【文档说明】安徽省合肥一六八中学（东校区）2024届高三下学期最后一卷（三模）数学试卷 Word版含解析.docx，共(21)页，1.915 MB，由小赞的店铺上传

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2024届东区高三最后一卷数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2N2150,sinAxxxByyx=−−==

，则AB=（）A.11xx−B.0,1C.1,0,1−D.2【答案】B【解析】【分析】先求出集合,AB，再根据交集的定义即可得解.【详解】25N2150N30,1,2,32Axxxxx=−−=−=，si

n1,1Byyx===−，所以0,1AB=.故选：B.2.设,,是三个不同平面，且,lm==，则∥是lm的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可

以作出判断.【详解】由于∥，,lm==，由平面平行的性质定理可得：lm，所以∥是lm的充分条件；但当lm，,lm==，并不能推出∥，也有可能,相交，所以∥是lm的不必要条件；故选:A.3.函数()24xf

xx−=的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性、在()2,+上的单调性、函数值()1f的正负情况依次判断和排除ABC，即可得解.【详解】由题()fx定义域为()(),00,−+关于原点对称，且()()()2244xxfxfxxx

−−−−==−=−−，故()fx是奇函数，故A错；当2x时，()22444xxfxxxxx−−===−，又yx=是增函数，4yx=−在()2,+上是增函数，故()4fxxx=−在()2,+上是增函数，故BC错；故选：D.4.已知π31sin,ln,522abc==

=，则（）A.abcB.cabC.cbaD.acb【答案】D【解析】【分析】利用正弦函数的单调性可得ac，利用导数可证不等式ln1(1)xxx−成立，故可判断bc，故可得三者大小关系.【详解】ππ1sinsin562ac===，设()ln1,1fxxxx=+−，

则()10xfxx−=，故()fx在()1,+上为减函数，故()()10fxf=即ln1(1)xxx−，所以33ln122bc=−=，故acb，故选：D.5.已知2sin123cos=+，则πsin26−=（）A.18−B.78−C.

34D.78【答案】D【解析】【分析】先由辅助角公式得π1sin34−=，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.【详解】由2sin123cos=+得sincos−=134122，即π1sin34−=，所以2ππππ

π7sin2sin2cos212sin623238−=+−=−=−−=，故选：D6.已知数列na的前n项和为nS，首项11a=−，且满足()122nnnSanS−+=，则6S=（）A.13B.37C.717D.1741【答

案】D【解析】【分析】借助na与nS的关系并化简可得112nnSS−=+，结合111Sa==−，逐项代入计算即可得解.【详解】由()122nnnSanS−+=可得111122nnnnnnSSSSSS−−−+=−=+，所以11a=−可得21

112SS==+，34562345111317117,,,2327217241SSSSSSSS========++++.故选：D7.已知12,FF分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点

，点A是C上一点，点B满足1223BFBF=−，1214120FAFFAB==，则C的离心率为（）A.72B.132C.7D.13【答案】B【解析】【详解】根据题意，过点1F作12//FDAF，交AB的延长线于点D，由双曲线的定义结合余弦定理代入计算，再由离心率的计算公式，即可得到结

果.【分析】由1214FAFFAB==120，得290BAF=，130FAB=．因为1223BFBF=−，所以点B在线段12FF上，且1232FBBF=．如图，过点1F作12//FDAF，交AB的延长线于点D，则1FDAD⊥，所以2111,2AFB

DFBAFFD=∽，所以221123AFBFDFBF==．设22AFm=，则13FDm=，所以16AFm=．由双曲线的定义可知12622AFAFmma−=−=，所以2am=，则21,3AFaAFa==．设()

()12,0,,0FcFc−，则122FFc=．在12AFF△中，由余弦定理，得222121212122cosFFAFAFAFAFFAF=+−，即222214923132caaaaa=+−−=，所以22134ca=，则132e=（负值已舍去

）．故选：B．【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于结合双曲线的定义以及余弦定理代入计算.8.设aR，函数()1221,0,0xxfxxaxx−−=−+，若函数()()yffx=恰有5个

零点，则实数a的取值范围为（）A.()2,2−B.()0,2C.)1,0−D.(),2−−【答案】D【解析】【分析】设()tfx=，可确定当0x时，函数的零点个数，继而作出()yfx=的大致图像，考虑0x时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数

图象的交点问题，数形结合，即可解决.【详解】设()tfx=，当0x时，()121xfx−=−，此时0t，由()0ft=得1t=，即()1211xfx−=−=，解得0x=或2x=，所以()()yffx=在)0,+上有2个零点；0x时，若()20,afxxa

x=−+，对称轴为2ax=，函数()yfx=的大致图象如图：此时()20fxxax=−+，即0t，则()0ft，所以()0ft=无解，则()tfx=无零点，()()yffx=无零点，综上，此时()()yffx=只有两个零点，不符合题意，若0a，此时()fx的大致图象如下：令20tat−+

=，解得0ta=（0=t舍去），显然()fxa=在(),0−上存在唯一负解，所以要使()()yffx=恰有5个零点，需12af，即22142aa−+，解得2a−，所以(),2a−−．故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1

）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二

、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若12,zz是复数，则下列命题正确的是（）A.1212zzzz=B.若2121zzz=，则12zz+是实数

C.若1212zzzz−=+，则120zz=D.方程211560zz−+=在复数集中有6个解【答案】AD【解析】【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A，由复数共轭的性质知，设12i,i,zabzcdabcd=+=+R、、、，则

()()()()()()1212i,iiizzacbdadbczzabcdacbdadbc=−−+=−−=−−+，所以1212zzzz=，选项A正确；对于B，当10z=时满足题设等式，但12zz+不一定为实数，故B错误；对于C：()()1212,iizzzzacbdacb

d−=+−+−=+++，整理得2222()()()()acbdacbd−+−=+++，故2222acbdacbd−−=+，整理得0acbc+=，与120zz=不等价，故C错误；对于D，211560zz−+=可化为

222(i)560abab+−++=，即()22222i560ababab−+−++=，所以222220560ababab=−−++=，当0a=时，2||560bb+−=，解得1b=；当0b=时，2560aa−+=

，解得2a=或3a=；所以复数集中原方程有6个解，选项D正确；故选：AD10.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点E，M分别为线段1AD，1AC的中点，点N在线段11BC上，且()1110,1BNBC=，则（）A.平面EM

N截正方体得到的截面多边形是矩形B.平面1ADM⊥平面1ABCC.存在，使得平面EMN⊥平面1ABCD.当13=时，平面EMN截正方体得到截面多边形的面积为2103【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，由面面平行的判定定理即可判断A，由面面垂直的判定定理即

可判断BC，由条件求得NH的长，即可判断D.的【详解】如图，连接1AD，1BC，1BC，则11ADADE=，由正方体的性质可得点E是侧面11ADDA的中心，点M是正方体的中心，所以连接EM并延长交侧面11BCCB于点P，则点P是侧面11BCCB的中心，且PEAB．设平面EPN交1

1AD于点F，交AD于点G，交BC于点H，连接NF，GH，因为平面//ABC平面1111DCBA，所以GHNF∥，GHNF=．因为PEAB，AB平面ABCD，所以PE∥平面ABCD，又GHÌ平面ABCD，所以PEGH∥，所以A

BGH∥，易知ABHN⊥，所以GHHN⊥，所以平面EMN截正方体得到的截面多边形NFGH是矩形，A正确；因为点M是正方体的中心，所以1D，M，B三点共线，所以平面1ADM即为平面11ABCD，因为11BCBC⊥，1ABBC⊥，1ABBCB=I，AB，1BC平面11ABCD，所以

1BC⊥平面11ABCD，又1BC平面1ABC，所以平面1ABC⊥平面11ABCD，即平面1ABC⊥平面1ADM，B正确；当1=时，点N与点1C重合，平面EMN即为平面11ABCD，由B选项可知平面1

ABC⊥平面11ABCD，即平面1ABC⊥平面EMN，C正确；当13=时，12433CNBHBC===，则12433FDAGAD===，又2GH=，22422102333NH=+−=，所以截面多边形NFG

H的面积为210410233=，D错误．故选:ABC．11.已知函数()(),fxgx的定义域为(),gxR为()gx的导函数，且()()80fxgx+−=，()()2680fxgx−−−−=，若()gx为偶函数，则下列一定成立

的（）A.()40g=B.()()1316ff+=C.()20246f=D.20241()18000nfn==【答案】AB【解析】【分析】由()gx是偶函数可得()gx是奇函数，()00g=，进而结合已知证明()gx是周期函数，且周期为4即可判

断A选项；对已知条件分别令1x=和5x=得并联立方程即可判断B选项；根据()()2024202480fg+−=，()gx是周期函数求解即可判断C；根据()()()202420242024111820248nnnfngngn====−=−，结合()gx的周期性求解即可.

【详解】解：由()gx是偶函数，则()()gxgx−=，两边求导得()()gxgx−−=，所以()gx是奇函数，故()00g=．对于A，由()()80fxgx−+=，得()()2280fxgx−−+−=，所以()()282fxgx−=−−，代入()()2680fxgx

−−−−=，得()()82680gxgx−−−−−=，又因为()gx是奇函数，所以()()()266gxgxgx−=−−=−，()()6266gxgx+−=+−，即()()4gxgx

+=，所以()gx周期函数，且周期为()()4,040gg==，故A正确；对选项B，令1x=得，()()1180fg+−=，令5x=得，()()3180fg−−=，故()()1316ff+=，故B正

确；对于C：令2024x=，得()()2024202480fg+−=，因为()gx是周期函数，且周期为4，()()()2024450544ggg=+=是所以()()2024480fg+−=，因为()40g=，所以()

20248f=，故C错误；对于D：由()()80fxgx−+=得()()8fxgx=−，()()()202420242024111820248nnnfngngn====−=−，由A选项知()()26gxgx−=−−，令3x=得()()13gg=−，故()(

)130gg+=，因为()gx是周期函数与奇函数，且周期为4，所以()()()222ggg=−=−，即()20g=，因为()40g=，所以()()()()12340gggg+++=所以()()()()()()202420241120248161925

06123416192nnfngngggg===−=−+++=故D错误．故选：AB【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的

解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，

欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，

则不同的排法有__________．【答案】504【解析】【分析】本题考查排列中分类加法计数原理和分步乘法计数原理.根据题目要求，分两类进行讨论，第一类叶光富在最右侧，第二类叶光富不在最右侧.然后根据分

类加法计数原理相加即可得到答案.【详解】根据叶光富不站最左边，可以分为两种情况：第一种情况：叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有55A120=种排法.第二种情况：叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时

叶光富有4种站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排列,共有4444A384=种排法，由分类加法计数原理可知，总共有120384504+=种排法．故答案为：50413.已知函数()213sincoscos(0)2fxxxx

=++在区间)0,π上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______．【答案】75,63【解析】【分析】先将()fx化简为πsin216x++，再根据()fx在区间)0,π上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数

的处理办法求出的取值范围.【详解】()213sincoscos2fxxxx=++31sin2cos2122xx=++πsin216x=++，由)0,πx，0，得πππ2,

2π666x++，()0fx=时，πsin216x+=−，()fx最大时，πsin26x+也最大，若()fx在区间)0,π上只有一个零点和两个最大值点，则只需5ππ7π2π26

2+，解得7563．故答案为：75,63.14.已知曲线C的方程为24yx=，过()2,0M作直线与曲线C分别交于AB、两点．过AB、作曲线C的切线，设切线的交点为()00,Nxy．则2200008421xyxy++−+的最小值为______．【答

案】5【解析】【分析】根据题意，写出过,AB两点的切线方程，根据其都过N，进而求得AB方程，结合其过点M，求得02x=−，即为N的轨迹方程，再求目标式的最小值即可.【详解】设,AB两点坐标为()()2233,,,xyxy，故过A点的切线方程为：2222=+yyxx，又

其过点()00,Nxy，则200222yyxx=+；同理，过B点的切线方程为：3322yyxx=+，又其过点()00,Nxy，则300322yyxx=+；由200222yyxx=+以及300322yyxx=+可得，AB方程为：0022yyx

x=+，根据题意可得，AB过点()2,0M，则0240x+=，即02x=−，故动点N的轨迹方程为：2x=−；则2200008421xyxy++−+()2200049255yyy=−+=−+，当且仅当02y=取得等号.下证：过抛物线24yx=上的

一点()11,xy的切线方程为：1122yyxx=+：当10y=时，10x=，也即过原点作抛物线切线，显然其为0x=，满足1122yyxx=+；当10y时，对24yx=求导可得24yy=，即y2y=，故过点()11,xy的切线的斜率为12ky=，则过点()11,xy的切线方程为：()1

112yyxxy−=−，211122yyyxx−=−，又2114yx=，则切线方程为：1122yyxx=+；综上所述：过抛物线24yx=上的一点()11,xy的切线方程为：1122yyxx=+.故答案为：5.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，一是，能够准确写出过抛物线

上一点的切线方程，在小题中可直接使用二级结论，从而加快解题速度；二是，根据题意，求出切点弦方程，进而求得N点的轨迹方程；属综合困难题.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字、说明证明过程或演算步骤．15.如图，某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶，在A处测得山顶P处的仰角30P

AO=，该车以45km/h的速度匀速行驶4分钟后，到达B处，此时测得仰角45PBO=，且3cos3AOB=−.（1）求此山的高OP的值；（2）求该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值．【答案】（1）62（2）3【解析】【分析】（1）设kmOPx=，由锐角三角

函数表示出AO、BO，再在AOB中利用余弦定理计算可得；（2）设C是线段AB上一动点，连接,OCPC，即可得到点C处观测P点的仰角为PCO，且6tan2PCOOC=，求出OC的最小值，即可得解.【小问1详解】设kmOPx=，在PAO中，

因为tanPOPAOAO=，所以3tan30xAOx==，同理，在PBO中，tan45xBOx==，在AOB中，由余弦定理得22222cos6ABAOBOAOBOAOBx=+−=，由445360AB=

=，所以296x=，解得62x=（负值已舍去），所以此山的高OP为62km；【小问2详解】由（1）得632,,322BOAOAB===，设C是线段AB上一动点，连接,OCPC，则在点C处观测P点的仰角为PCO，且6tan2POPCOOCOC==，因为3cos3AOB=−，0<π

AOB，所以26sin1cos3AOBAOB=−=，当OCAB⊥时，OC最短，记最小值为d，由11sin22AOBSAOBOAOBABd==△，即163261322232d=，解得22d=，所以66ta

n32222PCOOC==，所以该车从A到B行驶过程中观测P点仰角正切值的最大值为3．16.如图一：等腰直角ABC中ACAB⊥且2AC=，分别沿三角形三边向外作等腰梯形222333,,ABBABCCBCAAC使得22232π1,3AABBCCCAABAA=====，沿三边,,ABBCC

A折叠，使得232323,,AABBCC，重合于111,,ABC，如图二（1）求证：111AABC⊥．（2）求直线1CC与平面11AABB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）补全图形得到

三棱锥−PABC，由线面垂直证得111AABC⊥；（2）思路一：建立空间直角坐标系，运用向量求解线面角；思路二：等体积法求得C到平面PAB的距离，再用几何法求得线面角.【小问1详解】延长11,AACC交于点1,P过1C作1CMA

C⊥于M，过1A作1ANAC⊥于N，又四边形11AACC为等腰梯形，则111π2cos13ACACAA=−=，则112ACAC=，又11//ACAC，所以111PAAA=，1C为1PC的中点，延长11,AABB交于点2P，则211PAAA=，1B

为2PB的中点，则1121PAPA=，1P与2P重合于点P，−PABC为三棱锥，设O为BC中点，等腰直角ABC中,ACABAOBC=⊥，又1C为PC的中点，1B为PB的中点，111CCBB==，∴2PBPC==，POBC⊥，又,,AOPOOAOPO=平面PAOBC⊥平面PAO，又1A

A平面PAO，111111,//,BCAABCBCBCAA⊥⊥.【小问2详解】方法一：222222222,2,,,BCPBPCPBPCBCPCPB=+===+=⊥O为中点，122POBC==，又22212,22,,AOPAAAPO

AOPAPOAO===+=⊥，以O为坐标原点，,,OAOBOP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0ABPC−，()0,2,2CP=，()2,0,2AP=−，()0,2,2BP=−，设平面PAB

法向量为(),,nxyz=，则00APnBPn==220220xzyz−+=−+=，取1x=，则()1,1,1n=，所以226sincos,323CPn+===.所以直线1CC与平面11AABB所成角

正弦值为63.的的方法二：222222222,2,,,BCPBPCPBPCBCPCPB=+===+=⊥O为中点，122POBC==，POBC⊥，又22212,22,,AOPAAAPOAOPAPOAO===+=⊥，又BCAOO=，,BCAO平面ABC，∴PO⊥

平面ABC，2PAPBAB===，PAB为等边三角形，设C到平面PAB的距离为h，,PABCCPABVV−−=∴1111π22222sin32323h=，266,sin33hhPC===.所以直线1

CC与平面11AABB所成角的正弦值为63.17.在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜

得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为(01)pp、23，且各场比赛互不影响．（1）若13p=，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为，求的分布列和数学期望；（2）设该同学在一

周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为()fp，试求当p取何值时，()fp取得最大值．【答案】（1）分布列见解析，103（2）35【解析】【分析】（1）根据题意得到可能的取值，求出对应的概率，进而得到

分布列和期望；（2）先求出一天得分不低于4分的概率，再用二项分布的概率公式求出()fp，利用导数即可求得()fp取最值时p的值.【小问1详解】由题可知，的可能取值为2,3,4,5．因为13p=，所以()()2122242,3339339

PP======，()()1111224,5339339PP======，故的分布列为：2345P29491929的数学期望()241210234599993E=+++=.【小问2

详解】设一天得分不低于4分为事件A，则()2133PAppp=+=，则()()()223335C1101,01fpppppp=−=−，则()()()()223230(1)20110135fppppp

ppp=−−−=−−，当305p时，()0fp；当315p时，()0fp所以()fp在30,5上单调递增，在3,15上单调递减，故当35p=时，()fp取得最大值．18.已知动点P与定点(),0Am的距离和P到定直线2nxm=

的距离的比为常数mn，其中0,0mn，且mn，记点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点(),0Bm−，若曲线C上两动点,MN均在x轴上方，AMBN，且AN与BM相交于点Q．当22,4mn==时，（ⅰ）求证：11AMBN+

为定值（ⅱ）求动点Q的轨迹方程．【答案】（1）答案见解析（2）（i）证明见解析；（ⅱ）221(0)9xyy+=【解析】【分析】（1）设(),Pxy，由题意可得222221xynnm+=−，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（

2）设点()()()112233,,,,,MxyNxyMxy，其中120,0yy且32xx=−，23yy=−.（ⅰ）由AMBN可知,,MAM三点共线且BNAM=，设直线MM的方程为22xty=+，联立C的方程，利用韦达定理表示出11AMBN+，化简计算即可得证；（

ⅱ）由椭圆的定义及平行线对应线段成比例性质可得()8AMBNBQAMBN−=+，()8BNAMAQAMBN−=+，化简AQBQ+结合（i）可得6AQBQ+=，从而可得点Q的轨迹方程.【小问1详解】设点(),Pxy，由题意可知22()xmymn

nxm−+=−，即222()mxmyxnn−+=−，经化简，得C的方程为222221xynnm+=−，当mn时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；当mn时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线．【小问2详解】当22,4mn==时，

由（1）可知C的方程为()()221,22,0,22,0168xyAB+−，设点()()()112233,,,,,MxyNxyMxy，其中120,0yy且32xx=−，23yy=−（i）证明：因为AMBN，所以122312232222

2222yyyyxxxx−===−+−−−，因此，,,MAM三点共线，且()()()222222222222BNxyxyAM=++−−+−==，设直线MM的方程为22xty=+，联立C的方程，得()22

24280tyty++−=，0，则131322428,22tyyyytt+==++，由（1）可知1132216224,442222AMxxBNAMx=−=−==−，所以1313131322224422222211222244222222xxtytyAMBNAMBNAMBNxxty

ty−+−−+−++===−−−−()()2132213132224224422211421842422222tttyytttyytyytttt

−−−++===−++−−+−++（定值），（ⅱ）由椭圆定义8BQQMMA++=，得8QMBQAM=−−，8,AMQMBQAMAMBNBNBQBQ−−==，解得()8AMBNBQAMBN−=+，同理可得()8BNAMAQAMBN−=+，所以(

)()88BNAMAMBNAQBQAMBNAMBN−−+=+++()82AMBNAMBNAMBN+−=+2882611AMBN=−=−=+．所以，点Q在以点AB、为焦点长轴长为6的椭圆上，由于点MN、均在x轴上方，所以动点Q的轨迹方程为221(0)

9xyy+=【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19.把满足任意,Rxy总有()(

)()()2fxyfxyfxfy++−=的函数称为和弦型函数.（1）已知()fx为和弦型函数且()514f=，求()()0,2ff的值；（2）在（1）的条件下，定义数列：()()()21nafnfnn+=+−N，求122024222log

loglog333aaa++的值；（3）若()gx为和弦型函数且对任意非零实数t，总有()1gt．设有理数12,xx满足21xx，判断()2gx与()1gx的大小关系，并给出证明．【答案】（1）()01f=；()2187f=（2）2047276（3）()()21g

xgx，证明见解析【解析】分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令1,0xy==、1,1xy==代入计算即可得解；（2）令,1xny==代入计算可得12nnaa−=，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解；（3）令12,abxxNN==，数列nC满足nn

CgN=，从而只需证明数列nC为递增数列即可得证.【小问1详解】令1,0xy==，则()()()()11210+=ffff，可得()01f=，【令1,1xy==，则()()()()20211ffff+=，则()2187f

=；【小问2详解】令,1,xnyn+==N，则()()()()()511212fnfnfnffn++−==，()()()()21221fnfnfnfn+−=−−，即12nnaa−=，又13a=，所以数列

na为以2为公比，3为首项的等比数列，即13.2nna−=，则202412222logloglog012023333aaa++=+++()020232026=20442727+=；【小问3详解】由题意得：函数()fx定义域为R，定义域关于原点对称，令0,xy

=为任意实数，则()()()()()202fyfyffyfy+−==，即()()()gfyfyx=−，是偶函数，21,xx为有理数，不妨设121212,ppxxqq==，令N为21,xx，分母的最小公倍数，且12,,,abxxabNN==均

为自然数，且ab，设()1,01nnnCgggNN−==，则01cc，令1,nxyNN==，则112nnngggNNN+−+，即112nnnCCC+−+，()1112nnnn

nnnCCCCCCC+−−−=+−，故数列nC单调递增，则()()21gxgx，又()gx是偶函数，所以有()()21gxgx.【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令12,

abxxNN==，将问题转化为判断nnCgN=的增减性.