【文档说明】湖南省岳阳市第一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含答案.docx，共(13)页，1.090 MB，由小赞的店铺上传

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岳阳县一中2021年上学期高一期考数学试卷一、选择题：（共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i为虚数单位，()12iz−=，则复平面上z对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若e为单

位向量，4a=，当向量e，a的夹角等于30时，向量a在向量e上的投影向量为（）A.23eB.22eC.2eD.2e3.设02x，记sinax=，sinxbe=，lnsincx=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.a

cbD.cab4.从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）A.45B.35C.25D.3105.在ABC△中，若8BC=，1cos3BAC=，则ABC△外接

圆的直径为（）A.32B.62C.12D.246.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中////ABDCEF，“羡除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、

“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）.已知3a=，2b=，1c=，2m=，1n=，则此“羡除”的体积为（）A.2B.3C.32D.427.已知函数22()

23sincossincosfxxxxx=+−，则下列结论正确的是（）A.()fx的图象关于点5,012对称B.()fx在,42上的值域为3,2C.若()()122fxfx==，则122xxk−=，kZD.将()fx的图象向右平移6个单位得

()2cos2gxx=−的图象8.已知球O的半径3134R=，三棱锥PABC−内接于球O，PA⊥平面ABC，且3PAACBC===，则三棱锥PABC−的体积为（）A.3B.65C.25D.33二、选择题：（共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得

0分，部分选对的得2分）9.某集团公可经过五年的产业结构调整优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番.为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的

饼图：则下列结论正确的是（）A.产业结构调整后生物制药的收入增幅最快B.产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入C.产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入D.产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低10.已知平面向量

a，b，c都是单位向量，且0ab=，则()()acbc−−的值可能为（）A.0B.1C.-1D.211.已知函数21()21xxfx−=+，下面说法正确的有（）A.()fx的图像关于原点对称B.()fx的图像

关于y轴对称C.()fx的值域为()1,1−D.12,xxR，且12xx，()()12120fxfxxx−−12.如图，直角梯形ABCD中，//ABCD，90ABC=，2CD=，1ABBC==，E是边CD中点，将ADE△沿AE翻折，得到四棱锥1DABCE−，在翻折的程中，下列说法正确的

是（）A.//BC面1ADEB.1AECD⊥C.三棱锥1DABC−体积的最大值是13D.点C到面1ABD距离的最大值是22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴

趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为__________.14.甲乙两人进行兵乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1

3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好4局决出胜负的概率为___________.15.若函数2()2ln2fxxxa=++−在()1,e上有零点，则实数a的取值范围为___________.16.已知四面体ABCD中，二面

角ABCD−−的大小为60，且2AB=，4CD=，120CBD=，则四面体ABCD体积的最大值是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知4a=，()1,3b=−.（1）若//ab，求a的坐标；（2）若a与b的夹

角为120，求ab−.18.设函数()sinsin62fxxx=−+−，其中03.已知06f=.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数()yfx=的图象上各点的横坐标伸长为

原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数()ygx=的图象，求()gx在3,44−上的最小值.19.如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是菱形，14AA=，2AB=，60BAD=，E、M、N分别是B

C、1BB、1AD的中点.（1）证明：//MN平面1CDE；（2）求点C到平面1CDE的距离.20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学

生，记录他们的分数，将数据分成7组：)20,30，)30,40，…，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)40,50内的人数；（Ⅲ

）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分量不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例.21.ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC△的面积为23sinaA.（1）求sinsinBC

；（2）若6coscos1BC=，3a=，求ABC△的周长.22.为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同李大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元

，每生产x万件，需另投入可变成本()Cx万元，在年产量不足8万件时，21()33Cxxx=+（万元）；在年产量不小于8万件时，100()837Cxxx=+−（万元）.每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完.（1）写出年利润()f

x（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润＝年销售收入－固定成本－可变成本）；（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？岳阳县一中2021年上学期高一期考数

学试卷题号123456789101112答案AADBBADCABCABDACABD1.【详解】因为()12iz−=，所以22(1)11(1)(1)iziiii+===+−−+，故选：A.2.【详解】向量a在向量e上的投影数量为cos,4cos3023aae==

，故选：A.3.【详解】因为02x，则0sin1x，即01a，1be，0c，故选：D.4.【详解】根据题意可知，所有抽取结果如下：()1,2，()2,1，()3,1，()4,1，()5,1，()1,3，()2,3，()3,2，

()4,2，()5,2，()1,4，()2,4，()3,4，()4,3，()5,3，()1,5，()2,5，()3,5，()4,5，()5,4，共20种结果，故抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率为123205=.故选：B.5.【详解】(0,)BAC，2122sin133BA

C=−=，所以外接圆的直径8262sin223BCRBAC===.故选：B.6.【详解】如图设3AB=，2CD=，1EF=，过点E作EQAB⊥，EPCD⊥，垂足分别为P，Q.过点F作FNAB⊥，FMCD⊥，垂足分

别为M，N.则将几何体分为EAQPD−，EPQFMN−，FBCMN−三部分，其中EAQPD−，FBCMN−为四棱锥，EPQFMN−为直三棱柱.设DPx=，AQy=，则211MCxx=−−=−，312BNyy=−−=−，12213323EAQPDAQDPxyxyVS−++==

=，123()21332FBCMNBCMNxyVS−−+==3()1121132EPQFMNxyV−−+===，所以该几何体的体积为3()1233xyxy+−+++=，故选：A.7.【详解】22()23sincossincosfxxxxx=

+−3sin2cos22sin26xxx=−=−.令512x=，则2263x−=，故53012f=，故A项错误.当,42x时，52,636x−，

()2sin21,26fxx=−，故B项错误，因为()fx的周期22T==，所以若()()122fxfx==，则12xxk−=，kZ，故C项错误，将()fx的图象向右平移6个单位得()2sin22cos262gxfxxx=−=−=

−的图象，故D项正确.故选：D.8.【详解】设ABC△的外接圆圆心为'O，半径为r，连接'OO，OA，'OA，'OB，则2222PARr=+，即222313342r=+，解得94r=.所以

2sin23ACABCr==，所以sin2CDBCABC==，所以222225ABBDBCCD==−=，所以1125232532PABCV−==.故选：C.9.【详解】∵公司今年的年收入比五年前翻了两番，∴设五年前年收入为a，则今年的年收入为2

24aa=，根据饼形图得五年前金融产业产值为0.45a，机械加工产业产值为0.15a，食品加工产业产值为0.18a，生物制药产业产值为0.22a，今年金融产业产值为0.6a，机械加工产业产值为a，食品加工产业产值为0.6a，生物制药产业产值为1.8a，由以上数据计算得到产业结构调整后生物制约

的收入增幅最快，故选项A正确；产业结构调整后食品加工产业收入的调整前金融产业收入的43，故选项B正确；产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入，故选项C正确；产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有升高，故选项D错误.故选：

ABC.10.【详解】因为平面向量a，b，c都是单位向量，且0ab=，所以不妨设()1,0a=，()0,1b=，()()cos,sin02c=，则()()acbc−−()()1cos,sincos,

1sin=−−−−22coscossinsin=−+−+1sincos12sin4=−−=−+，因为02，所以9444+，当342+=时，()()ac

bc−−取最大值为12+，当42+=时，()()acbc−−取最小值为12−，故选：ABD.11.【详解】对于选项A，21()21xxfx−=+，定义域为R，则2112()()2112xxx

xfxfx−−−−−===−++，则()fx是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；对于选项B，计算211(1)213f−==+，1112(1)(1)1312ff−−==−+，故()fx的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项C

，212()12112xxxfx−==−++，令12xt+=，()1,t+，2()1yfxt==−，易知21(1,1)t−−，故()fx的值域为()1,1−，故C正确；对于选项D，212()12112xxxfx−==−++，令12xt+=，()1,t+，2()1yfx

t==−，函数12xt=+在R上单调递增，且21yt=−在()1,t+上单调递增，根据复合函数的单调性，可知2()112xfx=−+在R上单调递增，故12,xxR，且12xx，()()12120fxfxxx−−不成立，故D错误.故选：AC.12.【详解】在梯形中ABCD中，A

ECD⊥，翻折过程中AECE⊥，1AEED⊥，∵1CEEDE=，∴AE⊥平面1CED，∵1CD平面1CED，∴1AECD⊥，即B正确；在翻折过程中，当1DE⊥平面ABCE时，三棱锥1DABC−体积最大，所以该三棱锥体积的最大值为111111113326ABCVSDE===

△，故C错误；作1DMCE⊥于M，作MNAB⊥于N，连接1DN，由AE⊥平面1CED，可得1AEDM⊥，∵AEECE=，且,AEEC平面ABCE，∴1DM⊥平面ABCE，∵AB平面ABCE，∴1DMAB⊥，又∵ABMN⊥，且1,MND

M平面1MND，∴AB⊥平面1MND，∵AB平面ABCE，∴平面1DMN⊥平面ABCE.在1MND△中，作1MHDN⊥于H，∵平面1DMN平面1ABCEDN=，∴MH⊥平面1DAB，由题易知//CE平面1DAB，可知MH即为点C到面1AB

D的距离，设1DMx=，则10xDE，即01x，在1DMN△中，190DMN=，1MN=，211DNx=+，∴12121111DMMNxMHDNxx===++，易知函数2111yx=+在(0,1上单调递增，∴21122121x

=+，当1x=时，取得最大值.∴点C到面1ABD距离的最大值是22.故D正确.故选：ABD.13.【详解】因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，所以得到武术小组占总人数的比值为300360040030013=++，6313n=，解得26n=.故答案为：

26.14.【详解】“5局3胜制”的比赛，恰好4局决出胜负的事件A是第四局胜者必胜，前三局胜者胜2局输一局的事件，它是胜者为甲的事件1A与胜者为乙的事件2A的和，它们互斥，()212128333327PA==，()221212333327PA=

=，()()()121210()27PAPAAPAPA=+=+=，故答案为：1027.15.【详解】由2()2ln20fxxxa=++−=，则222lnaxx=−−，令2()22ln(0)gxxxx=−−，

因为22lnyx=−，2yx=−在()1,e上都递减，所以()gx在()1,e上是单调递减函数，且()()(1)gegxg，可得21ea−.故答案为：21ea−.16.【详解】在BCD△中，因为4C

D=，120CBD=，由余弦定理可得：2222cosCDBCBDBCBDCBD=+−，所以22163BCBDBCBDBCBD=++，当且仅当BCBD=时，等号成立；所以163BCBD，因此18343sin2

323BCDSBCBDCBD==△；又二面角ABCD−−的大小为60，且2AB=，所以点A到平面BCD的距离的最大值为sin603hAB==，因此四面体ABCD体积的最大值是1143433333

BCDVSh===△.故答案为：43.17.【详解】解：（1）∵()1,3b=−，∴2b=，∴与b共线的单位向量为13,22bcb==−.∵4a=，//ab，∴()2,23aac==−或()

2,23−.（2）∵4a=，2b=，,120ab=，∴cos,4ababab==−，∴()222228abaabb−=−+=，∴27ab−=.18.【解析】（Ⅰ）因为()sinsin62fxxx=−

+−，所以31()sincoscos22fxxxx=−−33sincos22xx=−133sincos3sin223xxx=−=−.由题设知06f=，所以

63k−=，kZ.故62k=+，kZ，又03，所以2=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin23fxx=−所以()3sin3sin4312gxxx=+−=−

.因为3,44x−，所以2,1233x−−，当123x−=−，即4x=−时，()gx取得最小值32−.19.【解析】证明：（1）连结1BC，ME，∵M，E分别是1BB，BC的中点，∴1//MEBC，又N为1AD的中点，∴112NDAD=，由题

设知11//ABDC，∴11//BCAD，∴//MEND，∴四边形MNDE是平行四边形，//MNED，又MN平面1CDE，∴//MN平面1CDE.解：（2）过C作1CE的垂线，垂足为H，由已知可得DEBC⊥，1DECC⊥，∴DE⊥平面1

CCE，故DECH⊥，∴CH⊥平面1CDE，故CH的长即为C到平面1CDE的距离，由已知可得1CE=，14CC=，∴117CE=，故41717CH=，∴点C到平面1CDE的距离为41717.20.【解析】（Ⅰ）根据频率

分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+=，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4−=.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.

02)100.9+++=，分数在区间)40,50内的人数为1001000.955−−=.所以总体中分数在区间)40,50内的人数估计为540020100=.（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的

学生人数为(0.020.04)1010060+=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302=.所以样本中的男生人数为30260=，女生人数为1006040−=，男生和女生人数的比例为60:403:2=.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为

3:2.21.【解析】（1）∵ABC△面积23sinaSA=，且1sin2SbcA=，∴21sin3sin2abcAA=，∴223sin2abcA=，由正弦定理得223sinsinsinsin2ABC

A=，∵由sin0A得2sinsin3BC=.（2）由（1）知2sinsin3BC=，又1coscos6BC=，∵ABC++=，∴1coscos()cos()sinsincoscos2ABCBCBCBC=−−=−+=−=，又∵()0,A，∴60A=，3sin2

A=，1cos2A=，由余弦定理得2229abcbc=+−=①由正弦定理得sinsinabBA=，sinsinacCA=，∴22sinsin8sinabcBCA==②由①②得33bc+=，∴333abc++=+，即ABC△周长为333+.22.【详解】（1）当8x时，2211

()7324233fxxxxxx=−+−=−+−，当8x时，100100()7837235fxxxxxx=−+−−=−+，所以2142,083()10035,8xxxfxxxx−+−=−+.（2

）当8x时，2211()42(6)1033fxxxx=−+−=−−+，即6x=时，21(6)(66)10103f=−−+=最大；当8x时，因为100100220xxxx+=，所以10020xx−+−，所以100(

)3515fxxx=−+，当且仅当10x=时，()15fx=，所以max()15fx=，此时10x=.即年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.