【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题09 幂函数与二次函数 Word版无答案.docx，共(19)页，325.980 KB，由小赞的店铺上传

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专题09幂函数与二次函数知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：幂函数的图象与性质题型二：求二次函数的解析式题型三：二次函数的图象问题题型四：二次函数的单调性与最值问题题型五：二次方程根的分布问题题型六：

二次函数中的恒成立问题题型七：二次函数的综合问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12

，y＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.【考点预测】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递

减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函

数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标

－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上是减函数；在－∞，－b2a上是增函数；在－b2a，＋∞上是增函数在

－b2a，＋∞上是减函数【常用结论】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a>0，Δ<0时，恒有f(x)>0

；当a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.【方法技巧】1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α

，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函

数的图象和性质是解题的关键.4.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.5.求解与二次函数有关的不等式问题

，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.6.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.7.不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助

于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.二、【题型归类】【题型一】幂函数的图象与性质【典例1】若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<m<12C．－

1<m<0<n<12D．－1<n<0<m<1【典例2】幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.【典例3】若幂函数f(x)＝(𝑎2−5𝑎−5)𝑥−12𝑎在(0，＋∞)上单调递增，则a等于()A．1B．6C．2D．－1【题型二】求二次函

数的解析式【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【典例2】已知y＝f(x)是二次函数，且f－32＋x＝f－32－x对x∈R恒成立，f－32＝49，方程f(x)＝0的两实根之差的绝对

值等于7.求此二次函数的解析式．【典例3】若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.【题型三】二次函数的图象问题【

典例1】在同一坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图象可能是()【典例2】设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()【典例3】一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()【题型四】二次函数的单调性与最值问题【

典例1】已知f(x)＝ax2－2x＋1.(1)若f(x)在[0,1]上单调，求实数a的取值范围；(2)若x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)．【典例2】设函数f(x)＝x2－2x－1在区间[t，t＋1]

上有最小值g(t)，求g(t)的解析式．【典例3】已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．【

题型五】二次方程根的分布问题【典例1】(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是()A．a<1B．若x1x2≠0，则1x1＋1x2＝2aC．f(－1)＝f(3)D．函数y＝f(|x|)有四个零点【典例2】已知二次函数

f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围．【典例3】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一

根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．【题型六】二次函数中的恒成立问题【典例1】已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取

值范围为____________．【典例2】函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．【典例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为

R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．【题型七】二次函数的综合问题【典例1】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．【典例2】已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若对于任一实数x0，函数值f(x0)与g(

x0)中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(0，2]B．(－2，0)∪(0，2]C．(－2，2]D．(0，＋∞)【典例3】已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：

①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.求实数m的取值范围．三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则f(x)的值域是________．【训

练二】已知二次函数f(x)＝x2－2tx＋2t＋1，x∈[－1，2]．若f(x)≥－1恒成立，求t的取值范围．【训练三】若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．【训练四】．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x

)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．【训练五】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.(1)若函数f(x)的最

小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.【训练六】已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m，

n(m<n)，使得f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]?四、【强化测试】【单选题】1.函数13yx=的图象是()2.若f(x)是幂函数，且满足f(4)f(2)＝3，则f12等于()A．3B．－3C.13D．－133.若幂函数2268()(44)mmfxm

mx−+=−+在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为()A．1或3B．1C．3D．24.函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－3,0)B．(－∞，－3]C．[－2,

0]D．[－3,0]5.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝06.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3

，0)，则函数f(x)()A．在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增B．在(－∞，3)上递增C．在[1，3]上递增D．单调性不能确定7.若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是()A．－1

13，－3B．[－6，－4]C．[－3，－22]D．[－4，－3]8.已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)>

f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．与x的值无关【多选题】9.已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为()A．0B．[－3,0]C．3D．－310.若二次函数

y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值可以是()A．0B．1C．2D．311.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性

质是()A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点是(－2，－2)D．过点(3，0)12.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成

立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(5)【填空题】13.已知幂函数y＝mxn(m，n∈R)的图象经过点(4，2)，则m－n＝________．14.二次函

数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，ac________0，a－b＋c________0.(填“＞”“＜”或“＝”)15.如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为为1，那么实数a＝________．16.定义：如果在函数y

＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝f（b）－f（a）b－a，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx

＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．【解答题】17.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[]－5，5.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范

围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．18.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求函数f(x)的解析式．19.已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(

0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)若x>0，求g(x)＝xf（x）的最大值．20.已知函数f(x)＝ax＋2－ax＋1，其中a∈R.(1)当函数f(x)的图

象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.21.已知f(x)＝ax2－2x＋1.(1)若f(x)在[0,1]上单调，求实数a的取值范围；(2)若x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)．

22.如图，O，P，Q三地有直道相通，OP＝3千米，PQ＝4千米，OQ＝5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地

等待．设t＝t1时乙到达P地，t＝t2时乙到达Q地．(1)求t1与f(t1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1，t2]上的最大值是否超过3？

说明理由．