【文档说明】浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.023 MB，由小赞的店铺上传

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2022－2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高一（下）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合1,2,3,5M=，2,3,

4N=，则MN=（）A.1,5B.1,2C.2,3D.1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】应用集合的交运算求结果.【详解】由题设{1,2,3,5}{2,3,4}{2,3}MN==.故选：C2.设0.72a=，61log4b=，0.32c−=，则（）A.c＞a＞bB.a

＞c＞bC.b＞c＞aD.b＞a＞c【答案】B【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解即可．【详解】因为0.72a=，6log4b=−，0.32c−=，所以b＜0，0.30.7022ca−==，所以a＞c＞b．故选：B．3.设xR，则“220xx−”是“12x−”的（）A充

分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可..【详解】由220xx−得()0,2x，由12x−得()1,3x−，故“220xx−”是“12x−”的充分不必要条件.故选：A.

4.如图，一个水平放置平面图形的直观图ABCD是边长为1的菱形，且1OD=，则原平面图形的面积为（）A.2B.1C.22D.2【答案】A【解析】【分析】依据在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图与原图中保持长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，原图中的长度是直观图中长度

的2倍来将直观图还原.【详解】把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示：其中22ODOD==,1ABCDAB===，所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2．故选：A.5.下列命题中正确的是（）A.如果一条直线与一个

平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B.平面内有不共线的三个点A，B，C到平面的距离相等，则∥C.bP，∥，则b∥D.aP，ab，b，则bP【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的判断和性质理解辨析.【详解】对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无

数条直线平行，但不是任意一条，A错误；对于B：由题意可得：∥或与相交，B错误；对于C：根据题意可得：b∥或b，C错误；对于D：∵aP，则m，使得am，则am∴bm∥,bm∴bP，D正确；故选：D.6.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑

龙江省，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为

()1062m−，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则估算索菲亚教堂的高度为（）A.20mB.203mC.206mD.103m【答案】C【解析】

【分析】在RtABM中由正弦得出AM，再结合ACM△中由正弦定理得到CM，进而能求CD．【详解】解：由题意知：=45=105CAMAMC邪邪，所以=30ACM邪，在RtABM中，sinsin15ABABAMAMB==，在ACM△中，由

正弦定理得sin30sin45AMCM=，所以sin45sin45sin30sin15sin30AMABCM==，由于()oooo232162sin15sin4515sin45cos15cos45sin1522224-=-=

-=??在RtDCM中，()231062sin45sin6022sin60206sin15sin3062142ABCDCM−====−(m)．故选：C．7.正方体1111ABCDABCD−的棱

长为2，点,,PQR分别是棱1111,,ADCDBC中点，则过点,,PQR三点的截面面积是（）A.32B.3C.23D.33【答案】D【解析】【分析】作图作出过点,,PQR三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求

得截面面积.【详解】如图，设AB的中点为H，连接HR并延长，交DA延长线于E,交DC延长线于F，连接PE交1AA于G,连接QF交1CC于I，连接GH,RI,则六边形PQIRHG为过点,,PQR三点的截面，由题意可知，AHEB

HR≌,则1AEBR==,故1AGEAGP≌,可知1AGAG=,即G为1AA的中点，同理可证I为1CC的中点，故可知六边形PQIRHG为正六边形，且边长为2，故其面积为236(2)334=，即过点,,PQR三点的截面面积是33，故选：D8.已知

22231aabb−−=，且()21log1ab−+≤≤，则ab−的取值范围是（）A.51,3−B.51,4C.(,1−D.71,4−【答案】B【解析】【分析】可得出()()222331aabbabab−−

=−+=，根据条件得出122ab+≤≤，设,3abmabn+=−=，则1mn=，从而得出112abmm−=+，1,22m，然后根据函数1ymm=+的单调性可得出y的取值范围，进而得出ab−的取值范围．【详解】()()222331aabbabab−−=−+=，∵()21l

og1ab−+≤≤，∴122ab+≤≤，所以30ab−，设,3abmabn+=−=，则1mn=，则()()()11113222abababmnmm−=++−=+=+，1,22m，由双钩函

数的性质可得∵1ymm=+在1,12单调递减，在(1,2上单调递增，∴min112y=+=，12m=时，52y=；m＝2时，52y=，∴ab−的取值范围为：51,4．故选：B．二、多选题（本大题共4小题，共20．0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下

列命题为真命题的是（）A.复数22i−的虚部为2i−B.若i为虚数单位，则2023i=i−C.复数2i−−在复平面内对应的点在第三象限D.复数52i−+的共轭复数为2i−−【答案】BC【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．【详解】

对于A,复数22i−的虚部为2-，故A错误；对于B,()505202343i=iii=−，故B正确；对于C,复数2i−−在复平面内对应的点()2,1−−在第三象限，故C正确；对于D,()()()52i52i2i2i2i−−=

=−−−+−+−−，其共轭复数2i−+，故D错误．故选：BC．10.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）A.若A＞B，则coscosAB为B.若=30=5=2Aba，，，则ABC有两解C.若coscosc

os0ABC，则ABC为锐角三角形D.若coscosacBaC−=，则ABC为等腰三角形或直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】由余弦函数的单调性即可判断A,由正弦定理即可判断B,由余弦值的性质即可判断C,由边角互化即可判断

D.【详解】对于A，π>0AB>>，所以函数cosyx=在()0,π上单调递减，所以coscosAB，故A正确；对于B，由正弦定理可得：sinsinabAB=，∴15sin52sin124bABa===，此时ABC无解，故B错误；对于C，∵coscoscos0ABC，

,,ABC为三角形的内角，∴cos0cos0cos0ABC，可知A，B，C均为锐角，故ABC为锐角三角形，故C正确；对于D：∵coscosacBaC−=，所以由正弦定理可得sinsincossincos

AACCB=+，又()sin=sinsincossincosABCBCCB+=+,因此sincossincos=sincossincossincos=sincosBCCBACCBBCAC++，∴coscosbCaC=，∴()cos0baC−=，b＝a或cos0C=90C=

，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确．故选：ACD．11.已知向量()3,2a=−，()2,1b=r，(),1c=−，λ∈R，μ∈R，则（）A.若λ＝1，则2ab+在c方向上的投影向量为32c

−B.与b共线的单位向量为255,55C.若atbc=+，则4t+=−D.ab+的最小值为755【答案】AD【解析】【分析】根据向量的坐标运算，然后根据投影向量的计算公式即可求出2ab+在c方向上的投影向量，判断出A的正误；由题可

知所求单位向量为bb，从而判断B的正误，根据atbc=+得出()()3,22,1tt−=+−，由坐标相等即可判断C；可求出25813ab+=−+，然后配方即可判断D的正误．【详解】对于A．λ

＝1时，()1,1c=−，()21,4ab+=，()2143abc+=−=−，()22112c=+-=，∴2ab+在c方向上的投影向量为：()232cacccbc+=−，A正确；对于B．与b共线的单位向量为：255,55bb=或255,55bb

−=−−，B错误；对于C．atbc=+，∴()()3,22,1tt−=+−，∴2312tt+=−−=，解得39t==−，∴6t+=−，C错误；D．∵()23,2ab+=−+，∴()()222244

94975232581355555ab+=−++=−+=−+=≥，∴ab+的最小值为：755，D正确．故选：AD．12.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，2SOOC==，则下列结论正确的是（）A.圆锥SO侧面积

为82的B.三棱锥S-ABC体积的最大值为83C.SAB的取值范围是,43D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2(31)+【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的

体积判断AB，利用AB求得SAB后可得其范围判断C，把棱锥的两个面SAB△和ABC摊平，利用平面上的性质求SEEC+的最小值判断D．【详解】由已知22SC=，圆锥侧面积为22242SOCSC===，A错；B在圆周上，易得()max14242AB

CS==△，max184233V==．B正确；12cos42ABABSABSA==，又ABC中，04AB，所以20cos2SAB，所以42SAB．C错；ABBC=时，把SAB△和ABC摊平，如图，SECE+的最

小值是SC，此时，22ABBCSASB====，ABBC⊥，150SBC=，222cos8822222cos1502(31)SCSBBCSBBCSBC=+−=+−=+，D正确．故选：BD．第Ⅱ卷（

非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数()2i2iz+=−，i为虚数单位，则z=____________．【答案】1【解析】【分析】先化简复数z，再由复数的模长公式计算即可．【详解】由题意，()()()22i2i3

4i2i2i2i55z−−===−++−，则2234155z=+−=．故答案为：1．14.如图，在单位圆中，(1,0)P，M､N分别在单位圆的第一､二象限内运动，若237PONS=△，MON△为等

边三角形，则sinPOM=___________.【答案】5314##5314【解析】【分析】先根据三角形面积公式求出sinPON，然后结合两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】由题意，111sinsin2723437PONPONPSON===△

，而点N在第二象限，所以24317cs7o1PON=−=−−，因为3MON=，所以134311353sinsinsincos322727214POMPONPONPON=−=−=+=.故答案为：5314.15.已知菱形ABCD的边长为2，120

BAD=，点E，F分在边BC，CD上，BEBC=，DFDC=．若23+=，则AEAF的最小值为___________．【答案】49【解析】【分析】由题意画出图形，把AEAF用,ABAD表示，最后转化为含有

，的代数式，再结合23+=及基本不等式求得AEAF的最小值．【详解】解：如图，BEBC=，DFDC=，且23+=，()()AEAFABBEADDF=++，()()()()ABBCADDCABADADAB=++=++22(1)||||ABADADAB=

+++18(1)22()4()2(1)23=+−++=−++．由题意可得，，0，23+=，2129+=„，则202(1)9−+−…，842(1)39−++…（当且仅当13

==时等号成立），AEAF的最小值为49．故答案为：49．16.已知圆锥底面圆的直径为2，高为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为__________．【

答案】223##223【解析】【分析】四面体可以在圆锥内任意转动，则该正四面体内接于圆锥的内切球，求出圆锥的内切球半径，即可求正四面体的棱长a的最大值．【详解】依题意，正四面体可以在圆锥内任意转动，则该正四面体棱长最大时内接

于这个圆锥的内切球，设圆锥内切球球心为P，球的半径为r，圆锥的底面圆半径为1R=，作出圆锥的轴截面，截圆锥得等腰SAB△，其中SASB=，截圆锥内切球得球的大圆，该圆是SAB△的内切圆，如图；其中,O

Q为切点，1,3OAOBRSO====，则222SASBSOOB==+=，即SAB△为正三角形，于是P是SAB△的中心，连接BP，则BP平分SBA，有30PBO=，即有tan30rR=，则3331333rR===，设半径33r=的球的内接正四面体棱长为m，正四面体可以从正方

体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为m时，截得它的正方体的棱长为22m，而正四面体的四个顶点都在正方体上，于是正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，因此262322rmm==，即46rm=，所以a的最大值为4322336m=

=﹒故答案为：223四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知a＝4，b＝8，a与b的夹角是120°．（1）计算：|ab+|；（2）当k为何值时，(2)()abkab+⊥+?【答案】（1）43（2）7k=

【解析】【分析】（1）根据()2abab+=+结合数量积的运算律即可得解；（2）若(2)()abkab+⊥+，则(2)()0abkab++=，结合数量积的运算律，从而可得出答案.【小问1详解】解：()222121

664248432abababab+=+=++=+−=；【小问2详解】解：若(2)()abkab+⊥+，则(2)()0abkab++=，即()222210kabkab+++=，即()161621

1280kk−++=，解得7k=，所以当7k=时，(2)()abkab+⊥+.18.已知向量()2cos,1ax=r，1cos,32bx=−+，0,2x．（1）若ab∥，求x的值；（

2）记()fxab=，若对于任意12,0,2xx，而12|()()|−fxfx恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）3x=（2）的最小值为32【解析】【分析】（1）根据向量平行，得到cos

cos3=−+xx，由0,2x求解即可；（2）利用向量数量积运算得到()fx解析式，由12|()()|−fxfx恒成立，再通过求解()fx在0,2x的最值，

即可得到的最小值.【小问1详解】由ab∥，则ab=，则1(2cos,1)(cos(),)32=−+xx，2coscos3=−+xx，12=，故2cos2cos3=−+xx，coscos3

=−+xx，由于0,2x，所以coscoscos33=−+=−+xxx，所以()3=−+xx，则3x=.【小问2详解】()fxab==()1cos,322cos,1−

+xx=cosos32c−+xx+12，()131cossin222cos2=−−+xxfxx=31sin2cos222xx−=sin26x−，∵0,2x，∴5

2,666x−−，1sin2,162x−−.∵12|()()|−fxfx恒成立，∴12max13|()()|122−=−−=fxfx，的从而32

，即min32=.19.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为150mmin−，在甲出发2

min后，乙从A处乘缆车到B处，再从B处匀速步行到C处，假设缆车的速度为1130mmin−，山路AC长为1260m，经测量12cos13A=，3cos5C=．（1）从A处到B处，乙乘坐缆车的时间是多少min？（2）乙出发多长时间后，

乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】（1）8（2）当()35min37t=时，甲、乙两游客距离最短．【解析】【分析】（1）先利用两角和的正弦公式求得sinB，再根据正弦定理求出AC的长，从而可求乙乘坐缆车的时间；（2）设乙出发t分钟后，

甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了()10050mt+，乙距离A处130tm，由余弦定理可求d，进而可求d的最小值；【小问1详解】在ABC中，因为12cos13A=，3cos5C=．所以5sin13A=，4sin5C=，所以5312463sinsin[π()

]sin()sincoscossin13513565BACACACAC=−+=+=+=+=，由正弦定理sinsinABACCB=，得()12604sin1040m63sin565ACABCB===，乙乘缆车的时间是()1040

8min130=；【小问2详解】假设乙出发(08)tt分钟后，甲、乙距离d，此时，甲行走了()10050mt+，乙距离A处130mt，所以由余弦定理得()()()()2222121005013021301005020037705013dtt

tttt=++−+=−+，因为08t，故当()35min37t=时，甲、乙两游客距离最短．20.如图，斜三棱柱111ABCABC-中，D，1D分别为AC，11AC上的点．（1）当时，求证1//BC平面11ABD；（2）若平面1//BCD平面11ABD，求ADDC的值，并

说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1ADDC=，理由见解析【解析】【分析】（1）欲证1//BC平面11ABD，只需证1BC与平面11ABD内一直线平行，当11111ADDC=时，1D为线段11AC的中点，作出辅助线，证明出11//ODBC，满足定理所需条件；（2）根

据平面1BCD与平面11ABD平行的性质定理可知11//BCDO，同理11//ADDC，根据比例关系即可求出所求．【小问1详解】如图，当11111ADDC=时，1D为线段11AC的中点，连接1AB交1AB于点O，连

接1OD．为由棱柱的性质，知四边形11AABB为平行四边形，所以点O为1AB的中点．在11ABCV中，点O、1D分别为1AB、11AC的中点，∴11//ODBC．又∵1OD平面11ABD，1BC平面11ABD，∴1//BC平面11ABD．【小问2详解】由已

知，平面1//BCD平面11ABD，且平面11ABC平面11BDCBC=，平面11ABC平面111ABDDO=．因此11//BCDO，同理11//ADDC．∴11111ADAODCOB=，1111A

DDCDCAD=．又∵11AOOB=，∴1DCAD=，即1ADDC=．21.在①cos3sinaaCcA+=，②()()3abcabcab+++−=，③()()sinsinsinabBCbBcC−++=．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知

在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．（1）求角C的值；（2）若角C的平分线交AB于点D，且23CD=，求2ab+的最小值．【答案】（1）π3C=（2）642+【解析】【分析】（1）选择条件①：根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变

换公式和角C的取值范围，即可求解；选择条件②：根据已知条件，结合余弦定理，以及角C的取值范围，即可求解；选择条件③：根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；（2）由ABCACDBCDSSS=+△△△，可得12

abab=+，∴1112ab+=，进而利用均值不等式可求2a＋b的最小值．【小问1详解】选择条件①：∵cos3sinaaCcA+=，∴由正弦定理得sinsincos3sinsinAACCA+=，∵0πA，∴sin0A，∴1cos3sinCC+=，∴3sincos1CC−=，

即311sincos222CC−=，∴π1sin62C−=，∵0πC，∴ππ66C−=，∴π3C=；选择条件②：∵()()3abcabcab+++−=，∴()2222223abcababcab+−=++−=，∴222abcab+−=，∴22

21cos222abcabCabab+−===．∵0πC，∴π3C=；选择条件③：∵πABC++=，∴πBCA+=−，∵()()sinsinsinabBCbBcC−++=，∴()sinsinsinabAbBcC−+=，由正弦定理得()22

ababc−+=，即222abcab+−=，∴2221cos222abcabCabab+−===，∵0πC，∴π3C=．【小问2详解】角C的平分线交AB于点D，在ABC中，1πsin23ABCSab=，在ACD中，1πsin26ACDSCDb=，在

BCD△中，∵1πsin26BCDSCDa=，∴ABCACDBCDSSS=+△△△，∴12abab=+，∴1112ab+=，∴()11222223642baabababab+=++=+++≥．当且仅当22a=+，222b=+时等号成立，∴2ab+的最小值

为642+．22.已知()()22afxaxaxx=−+−≥．（1）当2a=时，解不等式()0fx；（2）若()()gxxfx=，且函数()ygx=的图像与直线2y=有3个不同的交点，求实数a的取值范围．（3）在（2）的条件下，假设3个交点的横坐标分别为1x，2x，3x，且123x

xx，若231xxtx恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）((),20,−−+；（2）)2,3；（3）31t−−.【解析】【分析】（1）由题可得210x+≥或20x−=，进而即得；（2）根据

分类讨论可得函数()()gxxfx=的解析式，然后利用数形结合即得；（3）由题可得()233min1minxxtxx=−，分()2ga≥，()2ga讨论，结合条件求3x的取值范围即得.【小问1详解】当2a=时，()22

1fxxx=−+，又∵()0fx，∴210x+≥或20x−=，∴不等式的解集为((),20,−−+；【小问2详解】由题设得()()2222,2022,22,xaxxgxxfxxax

axaxaxa−+==−+−−且，可得函数()ygx=的大致图象，所以()gx在(),0−单调递增，在()0,2单调递减，在()2,+单调递增，要使函数()ygx=的图像与直线2y=有3个不同的交

点，则()222ga，所以2422aa−，解得13a，又2a，所以，a的取值范围为)2,3；【小问3详解】由（2）可知，当23a时，1x，2x为方程222xa−+=的两根，则120xx+=，即211xx=−，又()gx在(),0−上单调递增，在()0,2上单调递减，在(

)2,a上单调递增，在(),a+单调递增，()()22211gaaaa=−=−−，（ⅰ）当()2ga≥，即313a+时，3x是方程2222xaxa−+−=的较小根，()()()223232211

311113xaaaaaaa=−−−=−−−−+=+−+−−，在)31,3a+上单调递减，则(32,31x+，∴()233min1min31xxtxx=−=−−；（ⅱ）当()2ga，即231a+时，3x是方

程222xa−=的正根，∴()321xa=+，∴()2312131xxax=−+−−，则31t−−≤，综上，31t−−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com