=得,31,33kkk+==−Z，又()04,2,3sin23fxx==+，【小问2详解】易得2612BCf==，由sinsinABMACMS

BMABBAMSCMACCAM==①sinsinABNACNSBNABBANSCNACCAN==②又BAMCANBANCAM==将①②式并结合12BMBNCMCN=可得：2212AB

AC=以BC所在直线为x轴，以BC中垂线为y轴建立直角坐标系，则()()3,0,3,0CB−，设(),Axy，则由2212ABAC=可得：点A的轨迹方程为221890xyx+−+=，即22(9)72x

y−+=，当62Ay=时，ABCS取到最大值182，根据几何关系易知三角形ABC面积的取值范围为(0,182，20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=，离心率为12，直线0mxym+−=恒过E的一个焦点F.（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标

原点，四边形ABCD的顶点均在E上，,ACBD交于F，且0,2,2ACBDOAOCOMOBODON=+=+=，若直线AC的倾斜角的余弦值为55，求直线MN与x轴交点的坐标.【答案】（1）22143xy+=（2）4,07

【解析】【分析】（1）将0mxym+−=转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式进行求解即可.（2）根据向量等式，可以确定,MN分别是,ACBD的中点.设()()1122,,,AxyCxy，求出直线AC的方程，与

椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出M的坐标，同理求出N点坐标，求出直线MN的方程，最后求出直线MN与x轴交点的坐标.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，0mxym+−=可化为(1)0m

xy−+=，所以直线0mxym+−=恒过点(1,0)，所以点(1,0)F，可得1c=.因为离心率为12，所以12ca=，解得2a=，由222bac=−得3b=，所以E的标准方程为22143xy+=.（2）因为0ACBD=，所以

ACBD⊥.由2,2OAOCOMOBODON+=+=得,MN分别是,ACBD的中点.设()()1122,,,AxyCxy.由直线AC的倾斜角的余弦值为55，得直线AC的斜率为2，所以1:2(1),:(1)2ACBDlyxlyx=−

=−−，联立222(1),1,43yxxy=−+=消去y，得2193240xx−+=.显然，0，且123219xx+=，()()()1212121221212419yyxxxx+=−+−=+−=−，所以1212166,21

9219xxyy++==−，可得166,1919M−，同理可得13,48N，所以76MVk=−，所以371:864MNlyx−=−−.令0y=，得47x=，所以直线MN与x轴交点的坐标为4,07.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，

考查了根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，考查了数学运算能力.21.已知()()()2xfxaxbex=+++在点()()0,0f处的切线方程为60xy−=.（1）求实数a，b的值；（2）当0x时，证明：()2ln23fxxx++.【答案】（1）a=2，b=0；（2）证明见

解析.【解析】【分析】（1）由题可得()00f=，()06f=，列方程即可求解a，b；（2）令()()()2ln23xxgxfx+−+=，则()()1'212(0)xgxxexx=++−，令()12(0)xhxexx=+−，判断存在唯一011,43x，使得(

)00hx=，即0012xex=−，从而得到2000()222ln1mingxxxx=−−−；再令()211222ln1,43xxxxx=−−−，，证明()0x即得证()2ln23fxxx++.【详解】（1）()()()()21xxfxaexaxbe=++++

+，因为f（x）在点()()0,0f处的切线方程为y=6x，所以()00f=，()06f=，即30326bab=+=，解得a=2，b=0；（2）由（1）得()()22xfxxex=++，设()()()222ln23xxxgxexx++−++=，即()22222ln3xgxxex

xx++=−−，则()()()()224221'214221212(0)xxxxxgxxexxexexxxx+−=+++−=++=++−设()12(0)xhxexx=+−，则h（x）在（0，+∞

）单调递增，且113411201043hehe=−=−，，所以存在唯一011,43x，使得()000120xhxex=+−=，即0012xex=−，当00xx时，()0hx，()0gx，g（x）单调递减；当0xx时，()0

hx，()0gx，g（x）单调递增；()02200000000001()2222ln322222ln3xmingxgxxexxxxxxxx==++−−=−++−−2000222ln1xxx=−−−，设()211222ln1,43xx

xxx=−−−，，则()()()21212'42xxxxxx−+=−−=，当11,43x时，()0x，()x单调递减，所以()1132ln3039x=−

，所以2000()222ln10mingxxxx=−−−，即()0gx，所以当0x时，()2ln23fxxx++【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数证明不等式，综合考查了函数的单调性，最值等问题，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力..22.已知函数(

)2(2)xxfxaeeax−=++−，（aR，e是自然对数的底数）．（1）讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()(2)cosfxax+，求a的取值范围．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）[2,)+.【解析】【分析】（1）求

得()fx，然后对a分成0a和0a两种情况进行分类讨论，由此求得()fx的单调区间.（2）首先令2x=，代入()(2)cosfxax+，求得a的一个取值范围.构造函数()()(2)cosgxfxax=−+，利

用()gx的导函数()gx研究()gx的最小值，由此求得a的取值范围.【详解】（1）2(2)2()2(2)xxxxxaeaefxaeeae−+−−=−+−=()()21xxxaeee−+=，当0a时，()0fx，函数()

fx在R上递减；当0a时，由()0fx，解得2lnxa，故函数()fx在2(,ln)a−上单调递减，由()0fx，解得2lnxa，故函数()fx在2(ln,)a+上单调递增．综上所述，当0a时，()fx在R上递减；当0a时，()fx在2(

,ln)a−上递减，在2(ln,)a+上递增.（2）当2x=时，()22()2(2)02cos222faeeaa−=++−=+，即222()02eae+−，故0a，令()()(2)c

osgxfxax=−+2(2)c(2s)oxxaeeaxxa−=++−−+，则22()(2)(2)sinxxaegxaaxe−=+−++，若2a，则当[0,]x时，()0gx，函数()gx在[0,]上单调递增，当(,)x+时，()2(2)(2)x

xgxaeeaa−−+−−+2244404aeea−−−−−，当[0,)x+时，()gx单调递增，则()(0)0gxg=，符合题意；若02a，则(0)2(2)0ga=−，()2(2)

(2)24xxxxgxaeeaaaee−−−+−−+=−−，由240xxaee−−−=得2420axlna++=，故242()0aglna++，存在0242(0,]axlna++，使得0()0gx=，且当0(0,)xx时，()0gx，()gx在0(0

,)xx上单调递减，当0(0,)xx时，()(0)0gxg=，不合题意，综上，实数a的取值范围为[2,)+．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数研究不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

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