【文档说明】河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(22)页，1.690 MB，由小赞的店铺上传

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洛阳市2019——2020学年高二质量检测数学试卷（理）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.第I卷1至2页，第I卷3至4页.考试时间120分钟.第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结

束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a是实数，1aii+−是实数，则cos3a的值为（）A.12B.12−C.0D.32【

答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，代入cos3a得答案．【详解】解：()(1)111(1)(1)22aiaiiaaiiii+++−+==+−−+是实数，102a+=，即1a=−．1coscos()332a=−=．故

选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查三角函数值的求法，属于基础题．2.已知命题:pxR，210xx−+，下列p形式正确的是（）A.0:pxR，使得20010xx−+B.0:pxR，使得20010xx−+C.:pxR，210

xx−+D.:pxR，210xx−+【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.【详解】否定量词，否定结论，即0:pxR，使得20010xx−+.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.3.设某大学的女生体重y（单位

：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1c

m，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（,xy），B正确；该大学某女生身高增

加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．4.已知向量(),3=+axzr，()2,=−byzr，且ab⊥.若x，y满足不等式001xyxy+，则z的取值范围为（）A.

0,2B.2,3−C.2,3D.0,3【答案】D【解析】【分析】由ab⊥，得到23zxy=+，画出满足条件的平面区域，通过图象读出即可．【详解】解：(,3)axz=+，(2,)byz=−，又ab⊥，()23()230xzyzxyz++−=+−=，

即23zxy=+，画出满足条件001xyxy+……的平面区域，如图示：由23zxy=+得：233zyx=−+，显然：直线过原点是z最小是0，直线过()0,1B时，z最大是3，所以0,3z故

选：D．【点睛】本题考查了向量垂直的性质，考查简单的线性规划问题，属于基础题．5.以双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.3【答案】

A【解析】【分析】根据圆和渐近线的垂直关系建立方程条件进行求解即可．【详解】解：由题意知圆心(c,0)F，双曲线的渐近线为byxa=，不妨设其中一条为0bxay−=，圆与渐近线相切，圆心到渐近线的距离22||bcbcdbacab====+，即222caba=+=即离心

率2cea==，故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆的相切关系建立方程是解决本题的关键，属于基础题．6.6193xx−的展开式中常数项为（）A.30B.15C.－15D.30【答案】B【解析】【分析】写出通项，然后

令x的指数为0，即可求出常数项．【详解】解：展开式的通项为：366621661(9)()(1)933kkkkkkkkkTCxCxx−−−−+=−=−．令3602k−=解得4k=，可得常数项为424456(1)93

15TC−=−=．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理，通项法研究展开式中特定项的问题，属于基础题．7.已知0a，0b，8ab=，则22loglogab的最大值为（）A.32B.94C.4D.8【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则以及二次函数

的最值化简求解即可．【详解】解：0a，0b，8ab=，则22loglogab222(log8log)logbb=−22(3log)logbb=−2223log(log)bb=−22939log424b=−−„．当且仅当322b=时，函数取得最大值94．故选：B

．【点睛】本题考查对数运算法则以及函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．8.设随机变量服从正态分布()21,N，若()10.2P−=，则函数()32213xfxxx++=没有极值点的概率是（）A.0.2B.0.3C.0.7

D.0.8【答案】C【解析】【分析】首先利用导数求出的范围，再利用正态分布的对称性即可得到答案.【详解】()222xfxx++=，因为函数()fx=没有极值点，所以244=−，解得1或1

−.因为服从正态分布()21,N，所以的分布关于1x=对称，所以()10.5P=.故函数()fx=没有极值点的概率为()()110.50.20.7PPP=+−=+=.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布的对称性，同时考查了函数的极值点定义，属于中

档题.9.若()130()3fxxfxdx=+，则()10fxdx=（）A.18−B.18C.14−D.14【答案】A【解析】【分析】设()10fxdxt=，根据()130()3fxxfxdx=+，由()()113003fxdxxtdx=+求解.【详解】设()10fx

dxt=，所以()()113003fxdxxtdx=+，41013|4xtx=+t=，所以134tt+=，解得18t=−，即()1018fxdx=−.故选：A【点睛】本题主要考查定积分的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.回文数是从左到右与从右到左读都一样的正

整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为na（n为正整数），如11是2位回文数，则（）A.210a=B.310a=C.490a=D.590a=【答案】C【解析】【分析】根据回文数的特点，根据分步计数原理，依次写出满足条件的2

a，3a，4a，5a的值，判断选项.【详解】2位回文数包含11，,22,33，…,99，共9个，所以29a=3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，根据分步计数原理可知，共91090=个，故390a=，4位

回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，根据分步计数原理可知有91090=种方法，故490a=5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间以为有10种方法，第二位和第四位有10种方法，根据分步计数本原理可知有91010900

=种，故5900a=.故选：C【点睛】本题考查分步计数原理，关键是读懂新定义数字问题的理解和运用，属于中档题型.11.已知函数()fx满足()()fxfx−=，当0x时，()ln1xxfxe+=，若()1.32af=，()0.64bf=，122log3cf=，则a，b，c的大小关系

是（）A.cabB.cbaC.bcaD.abc【答案】D【解析】【分析】首先利用导数求出()ln1xxfxe+=的单调区间，再利用指数函数和对数函数的性质得到1.30.6224log31，从而得到,,abc的大小关系.【详解】由题知：()1ln1xxxfxe−−=()0x

，设()1ln1hxxx=−−，()2110hxxx=−−，所以()hx在()0,+为减函数，又因为()10h=，所以()0,1x，()0hx，即()0fx，()fx为增函数，()1,x+，()0hx，即()0fx，()fx为减函数.又因为函数()fx满足()()fxfx−

=，所以()fx为偶函数.()()()122222log32log32log3log3cffff==−==.因为21log32，0.61.21.3422=，即1.30.6224log31，所以()(

)0.61.3122log342fff，即abc.故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，同时考查了指数，对数的比较大小和偶函数的性质，属于中档题.12.已知点P在抛物线(

)2:0Cymxm=上，过点P作抛物线22xy=的切线1l，2l，切点分别为M，N，若()1,1G，且0GPGMGN++=，则C的准线方程为（）A.14x=−B.14x=C.22x=D.22x=−【答案】A【解析】

【分析】设221212(,),(,)22xxMxNx，利用导数写出切线,PMPN的方程，联立求出交点P坐标122xxx+=，12,2xxy=又由0GPGMGN++=，知G为三角形MNP的重心，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出P的坐标为(1,1),−

再代入抛物线2:Dymx=方程,求出m，进而求C的准线方程.【详解】设221212(,),(,)22xxMxNx，由22xy=，得212yx=，则yx=，则:PM()2111,2xyxxx−=−即2112xyxx=−同理直线PN的方程为2222xyxx=−，联立,PMPN的方程可得1212,2

2xxxxxy+==，则1212(,)22xxxxP+，又由0GPGMGN++=，得G为三角形MNP的重心,则112232xxxx+++=，2212123222xxxx++=，得12122,2xxxx+==−，则(1,1)

P−，又P抛物线()2:0Cymxm=上，得1m=，即2:Cyx=，准线方程为14x=−.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，

属于难题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线lnyxx=在点(1,0)处的切线的方程为__________．【答案】10xy−−=【解析】【分析】对()fx求导，带入1x=得到斜率，通过

点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.【详解】lnyxx=1lnln+1yxxxx=+=带入1x=得切线的斜率1k=，切线方程为()011yx−=−，整理得10xy−−=【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不

大，属于简单题.14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a2＋b2＝c2(a，b，c∈N*)，把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；

9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________．【答案】60【解析】【分析】由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为,1xx+，列出方程，即可求解.【详解】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二

、三个数为相邻的两个整数，设第二、三个数为：,1xx+，所以222(1)11xx+=+，解得60x=，所以第5组勾股数的三个数依次为11,60,61，故答案为60.【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理进行归纳、列出方程计算是解答的

关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参考公式：()()()(

)()22nadbcKabcdacbd−=++++()2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多

不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”．【答案】5%【解析】【详解】由题意可得，()22100103020404.7623.84150503070K−=，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过005的前提下，认为“小动物是否

被感染与有没有服用疫苗有关”，故答案为005.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22列联表；（2）根据公式()()()()()22nadbcKabadacbd−=++++计算2K的值；

(3)查表比较2K与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）16.已知函数()11xxfxex+=−−，下面四个结论：①函数()fx在其定义域上为增函数；②对于任意的0a，都有()1fa−；③()fx有且仅有

两个零点；④若xye=在点()00,xxe处的切线也是lnyx=的切线，则0x必是()fx的零点，其中所有正确的结论序号是________.【答案】②③④【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误;推导出当0a时2

0,1aea−−从而可判断②的正误；对函数()11xxfxex+=−−，化简得2()11xfxex=−−−，定义域为(,1)(1,)−+，利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定

理可判断③的正误;利用导数的几何意义得到00011xxex+=−，进而可判断④的正误.【详解】(0)2f=，33223()5352(0)2fef=−−=，所以，函数()yfx=在其定义域上不是增函数，①错；当0a时，0ae，201a−−，则2()11af

aea=−−−1−，②正确；函数()11xxfxex+=−−，化简得2()11xfxex=−−−，定义域为(,1)(1,)−+，由函数单调性的性质，知函数在(,1)−，(1,)+单调递增；22111(

2)0,(0)2033fefe−−=−=−=(2)(0)0,ff−即函数()yfx=在区间():1−上有且仅有1个零点224545559330,(2)30,(2)044fefeff=−−=−所以，函数

()yfx=区间(1,)+上有且仅有1个零点.因此，函数()yfx=有且仅有两个零点，③正确；xye=在点()()000,1xxex处的切线l的方程()000−=−xxyeexx，即:l000(1)xxyexxe=−−，又l

也是lnyx=的切线,设切点为11(,ln)xx，则1111ln()−=−yxxxx，即:l1111lnyxxx=−+，则011xex=且001(1)1lnxxex−=−，化简得000(1)1xxex−=+，则00011xxex+=−,则00001()0

1xxfxex+=−=−，故0x必是函数()yfx=的零点，④正确；故答案为：②③④.【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.三

、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()()()sinsin3sinacACabB+−=−.（1）求角C；（2）若4a=，ABC的面积为43

3，求c.【答案】（1）6C=；（2）433c=.【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理得到2223abcab+−=，再代入cosC计算即可得到答案.（2）首先利用正弦定理面积公式得到433b=，再利用余弦

定理计算c即可.【详解】（1）因为()()()sinsin3sinacABabB+−=−，由正弦定理得()223acabb−=−，即2223abcab+−=，由余弦定理得22233cos222abcabCabab+−===.因为0C，所以6C=.（2）因为4a=，ABC面积为433，

所以143sin23abC=，即11434223b=，解得433b=.由余弦定理得22216433162cos16243323cababC=+−=+−=，所以433c=.【点睛】本题主要考查余弦定

理解三角形，同时考查正弦定理角化边公式和面积公式，属于基础题.18.已知数列na的前n项和为nS，11a=，若数列1nS+是公比为2的等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）()*111,1nnnnabnaS+

++=−N，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）()1*2nnan−=N；（2）11121n+−−.【解析】【分析】（1）由数列{1}nS+是公比为2的等比数列求得nS，再由1(2)nnnaSSn

−=−…求数列的通项公式；（2）把（1）中求得的通项公式与前n项和代入111,*(1)nnnnabnNaS+++=−，然后裂项相消求数列{}nb的前n项和nT．【详解】解：（1）∵11a=，∴11112Sa+=+=.∵数列1nS+是公比为2的等比

数列，∴11222nnnS−+==，∴21nnS=−.当2n时，1121nnS−−=−，∴()11121212nnnnnnaSS−−−=−=−−−=.显然11a=适合上式，∴()1*2nnan−=N.（2）由（1）知12nna+=，1

121nnS++=−，∴()()()()*11111211121212121nnnnnnnnnabnaS+++++===−−−−−−N，∴12nnTbbb=+++2231111111212121212121nn+=−+−++−

−−−−−−11121n+=−−.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题．19.在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SBSC=，M是BC的中点，1AB=，2BC=.（1

）求证：AMSD⊥；（2）若2SM=，求二面角BSAD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13−.【解析】【分析】（1）先由面ABCD⊥面SBC，可证得SM⊥平面ABCD，证得SMAM⊥，再证得AM⊥平面SMD，证得AMSD⊥；（2）建系设

点，用空间坐标分别求面BSA和面SAD的法向量，求得二面角BSAD−−的余弦值.【详解】（1）∵SBSC=，M是BC的中点，∴SMBC⊥.∵平面ABCD⊥平面SBC，SM面SBC，面SBCI面ABCDBC=，∴SM⊥平面ABCD，

又∵AM平面ABCD，∴SMAM⊥.∵ABCD是矩形，M是BC的中点，1AB=，2BC=，∴AMMD⊥，又MDSMM=，∴AM⊥平面SMD.∵SD平面SMD，∴AMSD⊥.（2）由（1）知SM⊥平面ABCD，过点M作MNAB，交AD于N，

则MN，MC，MS两两垂直.以M为坐标原点，以MN，MC，MS的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系Mxyz−，则()0,0,0M，()0,1,0B−，()1,1,0D，()0,0,2S，()1,1,0A−.()0,1,

2SB=−−，()0,2,0AD=，()1,1,2AS=−.设平面BAS的法向量为()111,,nxyz=，则00nSBnAS==，∴111112020yzxyz−−=−++=，令11z=，得()0,2,1n=−.设平面DAS的法向量为()222,,nxyz=，则00mA

DmAS==，∴22222020yxyz=−++=，令21z=，得()2,0,1m=.∴11cos,||||333nmnmnm===，又二面角BSAD−−是钝二面角，故二面角BSAD−−的余弦值为13−.【点睛】本题考查了面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定与性

质，用向量坐标求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆()222210xyabab+=的离心率为33，点()0,2A−在椭圆上，斜率为k的直线l过点()0,1E且与椭圆交于C，D两点.（1）求椭圆的方程；（2）设1k，2k分别为直线AC，AD的斜率，当k变动时，1k2k是否为定值？说明理

由.【答案】（1）22164xy+=；（2）1k2k是定值；答案见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆的半焦距为c.根据离心率为33，点()0,2A−在椭圆上由222332cababc==+=求解.（2）设直线l的方程为1ykx=+，由221641xyykx+==+

，得()2232690kxkx++−=，设()11,Cxy，()22,Dxy，根据()0,2A−，得到1112ykx+=，2222ykx+=，然后相乘，并将韦达定理代入求解.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c.∵椭圆的

离心率为33，点()0,2A−在椭圆上，∴222332cababc==+=.解得6a=，2b=，2c=.∴椭圆的方程为22164xy+=.（2）当k变动时，12kk为定值－2.证明如下：设直线l的方程为1ykx=+.由221641xyykx+==+

，得()2232690kxkx++−=.设()11,Cxy，()22,Dxy，则122632kxxk+=−+，122932xxk=−+.因为()0,2A−，所以1112ykx+=，2222ykx+=，所以()()12121212123322kxkxyykkxxxx++++==，()21212

1239kxxkxxxx+++=，222639322932kkkkk−++=+=−−+.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量

指标值服从正态分布()2,N，并把质量指标值在(),−+内的产品称为优等品，质量指标值在(),2++内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质

量指标值的样本数据统计如下图：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x；（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考

数据：若随机变量服从正态分布()2,N，则：()0.6827P−+≤，()220.9545P−+≤，()330.9973P−+.（3）假如企业包装时要求把3件优等品5件一等品装在同一个箱

子甲，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及数学期望.【答案】（1）70；（2）0.8186；（3）分布列见解析；期望为98.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算平均数；（2

）由条件可知70=，10=，并根据数据计算正品的概率；（3）由条件可知优等品的件数0,1,2,3X=，根据超几何分布的概率公式计算概率，列出分布列和计算数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图可知，4656566666760.010100.020

100.04510222x+++=++768686960.020100.005107022++++=.（2）由题意可知，样本方差2100s=，故210s=，所以质量指标值()270,10YN，该厂生产的产品为正品的概率()()()609060707090PPYP

YPY==+()10.68270.95450.81862=+=.（3）X的可能取值为0，1，2，3，则()0335385028CCPXC===，()12353815128CCPXC===，()2135

3815256CCPXC===，()3035381356CCPXC===.所以X的分布列为X0123P52815281556156数学期望()51515190123282856568EX=+++

=.【点睛】本题考查超几何分布，正态分布，频率分布直方图计算平均数，重点考查读懂题意，并能概括抽象出概率问题，属于中档题型.22.函数()xfxxeaxb=−+的图象在0x=处的切线方程为：1yx=−+.（1）求a和b的值；（2）若()fx满足：当0x时，()lnfxxxm−

+…，求实数m的取值范围.【答案】(1)2,1ab==；(2)(,2−.【解析】【分析】（1）根据切线斜率，以及导数值，即可求得参数；（2）分离参数，利用导数求解函数值域，即可容易求得结果.【详解】（1）因为()xfxxeaxb=−+，

故可得()()1xfxexa=+−，又因为在0x=处的切线方程为：1yx=−+，故可得()011fa=−=−，解得2a=；又()0,1在函数()fx的图像上，故可得1b=；综上所述：2,1ab==.（2）因为

当0x时，()lnfxxxm−+…，等价于1xxelnxxm−−+在区间()0,+上恒成立.令()1xhxxelnxx=−−+，则只需()minhxm即可.故可得()()()11xxxehxx+−=，令()1xmxxe=−

，容易知()mx其在()0,+为单调增函数，且()10,102mm，故存在01,12x，使得()00010xmxxe=−=.且()0hx=，即001xxe=，则()hx在区间

()00,x单调递减，在()0,x+单调递增.故()()0000000001112xminhxhxxelnxxxxxx==−−+=+−+=，故要满足题意，只需2m，即(,2m−.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数求解恒成立问题，属综合中档题

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