【文档说明】河南省安阳市林州市第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，1.436 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二上学期8月试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案

写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若复数z满足()i143iz+=−，则z=（）A．52B．522C

．252D．1022．下列函数中，在区间()0,+上为增函数的是（）A．15xy=B．21yx=C．lgyx=D．2(1)1yx=−+3．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年

级的概率为（）A．16B．13C．12D．234．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=给出下列结论，其中正确的结论为（）A．OA与OH的夹角为π3B．ODOFOE+=C．22OAOCDH−=D．OA在OD上的投影向量为22

e（其中e为与OD同向的单位向量）5．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱BC，1CC的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（）A

．2B．157C．177D．1976．已知()0,π，()0,π，()3sin4−=，tan5tan=−，则+=（）A．1π6B．11π6C．7π6D．5π67．已知平面向量a，b，c满足4

ab==，2c=，8ab=−，若cab=+rrr，(),RR，则2+的取值范围是（）A．4646,33−B．2121,33−C．2121,22−D．26,26−8．已知平面向量(

)()1,3,3,1ab==，且()aba⊥−，则实数的值为（）A．233B．32C．12D．33二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）9．假设(0,π)，且π2．当xoy=时，定

义平面坐标系xoy为−仿射坐标系，在−仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：21,ee分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若12OPxeye=+，则记为(,)OPxy=，那么下列说法中正确的是（）A．设(,)amn=，则22||2cosamnmn=++B．设(,),(,)amnbs

t==，若a//b，则0mtns−=C．设(,),(,)amnbst==，若ab⊥，则()sin0msntmtns+++=D．设(1,2),(2,1)ab=−=−，若a与b的夹角为π3，则π3=10．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中

，M、N分别为棱11CD、1CC的中点．则下列结论正确的是（）A．直线AM与BN是平行直线B．直线MN与AC所成的角为60oC．平面AMB与平面ABCD所成二面角的平面角为45D．平面BMN截正方体所得的截面面积为3211．已知()yfx=是定义域为R的奇函数，且()1yf

x=+为偶函数．当0,1x时，()()22log22xfxax=−+，下列结论正确的是（）A．1a=−B．1322ff=C．()30f=D．()()()()12320231ffff++++=三．填空题（共3小题，每题5分，

共15分。）12．已知函数()22fxxaxa=−−−在区间(),0−上单调递增，且()eln10xax+++对任意的0x恒成立，则a的取值范围是．13．如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高

度CD，选取与碑基C在同一水平面内的两个测量点,AB.现测得30,105,120BACABCAB===米，在点B处测得碑顶D的仰角为30o，则该同学通过测量计算出纪念碑高CD为米.（保留根号）14．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的

四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为.四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．

已知向量(2,1)a=，(1,)bm=−．(1)若a与b的夹角为135，求实数m的值；(2)若()aab⊥−，求向量a在向量b上的投影向量．16．如图，已知AB为圆O的直径，D为线段AB上一点，且113ADDB==，C为圆O上一

点，且3BCAC=，PD⊥平面ABC，PDDB=．(1)求CD；(2)求证：PACD⊥；(3)求三棱锥BPOC−的体积．17．已知函数44()cos2sincossin(0)fxxxxx=−−的最

小正周期πT=．(1)求函数()fx的单调递增区间；(2)当5π[0,]8x时，讨论方程()1fxm+=根的个数．18．漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一

假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：))40,50,50,

60,,90,100得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；(2)已知满意度分值落在)70,80的平均数175z=

，方差219s=，在[80,90)的平均数为285z=，方差224s=，试求满意度分值在)70,90的平均数z和方差2s.19．已知函数()fx的定义域为R，且()()()()fxyfxyfxfy++−=，(

)11f=．(1)若()()cos0πfxAx=，求A与；(2)证明：函数()fx是偶函数；(3)证明函数()fx是周期函数；(4)若()fx的周期为T，在0,2T上是减函数，记()fx的正的零点从小到大依次为1x，2x，3x，L，证明()fx在区间

0,2024T上有4048个零点，且213240484047xxxxxx−=−==−．数学答案1．B【详解】由题知43ii1−=+z，43i43i552i1i122z−−====++．2．C【详解】对于选项A：根据指数函数的单调性可知该函数

在R上为单调减函数，故A项错误；对于选项B：根据幂函数的性质可知该函数在()0,+上为单调递减函数，故B项错误；对于选项C：根据对数函数的单调性可知该函数在()0,+上为单调递增函数，故C项正确；对

于选项D：根据二次函数的性质可知该函数在()0,+上不单调，故D项错误.3．D【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C6=件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122CC4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=.4

．C【详解】对于A，因为2ππ84=，所以,OAOH的夹角为π4，所以A错误，对于B，由于四边形ODEF不是平行四边形，所以ODOFOE+，所以B错误，对于C，因为2ππ282AOC==，OAOC=，所以AOC△是等腰直角三角形，所以112CA=+=，2DH=

，所以22OAOCCADH−==，所以C正确.结合图形可知OA在OD上的投影向量与OD的方向相反，所以D错误.5．C【详解】如图，连接1AD，11,DFBC，∵E，F分别为棱BC，1CC的中点，则EF∥1BC，又∵AB∥11CD，且11ABCD=，则11ABCD为平行四边形，∴1AD∥1BC

，可得1EFAD∥，故则过点A，E，F的截面即为截面1AEFD，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分1ADDECF−为三棱台，且三棱台1ADDECF−的高为DC．设正方体的棱长为2，则1111222,11222△△ADDECFSS====，可得正方体的

体积11112228ABCDABCDV−==，三棱台1ADDECF−的体积111172223223ADDECFV−=++=，故分成的上、下两部分几何体的体积比为7817377

3−=．6．D【详解】因为()3sin4−=，所以3sincoscossin4−=，又因为tan5tan=−，即tan5tan=−，则sinsin5coscos=−，故sincos5cossin0+=，联立3sincoscossin4s

incos5cossin0−=+=，解得5sincos81cossin8==−，因为()0,π，()0,π，所以sin0,sin0，又5sinco

s08=，1cossin08=−，所以cos0，cos0，所以π,π2，π0,2，则π3π22+，因为()511sinsincoscossin882

+=+=−=，所以5π6+=.7．B【详解】因为4ab==，2c=，8ab=−，且cab=+rrr，(),RR，所以()2222222221616164cababab=+=++=+−=，所以()22231−+=，令2cos−=，3sin

=，所以()23212cossinsin33+=+=+，其中27cos7=，21sin7=，所以21212,33+−，即2+的取值范围是2121,33−

．8．B【详解】由已知得()22132a=+=，133123ab=+=，又()aba⊥−，所以()0aba−=，即20aba−=，所以2340−=，解得32=.9．ABD【详解】由题意可得：21211,11cosc

oseeee====urruuurr，对于A：若(,)amn=，则12amene=+，可得()2222222212112222cosamenememneenemnmn=+=++=++ururururururr，所以22||

2cosamnmn=++，故A正确；对于B：∵(,),(,)amnbst==，则1212,amenebsete=+=+ururrururr，若a//b，则有：当0a=或0b=时，则0mn==或0st==，可得0mtns−=成立；当0a且

0b时，则存在唯一实数，使得ab=，则()121212menesetesete+=+=+urururururur，可得msnt==，整理得0mtns−=；综上所述：若a//b，则0mtns−=，故B正确；对于C：∵(,),(,)

amnbst==，则1212,amenebsete=+=+ururrururr，可得()()()()2212121122cosmenesetemsemabtnseentemsntmtns++=+++=+++=urururururururrurr，若ab⊥，则()cos0msntnsa

bmt+++==rr，故C错误；对于D：∵(1,2),(2,1)ab=−=−，由选项A可得：()()()()2222||12212cos54cos,||21221cos54cosab=−++−=−=−++−=−rr，由选项C可得：()()

()()12211122cos45cosab−−++−+−=−=rr，若a与b的夹角为π3，则πcos3abab=rrrr，即145cos45cos254cos54cos54cos−−==−−−，解得1cos2=，∵(0,π)，则π3=，故

D正确；10．BC【详解】对于A选项，由图形可知，直线AM、BN异面，A错；对于B选项，连接1AD，因为1//MNCD，则直线MN与AC所成角为1ACD或其补角，易知1ACD△为等边三角形，故160ACD=，因此，直线MN

与AC所成的角为60o，B对；对于C选项，分别取AB、CD的中点E、F，连接ME、MF、EF，因为四边形ABCD为正方形，E、F分别为AB、CD的中点，所以，//AEDF且AEDF=，又因为ADAE⊥，则四

边形AEFD为矩形，所以，EFAB⊥，且//EFAD，同理可证1//MFDD，且12MFDD==，因为1DD⊥平面ABCD，则MF⊥平面ABCD，因为AB平面ABCD，则ABMF⊥，因为EFMFF=，EF、MF平面EMF，所以

，AB⊥平面EMF，因为ME平面EMF，所以，ABME⊥，因此，平面AMB与平面ABCD所成二面角的平面角为MEF，因为MF⊥平面ABCD，EF平面ABCD，所以，MFEF⊥，又因为2MFEF==，故

MEF为等腰直角三角形，故45MEF?o，因此，平面AMB与平面ABCD所成二面角的平面角为45，C对；对于D选项，易知2222215BNBCCN=+=+=，同理可得15AM=，又因为1//MNAB且1122MNAB==，则

四边形1ABNM为等腰梯形，分别过点M、N在平面1ABNM内作1MPAB⊥、1NQAB⊥，垂足分别为P、Q，因为1AMBN=，1MAPNBQ=，190MPANQB==，所以，1RtRtAMPBNQ△≌△，所以，1APBQ=，因为/

/MNPQ，1MPAB⊥，1NQAB⊥，则四边形MNQP为矩形，所以，2PQMN==，所以，112222222ABPQAPBQ−−====，所以，22211232522MPAMAP=−=−=，由A选项可知，平面BMN截正方体所得的截面为梯形1ABNM，故截面面积为()()

13222292222ABMNMP++==，D错.11．BC【详解】对于A，因为()yfx=是定义域为R的奇函数，所以()00f=，又因为当0,1x时，()()22log22xfxax=−+，所以()022log202

0a−+=，解得1a=，所以1a=，()()22log22xfxx=−+，故A错误；对于B，因为()1yfx=+为偶函数，所以()()11fxfx−+=+，令1xt−+=−，则1xt=+，所以()()2ftft−=+，令12t=−，则1132222fff=−

+=，故B正确；对于C，因为()()ftft−=−，所以()()2ftft+=−，令1t=，则()()()12log212220312ff=−+=−=−=，故C正确；对于D，因为()()2ftft+=−，所以()()()42ftftft+=−+=，所以()fx是

4T=的周期函数，则()()400ff==，令0t=，则由()()2ftft+=−得()()200ff=−=，故()()()()12340ffff====，所以由()fx的周期性可知()0fn=，Zn，所以()

()()()12320230ffff++++=，故D错误.12．[1,0]−【详解】()22fxxaxa=−−−的对称轴为22axa−=−=−−，因为()fx在区间(),0−上单调递增，所以0a−，得0a，因为()eln10xax+++对任意的0x恒成立，

所以()eln1xxa++−对任意的0x恒成立，令()()eln1xgxx=++（0x），因为exy=和()ln1yx=+在[0,)+上递增，所以()()eln1xgxx=++在[0,)+上递增，所以mn0i()(0)eln11gxg==+=，所以1a−，得1a−，综上，10

a−，即a的取值范围是[1,0]−.13．206【详解】因为30,105,120BACABCAB===，在ABCV中，1803010545ACB=−−=，由正弦定理得sinsinABBCACBBAC=，即120sin4

5sin30BC=，解得602BC=，在RtBCD△中，3tan306022063CDBC===，即纪念碑高CD为206米.14．22π【详解】因为棱长为a的正四面体的高为22236323aaa−=

，所以截角四面体上下底面距离为664662333−=，设其外接球的半径为R，等边三角形ABC的中心为O，正六边形EFHILK的中心为O，易知外接球球心O在线段OO上，且OO垂直于平面ABC与平

面EFHILK，则2222463ROCROH+=−−，所以22222346233RR−+−=，解得2121R=，所以该截角四面体的外接球的表面积为2114π4π22π2R==.15．(1)3−或13(2)17,1010−【详解】（1）因为(2

,1)a=，(1,)bm=−，则25,1,2abmabm==+=−，若a与b的夹角为135，则2m且cos,ababab=，可得222251mm−−=+，解得3m=−或13m=，所以实数m的值为3−或13.（2）若()aab⊥−，则()2()5

20aabaabm−=−=−−=，解得7m=，可得()1,7,52,5bbab=−==，所以向量a在向量b上的投影向量为2117,101010abbbb==−.16．(1)3(2)证明见解析(3)3【详解】（1）解：由已知AB为圆O的直径，C为圆O上一

点，可得ACBC⊥，又由D为线段AB上一点，且113ADDB==，可得1,3ADDB==，则4AB=，因为3BCAC=，可得222BCACAB+=，即2416AC=，解得2,23ACBC==，在直角ABCV中，可得1cos2ACBACAB==，由余弦定理得22212cos14

21232CDADACADACBAC=+−=+−=，所以3CD=.（2）证明：由（1）知2,1,3ACADCD===，可得222ACADCD=+，所以ADCD⊥，因为PD⊥平面ABC，且CD平面ABC，所以PDCD⊥，又因为ADPDD=I，且,ADP

D平面PAB，所以CD⊥平面PAB，因为PA平面PAB，所以PACD⊥.（3）解：连接OC，在OBC△中，2,23OBOCBC===，可得2221cos22OBOCBCBOCOBOC+−==−，可得3sin2BOC=，所以113sin223222

OBCSOBOCBOC===，又由PD⊥平面ABC，且3PDDB==，所以三棱锥BPOC−的体积1133333BPOCPOBCOBCVVSPD−−====.17．(1)5ππ[π,π](Z

)88kkk−+−+；(2)答案见解析.【详解】（1）依题意，22π()cossin2sincoscos2sin22cos(2)4fxxxxxxxx=−−=−=+，由π22T=，πT=，得1=，π()2cos(2)4fxx=+，由ππ2π22π,Z4kxkk−++

，解得5ππππ,Z88kxkk−+−+，所以函数()fx的单调递增区间为5ππ[π,π](Z)88kkk−+−+.（2）当5π[0,]8x时，ππ3π2[,]442x+，余弦函数cosyx=在π[,π]4上单调递减，在3π[π,]2上单调递增，则函数(

)fx在3π[0,]8上单调递减，函数值从1减小到2−；在3π5π[,]88上单调递增，函数值从2−增大到0，方程()1()1fxmfxm+==−，因此方程()1fxm+=的根即直线1ym=−与函数()yfx=在5π[0,]8上的图象交点的横

坐标，在同一坐标系内作出直线1ym=−与函数()yfx=在5π[0,]8上的图象，观察图象知，当12m−−或11m−，即12m−或2m时，直线1ym=−与函数()yfx=在5π[0,]8上的图象无交点；当1

2m−=−或011m−，即12m=−或12m时，直线1ym=−与函数()yfx=在5π[0,]8上的图象有1个交点；当210m−−，即121m−时，直线1ym=−与函数()yfx=在5π[0,]8上的图象有2个交点，所以当12m−或2m时，方程根的个数为0；当12

m=−或12m时，方程根的个数为1；当121m−时，方程根的个数为2.18．(1)0.030a=，众数为85，中位数为82(2)平均数为81；方差为30【详解】（1）由频率分布直方图可得，()0.0050.01020.0200.025101a++++=，解得0.030a

=，由频率分布直方图可估计众数为85，满意度分值在)40,80的频率为()0.0050.01020.020100.450.5++=，在)40,90的频率为()0.0050.01020.0020.030100.750.5

+++=，所以中位数落在区间[80,90)内，所以中位数为0.50.452458010820.33−+=.（2）由频率分布直方图得，满意度分值在)70,80的频率为0.02100.2=，人数为20；

在[80,90)的频率为0.03100.3=，人数为30，把满意度分值在)70,80记为1220,,,xxx，其平均数175z=，方差219s=，在[80,90)内记为1230,,,yyy，其平均数285z=，方差2

24s=，所以满意度分值在)70,90的平均数12203020753085815050zzz++===，根据方差的定义，满意度分值在)70,90的方差为()()203022211150ijijsxz

yz===−+−()()203022112211150ijijxzzzyzzz===−+−+−+−由()20201111200iiiixzxz==−=−=，可得()()()()20

20111111220iiiixzzzzzxz==−−=−−=，同理可得()()3022120jjyzzz=−−=，因此，()()()()202030302222211221111150ijiijjsxzzzyzzz=====−+−+−+−()()2222112220

305050szzszz=+−++−2220309(7581)4(8581)305050=+−++−=19．(1)1A=，π3=(2)证明见解析(3)证明见解析(4)证明见解析【详解】（1）因为()()()()fxyfxyfxfy++−=，①令

1x=，0y=可得，()()()2110fff=，因为()11f=，所以()02f=，由()02f=，得2A=．由()11f=，得cos1A=，解得1cos2=．因为0π，所以π3=，所以()π2cos3fxx=，则()()()()ππππππ2cos2cos4coscos3333

33fxyfxyxyxyxyfxfy++−=++−==，所以()π2cos3fxx=．解法二：因为()()cos0πfxAx=，所以()()()()coscosfxyfxyA

xyAxy++−=++−()()coscossinsincoscossinsinAxyxyAxyxy=++−2coscosAxy=．()()2coscosfxfyAxy=．因

为()()()()fxyfxyfxfy++−=，所以22AA=，解得0A=，或1A=．当0A=时，𝑓(1)=0，与已知()11f=矛盾，所以1A=，由()1cos1fA==，且0π，得π3=所以()

π2cos3fxx=．（2）由（1）得，()02f=，①中，令0x=可得，()()()2fyfyfy+−=，即()()fyfy=−，所以函数()fx为偶函数；（3）令1y=得，()()()()()111fxfxfxffx++−==

，即有()()()21fxfxfx++=+，从而可知()()21fxfx+=−−，()()14fxfx−=−−，故()()24fxfx+=−，即()()6fxfx=+．所以函数()fx是一个周期为6T=的周期函数．（4）由（1）得()02f=，()()02f

Tf==，在()()()()fxyfxyfxfy++−=中，令2Txy==，可得()()022TTfTfff+=，因为()02Tff，所以22Tf=−，所以()002Tf

f，又因为()fx在0,T上是减函数，所以()fx在0,2T上有且仅有一个零点．()()()()fxyfxyfxfy++−=中，令4Txy==，得04Tf=．所以()fx在区间0,2T上有且仅有一个零点14

Tx=．又因为()fx是偶函数，所以()fx在,02T−上有且仅有一个零点04Tx=−，即()fx在一个周期内有且仅有2个零点．30444TTfTfTf=−=−=，所以()fx在0

,T内的零点为14Tx=和234xT=．044TTfkTf+==，33044fkTTfT+==，Nk．因此，对任意Zk，()fx在(),1kTkT+上有且仅

有两个零点：14kTxkT+=+，234kTxkT+=+．()fx在0,2024T上有4048个零点：14Tx=，234Tx=，354Tx=，474Tx=，L，404780934Tx=，404880954Tx=，其中，2132404840472Txxxxxx−=

−==−=．