【文档说明】广西玉林师院附中、玉林十一中等五校2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试卷【精准解析】.doc，共(18)页，1.165 MB，由小赞的店铺上传

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-1-玉林市田家炳中学玉林师范附中玉林市育才中学玉林市第十一中学玉林市福绵高中2020年秋季期期中教学质量评价高二数学（文）试卷考试时间：120分钟；命题人：谭春审题人：李益善注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答

题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1.已知:2px，:1qx，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将命题,pq转化为集合{

|2}Axx=和{|1}Bxx=,再根据集合A与B之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得.【详解】设命题p:2x对应的集合为{|2}Axx=,命题q:1x对应的集合为{|1}Bxx=,因为AB,所以命题p是命题q的充分不必要条件.故选

A.【点睛】本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合之间的关系,属基础题.2.椭圆2241xy+=的离心率为（）A.32B.34C.22D.23【答案】A-2-【解析】【分析】先求出1a=，12b=，再求椭圆的离心率32e=

.【详解】解：因为2241xy+=，所以22114yx+=，则1a=，12b=，所以222234abea−==，又因为0e，所以32e=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质；利用椭圆方程求a、b；利用椭圆方程求离心率，是

基础题3.太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则xy−=（）A.19.5B.2C.21D.11.5【答案】D【解析】【分析】根据众数与中位数的概念即可求出值.【详解】

由题意可知众数为77x=,中位数为6467=65.52y+=,所以7765.5=11.5xy−=−.故选:D.【点睛】本题考查了众数和中位数的概念,难度容易.4.判断如图所示的图形中具有相关关系的是（）A.B.-3-C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图象可得A,B是确定关系，再根据CD散点分布

可得结果.【详解】根据图象可得A,B为连续曲线，变量间的关系是确定的，不是相关关系，C中散点分布在一条直线附近，可得其线性相关，D中散点分布在一个长方形区域，即非线性相关，故选：C【点睛】本题考查散点图、线性相关判定，考查基本分析判断能力，属基

础题.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】试题分析：根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．-

4-解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：S﹣12n248故S=2时，输出n=8．故选C6.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个

红球与都是白球C.恰有一个红球与恰有二个红球D.至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“

至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事

件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.7.从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是（）A.平均分B

.方差C.中位数D.标准差【答案】C-5-【解析】【分析】将最高分148分录成了150分，将100个数据从小到大排列，数据的先后顺序不发生变化，所以中位数不会发生变化.【详解】将最高分148分录成了150分，则把100个数据从小到大排列

，中间的两个数没有发生变化，所以一定正确的数据为中位数.故选：C【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、标准差的概念和性质、属于简单题，解题时需要准确把握以上几个名词的概念和性质.8.党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核

心价值观.现将这十二个词依次．．写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（）A.13B.16C.56D.23【答案】A【解析】【分析】由

题意知，基本事件有6个，其中抽取到含有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件有2个基本事件，根据古典概型概率公式计算即可.【详解】由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；诚信、友善的卡片，共有6个，其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为：抽到写

有爱国、敬业的卡片，抽到写有诚信、友善的卡片，共有2个，所以由古典概型概率公式知：2163P==，故选：A【点睛】本题主要考查了古典概型概率的求法，属于中档题.9.椭圆2212xy+=上的点到直线27xy−

=距离最近的点的坐标为（）A.41,33−B.41,33−C.417,33−D.-6-417,33−【答案】B【解析】【分析】设和椭圆相切的且与直线平行的

直线和椭圆方程联立，求出后再与椭圆方程联立，可求得答案.【详解】设和椭圆2212xy+=相切且与直线27xy−=平行的直线方程为2yxb=+，所以22122xyyxb+==+得2298202xbxb++=−，因为直线和圆相切，所以22362)64(20b

b=−=−，所以3b=，3b=−时，27xy−=与23yx=−的距离为455，3b=时，27xy−=与23yx=+的距离为25455此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆的上方，舍去，所以3b=−，所以221223xyyx+==−，得2924160xx−+=，

解得切点坐标为41,33−，故选：B.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，求切点坐标的问题.10.已知椭圆C：()222210xyabab+=离心率为32，点()2,0A−在C上，则椭圆的短轴长为（）A.1B.

3C.2D.23【答案】C【解析】-7-【分析】由椭圆性质得2a=，利用离心率可得c，再由,,abc的关系求得b．【详解】因为32ca=，2a=，所以3c=，所以221bac=−=，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的性质，掌握离心率及,,abc的关系是解题基础．11.祖冲之是中国南北朝时期的著名

的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率的值．正三角形的边长为4，若总豆子数1000n=，其中

落在圆内的豆子数618m=，则估算圆周率的值是（为方便计算3取1.70，结果精确到0.01）（）A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16【答案】C【解析】【分析】求出正三角形和内切圆的面积，计算出概率，由它等于模拟概率

可求得的近似值．【详解】由题意可得，S正三角形43=，内切圆的半径r内233=，S内切圆43=，则46183100043SS==内切圆正三角形，3.15183.15=．故选：C．【点睛】本题考查几何概型，考查几何概型的应用，属于基本题．12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线

，曲线C：221||xyxy+=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：-8-①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.①B.②

C.①②D.①②③【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由22

1xyxy+=+得,221yxyx−=−,2222||3341,10,2443xxxyx−=−−厔,所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1Cxyxy+=+恰好经过(0,1),(0

,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221xyxy+=+得,222212xyxy+++„,解得222xy+,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1

ABCD−,四边形ABCD的面积13111122ABCDS=+=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCDS,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.-9-故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题

,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.第II卷（非选择题）二、填空题13.2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停学，某高中实施网上教学．该高中为了解网课学习效果，组织

了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_________人．【答案】3000【解析】【分析】根据已知利用减法求得高

三年级抽取的学生人数，根据分层抽样的等比例原则设未知数列方程求得该高中的学生总数.【详解】由已知可知，高三年级抽取的学生数为150405060−−=，设该高中的学生总数为n，则601501200n=，解得3000n=，即该高中的学生共有3000人．故答案为：3000【点睛】本题考查分层抽样中的样本

总量计算问题，属基础题，难度容易.14.下表是x，y之间的一组数据：x01234y578c19-10-且y关于x的回归方程为3.23.6yx=+，则表中的c=______.【答案】11【解析】【分析】根据回归直线经过样本中心点(),xy求解.【详解】∵回归直

线经过样本中心点(),xy，0123425x++++==，∴3.223.610y=+=，∴57819105c++++=，解得11c=.故答案为：C【点睛】本题主要考查回归方程的概念与性质，属于基础题.15.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的

垂线垂足为A，且||2||OAAF=，O为坐标原点，则C的离心率为_________．【答案】52【解析】【分析】由已知求出渐近线的斜率，得ba，结合222cab−=转化后可求得离心率．【详解】由题意可得||||1tan||2||2AFAFAOFOAAF===，渐近线方程为byxa=，∴12ba

=，222222222544aacabeaaa++====，故52e=．故答案为：52．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,abc的一个等式，本题中利用直角三角形中正切函数定义可得．

-11-16.有下列命题①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1＜3x”；②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④若函数f（x）＝（x+1）（x+a）为偶函数，则a＝﹣1；其中所有

正确的说法序号是【答案】②④【解析】【分析】写出原命题的否定，可判断①；根据两个命题互为否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；求出a值，可判断④【详解】解：①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”，故错误；②设p、q为简单命题，

若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”，故正确；③“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故错误；④若函数f（x）＝（x+1）（x+a）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即（﹣x+1）（﹣x+a）＝（x+1）（x+a），即x2﹣（a+1）x

+a＝x2+（a+1）x+a，则a＝﹣1，故正确；故答案为②④．【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，考查逻辑推理能力，难度中档．三、解答题17.已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解

该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：男生平均每天运动的时间[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2

.5,3)人数212231810x女生平均每天运动的时间[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)-12-人数51218103y（1）求实数,xy的值；（2）若从被抽取的120人平均

每天运动时间（单位：小时）在范围[0,0.5)的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.【答案】（1）5x=，2y=（2）1021【解析】【分析】（1）利用分层抽样求出样本个数，再根据题意，求出x，y，即可求得

答案；（2）根据古典概型概率公式，即可求得答案.【详解】（1）男生14000人，女生10000人，男数：女数7:5=，故男生抽取了71207012=人，女生抽取了50人，由212231810705xx+++++==，，5121810348502yyy+

++++=+==，；（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围[0,0.5)的人中，有男生2，女生5人，共有7人设男生为12,AA,女生为：12345,,,,BBBBB随机抽取2人不相同的情况有：1

21112131415,,,,,AAABABABABAB2122232425,,,,ABABABABAB12131415,,,BBBBBBBB232425,,BBBBBB3435,BBBB45BB,总共

有21种选法性别不同的(即一男生一女生)有：-13-1112131415,,,,ABABABABAB2122232425,,,,ABABABABAB，共10种选法，随机抽取2人，“被抽取的2人性别不相同”的事件为C，故10()21PC

=.【点睛】本题主要考查了分层抽样和求事件的概率，解题关键是掌握分层抽样的基础知识和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.已知：双曲线:C221169xy−=.（1）求双曲线C的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已

知双曲线C有相同的渐近线，且经过点(23,3)A−，求该双曲线的方程.【答案】(1)焦点()5,0，顶点()4,0，离心率54e=；(2)224194yx−=【解析】【分析】（1）由双曲线:C221169xy−=可

得：4,3ab==，从而求得：5c=，问题得解．（2）设所求双曲线的方程为：22169xy−=，将()23,3A−代入即可求得，问题得解．【详解】双曲线:C221169xy−=，所以4,3ab==，225cab=+=，双曲线C的焦点坐标()5,0−，()5,0

，顶点坐标()4,0−，()4,0，离心率54cea==．（2）设所求双曲线的方程为：22169xy−=，将()23,3A−代入上式得：()()22233169−−=，解得：14=−所求双曲线的方程为：224194yx−=．-14-【点睛】（1）主要考

查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：22221xyab−=()0,0ab则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：2222xyab−=，属于基础题．19.设命题:

p实数x满足22320xaxa−+，其中0a；命题:q实数x满足()3log11x−.（1）当1a=时，若命题p和命题q皆为真命题，求x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】

（1）()1,2；（2）1,2【解析】【分析】（1）当1a=时，解出p为真命题时x的取值范围和q为真命题时x的取值范围，求交集即可得到结果；（2）因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即p为真命题时

x的取值范围是q为真命题时x的取值范围的真子集，由此即可求出a的取值范围.【详解】（1）当1a=时，2320xx−+，所以()()120xx−−，解得12x；即命题p为真命题，则12x；因为()3log11x−，所以14x，即命题q为真命题，则14x；若命

题p和命题q皆为真命题，所以1214xx，所以12x；即x的取值范围()1,2（2）因为22320xaxa−+，0a，所以()()20xaxa−−，解得2axa，因为p是q

的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，-15-即(),2aa是()1,4的真子集，则124aa，则12a，经检验，当1a=或2a=时，都满足题意.即实数a的取值范围1,2.【点睛】本题主要考查了不等式的解法、充分条

件与必要条件的应用，属于基础题.20.已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是3yx=，且双曲线过点()2,3.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F作倾斜角为4的直线交双曲线于A、B两点，求AB.【答案】（1）2213yx−=；（2）6【解析】【

分析】（1）设所求双曲线的方程为223xy−=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程，求得的值，由此可得出所求双曲线的方程；（2）可得出直线AB的方程为2yx=−，设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线AB的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得AB.【详解】（1）

设双曲线方程为：223xy−=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程得3233=−=，所以所求双曲线方程为2213yx−=；（2）易知双曲线右焦点的坐标为()2,0，设点()11,Axy、()22,Bxy，直线AB的方程为2yx=−，联立22233yxxy

=−−=，可得22470xx+−=，1642772=+=，由韦达定理可得122xx+=−，1272xx=−.-16-因此，()()2221212127112422462ABxxxxxx=+−=+−=−−−=.【点

睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，同时也考查了直线截双曲线的弦长，考查计算能力，属于中等题.21.2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降，国内多地在3月开始陆续发现促进汽车消费的政策，开展汽

车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天的汽车销售量（单位：辆）如下：第x天345678销售量y（单位：辆）172019242427（1）从以上6天中随机选取

2天，求这2天的销售量均在24辆以上（含24辆）的概率；（2）根据上表中前4组数据，求y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的ˆy，再求ˆy与当天实际销售量y的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，

若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第10天的销售量；若不可行，请说明理由.参考公式：回归直线ˆˆˆybxa=+中斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆ=−aybx.【

答案】（1）15；（2）ˆ211yx=+；（3）可行；预测第10天的销售量为31辆.【解析】【分析】（1）先确定6天中销售量均在24辆以上（含24辆）有3天，再将6个数据抽取两个事件的基本事件依次列举出来，借助古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求ˆ

ˆ,ba，即得结果；（3）根据回归直线方程确定对应的ˆy，再根据定义判断是否“可行”，最后代入10x=得结果.-17-【详解】（1）设“从6天中随机选取2天，这2天的销售量均在24辆以上（含24辆）”为事件A，这6个数据为3、4、

5、6、7、8，抽取两个事件的基本事件有：()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()3,8，()4,5，()4,6，()4,7，()4,8，()5,6，()5,7，()5,8，()6,7，()6,8，()7,8，共15种，其中事件A发生的基本事件包括()6

,7，()6,8，()7,8，共3种，所以()31155PA==.（2）因为3456942x+++==，17201924204y+++==，42186iix==，41370iiixy==，所以122193704202ˆ2818644

niiiniixynxybxnx==−−===−−，9ˆˆ202112aybx=−=−=，所以所求线性回归方程为ˆ211yx=+.（3）当7x=时，ˆ271125y=+=，此时242511−

=；当8x=时，ˆ281127y=+=，此时272701−=；所以所求线性回归方程为ˆ211yx=+是“可行”的.当10x=时，ˆ2101131y=+=；所以预测第10天的销售量为31辆.【点睛】本题考查古典概型概

率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.22.椭圆E：()222210xyabab+=经过点()0,1A−，23,22B−.（1）求椭圆E的方程；-18-（2）经过点()1,1的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），则直线AP与A

Q的斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）是定值，2.【解析】【分析】（1）代入已知两点坐标可求得,ab，得椭圆方程；（2）设直线PQ方程为()()112

ykxk=−+，代入椭圆方程并整理，设()11,Pxy，()22,Qxy，由韦达定理得1212,xxxx+，计算APAQkk+并代入1212,xxxx+可得定值．【详解】（1）由题意知2213124ab+=，1b=，解得2a=，所以，椭圆E的方程为2212xy+=.（2）由题设知，直

线P、Q的方程为()()112ykxk=−+，代入2212xy+=，得()22124(1)2(2)0kxkkxkk+−−+−=，由已知0，设()11,Pxy，()22,Qxy，120xx，则1224(1)12kkxxk−+=+，1222(2)12kkxxk−=+，从而直

线AP与AQ的斜率之和121212121122APAQyykxkkxkkkxxxx+++−+−+=+=+121212114(1)2(2)2(2)2(2)2(2)xxkkkkkkkkxxxxkk+−=+−+=+−=+−−2(2

1)2kk=−−=.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程ykxm=+，代入椭圆方程，设交点坐标为1122(,),(,)xyxy，由韦达定理得1212,xxxx+，然后计算需要证明定值的量并代入1212,xxxx+化简可得．