【文档说明】【精准解析】湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【武汉专题】.docx，共(20)页，662.253 KB，由管理员店铺上传

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数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上．)1.数列na是等差数列，23a=，59a=，则6S=（）A.12B.24C.3

6D.72【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可.【详解】16256()6()6(39)636222aaaaS+++====.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的下标性质，考查了等差数列的前n项和公式，考查了数学运算能力.2

.若向量a→，b→满足()5aab→→→−=，||2a→=，1b→=，则向量a→，b→的夹角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，对等式()5aab→

→→−=进行变形，最后结合平面向量的夹角定义和特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】222()55cos5221cos5aabaabaababab→→→→→→→→→→→→→−=−=−

=−=，即12cos,[0,],23ababab→→→→→→=−=−.故选：C【点睛】本题考查了求平面向量的夹角，考查了平面向量的数量积的运算性质和定义，考查了数学运算能力.3.在ABC

中，23,22,4abB===，则A等于（）A.6B.3C.6或56D.3或23【答案】D【解析】由正弦定理得sinsinabAB=，所以23sinsin34sin222aBAb===，又ab，所以4A，所以3A

=或23A=．选D．点睛：已知三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意．4.在ABC中，12BDDC=，则AD=（）A.1344ABAC+B.2133ABAC+C.1233ABAC+D.2133ABAC−

【答案】B【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线向量的性质和平面向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】11121()().33333ADABBDABBCABBAACABABACABAC=+=+=++=+−+=+故选：B【点睛】本题考查了平面向量基本

定理的应用，考查了平面向量加法的几何意义，考查了共线向量的性质，属于基础题.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚

痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（）A.96里B.24里C.192里D.48里【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的定义、等比数列的前n项和公式、等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】由

题意可知：每天走的路程构成12为公比的等比数列，设为(1,2,3,4,5,6)nan，所以第一天走的路程为1a，设6天共走的路程为6S，则有61611[1()]2378192112aSa−===−，因此第4天

走的路程为：34111()1922428aa===.故选：B【点睛】本题考查了数学建模能力，考查了等比数列的前n项和公式、等比数列的通项公式，考查了数学运算能力和数学阅读能力.6.已知数列na是等比数列，数列

nb是等差数列，若1598aaa=−，2583bbb++=，则4637sin1bbaa+−的值是（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】D【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的下标性质，结合诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可.【详解】因为数列na是等比数列，所以由23159

19555558()8882aaaaaaaaaa=−=−=−=−=−，又因为数列nb是等差数列，所以由2582855555332333bbbbbbbbbb++=++=+===，465237

522223sinsinsinsin()sinsin()sin.111433332bbbaaa+===−=−=−−=−=−−−−故选：D【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的下标性质，考查了特殊角的正弦值，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.7.钝角三角形ABC的

面积是332，2AB=，3BC=，则AC=（）A.7B.15C.17D.19【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式，结合余弦定理和已知三角形是钝角三角形进行求解即可.【详解】因为钝角三角形ABC的面积是332，所以有133sin3sin222ABBCBB

==，因为(0,)B，所以3B=或23B=.当3B=时，2212cos4922372ACABBCABBCB=+−=+−=，因为2AB=，3BC=，所以最长边为BC，于是有2224791cos0222727ABACBCAABAC

+−+−===，因此三角形ABC的最大内角A是锐角，这与已知三角形ABC不符合，故舍去；当23B=时，2212cos49223()192ACABBCABBCB=+−=+−−=.故选：D【点睛】本题考查了三角形

面积公式的应用，考查了余弦定理的应用，考查了钝角三角形的性质，考查了数学运算能力.8.已知ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若2cosaBc=，则该三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】

【分析】根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状．【详解】由2cosaBc=及余弦定理得22222222acbacbaacacc+−+−==，整理得22cb=，∴bc=，∴ABC为等腰三角形．故选A．【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形

状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择．9.如图，已知等腰ABC中，3ABAC==，4BC=，点P是边BC上的动点，则()APABAC+（）A.为定值10B.为定值6C.最大值为18D.与P的位置有关【答案】A【解析】【

分析】设(01)BPBC=，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可.【详解】设(01)BPBC=.()()()2()APABACABBPA

BACABABACBCABAC+=++=+++，因为()()()()220BCABACBAACABACACAB+=++=−=，22299161cos22339ABACBCAABAC+−+−===，

所以()22333cos10APABACABABACA+=+=+=.故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.10.在ABC中，三边长可以组成公差为

1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为（）A.1516B.15316C.154D.1534【答案】B【解析】【分析】根据三角形的大边对大角的性质，结合特殊角的三角函数值、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】设ABC最小边的边长为a，由题意可知，另个

二个边的边长分别为：1,2aa++，显然三边不相等，且边长为2a+的边为最长边，它所对的角为最大角，设为.因为最大角的正弦值为32，所以3sin,(0,),2=3=或23=.当3

=时，因为最大角为3，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去；当23=时，由余弦定理可知：22222(2)(1)2(1)cos2303aaaaaaa+=++−+−−=，解得32a=或1a=−（舍去），因此三边长分别为：3

57,,222，因此三角形面积为：1353153222216=.故选：B【点睛】本题考查了三角形面积公式，考查了余弦定理的应用，考查了三角形的性质，考查了数学运算能力.11.如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D

处观测，A、B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A、B两岛屿的距离为（）海里．A.56B.106C.102D.202【答案】A【解析】【分析】连接AB，根据题意得出相应角的大小，分

别在ADC、BCD、ABD使用正弦定理、锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可.【详解】连接AB，由题意可知：10,105,45,90,30CDADCBDCBCDACD=====，所以有4

5,60DACADB==.在ADC中，由正弦定理可知：52sinsinADCDADACDCAD==.在RtBCD中，cos102CDBDCBDBD==.在ABD中，由余弦定理可知：222cos56ABA

DBDADBDADB=+−=.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能力.12.数列na的前n项和为nS，()()1211nnnnaan+++=−，20211001S=，则2a的值为（）A

.9−B.8C.1019−D.1018【答案】B【解析】【分析】分别令1,2,3,4,,2019,2020n=代入等式()()1211nnnnaan+++=−中，得到2020个等式，把2020个等式相加

，再根据这些等式，求出2020S的表达式，最后结合已知20211001S=进行求解即可.【详解】因为()()1211nnnnaan+++=−，所以有：121,(1),aa+=−，2334452,(2),3,(3),4,(4),,aaa

aaa+=−+=+=201920202019,(2019)aa+=202020212020,(2020)aa+=，(1)(2)(3)(4)(2019)(2020)++++++，得：20202021120202021150542020SSaSSa+−=+−=，(1)(3)(2019)+++，得：

20201010S=，因此12021202020201001101020209aSS=+−=+−=−，而121aa+=−，因此2118aa=−−=.故选：B【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了数学运算能力

，考查了转化与化归思想，属于基础题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上．)13.已知,ab为单位向量，其夹角为120，则ab−=______.【答案】3

【解析】【分析】由公式2||aa=将ab−看成一个整体，即2||()abab−=−直接进行运算.【详解】由题意得：2221||()222()32ababaabb−=−=−+=−−=.故答案为：3.

【点睛】本题考查向量模的求解、数量积的运算，考查运算求解能力，求解时注意夹角为120余弦值为12−，不能符号弄错.14.在数列na中，13a=，212nnnaa+=+，则na=_________．【答案】n453

+【解析】【分析】运用累加法，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可.【详解】当2n时，2(1)11124nnnnnaaa−−−−=+=+，所以有：121122111()()()44434(14)453,143nnnnnnnnnaaaaaaaa−−−−−−=−+−+

+−+=++++−+=+=−当1n=时，也上适合上式，所以na=n453+.故答案为：n453+【点睛】本题考查了应用累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和公式，考查了数学运算能力.15.若等比数列*{}()nanN满足1330aa+=，2410aa+=，则12...naa

a的最大值为____．【答案】729【解析】【分析】求出基本量1a，q后可得数列的通项，判断1na、01na何时成立可得n取何值时有12...naaa的最大.【详解】设公比为q，因为1

330aa+=，2410aa+=，所以241313aaqaa+==+，所以111309a+=，解得127a=，所以1412733nnna−−==，当14n时，1na；当5n时，01na，故12...naaa最大值为32106123123433729a

aaaaaa+++====，故填729.【点睛】正项等比数列na的前n项积为nT，其公比为q（1,0qq）（1）若101a，则当1q时，nT有最小值0nT无最大值，且0011,1nnaa+；当01q时，n

T有最大值1T，无最小值.（2）若11a，则当01q时，nT有最大值0nT无最小值，且0011,1nnaa+；当1q时，nT有最小值1T，无最大值.16.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，3c=且(sinsin)(3)()sinCBba

bA−+=+，则ABC面积的最大值为_________．【答案】334【解析】【分析】根据正弦定理化简等式，再根据余弦定理求出C的大小，最后根据基本不等式和三角形面积公式进行求解即可.【详解】根据正弦定理，由(sinsin)(3)()sin()(3)()(

3)(3)(),CBbabAcbbababbaba−+=+−+=+−+=+化简得：229abab++=，而由余弦定理可知；22292coscababC==+−，因此12cos,(0,),23CCC=−=.2

22abab+Q（当且仅当ab=时，取等号），923ababab−.设ABC面积为S，于是有112333sinsin22344SabCabab===.故答案为：334【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了三角形面积公式，考查了数学运算

能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在平面直角坐标系中，已知()1,2a=−r，()3,4b=.（Ⅰ）若()()3//abakb−+，求实数k的值；（Ⅱ）若()at

bb−⊥，求实数t的值.【答案】（Ⅰ）13−；（Ⅱ）15−.【解析】【分析】（Ⅰ）求出向量3ab−和akb+的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k的方程，解出即可；（Ⅱ）由()atbb−⊥得出()0atbb−

=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数t的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ）()1,2a=−rQ，()3,4b=，()()()331,23,40,10ab−=−−=−，()()()1,23,431,42akbkkk+=−+=+−，()()3//ab

akb−+，()10310k−+=，解得13k=−；（Ⅱ）()()()1,23,413,24atbttt−=−−=−−−，()atbb−⊥，()()()3134242550atbbttt−=−+−−=−−=

，解得15t=−.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.18.已知数列na是等差数列，1=10a−，公差0d，且245,,aaa是等比数列；（Ⅰ）求na；（Ⅱ）求数列||na的前n项和nT．【答案】（Ⅰ）212nan=−；（Ⅱ）

2211,161160,7nnnnTnnn−=−+．【解析】【分析】（Ⅰ）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（Ⅱ）根据na的正负性，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可.

【详解】（Ⅰ）由题意：245,,aaa是等比数列，所以有()()()210104103ddd−+−+=−+解得：2d=或0（舍去），所以212nan=−；（Ⅱ）当16n时，0na，即有2(10212)112nnnnTSnn−+−=−=−=−；当7n时，0na，662

(10212)(100)62116022nnnnTSSSnn−+−−+=−−=−=−+，即有2211,161160,7nnnnTnnn−=−+．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了求等差数列的通项公

式，考查了等差数列的前n项和公式的应用，考查了数学运算能力19.在四边形ABCD中，90ADC=，45A=，1AB=，3BD=．（Ⅰ）求cosADB；（Ⅱ）若2DC=，求BC．【答案】（Ⅰ）346；（Ⅱ）3BC=．【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即

可；（Ⅱ）根据诱导公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】（Ⅰ）在ABD△中，由正弦定理得sinsinBDABAADB=．由题设知，31sin45sinADB=，所以2sin6ADB=．由题设知，90ADB，所

以234cos1366ADB=−=．（Ⅱ）由题设及（1）知，2cossin6BDCADB==．在BCD中，由余弦定理得2222cosBCBDDCBDDCBDC=+−2922326=+−9=．所以3BC=．【点睛】本题

考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了数学运算能力.20.等差数列na的前n项和为nS，已知17a=−，公差d为整数，且4nSS；（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa

+=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（Ⅰ）29nan=−；（Ⅱ）nT=()727nn−−．【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列na的前n项nS最值的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（Ⅱ）利用裂项相消法进行求解即可.【详解

】（Ⅰ）由等差数列na的前n项nS满足4nSS，170a=−，得a4≤0，a5≥0，于是7−＋3d≤0，7−＋4d≥0，解得74≤d≤73，因为公差d为整数，因此d＝2．故数列{an}的通项公

式为29nan=−（2）()()1111292722927nbnnnn==−−−−−，于是12nnTbbb=+++……1111111275532927nn=−+−++−−−−−−−……()1112727727nnn=−−=−−−

∴nT=()727nn−−【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求解，考查了裂项相消法的应用，考查了数学运算能力.21.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222cossinsincossinAABCB+=+．（Ⅰ）求

角C；（Ⅱ）若21c=，且ABC的面积是53，求ABC的周长．【答案】（Ⅰ）3C=；（Ⅱ）921+．【解析】【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理、余弦定理进行求解即可；（Ⅱ）根据三角形面积公式，结合完全平方和

公式和（Ⅰ）中结论进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由222cossinsincossinAABCB+=+，得21sinsinsinAAB−+221sinsinCB=−+，即2sinsinsinCAB+22sins

inAB=+．由正弦定理可得222abcab+−=，由余弦定理可得222cos122abcCab+−==，(0,),3CC=；（2）1sin2ABCSabC=5334ab==，20ab=，因为222cab

ab=+−，21c=，所以2241ab+=，()2222414081abaabb+=++=+=，9ab+=所以ABC的周长为921+．【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了数学运算能力.22.设正项数列na的

前n项和为nS，且满足：24a=，21444nnaSn+=++，nN．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列nb满足11ba=，34ba=，且1nnncab+=，数列nc的前n项和为

nT，若对任意nN，均有2828nTmnn−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）an＝2n；（Ⅱ）[332，+∞）．【解析】【分析】（Ⅰ）对递推关系21444nnaSn+=++再递推一步，两式相减，最后结合等差数列的定义

进行求解即可；（Ⅱ）根据等差数列的通项公式结合已知求出等比数列的通项公式，最后利用错位相减法、判断数列的单调性进行求解即可.【详解】（Ⅰ）因为21444nnaSn+=++，所以()214414nnaSn−=+−+（n≥2），两

式相减得：an+12﹣an2＝4an+4，即an+12＝（an+2）2（n≥2），又因为数列{an}的各项均为正数，所以an+1＝an+2（n≥2），又因为a2＝4，16＝a12+4+4，可得a1＝2，所以当n＝1时上式成立，即数列{an}是首项

为2、公差为2的等差数列，所以22(1)2nann=+−=；（Ⅱ）由（1）可知b1＝a1＝2，b3＝a4＝8，所以正项等比数列nb的公比为：822q==，因此bn＝2n；cn＝()112nn++．()2312232212nnnTnn+=+++++……①()341222232212n

nnTnn++=+++++……②①—②得：()3412822212nnnTn++−=++++−+……()()()()232122242232124421122nnnnnnnn++++=+++++−+=+−−+=−……22nnTn+=2828nTmnn−恒成

立，等价于()2247nnmnn+−恒成立，所以272nnm−恒成立，设kn＝272nn−，则kn+1﹣kn＝1252nn+−﹣272nn−＝1922nn+−，所以当n≤4时kn+1＞kn，当n＞4

时kn+1＜kn，所以123456kkkkkk……所以当kn的最大值为k5＝332，故m≥332，即实数m的取值范围是：[332，+∞）．【点睛】本题考查了由递推关系求等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的

和，考查了数列恒成立问题，考查了数列的单调性，考查了数学运算能力.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com