【文档说明】河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(21)页，1.949 MB，由小赞的店铺上传

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洛阳市2019——2020学年高二质量检测数学试卷(文)一､选择题1.已知a是实数，1aii+−是实数，则cos3a的值为（）A.12B.12−C.0D.32【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，代入cos3a得答案．【详解】解：()(1)

111(1)(1)22aiaiiaaiiii+++−+==+−−+是实数，102a+=，即1a=−．1coscos()332a=−=．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查三角函数值的求法，属于基础题．2.已知命题:

pxR，210xx−+，下列p形式正确的是（）A.0:pxR，使得20010xx−+B.0:pxR，使得20010xx−+C.:pxR，210xx−+D.:pxR，210xx−+【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.

【详解】否定量词，否定结论，即0:pxR，使得20010xx−+.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.3.等比数列na的前n项和为nS，已知123,2,3SSS成等差数列，则na的公比为（）A.13B.33C.3D.3【答案】A【解析】【分析】设等比

数列{an}的公比为q，由S1，2S2，3S3成等差数列，可得S1+3S3＝2×2S2，化简即可得出．【详解】设等比数列{an}的公比为q，∵S1，2S2，3S3成等差数列，∴S1+3S3＝2×2S2，∴a1+3（a1+a2+a3）＝4（a1+a2），化为：3a3＝a2，解得q13

=．故选A．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，

…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可

断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（,xy），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85

kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．5.若实数x，y满足不等式组0,0,1.xyxy+则23zxy=+的取值范围为（）A.0,2B.2,3−C.2,3D.0,3【答案】D【解析】【分

析】先由约束条件，画出可行域，再化目标函数23zxy=+为233zyx=−+，根据目标函数的几何意义，结合图像，即可求出结果.【详解】由约束条件0,0,1.xyxy+画出可行域如下（阴影部分），因为目标函数23zxy=+可化为233zyx=

−+，所以z表示直线233zyx=−+在y轴截距的3倍，由图像可得：当直线233zyx=−+过点O时，在y轴截距最小，为0，所以min0z=；当直线233zyx=−+过点A时，在y轴截距最大，由10xyx+=

=解得：()0,1A，所以max3z=；因此23zxy=+的取值范围为0,3.故选：D.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，根据数形结合的方法求解即可，属于基础题型.6.已知极坐标系中，点P的极坐标是2,2，则点P到直线

l：()4R=的距离是（）A.2B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据点的极坐标，以及直线的极坐标方程，直接计算即可得出结果.【详解】因为点P的极坐标是2,2，直线l：()4R=，所以点P到直线l的距离为：2sin2sin2244−==.故

选：C.【点睛】本题主要考查极坐标的方法求点到直线的距离问题，属于基础题型.7.对于函数xye=，曲线xye=在与坐标轴交点处的切线方程为1yx=+，由于曲线xye=在切线1yx=+的上方，故有不等式1xex+．类比上述推理：对于函数()ln0yxx=

，有不等式（）A.ln1(0)xxx−B.ln1(0)xxx+C.ln1(0)xxx−D.ln1(0)xxx−【答案】A【解析】【分析】求导，求出函数与x轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线，在与函数图像的位置

比较，即可得出答案．【详解】由题意得()1lnyxx==，且lnyx=的图像与x轴的交点为()1,0，则在()1,0处的切线斜率为1，在()1,0处的切线方程为1yx=−，因为切线1yx=−在()ln0yxx=图像的上方，所以ln

1(0)xxx−故选A【点睛】本题考查由导函数求切线方程以及函数图像的位置，属于一般题．8.设aR，若函数exyax=+，xR，有大于零的极值点，则（）A.1a−B.1a−C.1ae−D.1ae−【

答案】A【解析】题意即0xea+=有大于0的实根,数形结合令12,xyeya==−,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得11aa−−,选A.9.已知0a，0b，8ab=，则22loglogab

的最大值为（）A.32B.94C.4D.8【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．【详解】解：0a，0b，8ab=，则22loglogab222(log8log)logbb=−22(3log)log

bb=−2223log(log)bb=−22939log424b=−−„．当且仅当322b=时，函数取得最大值94．故选：B．【点睛】本题考查对数运算法则以及函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题

．10.函数2()()41xxxeefxx−−=−的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项.【详解】2221()()410,()()24141xxxxxeexeexxfxfxxx−−−

−−−−===−−()fx为偶函数，舍去A;当102x时()0fx,舍去C；当12x时()0fx,舍去D；故选：B【点睛】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，动

点E，F在棱11AB上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若2EF=，1AEm=，DQn=，DPp=（,,mnp大于零），则四面体PEFQ的体积A.与,,mnp都有关B.与m有关，与,np无关C.与p有关，与,mn无关D.与π有关，与

,mp无关【答案】C【解析】【分析】连接1AD、1AD交于点O，作1//PMAD，证明1AD⊥平面11ABCD，可得出PM⊥平面EFQ，于此得出三棱锥PEFQ−的高为22PMp=，再由四边形11ABC

D为矩形知，点Q到EF的距离为142AD=，于此可计算出EFQ的面积为42，最后利用锥体的体积公式可得出四面体PEFQ的体积的表达式，于此可得出结论．【详解】如下图所示，连接1AD、1AD交于点O，作1//PMAD，在正方体1111ABCDABCD−中，CD

⊥平面11AADD，且1AD平面11AADD，1ADCD⊥，又四边形11AADD为正方形，则11ADAD⊥，且1CDADD=，1AD⊥平面11ABCD，即1AD⊥平面EFQ，1//PMADQ，PM⊥平面E

FQ，且12sin2PMPDADAp==，易知四边形11ABCD是矩形，且142AD=，点Q到直线EF的距离为1AD，EFQ的面积为1112424222EFQSEFAD===，所以，四面体PEFQ的体积为1124423323PEFQEFQpVSPMp−===，因此，四

面体PEFQ的体积与p有关，与m、n无关，故选C.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，解题的关键在于寻找底面和高，要充分结合题中已知的线面垂直的条件，找三棱锥的高时，只需过点作垂线的平行线可得出高，考查逻辑推理能力，属于难题．12.已知抛物线C：28yx=

的焦点为F，经过点(2,0)M−的直线交C于A，B两点，若//OABF(O为坐标原点)，则FAB的面积为（）A.42B.62C.22D.82【答案】A【解析】【分析】设出坐标(,22)Bmm，结合已知条件，利用几何性质

，求出A的坐标，然后根据FABFMBFAMSSS=−△△△，计算求解即可【详解】抛物线C：28yx=的焦点为20F（，），经过点(2,0)M−的直线交C于A，B两点，//OABFA是BM的中点，不妨设(,22)Bmm，可得2,22mAm−，代

入28yx=，可得24(2)mm=−，解得4m=，所以(4,42),(1,22)BA，所以114424224222FABFMBFAMSSS=−=−=△△△.故选：A.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，

考查转化思想以及计算能力，属于中档题.二､填空题13.曲线lnyxx=在点(1,0)处的切线的方程为__________．【答案】10xy−−=【解析】【分析】对()fx求导，带入1x=得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.【详解】lnyxx=1lnln+1yxxxx=

+=带入1x=得切线的斜率1k=，切线方程为()011yx−=−，整理得10xy−−=【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.14.关于x的不等式20xaxb−++的解集为(-2，1)，则复数abi+所对应

的点位于复平而内的第________象限.【答案】二【解析】【分析】先根据x的不等式20xaxb−++的解集为(-2，1),得到()2121ab−+=−=−，求得,ab，根据,ab的符号即可判断abi+对应的点位于复平面内的象限.【详解】∵不等式20xa

xb−++的解集为(-2，1)，()2121ab−+=−=−，解得：12ab=−=即0,0ab，故复数abi+所对应的点位于复平面内的第二象限.故答案为：二.【点睛】（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二

次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理，属于基础题.15.2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得

到如下列联表：感染未感染总计注射104050未注射203050总计3070100参照附表，在犯错误的概率最多不超过____的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．【参考公式：()()()()()22nadbcK

abcdacbd−=++++.】20()PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】0.05【解析】【详解】分析：直接利用独立性检验2K公

式计算即得解.详解：由题得22100(10302040)1004.7623.8413070505021K−==,所以犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．故答案为0.05.点睛：本题主要考查独立性检验和2K的计算，意在考

查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.16.已知双曲线C：22193xy−=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M､N.若OMN为直角三角形，则||MN=________.【答案】33【解析】【分析】先由题意，得到渐近线方程为：33yx=

，右焦点()23,0F，OMMN⊥或ONMN⊥，分别讨论OMMN⊥，ONMN⊥两种情况，求出两点间距离，即可得出结果.【详解】因为双曲线22193xy−=的渐近线方程为：33yx=，右焦点()23,0F，因

此渐近线夹角为60，即60MON=，因为OMN为直角三角形，所以OMMN⊥或ONMN⊥，当OMMN⊥时，可得3MNk=，所以MN所在直线方程为：()323yx=−，由()32333yxyx=−=

解得：333xy==，由()32333yxyx=−=−解得：33232xy==−，所以223333333322MN=−++=；当ONMN⊥

时，可得3MNk=−，所以MN所在直线方程为：()323yx=−−，由()32333yxyx=−−=解得：33232xy==，由()32333yxyx=−−=−解得：333xy==−，所以223333333322MN

=−+−−=；综上，33MN=.故答案为：33.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的简单应用，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.三､解答题17.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()()(

)sinsin3sinacACabB+−=−.（1）求角C；（2）若4a=，ABC的面积为433，求c.【答案】（1）6C=；（2）433c=.【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理得到2223abcab+−=，再代

入cosC计算即可得到答案.（2）首先利用正弦定理面积公式得到433b=，再利用余弦定理计算c即可.【详解】（1）因为()()()sinsin3sinacABabB+−=−，由正弦定理得()223acabb−=−，即2223abcab+−=

，由余弦定理得22233cos222abcabCabab+−===.因为0C，所以6C=.（2）因为4a=，ABC面积为433，所以143sin23abC=，即11434223b=，解得433b

=.由余弦定理得22216433162cos16243323cababC=+−=+−=，所以433c=.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理角化边公式和面积公式，属于基础题.18.在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SBSC=，M是

BC的中点.1AB=，2BC=.（1）求证：AMSD⊥；（2）若63SM=，求点M到平面ADS的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）105.【解析】【分析】（1）先由线面垂直的判定定理，证明AM⊥平面SMD，即可得出AMSD⊥；（2）根据题中数据，先求

得1639SADMAMDVSMS−==△，设AD边上的高为h，求得153h=，求出ADSS△，设M点到平面ADS的距离为d，根据SADMMADSVV−−=，即可求出结果.【详解】（1）∵SBSC=，M是BC的中点，∴SMBC⊥，∵平面ABCD⊥平面SBC，∴SM⊥

平面ABCD.∵AM平面ABCD，∴SMAM⊥.∵ABCD是矩形，M是BC的中点，1AB=，2BC=，所以22112AMMD==+=，因此222+=AMMDAD，∴AMMD⊥，又SMMDM=，SM平面SMD，MD平面SMD，∴AM⊥平面SMD，∵SD平面SMD，∴

AMSD⊥.（2）由（1）知AMS△为直角三角形，90AMS=，2AM=，∵63SM=，∴263SASD==，∵2AMMD==，∴211(2)122AMDSAMMD===△，∴116613339SADMAMDVSMS−===△，在ADS△中，263SAS

D==，2AD=，设AD边上的高为h，则2224151293ADhSD=−=−=∴11151522233ADSShAD===△.设M点到平面ADS的距离为d，由SADMMADSVV−−=，得111563339M

ADSADSVdSd−===△，∴105d=，故点M点到平面ADS的距离为105.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到平面的距离，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.19.已知椭圆()222210xyabab+=的离心率为

33，点()0,2A−在椭圆上，斜率为k的直线l过点()0,1E且与椭圆交于C、D两点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与x轴相交于点G，且GCDE=，求k的值.【答案】（1）22164xy+=；（2）63.【解析】【分析】（1）根据题意得出a、b、c的方程组，解出这三个量

的值，由此可得出椭圆的方程；（2）设直线l的方程为1ykx=+，设点()11,Cxy、()22,Dxy，将直线l的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由GCDE=结合平面向量的坐标运算得出121xxk+=−，由此可得出关于k的等式，进而可解得k的值.【详解

】（1）设椭圆的半焦距为()0cc.椭圆的离心率为33，点()0,2A−在椭圆上，222332cababc===+，解得622abc===，因此，椭圆方程为22164xy+=；（2）设直线l的方程为1ykx=+，设点()11,C

xy、()22,Dxy，联立221164ykxxy=++=，消去y并整理得()2232690kxkx++−=，()()22236363272210kkk=++=+恒成立，由韦达定理得122632kxxk+=−+，122932xxk=−+，由

直线l与x轴相交于点G，知0k，则点1,0Gk−.由GCDE=，得()11221,,1xyxyk+=−−，则121xxk+=−，即121xxk+=−，26132kkk−=−+，解得63k=.【点睛】本题考查椭圆方程的求

解，同时也考查了利用韦达定理求参数，考查计算能力，属于中等题.20.已知数列na的前n项和为nS，11a=，若数列1nS+是公比为2的等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）()*111,1nnnnabnaS++

+=−N，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）()1*2nnan−=N；（2）11121n+−−.【解析】【分析】（1）由数列{1}nS+是公比为2的等比数列求得nS，再由1(2)nnnaSSn−=−…求数列的通项公式；（

2）把（1）中求得的通项公式与前n项和代入111,*(1)nnnnabnNaS+++=−，然后裂项相消求数列{}nb的前n项和nT．【详解】解：（1）∵11a=，∴11112Sa+=+=.∵数列1nS+是公比为2的等比数列，∴112

22nnnS−+==，∴21nnS=−.当2n时，1121nnS−−=−，∴()11121212nnnnnnaSS−−−=−=−−−=.显然11a=适合上式，∴()1*2nnan−=N.（2）由（1）知12nna+=，1121nnS++=−，∴()()()()*11

111211121212121nnnnnnnnnabnaS+++++===−−−−−−N，∴12nnTbbb=+++2231111111212121212121nn+=−+−++−−−−−−−1

1121n+=−−.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题．21.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲

线C的极坐标方程为22cos1cos=−，直线l的参数方程为1cos,1sin2xtyt=+=+(t为参数，0a).（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两

点，且AB的中点为11,2M，求线段AB的长度.【答案】（1）22yx=；（2）352.【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标互化的关系式cos,sinxy==可将曲线极坐标方程化为普通方程;（2）将直线的参数方程代入取曲线的普

通方程中，M为,AB中点，由t的几何意义知120tt+=故得到关于的方程，求出倾斜角的正弦值，计算即可得出结果.【详解】（1）∵22cos1cos=−，∴2cos2cos−=，∴222cos2cos−=.∵cosx=，siny=，∴2222x

yxx+−=，∴22yx=，故曲线C的直角坐标方程为22yx=.（2）将直线l的参数方程1cos1sin2xtyt=+=+代入22yx=得224sin4(sin2cos)70tt+−−=，2216(sin2cos)167sin0

=−+由t的几何意义，,AB对应的参数分别为12,tt，则有1222cossinsintt−+=，12274sintt=−因为点M为线段AB的中点，所以1202tt+=，即2cossin0−=，∴sin2cos=.∴()222sin4cos41sin

==−，∴24sin5=.()2121212273535||4sin42ABtttttt=−=+−===.故线段AB的长度为352.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程中参数的几何意义，考查了韦达定理的应

用，考查运算求解能力，属于中等题.22.已知函数()2()2xfxxeaax=−−.（1）当0a=时，求函数()fx的单调区间；（2）若()fx有极小值且极小值为0，求a的值.【答案】（1）单调增区间为(1,)−+，单调减区间为(,1)−−；（2）12a=.【解析】【分

析】（1）先由题意，得到()xfxxe=，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间；（2）先对函数取得，得到()(1)(2)xfxxea=+−，分别讨论0a，0a两种情况，用导数的方法研究函数极值，即可得出结果.【详解】（1）∵0a=，∴()xfxxe=，∴()(1)xfxx

e=+，令()0fx，即(1)0xxe+，∴1x−，令()0fx，即(1)0xxe+，∴1x−，故函数()fx的单调增区间为(1,)−+，单调减区间为(,1)−−.（2）由2()(2)xfxxeaax=−−可得

：()(2)2(1)(2)xxxfxeaxeaxxea=−+−=+−，xR.①若0a，由()0fx=解得1x=−.当1x−时，()0fx，故()fx在(,1)−−上递减，当1x−时，

()0fx，故()fx在(1,)−+上递增.∴当1x=−时，()fx取得极小值1(1)0fae−=−=，解得10ae=(舍去)；②若0a，由()fx解得1x=−或ln(2)xa=，(ⅰ)若ln(2)1a−，即102ae时，当ln(2)xa时，()0f

x，故()fx在(,ln(2))a−上递增，当ln(2)1ax−时，()0fx，故()fx在(ln(2),1)a−上递减，当1x−时，()0fx，故()fx在(1,)−+上递增.∴当1x=−时，()fx取得极小值1(1)0fae−=−=，解得112aee=

(舍去)；(ⅱ)若ln(2)1a=−，即12ae=时，()0fx，此时()fx在xR上递增，∴()fx没有极小值；(ⅲ)若ln(2)1a−，即12ae时，当1x−时，()0fx，故()fx在(,1)−−上递增，当1ln(2)xa−时，()0fx，故()fx在(1,ln(2

))a−上递减，当ln(2)xa时，()0fx，故()fx在(ln(2),)a+上递增.∴当ln(2)xa=时，()fx取得极小值2(ln(2))ln(2)0faaa=−=，解得12a=.综上所述：12a=.【点睛】本题主要考查求函数的单

调区间，以及根据函数的极值求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值等，属于常考题型.