【文档说明】四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期12月月考试题 数学 Word版含答案.docx，共(9)页，755.584 KB，由envi的店铺上传

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高2022级高三上学期12月阶段性测试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若集合{0,1,2},{1,2,3},{ABCxxA===∣且}xB

，则C=（）A．{1,2}B．{0,1,2,3}C．{3}D．{0}2．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是1234,,,rrrr，其中最小的是（）A．1rB．2rC．3rD．4r3．等比数列na中，若12232,8aaaa+=+=，则

na的公比为（）A．2B．2C．2D．44．若圆22250xyx+−−=与圆222440xyxy++−−=相交于A，B，则AB所在直线方程是（）A．4410xy−+=B．4410xy−−=C．10xy+−=D．10xy−+=5．已知随机变量()2,XN−，若其对应

的正态密度函数()fx满足(2)()fxfx−=，且(0)0.1PX=，则(12)PX=（）A．0.8B．0.5C．0.4D．0.16．若空间四点A，B，C，D共面而不共线，则这四点中（）A．必有三点共线B．至少有三点共线C．必有三点不共线D．不可能有三点共线7．若数列

na满足128(2)nnan=−，其前n项和为nS，则（）A．nS既无最大值，又无最小值B．当且仅当1n=时，nS取得最小值C．当且仅当8n=时，nS取得最小值D．*7,nnSSN8．如图，画在纸面上的抛物线

28yx=过焦点F的弦AB长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为60度的二面角后，空间中线段AB的长为（）A．46B．33C．59D．65二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若0ab，则一定有（）A．2222abab++B．22ababab++C．bmbama++D．(0,0)abab+

+10．已知复数1212i,1i,,,,zazbabzz=+=+R在复平面内对应的向量分别为12,OZOZ，其中O为原点，则下列结论正确的是（）A．若12OZOZ⊥，则0ab+=B．若12OZOZ⊥，则1212zzzz+=−C．若12OZOZ∥，则1ab=D．若12OZOZ∥，则12

zzR11．时钟是伴随我们日常生活的必要物品．下面关于它的说法，正确的有（）A．一天24小时内时针和分针重合22次（第一天零点算第一次重合，第二天零点不再重复算）B．零点时针和分针算第一次重合，则第六次重合时大约在早上5点27分到5点28分之间C．设分针长度为10厘米，分别以分针指向表盘读数

12和3的方向为y轴正半轴和x轴正半轴方向建立平面直角坐标系，以某天零点开始记0t=（单位：分钟），若时钟正常工作，则在这之后，分针终点横坐标10cos(0)302txt=+（单位：厘米）D．设下午5点20分时，时针和分针所成的锐角为rad

，则4sincos5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若tan2=，则sin2=___________．13．若12,ee是夹角为60的两个单位向量，则1e与122e

e−的夹角为___________．14．与函数32()3({0,1,2})fxxxx=−的解析式和值域相同，定义域不同的函数有___________个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．15．（本题13分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知sin3cos0cBbC+=．（1）求角C的值；（2）若4,27ac==，求ABC△的面积．16．（本题15分）已知函数()(1)ln

2fxxxax=+−+．（1）当1a=时，求()fx的图象在(1,(1))f处的切线方程；（2）若函数()fx在(1,)+上单调递增，求实数a的取值范围．17．（本题15分）已知三棱锥PABC−中，PAPBPC、、与底面ABC所成角相等，90CAB=，2,ACABPBD===为B

C中点，E点在PB上且PC∥截面EAD．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）求直线PC到平面EAD的距离．18．（本题17分）已知无穷数列na满足()*1120242023,2025nnaana+=−=N．（1）求na的通项公式；（2）树德中学各班将要举行“辞2024旧岁，迎2

025新年”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节目某班数学科代表想用这个数列，组织如下游戏：让参与同学在数列na中随机抽取10项，如果在这10项中，至少有k项的值能被2025整除，则这个同学即中奖并得到小礼物（此构想由信息科代

表协助编程完成，即抽取项的序号可由计算机产生随机数，抽取项的值能否被2025整除也由计算机来判断，游戏时同学只需要按一次键即可知道抽取和判断结果），（i）设随机变量表示抽取项中能被2025整除的项的个数，求()E；（ii）本着开心迎新年的原则，若要中奖概率大于90%，那么规定3k=是否合理，

若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个合理的k取值方案．19．（本题17分）我们可以通过将平面直角坐标三角换元得到平面内一点绕坐标原点O的坐标旋转公式：如图，平面直角坐标系中，已知点(),Pxy，设OPr=，角始边在x轴非负半轴，终边与OP重合，则可得cossinxryr==，将

OP绕坐标原点O逆时针旋转后，P点旋转到(),Pxy．（1）求证：cossinsincosxxyyxy=−=+；（2）已知曲线C是函数313yxx=+的图象，它是某双曲线22221(0

,0)xyabab−=绕原点O逆时针旋转3后得到的，求C的离心率；（3）已知曲线22:1Exyxy+−=是由某椭圆22221(0)xyabab+=绕原点O逆时针旋转4后所的斜椭圆，过点22,33Q作与两坐标轴都不平行的直线1l交曲线E于点M、N，

过原点O作直线2l与直线1l垂直，直线2l交曲线E于点G、H，判断221||||MNOH+是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．数学参考答案一、单项选择题1．A2．B3．D4．A5．C6．C7．D8．B二、多项

选择题9．BD10．ABC11．ABD三、填空题12．4513．90（或2）14．62四、解答题15．解：（1）在ABC△中，由sin3cos0cBbC+=及正弦定理，得sinsin3sincos0CBBC+=，而(0,),sin0BB，则tan3C=−，又(0

,)C，所以23C=．（6分）（2）在ABC△中，由余弦定理得2222coscababC=+−，而23C=，因此228164bb=++，又0b，解得2b=，所以ABC△的面积113sin2423222ABCSabC===△．（13

分）16．解：（1）当1a=时，1()(1)ln2,(0),()ln,(1)1,(1)1fxxxxxfxxffx=+−+=+==，所以()fx的图象在1x=处的切线方程为：yx=．（7分）（2）1()ln1fxxax=++

−，若函数()fx在(1,)+上单调递增，则()0fx对于(1,)x+恒成立，即1ln1axx++对于(1,)x+恒成立，令1()ln1,(1)gxxxx=++，当1x时，21()0xgxx−=，

则函数()gx在(1,)+上单调递增，所以()(1)2gxg=，故2a．（15分）17．解：（1）PAPBPC、、与底面ABC成相等的角，设P在面ABC上射影为O，则有,PAOPBOPCOPAOPBOPCO==△≌△≌△，PAPBPC==且,OAOBOCO==

是ABC△的外心．ABC△是直角三角形，且O是斜边BC的中点，O点和D点重合，即PD⊥面ABC．（7分）（2）法一：由（1）PD⊥平面,ABCPDAD⊥．又,ADBCAD⊥⊥平面,PBCPBAD⊥（亦可由三垂线定理说明）①．

2ABAC==且90,22BACBC==．又2PBPC==，BPC△也是等腰直角三角形，90BPC=，PBPC⊥，PC∥截面EAD，过PC的平面PBC与平面EAD交于ED，PCED∥，PBED⊥②，由①②得：PB⊥平面,EADP点到平面EAD的距离即PE，2PB

AB==，且由PCED∥知E是PB中点，1212PE==．P点到平面EAD的距离为1．PC∥平面,EADPC到平面EAD的距离即为P点到面EAD的距离，即为1．法二：PC∥截面EAD，过PC的平面PBC与平面EAD交于,EDPCED∥，D是BC中点，E是PB中点，11122D

EPCPB===．由（1）PD⊥平面,ABCPDAD⊥，又,ADBCAD⊥⊥平面PBC，ADDE⊥，且122ADBC==，212111221,21,222422ADEACDABCSSSEFPD=======△△△，设C点到面EAD的距离为h，22,,122ADEA

CDhShSEFh==△△．1h=，PC∥平面,EADPC到平面EAD的距离即为C点到面EAD的距离，即为1．方法三：建系，正确即可，此处略．（15分）18．解：（1）由已知：()112024202420241nnnaaa+

−=−=−，又1112024,1202420242024,20241nnnnnaaa−−=−===+．（6分）（2）（i）由二项式定理，11221(20251)12025202520252025(1)1nnnnnnnnnnaCCC−−−=−+

=−+−−+−+，na要能被2025整除，需()*(1)10nnN−+=，则1,3,5,7,n=为正奇数．（10分）且na是无穷数列，奇数项和偶数项一样多，所以随机抽取一项能被2025整除的概率是12，且每次抽取相互独立，11~10,,()1

0522BE==．（13分）（ii）设中奖概率为P，则1010101210101111(0)(1)(2)1222PPPPCC=−=−=−==−−−1011045561190%21024++=

−=−，所以规定合理．（17分）（注：第（2）（i）问需完全归纳推理，如二项式定理，数学归纳法或其它方法均可．如果是通过强力计算前几项发现奇数项能被2025整除的规律的，属于不完全归纳，得2分）19．解：（1）证明：经过逆时针旋转到P后，角+终边与O

P重合，所以cos()coscossinsincossinxrrrxy=+=−=−，sin()sincoscossincossinyrrryx=+=+=+，得证．（4分）（2）法一：直接求离心率（抓住离心率与渐近线夹角即双曲线开口宽阔程度相关的本

质）易知曲线C的渐近线是33yx=与y轴，它们夹角为3，顺时针旋转回去后两渐近线夹角仍为3，设曲线C的离心率为e，则2231tan323e=+=．（10分）法二：先求双曲线标准方程，再求离心率（轨迹思想，旋转不改变形状）设曲线C上一点为(,)Pxy，逆时针旋转3后的

点(),Pxy在313yxx=+的图象上，由（1）知：1313,2222xxyyyx=−=+，若将以上坐标代入313yxx=+得：13131222231322xyyxxy−+=+−，即213

131333222222yxxyxy+−=−+，化简即得曲线C的方程：2222222312331,,12332323xybbeaa−====+=，由于旋转不改变形状，所以曲线C的离心率为233．（10分）（3）法一：先求标准椭圆方程

选择一：用第（2）问法二的方法求（略）：选择二：由yx=与221xyxy+−=交点为(1,1)和(1,1)−−，则22a=，由yx=−与221xyxy+−=交点为33,33−和33,3

3−，则223b=，所以243c=．从而可得椭圆方程为223122xy+=，点Q旋转后的坐标为23,03，（12分）当直线1l旋转后斜率不存时，22221||,||2,23||||MNOHMNOH==

+=，当直线1l旋转后斜率存在时，设直线1l旋转后为233xmy=+，旋转后()()1222,,MxyNxy、，与椭圆方程223122xy+=联立，即222333122xmyxy=++=，可得()22334320mymy+

+−=，()()121222432,3333myyyymm+=−=−++，()()()22212122221||143mMNmyyyym+=++−=+，（14分）设直线2l旋转后为ymx=−，代入椭圆方程223122xy+=中，有22222222222222,,||131

313mmxyOHxymmm+===+=+++，（16分）()()()2222232321312||||21621mmMNOHmm+++=+=++．（17分）法二：不求标准椭圆方程，直接从斜椭圆入手．设直线()()1122222:,,,33lykxMxyNxy

−=−、，与斜椭圆22:1Exyxy+−=联立：2222,331ykxxyxy−=−+−=有()()2222221321(1)1033kkxkkxk−++−−+−−=，（12分）2212122212223122,1313kk

kkxxxxkkkk−−−++==−+−+，()()()()222222212122221221223122||141413113kkkkkMNkxxxxkkkkkkk−+−+=++−=+−

=−+−+−+（14分）设直线21:lyxk=−，代入斜椭圆22:1Exyxy+−=，有2222111xxxkk++=，（16分）2222221,||11kkxOHkkkk+==++++，故222

2221112||||11kkkkMNOHkk−++++=+=++．（17分）