【文档说明】黑龙江省实验中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题答案.docx，共(14)页，682.957 KB，由管理员店铺上传

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高二数学期末理科一、单选题1．已知点()2,0A，()3,3B−，则直线AB的倾斜角为（）A．30B．45C．120D．1352．设,abR，则“2()0aba−”是“ab”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

3．已知椭圆22221(0)xyabab+=上任意一点P到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13，则椭圆方程为（）A．22132xy+=B．22198xy+=C．22123xy+=D．22189xy+=4．已知直线340xy++=与圆心为(

)2,0的圆C相切，则圆C的方程为（）A．()2223xy−+=B．()2229xy−+=C．()2223xy++=D．()2229xy++=5．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为3yx=，则双曲线的标准方程是（）A．2213xy−=B．

2213yx−=C．2213yx−=D．2213xy−=6．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是A．(1－3，2)B．(0，2)C．(3－1，2)D．(

0，1+3)7．抛物线𝑦2=8𝑥上一点𝑀(𝑥0,𝑦0)到其焦点的距离为6，则点M到y轴的距离为A．4√3B．6C．4D．8√28．一动点C在曲线x2+y2＝1上移动时，它和定点B(3，0)连线的中点P的轨迹方程是（）A．(x+3)2+y2=4

B．(x-3)2+y2=1C．(x+32)2+y2=1D．(2x－3)2+4y2=19．已知O为坐标原点，点F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点，过点F且倾斜角为120的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若POF为正三角形，则双曲线C的离心率为（）A

．51+B．53C．31+D．5410．若过椭圆221164xy+=内一点()3,1P的弦被该点平分，则该弦所在直线方程为（）A．34130xy+−=B．3450xy−−=C．43150xy+−=D．4390xy−−=11．三棱锥S﹣ABC的各顶点均在球O的球面上

，SC为该球的直径，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，且三棱锥S﹣ABC的体积为2，则球O的半径为（）A．7B．5C．52D．312．设12,FF分别是椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点，若在直线2axc=上存在点P，使线段1PF的中垂线过点2

F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．1,12B．2,13C．2,12D．3,13二、填空题13．命题“2,230xRxx−+”的否定是________14．若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线

2214yx−=具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为．15．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心.若△ABC为等边三角形，则a的值为________.16．已知过抛物线2:4Cyx=焦点F的直线交抛物线C于P

，Q两点，交圆2220xyx+−=于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则11PMQN+的最小值为_____．三、解答题17．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{(1xttyt=−=+

为参数），曲线1C的方程为220xyx+−=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线1C的极坐标系方程；（2）曲线2:(0,0)2C=分别交直线l和曲线1C于M，N，求3||||ONOM+的最大值．18

．如图，在直三棱柱111ABCABC−中，2AB=，1AC=，13CC=，30ABC=，D为AB的中点.（1）证明：1AC∥平面1BCD；（2）求直线1DC与平面1BCD所成角的正弦值.19．已知抛物线()2:20Cxpyp=过焦点F

且平行于x轴的弦长为2.点()0,1A−，直线l与C交于,PQ两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若l不平行于x轴，且PAOQAO=(O为坐标原点)，证明：直线l过定点.20．如图，四棱锥PABCD−的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB

与平面PAD所成角为45º，F是PB的中点，E是BC上的动点．（1）证明：PE⊥AF；（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为21717，求二面角D-PE-B的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy中以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2

sincos=，直线l的参数方程为3,21.2xatyt=+=（t为参数），其中0a，直线l与曲线C相交于M、N两点.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点(),0Pa满足111PMPN+=，求a的值

.22．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点分别是12,FF离心率为12，点P为椭圆上的一个动点，12PFF面积的最大值为43.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若,,,ABCD是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于1F，0ACBD=，求

ACBD+的最小值.答案1．C【分析】先根据斜率公式得3ABk=−，进而根据斜率与倾斜角的关系直线AB的倾斜角为120.2．A2()0aba−，则0ab−，即ab，充分的，反之ab时，若0a=，则2()0aba−不成立，不必要．故应是充分不必要条件．

3．B解：由题意得：26a=，则3a=，又离心率13cea==，所以1c=，2228bac=−=，所以椭圆的方程为：22198xy+=，故选：B．4．B由于直线340xy++=与圆C相切，则圆C的半径()222304313r++==+，因此，圆C的方程为()2229xy−+=.故选：B.5．

C设双曲线的标准方程为()222210,0xyabab−=，22cab=+，由已知条件可得22230cabbaa=+==，解得13ab==，因此，该双曲线的标准方程为2213yx−=.故选：C.6．A【解析】试题分析：作出可行域

如图中阴影部分所示，由题知C（13+，2），作出直线0l：0xy−+=，平移直线0l，由图知，直线:lzxy=−+过C时，minz=1－3，过B（0,2）时，maxz=3-1=2，故z的取值范围为（1－3，2），故选C.考点：简单线性规划解法，数形结合思想7．C由抛

物线定义知，点𝑀(𝑥0,𝑦0)到抛物线准线𝑥=−2的距离为6∴点𝑀到𝑦轴的距离为：6−2=4本题正确选项：𝐶8．D解：设中点(,)Pxy，则动点(23,2)Cxy−，因为点C在圆221xy+=上，所以22()(231)2xy−+=，即

22(23)41xy−+=故选：D9．C如图所示，设双曲线的左焦点为1F，若POF为正三角形，且(),0Fc，则易得3,22ccP．又112POFF=，则1PFPF⊥，所以13PFc=，根据双曲线的定

义可知：12(31)aPFPFc=−=−，所以离心率23131cea===+−.故选：C．10．A点差法：设交点为()11,Axy,()22,Bxy,则()()()()22112222121212121212222211640016416

41164xyxxxxyyyyxxyyxy+=−+−+−−+=+=+=()()()()121212121111230016416464ABAByyyykkxxxx−++=+==−−+3:1(3)3

41304AByxxy−=−−+−=,故选：A.11．A如图所示，因为2,120ACBCACB===，可得ABC的面积为113sin223224ABCSACBCACB===，设ABC的外接圆为圆E，连接OE，则OE⊥平面AB

C，作圆E的直径CD，连接SD，因为,OE分别为,SCCD的中点，则//SDOE，所以SD⊥平面ABC，所以三棱锥SABC−的体积为1323SABCVSD−==，解得23SD=，由正弦定理，可得4sinsin30ACACCDABC===，2227SCCDSD=+=，设球的半径为R，则

227RSC==，解得7R=.故选：A.12．D由中垂线的性质可知1122PFFFc==，即22accc−，即22333ccaa，又因为()0,1e所以3,13e.故选：D13．2000,230xRxx−+14．221312xy

−=【解析】试题分析：由题意设双曲线C的标准方程为224yx−=，又过点(2，2)，所以3,=−221312xy−=．15．3根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为

(0，3)，半径r＝3，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离3cos302dr==，则有23321a−=+，解得3a=.故答案为：3.

16．2圆2220xyx+−=可化为22(1)1xy−+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，抛物线C的焦点(1,0)F，可设直线PQ的方程为1xmy=+，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，由214xmyyx=+=，得2440ymy−−=，所以124yy=−，又2114

yx=，2224yx=，所以222121212()14416yyyyxx===，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PMQNPFMFQFNFxxxx=−−=+−+−==，所以111122PMQNPMQN+=，当且仅当||||1PMQN==时，等号成立.所以11PM

QN+的最小值为2.故答案为：217【答案】（1）cossin30+−=；cos=；（2）5.（1）由题可知直线l的普通方程为30xy+−=，直线l的极坐标方程为cossin30+−=．曲线1C的普通方程为2

2xyx+=，因为cosx=，siny=，所以1C的极坐标方程为cos=．（2）直线l的极坐标方程为cossin30+−=，令=，则3||cossinOM==+，所以3cossin||OM=+．又||cosON=，所以3||sin2cos5sin(

)(tan2)||ONOM+=+=+=，因为02，则3||||ONOM+的最大值为5．18．（1）见解析（2）1510（1）连接1BC交1BC于点E，连接DE，因为四边形11BBCC是矩形，所以点E是1BC的中点，又点D为AB的中点，所以DE是1ABC的中位线，所以1DE

AC.因为DE平面1BCD，1AC平面1BCD，所以1AC平面1BCD.（2）由2AB=，1AC=，30ABC=，可得ACBC⊥，分别以CA，CB，1CC为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz−，则有()0,0,0C，()10,3,3B，13,,022D

，()10,0,3C，所以113,,322DC=−−，()10,3,3CB=，13,,022CD=，设直线1DC与平面1BCD所成角为，平面1BCD的法向量为(),,mxyz=，则100mCBmCD==，即

33013022yzxy+=+=，令1z=，得()3,1,1m=−，所以1sincos,mDC==3332213331144−++=++++3151025=.19．已知抛物线()2:20

Cxpyp=过焦点F且平行于x轴的弦长为2.点()0,1A−，直线l与C交于,PQ两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若l不平行于x轴，且PAOQAO=(O为坐标原点)，证明：直线l过定点.19．（1）22xy=；（2）()

0,1（1）抛物线()2:20Cxpyp=过焦点F且平行于x轴的弦长为2，即22p=，1p=，故抛物线方程为：22xy=.（2）易知直线l斜率存在，设(),0ykxbk=+，()11,Pxy，()22,Qxy，22xyykxb==+，则2220xkxb−−=，故2480kb=+，

121222xxkxxb+==−.PAOQAO=，即POQOkk=−，即121211yyxx++=−，故121211kxbkxbxx++++=−，化简整理得到：()4120kbbk−++=，故1b=.满足2480kb=+，故直线过定点()0,1.20．（1）见

解析；（2）542.42−【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系．设,,APABbBEa===，则，()()()()0,0,0,0,,0,,,0,0,0,,ABbEabPb于是，(),,,0,,.22bbPEabbAF=−

=，则0PEAF=，所以AFPE⊥．（2）设2AB=则4,BC=,()()()()4,0,0,0,2,0,,2,0,0,0,2,DBEaP()()0,2,0,,2,2,ABPEa==−若，则由21717ABPEABPE=得()3,3,2,0aE=，设平

面PDE的法向量为(),,nxyz=，()()4,0,2,3,2,0,PDED=−=−由00nPDnPE==，得：420,2022xxxzxyxyzx=−==−==，于是()2,1,4,21

.nn==，而(),0,1,1,2.AFPBCAFAF⊥==设二面角D-PE-B为，则为钝角所以，15542cos.42212nAFnAF+=−=−=−21【答案】（1）2yx=；（2）32a=解：（1）曲线C的极坐标方程为2sincos=，22s

incos=，所以曲线C的直角坐标方程是2yx=；（2）点(),0Pa在直线l：3,21.2xatyt=+=（t为参数）上，且恰好是直线l所过的定点，将3,21.2xatyt=+=（t为参数）代入2yx=，整理得20321

4tta−−=，121223,4tttta+==−，因为0a，又111||||PMPN+=，令120,0tt则有12111tt+=−，即21121tttt−=−，又2211212()41216tttttta−

=+−=+，所以121614aa+=，解得32a=或12a=−（舍去）．22．(Ⅰ)2211612xy+=；(Ⅱ)967.（I），解得椭圆的方程：=1（II）（1）当AC，BD中有一条直线斜率为0，另一条斜率不存在时，=14（2）当AC斜率k存在且时，AC：与椭圆联立，，

同理可求，=综上，的最小值（此时）