【文档说明】江苏省扬州市高邮市第一中学2021-2022学年高二下学期期末适应性考试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.139 MB，由小赞的店铺上传

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高二期末适应性考试（数学）一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.集合{1,2,3,4,5,6}U=，{1,4,5}S=，{2,3,4}T=，则()USTð等于（）A.{1,4,5.6}B.{1,5}C

.{4}D.{1,2,3,4,5}【答案】B【解析】【分析】先计算出UTð，再由交集定义计算．【详解】由题意{1,5,6}UT=ð所以()1,5UST=ð．故选：B【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握

并理解集合运算“交并补”是解题关键．2.“1x”是“11x”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件，利用作差法以及不等式性质，可得答案.【详解】由1x，则10x−，即1110x

xx−−=，故11x；由11x，则0x或1x，故推不出1x；所以“1x”是“11x”的充分不必要条件.故选：A.3.已知3()4fxaxbx=+−，其中a，b为常数，若(2021)2f−=，则(2021)f=（）A.10−B.

2−C.10D.2【答案】A【解析】【分析】计算出()()8fxfx−+=−，结合()22f−=可求得()2f的值.【详解】因为3()4fxaxbx=+−，所以3()4,()()8fxaxbxfxfx−=−−−−+=−，若(2021)2f−=，则

(2021)8(2021)8210ff=−−−=−−=−.故选:A．4.已知空间向量(,,8)OAxy=，(,3,4)OBz=，OAOB，且52AB=，则实数z的值为A.5B.-5C.5或-5D.-10或10【答案】C【解析】【分析】利用空间向量共

线定理以及向量模的坐标表示，建立方程组，即可求得z的值.【详解】因为OAOB，所以存在R，使得OAOB=，又因为52AB=，而(,3,4)ABOBOAzxy=−=−−−，则2223?{84?()(3)(4)50xzyzxy===−+−+−=，

解得106{52xyz====或106{52xyz=−==−=，所以答案为C.【点睛】本小题主要考查空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，属于中档题，具体如下：设111123(,,),(,,)axyzbxyz==（0b），则ab∥存在唯一的

R，使得ab=，即121212{xxyyzz===；222111=axyz++.5.函数221()|1|1xxfxx−=+−的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求解函数()fx定义域，进而化简为2()1fxxx=−，判断函数的奇偶性和函数值

的符号，通过排除法即可得出结果．【详解】∵2100,2xxx−−且，∴函数()fx定义域为[1,0)(0,1]−关于原点对称，2()1fxxx=−，函数()fx为奇函数，由11110224f=−易得()fx的图象为A

．故选：A6.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A.56种B.68种C.74种D.92种【答案】D【解析】【分析】根据条件，分划左舷有“多面手”的人数分类，利用组合数公式计算

求值.【详解】根据划左舷中有“多面手”人数多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有3336CC种，有一个“多面手”的选派方法有123235CCC种，有两个“多面手”的选派方法有1334CC种，即共有3312313362353492CCCCCCC++=(种)不同

的选派方法．故选：D【点睛】方法点睛：组合数中的“多面手”问题，需明确某一类元素多面手有多少进行分类，这样才能做到不重不漏.7.有5条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：mm)都服从正态分布()220,N，且

2(1921)3PX=.在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20,21的概率为（）的A.64243B.80243C.1681D.40243【答案】D【解析】【分析】由正态分布的对称性得(

2021)31PX=，再结合独立重复试验求解即可得答案.【详解】由题知正态分布()220,N的对称轴为20x=，又因为2(1921)3PX=，故(2021)31PX=.故在每条生产线上各取

一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20,21的概率为：3235124033243PC==.故选：D.【点睛】本题考查正态分布的对称性的应用，独立重复试验的概率，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键

在于根据正态分布的对称性，得(2021)31PX=，进而根据独立重复试验的概率求解即可.8.定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足0()()()fbfafxba−=−，则称函数y＝f（x）是[a

，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（）A.3(3,]4−−B.3(3,)4−−C.33,4

−−D.3(,]4−−【答案】A【解析】【分析】函数()3fxxtx=+是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有()()()31111ffxtx−−+=−−在（﹣1，1）内有实数根，进而可得方程210xx

t+++=在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范围．【详解】∵函数()3fxxtx=+是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有()()()31111ffxtx−−+=−−即()()()311111ttxtxt+−−−+==+−−在（﹣1，1）内有实数根，则()()()()()22111

0110xxxtxxxxt−+++−=−+++=有根，所以x＝1或210xxt+++=.又1∉（﹣1，1）∴方程210xxt+++=在（﹣1，1）上有根，因为2213124txxx−=++=++，而当()1,1x−时，213

3[,3)244x++，于是33,33,44tt−−−.故选：A．二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若()522100121022xxaaxaxax−+=++++

，则下列选项正确的是（）A.032a=B.2320a=C.121032aaa+++=D.12103093aaa+++=【答案】AD【解析】【分析】令0x=，求出0a，可判断选项A；根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出2a，可判断选项B；令1

x=，求出01210aaaa++++结合0a值，可判断选项C；利用()5222xx++展开式所有项系数和为01210||aaaa++++，结合0a值，可判断选项D.【详解】令0x=，50232a==，所以A正确；五项相同因式相乘，

要得到含2x的项，可以是五个因式中，一个取2x其他四个因式取2，或两个因式取2x−其他三个因式取2，所以()214232551222400aCC=+−=，所以B不正确；令1x=，则01210...1aaaa++++=，所以1210...1323

1aaa+++=−=−，所以C不正确；()5222xx++展开式所有项系数和为01210...aaaa++++，令1x=，得501210...53125aaaa++++==，所以1210...3125323093aaa+++=−=，所以D正确.故选：

AD．的10.已知空间中三点()0,1,0A，()2,2,0B，()1,3,1C−，则下列说法正确的是（）A.AB与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055C.AB和BC夹角的余弦值是5511

D.平面ABC的一个法向量是()1,2,5−【答案】BD【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；根据与AB同向的单位向量为ABAB，计算可知B正确；利用向量夹角公式计算可知C错误；根据法向量的求法可知D正确.【详解】对于A，

()2,1,0AB=，()1,2,1AC=−，可知ABAC，AB与AC不共线，A错误；对于B，()2,1,0AB=，5AB=，255,,055ABAB=，即与AB同向的单位向量是255,,055，B正确；对于C，(

)3,1,1BC=−，555cos,11511ABBCABBCABBC−===−，即AB和BC夹角的余弦值为5511−，C错误；对于D，设平面ABC的法向量(),,nxyz=，则2030nABxynBCxyz=+==−++=，令1x=，解得：=2y−，5z=，()1,2

,5n=−，即平面ABC的一个法向量为()1,2,5−，D正确.故选：BD.11.下列结论正确的是（）A.若随机变量(0,1)XN，则()()11PxPx−=B.已知随机变量X，Y满足28XY+=，若(10,0.6)XB，则()()1,1.2EYD

Y==C.某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3D.三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占

30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%，将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953【答案】AD【解析】【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决.【详解】(0,1)X

N，则正态曲线关于0x=对称，而1,1xx−是关于0x=对称两个区间，于是()()11PxPx−=，A选项正确；由二项分布的期望方差公式，()100.66EX==，()100.60.42.4D

X==，而28XY+=，于是1()4()12EYEX=−=，1()()0.64DYDX==，B选项错误；由选项可得，所求的概率为：21346431013CCCC+=，C选项错误；根据选项可得，合格品的概率为：0.20.940.3

0.950.50.960.953++=，D选项正确.故选：AD12.已知函数()()ln,00,011,02xxxfxxfxx==+，则下列说法正确的有（）A.若不等式()0fxmxm−−至

少有3个正整数解，则ln3mB.当(3,2x−−时，()()()13ln38fxxx=++C.过点()2e,0A−−作函数()()0yfxx=图象的切线有且只有一条D.设实数0a，若对任意的ex，不等式()eaxxfxa恒成立，则a的最大值是e【答案】BCD的【解析】【分析

】利用参变量分离法可得出ln1xxmx+，令()ln1xxgxx=+，其中1x，利用导数分析函数()gx在)1,+上的单调性，结合已知条件求出m的取值范围，可判断A选项；求出函数()fx在(3,2−−上的解析式，可判断B选项；设切点坐标为(),

lnttt，其中0t，利用导数法求出切线方程，代入A点坐标，求出t的值，可判断C选项；分析可得()eaxfxf，利用函数()fx在()1,+上的单调性可得出eaxx，再利用参变量分离可求得实数a的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，当

1x时，由()0fxmxm−−可得ln1xxmx+，令()ln1xxgxx=+，其中1x，则()()()()()221ln1lnln1011xxxxxxgxxx++−++==++对任意的1x恒成立，所以，函数()gx在

)1,+上单调递增，因为不等式()0fxmxm−−至少有3个正整数解，则不等式()0fxmxm−−的解集中至少含有元素1、2、3，所以，()3ln334mg=，A错；对于B选项，当(3,2x−−时，(30,1x+，此时()()()()

()()11111233ln32488fxfxfxfxxx=+=+=+=++，B对；对于C选项，设切点坐标为(),lnttt，其中0t，当0x时，()ln1fxx=+，所以，所求切线方程为()()lnln1ytttxt−=+−，因为切线过点A，则()()2ln1l

netttt−−=+−−，化简可得2eln10tt++=，构造函数()2eln1httt=++，其中0t，()21e0htt=+，所以，函数()ht在()0,+上单调递增，且()2e0h−=，故方程2eln10

tt++=只有唯一解2et−=，C对；对于D选项，因为实数0a，若对任意的ex，不等式()eaxxfxa恒成立，即2lneaxxxa，可得lneelneaaaxxxaxxx=，当1x时，()ln10fxx=+，所以，函数()fx在()1,+上为增函数，因为ex，且0a，则e1

ax，由lneelneaaaxxxaxxx=可得()eaxfxf，所以，eaxx，则lnaxx，则lnaxx，因为函数()lnfxxx=在)e,+上为增函数，所以，()0eeaf=，D对.故选：BCD.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式

恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）xD，()()minmfxmfx；（2）xD，()()maxmfxmfx；（3）xD，()()maxmfxmfx；（4）xD，()()minmfxmfx.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.0

123333333333CCCC++++除以9的余数是___________.【答案】8【解析】【分析】由原式可得11(91)−，再运用二项式定理即可求解.【详解】原式33331111(11)28(91)=+===−0111101010111101111

01011111111111111999(1)(1)9991CCCCCCC=−++−+−=−++−98M=+（M为正整数）．故余数为8．故答案为：814.已知()fx是定义在R上的函数，对任意实数x都有()()40fxfx++=，且当04x时，

()4logfxx=，则()2022f=______．【答案】12−##0.5−【解析】【分析】根据函数的周期性，结合已知函数解析式，代值计算即可.【详解】因为()()40fxfx++=，则()()840fxfx+++=，故可得()()8fxfx+=，故()fx

的一个周期为8，则()()20226ff=，对()()40fxfx++=，令2x=，故可得()()4162log22ff=−=−=−.即()120222f=−.故答案为：12−.15.中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.

经过科研工作者长达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位，且任务DE、必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有__________种（用数字

作答）【答案】624【解析】【分析】分A在第一位、第二位、第三位三种情况，考虑DE、有几种方式，剩下的元素全排即可.【详解】把A排在第一位，任务DE、相邻的位置有5个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有4424A=种，共有4452240A=种方案；把A排在

第二位，任务DE、相邻的位置有4个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有4424A=种，共有4442192A=种方案；把A排在第三位，任务DE、相邻的位置有4个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有4424A

=种，共有4442192A=种方案；总共有240192192624++=种方案.故答案为：624.16.已知函数()fx为定义在R上的奇函数，且对于12,[0,)xx+，都有()()()221112210xfxxfxxx

xx−−，且(3)2f=，则不等式6()fxx的解集为___________.【答案】(3,0)(3,)−+【解析】【分析】令()()gxxfx=，可得()gx是[0,)+上的增函数，根据()fx为奇函数可得()gx为偶函数，且在(,0)−上是减函数，分类讨论x的符

号，将6()fxx变形后，利用()gx的单调性可解得结果.【详解】令()()gxxfx=，则对于12,[0,)xx+，都有211221()()0()gxgxxxxx−−，所以()gx是[0,)+上的增函数，因为函数()fx为定义在R上的奇函数，所以()()fxfx

−=−，所以()()()()gxxfxxfxgx−=−−==，所以()gx是定义在R上的偶函数，所以()gx在(,0)−上是减函数，当0x时，6()fxx化为()63(3)xfxf=，即()(3)gxg，因为()gx是[0,)+上的增函数，所以3

x，当0x时，6()fxx化为()6xfx，因为()fx为奇函数，且(3)2f=，所以(3)(3)2ff−=−=−，所以()6xfx化为()3(3)(3)gxfg−−=−，因为()gx在(,0)−上是减函数，所以30x−，综上所述：6()fxx的解集为(3,0)(3,)−

+.故答案为：(3,0)(3,)−+【点睛】关键点点睛：构造函数()()gxxfx=，利用()gx的奇偶性和单调性求解是解题关键.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若42nxx+的展开式中前三项的系数和为163，

求：（1）展开式中所有x的有理项；（2）展开式中系数最大的项．【答案】（1）33=144Tx，75376T=；（2）75376T=【解析】【分析】写出该二项式展开式的通项，根据前三项的系数求出n=9，（1）利用二项式展开式的通项公式即可

求解.（2）由题意设展开式中1kT+项的系数最大，可得119911992222kkkkkkkkCCCC++−−，解不等式可得k=6，进而可得系数最大的项..【详解】该二项式展开式的通项为344212()2knkkkkkknnnxTCxCx−−+==，

展开式前三项的系数为1，12nC，24nC．由题意得12124163nnCC++=，整理得281n=，所以9n=.（1）设展开式中的有理项为1kT+，由4183941992()2kkkkkkkxTCxCx−−+==又∵18309,4

kkN−，∴2k=或6．故有理项为18322234392144TCxx−==，18366647925376TCx−==（2）设展开式中1kT+项的系数最大，则119911992222kkkkkkkkCCCC++−+172033k，又∵kN，∴6k=故展开式中系

数最大的项为75376T=.18.如图，四棱锥SABCD−的底面是矩形，ABa=，2AD=，1SA=，且SA⊥底面ABCD，若棱BC上存在异于B，C的一点P，使得PSPD⊥.（1）求实数a的取值范围；（2）当a

取最大值时，求点P到平面SCD的距离.【答案】（1）(0,1（2）55【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，由PSPD⊥，得()220axx−−=，将等式转化为不等式即可.(2)求CP及平面SCD的一个法向量，再用公式计算即可.【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标

系，则(),2,0Ca，()0,2,0D，()0,0,1S，设(),,0(02)Paxx.(),,1PSax=−−，(),2,0PDax=−−，由PSPD⊥，得()220axx−−=，即2220(02)xxax−+=.由题意，知22(2)40a−−，01a，

即实数a的取值范围是(0,1.【小问2详解】由(1)知a的最大值是1，此时()1,1,0P，即点P是BC的中点.设(),,nxyz=r是平面SCD的法向量，()1,0,0DC=，()0,2,1SD=−uuur，由00200xnDCnDCyznSDnSD=⊥

=−=⊥=令1y=，则2z=，故()0,1,2n=是平面SCD的一个法向量.又()0,1,0CP=−在n方向上的投影长为55CPnn=，点P到平面SCD距离为55的19.手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现

某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能.某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件手机芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1)：产

品的性能指数在[50，70)的称为A类芯片，在[70，90)的称为B类芯片，在[90，110]的称为C类芯片，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率.（1）在该流水线上任

意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；（2）该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用ix；和年销售量iy(i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示.（i）利用散点图判断，yab

x=+和·dycx=(其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；（ii）对数据作出如下处理：令lniux=，lnivy=，得到相关统计量的值如下表：51ii

x=51=iiy521iix=51iiixy=51iiu=51iiv=521iiu=51iiiuv=15072555001575016255682.4根据（i）的判断结果及表中数据，求

y关于x的回归方程；（iii）由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y(万件)的预报值.(参考数据：3.430e=)参考公式：对于一组数据()11,uv，()22,uv，…，(),nnuv，其回归直线vu=+的斜率和截距最小二乘估计分别为()()()1122211nn

iiiiiinniiiiuuvvuvnuvuuunu====−−−==−−，vu=−.【答案】（1）44125；（2）（i）用dycx=更适合；（ii）12ˆ30yx=；（iii）预报值为300万件.【解析】【分析】（1）可得取出C类芯片的概率为25，直接求出概率

即可；（2）（i）由散点图可见明显不是线性；（ii）根据表中数据可求出3.40.5vu=+，即可得出y关于x的回归方程；（iii）代入100x=即可求解.【详解】解：（1）由频率分布直方图，A､B､C类芯片所占频率分别为0.1

5，0.45，0.4，取出C类芯片的概率为25，设“抽出C类芯片不少于2件”为事件A，322322344()()().555125PAC=+=（2）（i）由散点图可见明显不是线性，则用dycx=更适合；（ii）由表中数据可得16

253.2,555uv====，5152221582.453.252.40.55653.24.85iiiiiuvuvuu==−−====−−，50.53.23.4=−=，则3.40.5vu=+，则13.42ˆln3.40.5lnlnyxex=+=

因为3.430e=，所以12ˆ30.yx=（iii）当100x=，ˆ30100=300y=.所以年销售量的预报值为300万件.20.在四棱锥PABCD−中，//ABCD，2224ABCDBCAD====，60DAB=，AEBE=，PAD为正三角形，且平面PAD

⊥平面ABCD.（1）求二面角PECD−−的余弦值；（2）线段PC上是否存在一点M，使异面直线DM和PE所成角的余弦值为68？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22（2）存在点M为线段PC的三等分点满足题意，详见解析【解析】【分析】（1）利用向量法求二

面角PECD−−的余弦值；（2）设(01)PMPC=剟，利用向量法得到2|63|6cos,8610104DMPE−==−+，解方程即得解.【详解】设O是AD中点，PAD为正三角形，则P

OAD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥面ABCD，又∵2ADAE==，60DAB=，所以ADEV为正三角形，OEAD⊥，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−，则()()0,0,3,0,3,0PE()()2,3,0,

1,0,0CD−−，于是(2,3,3),(0,3,3)PCPE=−−=−，(1,0,3)DP=，(1)设平面PEC的法向量为1(,,)nxyz=，由120,0PCnPEn==得一个法向量为1(0,1,1)n=ur，平面EDC的一个法向量为2(0,0,1)n=，设二面角PECD−−的平面角

为，则1212|cos|cos,22nn===由图知为锐角，所以，二面角PECD−−的余弦值为22.(2)设(01)PMPC=剟，则(2,3,3)PM=−−，(12,3,33),(0,3,3)DMDPPMP

E=+=−−=−，所以2|63|6cos,8||610104DMPEDMPEDMPE−===−+‖解得13=或23，所以存在点M为线段PC的三等分点.【点睛】本题主要考查空间二面角的求法，考

查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有A，B，C三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷已知甲考生对A，B，C三道题中的每一题能解出的概率都是23，乙考生对A，B，

C三道题能解出的概率分别是34，23，12，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．（1）求甲至少能解出两道题的概率；（2）设X表示乙在考试中能解出题的道数，求X的数学期望；（3）按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你

认为谁应该被录取，请说出理由．【答案】（1）2027；（2）2312道；（3）甲应该被录取，理由简解析．【解析】【分析】（1）依题意直接求出概率；（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出各自的概率，最终算出数学期望；（3）求出甲数学期望，根据甲、乙两人的期望判断

．【详解】（1）依题意，甲至少能解出两道题的概率23233322220C1C33327P=−+=．（2）由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3．则3211(0)11143224PX==−−−=；32132(1)111432

43PX==−−+−1321611112432244−+−−==；321(2)1432PX==−+321321111143243224−+−=；32161

(3)432244PX====．故X的数学期望()1111123012324424412EX=+++=（道）．（3）设Y表示甲在考试中能解出题的道数，则随机变量Y服从二项分布，即2~3,3YB．知Y的数学期望2()323EY==．因为(

)()EYEX，故甲应该被录取．22.已知函数()lnfxaxxa=++，()e1xgxx=+．（1）当1a=时，求函数()()()Fxgxfx=−的最小值；（2）当1a−时，求证()fx有两个零点1x，2x，并且12lnln0xx+

．【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数判断单调性后求最小值（2）由导数判断单调性，结合零点存在性定理，由方程得12,xx的关系，表示出12lnlnxx+后证明【小问1详解】当1a=时，()elnxFxxxx=−−，()()()111e11exxFxxx

xx=+−−=+−．令()()1e0xxxx=−，则()21e0xxx=+，所以()x在()0,+单调递增，又因为1e202=−，()1e10=−，所以存在01,12x

，使得001e0xx−=，此时00lnxx=−．当()00,xx时，()0Fx，()Fx在()00,x单调递减；当()0,xx+时，()0Fx，()Fx在()0,x+单调递增．所以()Fx的最小值为()()000000

0001eln1xFxxxxxxxx=−−=−−−=，【小问2详解】()1axafxxx+=+=，1a−，当()0,xa−时，()0fx，()fx单调递减；当(),xa−+时，()0fx¢>，()fx单调递增．则()()min()ln0

fxfaaa=−=−，这时110eef=，利用ln2xx放缩()()2222fxaxxaxaxaxaxa++=++=++记()220xaxa++=的正根为ba−所以()0fb，所以()fx存在两个零点1x和2x，1

1,exa−，()2,xab−，因为()()120fxfx==，即1122ln0ln0axxaaxxa++=++=两式相减得1212lnlnxxaxx−−=−；两式相加得()1212121

212lnln2lnln2xxxxxxxxaxx+++=−=−−−−．要证12lnln0xx+，即1122122()lnxxxxxx−+只要证11212211ln021xxxxxx−−+，令()11ln21thttt−=−+，(0,1t，()()()()22211202121tht

tttt−=−=++，则()ht在(0,1单调递增，所以()()10hth=，又因为()120,1xx，所以11212211ln021xxxxxx−−+得证，所以12lnln0xx+成立．获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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