【文档说明】江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高二下学期期中联考数学（理）试题 含答案.doc，共(8)页，1.102 MB，由小赞的店铺上传

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南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年度第二学期高二理科数学期中联考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．复数12izi−=+（i为虚数单位)的虚部为（）A．15B．35i−C．35−D．35i2．下列说法正确的是（）A．有两个面

平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；D．棱台各侧棱的延长线交于一点.3．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平

面，则下列判断正确的是（）A．若⊥，m，n，则直线m与n一定平行B．若m⊥，n⊥，⊥，则直线m与n可能相交、平行或异面C．若m⊥，//n，则直线m与n一定垂直D．若m，n，

//，则直线m与n一定平行4．在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则//；③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l^；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线

．A．0B．1C．2D．35．如右图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F分别为线段1AA，1BC上的点，则三棱锥1DDEF−的体积为（）A．13B．14C．16D．1126．如图，正方体

1111ABCDABCD−的棱长为2，下面结论错误的是（）A．//BD平面11CBDB．1AC⊥平面11CBDC．异面直线1CB与BD所成角为60D．三棱锥11DCBD−体积为237．如下图，在下列四个正方

体图形中，,AB为正方体的两个顶点，,,MNP分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形是（）A．①④B．③④C．④D．①②④8．已知正方体1111ABCDABCD−中，点M是线段1CC的中点，且平面1AD

M平面ABCDl=，则直线l与1DC所成角的余弦值为（）A．105B．155C．35D．259．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，

在如图所示的堑堵111ABCABC−中，15AAAC==，3AB=，4BC=，则在堑堵111ABCABC−中截掉阳马111CABBA−后的几何体的外接球的体积是A．50B．12523C．12526D．20010．已知复数z

满足=2z，则34zi+-的最大值是（）A．5B．9C．7D．311．某几何体的三视图如右图所示，则其外接球的表面积为（）A．803B．1369C．5449D．483π12．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F分别是棱AB，11AB的中点，点P在四边形ABCD内

（包括边界）运动，则下列说法不正确的是（）A．若P是线段BC的中点，则平面1ABP⊥平面DEFB．若P在线段AC上，则1DP与11AC所成角的取值范围为,32C．若1//PD平面11ACE，则点P的轨迹的

长度为2D．若//PF平面11BCD，则线段PF长度的最小值为62二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为__________．14．已知正三棱锥PABC−中，D是BC的中点

，若三个侧面是直角三角形，则直线PD与直线AB所成的角的大小为________.15．在正三棱锥PABC−中，3AB=，5PB=，则三棱锥PABC−外接球的表面积为_____.16．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点M为11BD上一动点（含端点），则下列四个结论：①//AM平面

1BCD；②11CMBD⊥；③平面ACM⊥平面11ABD；④点M到平面1BCD的距离为定值.其中一定正确的结论序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）17．（10分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，ABAC=，侧面11BCCB⊥底面ABC，E，F分别为棱BC和11AC的中点.（1）求证：//EF平面11ABBA；（2）求证：平面AEF⊥平面11BCCB.18．（12分）如

图，在矩形ABCD中，2,2ABBC==，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿,AEDE折起，使点B与点C重合于点P．（1）求证：PE⊥平面PAD；（2）求二面角PADE−−的大小．19．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为13xtyt=−=−（t

为参数），曲线C的参数方程为2cos22sinxy==+（为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，其中点M的极坐标为1,2．（1）求直线l以及曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求11MAMB−的

值．20．（12分）如图直三棱柱111,ABCABC−在底面ABC中，1,90CACBBCA===，棱12,,AAMN=分别为111,ABAA的中点.（1）求证：BN⊥平面1CMN；（2）.求异面直线1BA、1CB所成角的余弦值.21．（12分）椭圆()2222:10xyCab

ab+=与椭圆22:12524xyE+=有共同的焦点，且椭圆C的离心率12e=，点,MF分别为椭圆C的左顶点和右焦点，直线l过点F且交椭圆C于,PQ两点，设直线,MPMQ的斜率分别为12,kk.（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在直线l，使得1214kk+=−，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由.22．（12分）已知函数()()21exfxxax=−−（e是自然对数的底数，aR）．（1）讨论函数()fx极值点的个数，并说明理由；（2）若0x，()3exfxxx++，求a的取值范围．高二

理科数学期中联考参考答案1．C2.D3．C4．A5．C6．D7．A8．A9．B10．C11．C12．D13．30°14．315．25416．①④17．（1）取11AB的中点G，连接BG，FG，在111ABC

中，因为F，G分别为11AC，11AB的中点，所以11//FGBC，且1112FGBC=，在三棱柱111ABCABC−中，11//BCBC，又E为棱BC的中点，所以//FGBE且FGBE=，从而四边形BEFG为平行四边形，于是//EFBG，又因为BG面11ABBA，EF面11ABBA，所以//

EF平面11ABBA..........................................................................(5分）（2）证明：在ABC中，因为ABAC=，E为BC的中点，所以AEBC⊥，又因为侧面1

1BCCB⊥底面ABC，侧面11BCCB底面ABCBC=，且AE面ABC，所以AE⊥平面1BCCB，又AE面AEF，所以平面AEF⊥平面1BCCB.........................

..................................................(10分）18．（1）在矩形ABCD中，有,ECCDEBBA⊥⊥，∴由题意知：,PEPDPEPA⊥⊥，而PDPAP=，∴PE⊥平面PAD；.........

...............................................(6分）（2）过E作EFAD⊥于F，连接PF，又AD平面PAD，由（1）知：PEAD⊥，而PEEFE=，所以AD⊥平面PEF，∴PFE为二面角PAD

E−−的平面角，而2,2ABBC==，∴1,2PFPEFE===，则2222cos22PFFEPEPFEPFFE+−==，∵[0,]PFE，∴4PFE=..........................

..................................................................................(12分）19．（1）在l的参数方程中消去参数t可得31yx=+，在曲线C的参数

方程中，可得2cos22sinxy=−=，()()()222222cos2sin4xy+−=+=，即2240xyy+−=，所以，直线l的普通方程为31yx=+，曲线C的普通方程为2240xyy+−=；.........(6分）（2）易知点()0,1M，

设直线l的参数方程为12312xtyt==+（t为参数），设点A、B对应的参数分别1t、2t，将直线l的参数方程代入2240xyy+−=得2330tt−−=，34315=+=，所以123tt=−，123tt+=．.

...................................................(9分）由于直线l过()0,1M，故12121133MAMtBttt+−==．..................................(12

分）20（1）证明：在直三棱柱111ABCABC−中M为11AB的中点，1111CACB=111CMAB⊥111CMABBA⊥平面111BNABBACMBN⊥平面011,90,2CACBBCAAA====,N为1AA的中点，易得6,32MNBN==连接M

B，得32=2MB222090,MNBNMBBNMBNMN+==⊥则即11111MNCMNCMCMNMNCMMBNCMN=⊥平面平面平面.......................................................................

.(6分）(2)连接1BC交1BC于点D,作1111,ACBC的中点分别为,EF连接,,DEEFFD,则1EDB即为异面直线1BA、1CB所成的角易求得2211655,,222DEEFDFDBEB=+===则在1EDB中，222111165530444cos

21065222DEDBEBEDBDEDB+−+−===.....................................(12分）21．（1）由题意可知椭圆C中，1c=，由离心率12cea==可得2a=又知2223bac=

−=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=........................................(4分）（2）右焦点()1,0F，右顶点()2,0M−，假设存在直线l，满足1214kk+=−若直线l斜率不存在时，120kk+=

，不合题意，舍去;设直线l的方程为()1ykx=−，联立方程()221143ykxxy=−+=化简得()22223484120kxkxk+−+−=221212228412,3434kkxxxxkk−+==++由题意易知0恒成立....................

................................................................(7分）设直线与椭圆C的两个交点为()()1122,,,PxyQxy则()()1212121212112222kxkxyykkxxxx−−+=+=

+++++()()121212122424xxxxkxxxx++−=+++2222222241282434344128243434kkkkkkkkk−+−++=−++++()()222222824843441216434kkkkkkk−+−+=−+++114k=−

=−所以4k=即直线():41lyx=−，化简得440xy−−=综上可知，存在直线:440lxy−−=，满足1214kk+=−............................（12分）22．解（1）()fx的定义域为R，()()e2e2xxfxxaxx

a=−=−．当0a时，()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，∴()fx有1个极值点；当102a时，()fx在(),ln2a−上单调递增，在()ln2,0a上单调递减，在()0,+上单调递增，∴()fx有2个极值点；当12a=时，()fx在R上单调递增，

∴()fx没有极值点；当12a时，()fx在(),0−上单调递增，在()0,ln2a上单调递减，在()ln2,a+上单调递增，∴()fx有2个极值点；综上所述，当0a时，()fx有1个极值点；当0a且12a时

，()fx有2个极值点；当12a=时，()fx没有极值点．............（6分）（2）由()3exfxxx++，得32e0xxxaxx−−−，当0x时，2e10xxax−−−，即2e1xxax−−对0x恒成立，设()()2e10xxg

xxx−−=，则()()()21e1xxxgxx−−−=．设()()e10xhxxx=−−，则()e1xhx=−．∵0x，∴()0hx，∴()hx在()0,+上单调递增，∴()()00hxh=，即

e1xx+，∴()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，∴()()1e2gxg=−，∴e2a−．∴a的取值范围是(,e2−−．................................................

...................................(12分）