【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.005 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2023年上学期高一3月检测试卷数学时量：120分钟满分：150分一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列与集合2023,1表示同一集合的是（）A.()2023,1B.(),2023

,1xyxy==∣C.2202420230xxx−+=∣D.2023,1xy==【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可.【详解】由2202420230xx−+=解得2023x=或1x=，所以22024

202302023,1xxx−+==∣，C正确；选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，故选：C2.若,Rxy，则“2ln2lnxy”是“xy”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】

取特殊值，结合充分必要条件的定义以及对数函数的单调性判断即可.【详解】当2ln2lnxy时，取2,1xy=−=，满足2ln2lnxy，但是xy；当xy时，取1,2xy==−，满足xy，但是lny没有意义.故“2ln2lnxy”是“xy”

的既不充分也不必要条件.故选：D.3.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面上任意一点，则OAOBOCOD+++=（）A.4OMB.3OMC.2OMD.OM【答案】A【解析】【分析】分别在OAC和OBD中，根

据M是平行四边形ABCD的对角线的交点，利用中点坐标公式求解.【详解】解：在OAC中，因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以1()2OMOAOC=+，即2OAOCOM+=．在OBD中，因为M是平行四边形ABCD的对角线的

交点，所以1()2OMOBOD=+，即2OBODOM+=．所以4OAOBOCODOM+++=．故选：A．4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%

的前提下，我们可以把()36511%+看作是经过365天的“进步值”，()36511%−看作是经过365天的“退步值”，则经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的（）（参考数据：lg1012.0043，lg991.9956，0.87107.41）A.22倍B.5

5倍C.217倍D.407倍【答案】D【解析】【分析】“进步值”与“退步值”的比值()()30030030010.011019910.01t+==−，再两边取对数计算即得解.【详解】由题意得，经过300天时，“进步值”为()3001

1%+，“退步值”为()30011%−，则“进步值”与“退步值”的比值()()30030030010.011019910.01t+==−，两边取对数可得()lg300lg101lg99t=−，又lg1012.0043，lg991.9956，∴lg30.87t=，∴

()30.873107.41407t==，即经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的407倍.故选：D.5.若向量()1,2a=r与321,tbt=−的夹角为锐角，则t的取值范围为（）A.()4,+B.1,4+C.1,4−D.()1,44,4+

【答案】D【解析】【分析】0ab且a与b不同向，进而求解即可得答案.【详解】解：a与b夹角锐角，则0ab且a与b不同向，即130tt−+，即14t，由a，b共线得3222tt−=，得4t=，故()1,44,4t+.故选:D.6.已知函数32()2,()

log,()xfxxgxxxhxxx=+=+=+的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A.abcB.bcaC.cabD.bac【答案】B【解析】【分析】首先可求出0c=，再由()0fx=得2xx=−，由()0gx=得2logxx=−，将其

转化为2xy=、2logyx=与yx=−的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由3()0hxxx=+=得0x=，0c=，由()0fx=得2xx=−，由()0gx=得2logxx=−.在同一平面直角坐标系中画出2xy=、2logyx=、yx

=−的图象，由图象知a<0，0b，acb.故选：B为【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.7.已知ABC三角形的外接圆圆心为O，且2AOABAC=+，AOAB=，则BA在BC上的投影向量为（）A.1

4BCB.34BCC.14BC−D.34BC−【答案】A【解析】【分析】根据已知条件判断出三角形ABC和三角形OAB的形状，从而计算出BA在BC上的投影向量.【详解】依题意ABC三角形的外接圆圆心为O，且2AOABAC=+，所以O是BC的中点，即BC是圆O的直径，且π

2BAC=，由于AOABBO==，所以三角形OAB是等边三角形，设圆O的半径为1，则1,2BABC==，π11cos324BABC==，所以BA在BC上的投影向量为14BC.故选：A8.函数()23si

n22sinfxxx=+，若()()123fxfx=−，则122xx−的最小值是（）A.23B.4C.3D.6【答案】D【解析】【分析】先化简函数为()2sin216fxx=−+，再根据()()123fxfx=−，得到()1fx，()2fx分

别为()fx的最大值和最小值求解.【详解】解：函数()23sin22sinfxxx=+，3sin2cos21xx=−+，2sin216x=−+，因为26xR−，则sin21,16x−−所以()1,3fx−，因为()()123fxf

x=−，所以()1fx，()2fx一个为()fx的最大值，一个为最小值，则()1112222262,2262xkkkZxk−=−−=+，或()1112222262,2262−=+−=−xkk

kZxk解得()1112226,3xkkkZxk=−=+，或()1112223,6=+=−xkkkZxk所以()12122223xxkk−=−−（i），或()12125226−=−+xxkk（ii）

对于（i），当1221kk−=时，122xx−的最小值是3，对于（ii），当1221−=−kk时，122xx−的最小值是6，综上，122xx−的最小值是6，故选：D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分

，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交射线,ABAC于不同的两点,MN.设,ABmAMA

CnAN==，则下列选项正确的是（）A.1mn+=B.1mnC.222mn+D.111mn+【答案】BC【解析】【分析】根据向量的共线定理可得2mn+=，即可判断A，利用均值不等式判断BCD.【详解】由图象可知0,0mn，因为112222mnA

OABACAMAN=+=+，且,,MON三点共线，所以122mn+=，即2mn+=，选项A错误；212mnmn+=，当且仅当1mn==时等号成立，B正确；()()2222222mnmnmnmn++=+−=，当且仅当1mn==时等

号成立，C正确；()1111112222nmmnmnmnmn+=++=++，当且仅当nmmn=，即1mn==时等号成立，D错误，故选：BC10.设()()eeee,22xxxxfxgx−−−+==，则下列选项正确的是（）A.22[()][

()]1fxgx+=B.()()()22fxfxgx=C.22(2)[()][()]gxgxfx=−D.()()()()()fxyfxgygxfy−=−【答案】BD【解析】【分析】利用指数的运算性质，分别计算()2fx，()2gx，()()fxgx

，()()fxgy，()()gxfy，代入选项依次验证即可.【详解】由题意可得()222e2e4xxfx−−+=，()222e2e4xxgx−++=，所以()()()2222ee22xxfxgxgx−++==，()()221gxfx−=

，AC错误；()()()22eee2e2e222e2xxxxxxfxgxfx−−−−+−===，B正确；()()()()()()eeeee22eee2e22exyxxyyxxyyxyfxgygxfyfxy−−−−−−−−++−−−=−==−，D正确；故选：BD11.

如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点(1,0)A，以x轴非负半轴为始边作锐角，，−，它们的终边分别与单位圆相交于点1P，1A，P，则下列说法正确的是（）A.AP的长度为−B.扇形11OAP的面积为−C.当1A与P重合时，12sinAP=D.当3=时，四边形

11OAAP面积的最大值为12【答案】ACD【解析】【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据11111OAAPAOAPOASSS=+、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判

断D.【详解】解：依题意圆的半径1r=，1AOA=，AOP=−，1AOP=α，所以AP的长度为()r−=−，故A正确；因为11AOP=−，所以扇形11OAP的面积()()21122Sr=

−=−，故B错误；当1A与P重合时，即−=，则2=，则12sin2sin2AP==，故C正确；()111111111sin11sin22OAAPAOAPOASSS=+=+−()11sinsin22=+−()11sinsin22=+−因为3

=，所以111111sinsinsinsincoscossin2232233OAAPS=+−=+−131131sincossincossin4422223=+=+=+所以当32+=，即6πβ=时()11

max12OAAPS=，故D正确；故选：ACD12.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sinyAt=．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与正弦函数参数有关．响度与振幅有关，振幅越大，响

度越大，振幅越小，响度越小；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．我们听到的声音的函数是111sinsin2sin3sin4

234yxxxx=++++．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是（）A.函数()1111sinsin2sin3sin4sin100234100Fxxxxxx=+++++不具有奇偶性B.函数()111sinsin2sin3sin4234fxxxxx=+++在

区间ππ,1616−上单调递增C.若某声音甲的函数近似为()111sinsin2sin3sin4234fxxxxx=+++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22hxx=的响度大D.若声音乙的函数近似为()1sinsin22gxxx=+，

则声音乙一定比纯音()1sin33mxx=低沉【答案】BCD【解析】【分析】由奇偶性定义判断A，由单调性的定义判断B，根据响度的定义判断C，根据音调的定义判断D．【详解】()()()()()()()1111sinsin2sin3sin4sin100

234100FxxxxxxFx−=−+−+−+−++−=−，所以()Fx为奇函数，A错误；当ππ,1616x−时，ππ2,88x−，3π3π3,1616x−，ππ4,44x−，故sinyx=，sin2yx=，

sin3yx=，sin4yx=在ππ,1616−上均为增函数，故()111sinsin2sin3sin4234fxxxxx=+++在区间ππ,1616−上单调递增，B正确；()1sin22hxx=的振幅为12，π12100233f=+−+=，则(

)max23fx，所以()fx的振幅大于()hx的振幅，故声音甲的响度一定比纯音()hx的响度大，C正确；易知()gx的周期为2π，则其频率为12π，()mx的周期为2π3，则其频率为32π，由132π2π，得声音乙比纯音()mx低沉，D正确．故选：BCD．三､填空题：本

题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正ABC边长为2，则ABBC=__________.【答案】2−【解析】【分析】利用向量数量积的公式直接计算即可.【详解】如图所示，因为AB与BC的夹角为120，所以1cos1202222ABBCABBC==−=−

，故答案为：2−14.已知对任意平面向量(),ABxy=，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量()cossin,sincosAPxyxy=−+，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，已知平面内点()1,2A，点()12,222B+−，把点B绕点A沿逆时

针方向旋转π4角得到点P，则点P的坐标_____.【答案】()4,1【解析】【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解.【详解】由题意可得()2,22AB=−，因为点B绕点A沿逆时针方向旋转π

4角得到点P，所以()()()ππππ2cos22sin,2sin22cos3,14444AP=−−+−=−，设P点坐标为(),ab，则()()1,23,1APab=−−=−，解得4a=，1b=，即点P的坐标为()4,1，故答案为：()4,115.已知函数()

()2lg11fxxx=++−，正实数a满足()()21220fafa+−+=，则a的值为__________.【答案】1【解析】【分析】先证明()fx关于点()0,1−对称，则由()()2122fafa+−=−可得2120aa+−

=，即可求出a的值.【详解】因为()()2lg11fxxx=++−的定义域为R，()()()()()22lg11lg112fxfxxxxx−+=−++−−+++−=−，所以()fx关于点()0,1−对称，当0x时，显然21yxx=++单调递

增，所以()fx在R上单调递增，所以由()()22120fafa+−+=，得2120aa+−=，解得1a=，故答案为：116.如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边BC、CD上的点，当CPQ的周长是2，则PAQ的大小为_________．【

答案】4【解析】【分析】设出角,,PABQAD==，然后借助于正方形的性质得到22tantan(1tan)(1tan)+=−+−，可得tan1taanantnt+=−，再利用两角和的正切公式可得4+=，即求.【详解】

设,PABQAD==，则tan,tanPBDQ==，则1tan,1tanCPCQ=−=−，22(1tan)(1tan)PQ=−+−，2221tan1tan(1tan)(1tan)=−+−+−+−22tantan(1tan)(1tan)+=−+−ta

ntan1tantan+=−即tan()1+=，4+=，4PAQ=.故答案为：4四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设集合()1lg31Axyxx==++−∣，集合{Rsin20Baax=

+∣对任意xR恒成立}，求AB.【答案】{32}ABxx=−∣【解析】【分析】利用对数和根式、分式的定义域化简集合A，由sin20ax+对任意实数x恒成立，则min0(sin2)ax+化简集合B

，再根据集合并集的定义求解即可.详解】对于集合A由3010xx+−，解得31x−，故{31}Axx=−∣；对于集合B因为sin20ax+对任意实数x恒成立，则min0(sin2)ax+，当0a=时，20，符合题意；当0a时，min20(sin2)

axa+=−，解得2a；当a<0时，min20(sin2)axa++=，解得2a−；综上，22,{22}aBxx−=−∣，所以{32}ABxx=−∣.18.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点12,23P−

.（1）求cos2；（2）若π02，()5sin13+=，求cos.【答案】（1）725−【（2）1665【解析】【分析】（1）由任意角三角函数定义可求得sincos、，即可由倍角公

式求值；（2）判断+范围，由平方关系求得cos()+，则coscos()=+−，由和差角公式可求.【小问1详解】由角的终边过点12,23P−，得22243sin51223−==

−+−，22132cos51223==+−，所以227cos2cossin25=−=−．【小问2详解】由4sin05=−，3cos05=得π2π2π2kk

−，又π02，ππ2π2π22kk−++∴，由5sin()13+=得12cos()13+=，则16coscoscos()cossin()sin65()+==+++=−.19.为摆脱美国

政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名()*xN，调

整后研发人员的年人均投入增加4%x，技术人员的年人均投入调整为26025xm−万元.（1）要使这100x−名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人？（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投

入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数m的最大值.【答案】（1）75人；（2）7.【解析】分析】（1）根据题意列出不等式，解不等式即可；（2）根据题意列出不等式，进行常变量分离，利用基本不等式进行求解即可.【小问1详解】依题意得()()1

006014%10060xx−+解得075x，所以调整后的技术人员的人数最多75人小问2详解】由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：()()21006014%6025xxxxm−+−得1002

2112525xxmx−+−整理得100325xmx++故有100325xmx++10010032372525xxxx+++=当且仅当50x=时等号成立，所以7m，故正整数m的最大值为720.已知,,abc分别为ABC三个

内角,,ABC的对边，且cos3sin0aCaCbc+−−=.（1）求A；（2）若2a=，且ABC的面积为3，求bc+的值.【答案】（1）π3A=（2）4bc+=【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用三角

恒等变换求解即可；（2）由三角形面积公式可得4bc=，代入余弦定理即可求解.【小问1详解】由cos3sin0aCaCbc+−−=又及正弦定理，得sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=，因为ABC中()πBAC=−+，【【所以()sincos3sinsinsinsin3si

nsinsincossin0ACACACCACCAC+−+−=−−=，由于sin0C，所以π3sincos2sin16AAA−=−=，即π1sin62A−=，又0πA，故π3A=.【小问2详解】

由题意可知1sin32SbcA==，解得4bc=，根据余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，即()243bcbc=+−，解得4bc+=.21.如图，在直角三角形ABC中，90,22ACBCA===．点,DE分别是线段,ABBC

上的点，满足,(0,1),ABDACBBE==uuruuuruuuruuur．（1）求AEBC的取值范围；（2）是否存在实数，使得AECD⊥？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(3,1)−（2）存在，23=【解析】【分析】（1）由题

意得()()AEBCABBEBCABBCBC=+=+34=−+，结合(0,1)即可得解；（2）由()()()()AECDABBEADACABBCABAC=+−=+−2230=−=，求解即可.【小问1详解】

在直角三角形ABC中，90,22ACBCA===．∴30,3BBA==，32cos303BABC==，2()()AEBCABBEBCABBCBCABBCBC=+=+=+234BABCBC=−+=−+，∵(0,1)，∴(3,1)AEBC−．【小问2详解】()

()()()AECDABBEADACABBCABAC=+−=+−22ABABACBCABBCAC=−+−23023cos15021cos60=−+−2230323=−−−=−令2230−=，得

23=或0=（舍）.∴存在实数23=，使得AECD⊥．22.设aR，函数()22xxafxa+=−.（1）若1a=，求证：函数()fx为奇函数；（2）若0a，判断并证明函数()fx的单调性；（3）

若0a，函数()fx在区间,()mnmn上的取值范围是(),R22mnkkk，求ka的范围.【答案】（1）证明见解析（2）()fx在R上单调递增，证明见解析（3）()0,322

1−−【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断，即可得到结果；（2）根据函数单调性的定义判断，即可得到结果；（3）根据题意可得，0a，然后分0a，a<0两种情况，结合函数的单调性分类讨论，即可得到结果.【小问1

详解】当1a=时，有()2121xxfx+=−且定义域()()21120,2112xxxxxfxfx−−++−===−−−，综上有：()fx的定义域关于原点对称且()()fxfx−=−，即()fx为奇函数；为【小问2详解】0a时，有20xa−，即()fx定义域为R，结

论为：()fx在R上单调递增.设对任意两个实数：12xx，则()()()()()()()()()()()1221211212121212222222222222222xxxxxxxxxxxxxxaaaaaaafxfxaaaaaa+−−+−−++−=−==−−−−−−而2

112220,20,20xxxxaa−−−，()()()21212220,022xxxxaaaa−−−，即()()12fxfx得证.【小问3详解】由mn知，1122mn，由(),R22mnkkk知：22mnkk，所以0k，0a

，所以0a或0<a，当0a时，由（2）知()fx在R上单调递增，结合题意有，()()22mnkfmkfn==，得2121221212mmmnnnkk+=−+=−，即,mn是22121xxxk+−=的两个不同的实根，令20

x=，则()20,(,0)taktakak+−+=在0t上有两个不同实根，故()202400akakakak−−−−，可得0322ka−，当0a时，()212xaf

xa=+−在()()22,log,log,aa−+上都递减，若()2,log,mna+，有()1fx，则12mk与0k矛盾，舍去；若()2,,logmna−，有()1fx，即有()()22nmkfmkfn==即2121221212mmnnnmkk+=

−+=−，所以()()()()222222nmmmnnakaaka+=−+=−，两式相减得()()220nmak+−=，又220nm−，即有0ak+=，则1ka=−；综上有()0,3221

ka−−.