【文档说明】浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题+Word版含解析.docx，共(23)页，1.025 MB，由管理员店铺上传

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2022－2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高一（下）期中数学试卷学校：姓名：班级：考号：第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合

1,2,3,5M=，2,3,4N=，则MN=（）A．1,5B．1,2C．2,3D．1,2,3,42．设0.72a=，61log4b=，0.32c−=，则（）A．c＞a＞bB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c3．设x∈R，则“220xx−”是“12

x−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图，一个水平放置平面图形的直观图A＇B＇C＇D＇是边长为1的菱形，且O＇D＇＝1，则原平面图形的面积为（）A．2B．

1C．22D．25．下列命题中正确的是（）A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B．平面α内有不共线的三个点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥βC．b∥α，α∥β，则b∥βD．a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α6．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，199

6年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高

为()1062m−，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则估算索菲亚教堂的高度为（）A．20mB．203mC．206mD．103m7．正方

体1111ABCDABCD−的棱长为2，点P，Q，R分别是棱11AD，11CD，BC中点，则过点P，Q，R三点的截面面积是（）A．32B．3C．23D．338．已知22231aabb−−=，且()21log1ab−+≤≤，则

a－b的取值范围是（）A．51,3−B．51,4C．(,1−D．71,4−二、多选题（本大题共4小题，共20．0分。在每小题有多项符合题目要求）9．下列命题为真命题的是（）A．复数2－2i的虚部为－

2iB．若i为虚数单位，则2023ii=−C．复数－2－i在复平面内对应的点在第三象限D．复数52i−+的共轭复数为－2－i10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）A．若A＞B，则coscosABB．若A＝30°，b＝5，a＝2，则△ABC有两解C．若c

oscoscos0ABC，则△ABC为锐角三角形D．若coscosacBaC−=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形11．已知向量()3,2a=−，()2,1b=，(),1c=−，λ∈R，μ∈R，则（）A．若λ＝1，则2ab+在c方向上的投影向量为32c−B．与b共线

的单位向量为255,55C．若atbc=+，则4t+=−D．ab+的最小值为75512．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO＝OC＝2，则下列结论正确的是（）A．圆锥SO的侧面积为82B．三棱锥S－ABC体积的最大值为8

3C．∠SAB的取值范围是,43D．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则SE＋CE的最小值为()231+第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．复数()22zii+=−，i为虚数单

位，则z=．14．如图，在单位圆中，()1,0P，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，若237PONS=，△MON为等边三角形，则sinPOM=．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点

E，F分在边BC，CD上，BEBC=，DFDC=．若23+=，则AEAF的最小值为．16．已知圆锥底面圆的直径为2，高为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，

共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10.0分）已知4a=，8b=，a与b的夹角是120°．（1）计算：ab+；（2）当k为何值时，()()2abkab+⊥+．18．（本小题10.0分）已知向量()2cos,1ax=，1cos,32bx

=−+，0,2x．（1）若ab∥，求x的值；（2）记()fxab=，若对于任意1x，20,2x，()()12fxfx−≤，恒成立，求实数λ的最小值．19．（本小题12.0

分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为501mmin−，在甲出发2min后，乙从A处乘缆车到B处，再从B处匀速步行到C处，假

设缆车的速度为1301mmin−，山路AC长为1260m，经测量12cos13A=，3cos5C=．（1）从A处到B处，乙乘坐缆车的时间是多少min？（2）乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？20．（本小题12.0分）如图，斜三棱柱111ABCABC−中，D，1D分别为AC

，11AC上的点．（1）当时，求证1BC∥平面11ABD；（2）若平面1BCD∥平面11ABD，求ADDC的值，并说明理由．21．（本小题12.0分）在①cos3sinaaCcA+=，②()()3abcabcab+++−=

，③()()sinsinsinabBCbBcC−++=．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．（1）求角C的值；（2）若角C的平分线交AB于点D，且23CD

=，求2a＋b的最小值．22．（本小题14.0分）已知()2afxxaxx=−+−（a≥2）．（1）当a＝2时，解不等式()0fx≥；（2）若()()gxxfx=，且函数()ygx=的图像与直线y＝

3有3个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，假设3个交点的横坐标分别为1x，2x，3x，且123xxx，若231xxtx恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1．【答案】C【解析】解：由题设

1,2,3,52,3,42,3MN==．故选：C．利用集合的交运算即可求解．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2．【答案】B【解析】解：因为0.72a=，6log4b=−，0.32c−=，所以b＜0，0.30.7022ca−==，所以a＞c＞b．故选：B．利用指数函数、对

数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．3．【答案】A【解析】解：由220xx−，得0＜x＜2，由12x−，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3，∵()()0,21,

3−，∴“220xx−”是“12x−”的充分不必要条件．故选：A．分别求解一元二次不等式与绝对值的不等式，再结合充分必要条件的判定可得答案．本题主要考查了一元二次不等式与绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，属于基础题．4．【答案】A【解析】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形为平行

四边形，如图所示：其中OD＝2O＇D＇＝2，AB＝CD＝A＇B＇＝1，所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2．故选：A．把直观图还原出原平面图形，是平行四边形，计算原平面图形的面积即可．本题考查了直观图与原平面图形的关系应用问题，是基础题．5．【答案】D【解析

】解：对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；对于B：由题意可得：α∥β或α与β相交，B错误；对于C：根据题意可得：b∥β或b⊂β，C错误；对于D：∵a∥

α，则∃m⊂α，使得a∥m，则a∥m，∴b∥m，b⊄α，m⊂α，∴b∥α，D正确；故选：D．根据线面平行的判断和性质理解辨析．本题主要考查空间直线、平面位置关系的判定，命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题

．6．【答案】C【解析】解：由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，sinsin15ABABAMAMB==，在△ACM中，由正弦定理得sin30sin45AMCM=，所以sin45sin45sin30si

n15sin30AMABCM==，在Rt△DCM中，()231062sin45sin6022sin60206sin15sin3062142ABCDCM−====−．故选：C．由正弦得出AM，再结合正弦定理得到CM，进而能求CD．本题

考查解三角形的实际应用，考查正弦定理的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．7．【答案】D【解析】解：如图，设AB的中点为H，连接HR并延长，交DA延长线于E，交DC延长线于F，连接PE交

1AA于G，连接QF交1CC于I，连接GH，RI，则六边形PQIRHG为过点P，Q、R三点的截面，由题意可知，△AHE≌△BHR，则AE＝BR＝Q，故1AGEAGP≌，可知，即G为1AA的中点，同理可证I为1CC的中点，故可知六边形PQIRHG为正六边形，且边长为2，故其面积为

()2362334=，即过点P、Q．R三点的截面面积是33，故选：D．作图作出过点P、Q，R三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长即可求得截面面积．本题考查了正方体的结构特征，考查了平面被正方体截得的图形问题，主要考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．8．【答案】B【解析】

解：()()222331aabbabab−−=−+=，∵()21log1ab−+≤≤，能122ab+≤≤，设a＋b＝m，a－3b＝n，则mn＝1，则()()()11113222abababmnmm−=+−=+=+，1,22m，∵1ymm=+在1,12

单调递减，在(1,2上单调递增，∴min112y=+=，12m=时，52y=；m＝2时，52y=，∴a－b的取值范围为：51,4．故选：B．可得出()()222331aabbabab−−=−+=，根据条件得出122ab+≤≤，设a＋b＝m，a－3b＝n，m

n＝1，从而得出112abmm−=+，1,22m，然后根据函数1ymm=+的单调性可得出y的取值范围，进而得出a－b的取值范围．本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对勾函数1yxx=+的单调性，考查了计算能力，属

于中档题．9．【答案】BC【解析】解：复数2－2i的虚部为－2，故A错误；()505202343iiii==−，故B正确；复数－2－i在复平面内对应的点()1,1−−在第三象限，故C正确；()()()5252222iiiii−−==−−−+−+

−−，其共轭复数为－2＋i，故D错误．故选：BC．根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的

几何意义，属于基础题．10．【答案】ACD【解析】解：对于A，∵A＞B，∴sinsinAB，根据同角三角函数基本关系式可知coscosAB，故A正确；对于B，由正弦定理可得：sinsinabAB=，∴15sin52sin124bABa===，此时△ABC无解，故B错误；对于C，∵co

scoscos0ABC，∴cos0cos0cos0ABC，可知A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形，故C正确；对于D：∵coscosacBaC−=，coscosacBbC=+，∴coscoscoscosBbCcBaC+−=，∴coscosbC

aC=，∴()cos0baC−=，b＝a或cos0C=90C=，故D正确．故选：ACD．利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11．【答案】AD【

解析】解：A．λ＝1时，()1,1c=−，()21,4ab+=，∴2ab+在c方向上的投影向量为：()232cacccb+=−，A正确；B．与b共线的单位向量为：255,55bb=或255,55bb−=−−，B错误；C．atbc=+，

∴()()3,22,1tt−=+−，∴2312tt+=−−=，∴6t+=−，C错误；D．∵()23,2ab+=−+，∴()()22224494975232581355555ab+=−++=−+=−+=

≥，∴ab+的最小值为：755，D正确．故选：AD．A．λ＝1时，()1,1c=−，得出()21,4ab+=，然后根据投影向量的计算公式即可求出2ab+在c方向上的投影向量，从而判断出A的正误；B．与b共线的单位向量为b

b，从而判断B的正误；C．根据atbc=+得出()()3,22,1tt−=+−，进而得出2312tt+=−−=，然后即可判断C的正误；D．可求出25813ab+=−+，然后配方即可判断D的正误．本题考查了投影向量的计算公式，

向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义及求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．12．【答案】BD【解析】【分析】本题考查旋转体及其特征，考查剪展问题中最值的求法，考查棱锥体

积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，是中档题．由已知求出圆锥侧面积判断A；求出三棱锥S－ABC体积的最大值判断B；由极限观点求解∠SAB的取值范围判断C；利用剪展问题求得SE＋CE的最小值判断D．【解答】解：在Rt△SOC中，∵SO＝OC＝

2，∴22SC=，则圆锥SO的侧面积为12222422S==，故A错误；当B位于AC中点时，△ABC面积取最大值，为14242=，此时三棱锥S－ABC体积的最大值为184233=，故B正确；当点

B与点A重合时，∠ASB＝0，为最小角，当点B与点C重合时，2ASB=，为最大角，又因为点B与A，C不重合，故0,2ASB，又2SABASB+=，可得∠SAB的取值范围是,42，故C错误；若AB＝BC，以AB为轴把平面SAB旋转至与平面

ABC共面，连接SC，交AB于E，如图所示，在此平面图中，易得△SAB为等边三角形，AB⊥BC，且22ABBC==，则∠SBC＝150°，在△SBC中，22SBBC==，由余弦定理可得，()()22222222222cos150SC=+

−()388222222312=+−−=+，即SE＋CE的最小值为()231+，故D正确．故选：BD．13．【答案】1【解析】解：由题意，()()()2223422255iiziiii−−===−++−，则2234155z=+−=

．故答案为：1．先化简复数z，再由复数的模长公式计算即可．本题考查复数的运算，考查复数的模长公式，属于基础题．14．【答案】5314【解析】解：12311sin27PONSPON==，解得43sin7PON=，而点N在第二象限，则2

431cos177PON=−−=−，∵3MON=，∴1353sinsinsincos32214POMPONPONPON=−=−=．故答案为：5314．根据三角形面积公式求出sinPON，然后结合两角和与差的正弦公式，即可求解

．本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及正弦函数的两角差公式，属于中档题．15．【答案】4/9【解析】解：如图，∵BEBC=，DFDC=，且23+=，∴()()AEAFABBEADDF=++()()()()ABBCA

DDCABADADAB=++=++()221ABADADAB=+++()()()1812242123=+−++=−++，由题意可得，λ，μ＞0，∵23+=，∴2129+=≤，则()20

219−+−≥，∴()842139−++≥（当且仅当13==时等号成立），∴AEAF的最小值为49．故答案为：49．由题意画出图形，把AEAF用AB，AD表示，最后转化为含有λ，μ的代数式，再结合23+=及基本不等式求得AEAF

的最小值．本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．16．【答案】223【解析】解：四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥

的轴截面如图：则OA＝OB＝1，∴3SO=，∴222SASBSOOA==+=．∴三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，∴∠PBO＝30°．∴tan30rR=，即3331333rR===，即四面体的外接球的半径为33r

=．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为22a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，∴12326233322rAAaa====，即a的最大值为22

3．故答案为：223．根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，然后利用分割补形法求得a的最大值．本题考查正四面体的外接球，考查化归与转化思想，训练了分割补形法的应用，是中档题．17．【答案】解：（1）()222121664248432abababab+=+

=++=+−=．（2）∵()()2abkab+⊥+，∴()()20abkab++=，∴()222120kakabb+−−=，即()1616212640kk−−−=，解得7k=−，故当7k=−时，()()2abkab+⊥+成立．【解析】（1）()2abab+

=+，再结合数量积的运算公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合数量积的运算公式，即可求解．本题主要考查数量积的运算公式，属于基础题．18．【答案】解：（1）由ab∥，则12cos1cos23xx=

−+，即sin3cosxx=，即tan3x=，又0,2x，则3x=；（2）()211312coscos3sincoscossin2cos2sin2322226fxabxxxxxxxx==−++=−+

=−=−，又0,2x，则52,666x−−，则()1,12fx−，又对于任意1x，20,2x，而()()12fxfx−≤恒成立，则()()maxmin13122fxfx

−=−−=≥，故实数λ的最小值为32．【解析】（1）由ab∥，则12cos1cos23xx=−+，再求解即可；（2）由()sin26fxabx==−，又0,2x，则()1,12fx−

，又对于任意1x，20,2x，()()12fxfx−≤恒成立，等价于()()maxmin13122fxfx−=−−=≥，得解．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数恒等变换及三角函数最值的求法，属中档题．19．【

答案】解：（1）在△ABC中，因为12cos13A=，3cos5C=．所以5sin13A=，4sin5C=，从而()()5312463sinsinsinsincoscossin13513565BACACA

CAC=−+=+=+=+=，由正弦定理sinsinABACCB=，得()sin1040msinACABCB==，乙乘缆车的时间是()10408min130=；（2）假设乙出发t（0≤t≤8）分钟后，甲、乙距离为d，此

时，甲行走了()10050m+，乙距离A处130m，所以由余弦定理得()()()()2222121005013021301005020037705013dtttttt=++−+=−+，因为0≤t≤8，故当()35min37t=

时，甲、乙两游客距离最短．【解析】（1）先利用两角和的正弦公式求得sinB，再根据正弦定理求出AC的长，从而可求乙乘坐缆车的时间；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了()10050mt+

，乙距离A处130tm，由余弦定理可求d，进而可求d的最小值；本题考查了正余弦定理的应用，锐角三角函数定义，属中档题．20．【答案】解：（1）证明：如图，当11111ADDC=时，1D为线段11AC的中点，连接1AB交1AB于点O，连接1OD．由棱柱的性质，知四边形11AABB为平行四边形

，所以点O为1AB的中点．在11ABC中，点O、1D分别为1AB、11AC的中点，∴11ODBC∥．又∵1OD平面11ABD，1BC平面11ABD，∴1BC∥平面11ABD．（2）由已知，平面1BCD∥平面11ABD，且平面11AB

C平面11BDCBC=，平面11ABC平面111ABDDO=．因此11BCDO∥，同理11ADDC∥．∴11111ADAODCOB=，1111ADDCDCAD=．又∵11AOOB=，∴1DCAD=，即1ADDC=．【解析】（1）欲证1BC∥平面11ABD，根据直线与平面平行的判定定

理可知只需证1BC与平面11ABD内一直线平行，当11111ADDC=时，1D为线段11AC的中点，连接1AB交1AB于点O，连接1OD，11ODBC∥，1OD平面11ABD，1BC平面11ABD，满足定理所需条件；（2）根据平面1BCD与平面11ABD平行的性质定理可知11BCDO

∥，同理11ADDC∥，根据比例关系即可求出所求．本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的性质，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21．【答案】解：（1）选择条件①：∵cos3sinaaCcA+=，∴由正弦定理得sinsin

cos3sinsinAACCA+=，∵02A，∴sin0A，∴1cos3sinCC+=，∴3sincos1CC−=，即311sincos222CC−=，∴1sin62C−=，∵02

C，∴66C−=，∴3C=；选择条件②：∵()()3abcabcab+++−=，∴()2222223abcababcab+−=++−=，∴222abcab+−=，∴2221cos222abcabCabab+−===．∵02C，∴3C=；选择条件③：∵A＋B＋C＝π，∴B＋C＝π

－A，∵()()sinsinsinabBCbBcC−++=，∴()sinsinsinabAbBcC−+=，∴()22ababc−+=，即222abcab+−=，∴2221cos222abcabCabab+−

===．∵02C，∴3C=；（2）在△ABC中，1sin602ABCSab=，在△ACD中，1sin302ACDSCDb=，在△BCD中，∵1sin302BCDSCDa=，∴ABCACDBCDSSS

=+，∴12abab=+，∴1112ab+=，∴()11222223642baabababab+=++=+++≥．当且仅当22a=+，222b=+时等号成立，∴2a＋b的最小值为642+．【解析】（1）选择条件①：根据已知条件，结合正

弦定理，以及三角函数的恒等变换公式和角C的取值范围，即可求解；选择条件②：根据已知条件，结合余弦定理，以及角C的取值范围，即可求解；选择条件③：根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；（2）由ABCACDBCDSSS=+，可得12abab=

+，∴1112ab+=，进而利用均值不等式可求2a＋b的最小值．本题考查了解三角形，重点考查了正弦定理及余弦定理，考查三角形的面积公式，属中档题．22．【答案】解：（1）当a＝2时，()221fxxx=+−，又∵()0fx≥，∴210x+≥或20x−=，

∴不等式的解集为((),20,−−+；（2）由题设得()()2222,2022,22,xaxxgxxfxxaxaxaxaxa−+==−+−−且≤≤，可得函数()ygx=的大致图象，所以()gx在(),0−单调递增，在()0,2单调递减，在()2,+单调递增，要使函

数()ygx=的图像与直线y＝3有3个不同的交点，则()232ga，所以2a－4＜3＜2a，解得3722a，又a≥2，所以a的取值范围为72,2；（3）由（2）可知，当722a≤时，1x，2x为方程223xa−+=的两根，则120xx+=，即

211xx=−，又()gx在(),0−上单调递增，在()0,2上单调递减，在()2,a上单调递增，在(),a+单调递增，()()22211gaaaa=−=−−，（ⅰ）当()3ga≥，即732a≤时，3x是方程2223xaxa−+−=的较小根，()()()2232423

11411114xaaaaaaa=−−−=−−−−+=+−+−−，在73,2a上单调递减，则(32,3x，∴()233min1min3xxtxx=−=−；（ⅱ）当()3ga，即

2＜a＜3时，3x是方程223xa−=的正根，∴323xa=+，∴23123xxax=−+−，则t≤－3，综上，t的取值范围为(),3−−．【解析】（1）由题可得210x+≥或20x−=，进而即得；

（2）根据分类讨论可得函数()()gxxfx=的解析式，然后利用数形结合即得；（3）由题可得()233min1minxxtxx=−，分()3ga≥，()3ga讨论，结合条件求3x的取值范围即得．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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