【文档说明】江苏省句容三中、海安实验中学联考2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.569 MB，由小赞的店铺上传

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句容三中、海安实中高三年级联合测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数()ii1z=+，则z=（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【

分析】先求共轭复数，再求模即可.【详解】()ii11iz=+=−+，则1iz=−−，即2z=；故选：B.2.已知集合2log1Axx=，3Bxyx==−，则（）A.AB=RB.ABA=C.ABA=D

.ABB=【答案】C【解析】【分析】首先解对数不等式求出集合A，再求出集合B，最后根据交集、并集的定义计算即可.【详解】由2log1x，得22loglog2x，解得02x，所以2log1|02Axxxx==，又33Bxyxx

x==−=，所以3ABxxB==，|02xxAAB==.故选：C3.已知lg2a=，310b=，则5log6=（）A.1abbab+−B.1abaab+−C.1abaab+−D.1abbab+−【答案】A【解析】分析】利用

指数与对数的互换表示出lg3，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．【详解】由题可得31log10lg3b==，即1lg3b=．原式51lg6lg2lg31log6lg51lg21aabbabab+++=====−−−．故选：A．4.在ABC中

，“90C=”是“cossincossinAABB+=+”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据90C=与cossincossinAABB+=+的推出关系判断.【详解】若90C=，则90AB+

=，则()()coscos90sin,sinsin90cosABBABB=−==−=，所以cossincossinAABB+=+，所以充分性成立；若cossincossinAABB+=+，即()()2sin452sin45AB+=+，因为4545225,454522

5AB++，所以4545AB+=+或()()4545180AB+++=，所以AB=或90AB+=，即AB=或90C=，所以必要性不成立.故“90C=”是“cossincossinAABB+=+”的

充分非必要条件.故选：A5.设x，y为正实数，若5224xyxy++=，则2xy+的最小值是（）A.4B.3C.2D.1【答案】D【【解析】分析】由22(21)(1)1xyxyxy++=++−，令21mx=+，1ny=+，即可得到94mn=，则22xymn+=+−，利

用基本不等式计算可得.【详解】解：因为x，y为正实数，且522(21)(1)14xyxyxy=++=++−，令21mx=+，1ny=+，则94mn=，则22221xymnmn+=+−−=，当且仅当mn=，即12y=，14x=时取等

号.故选：D．6.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A.12B.13C.23D.34【答案】B【解析】【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化

简求出结果．【详解】设棱台的高为h与截得它的棱锥的高H，作出草图，如下图所示：由相似关系可得，111SOOCSOOC=，所以2211122SSOOCSOOCS==上下，则249HhH=−即

2419hH=−，可得21133hH=−=.故选：B．【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．7.如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OAOBr==，弧AB长为l（lr）.为方便投放饲料

，欲在如图【位置修建简易廊桥CD，其中34OCOA=，34ODOB=.已知1(0,)2x时，3sin3!xxx−，则廊桥CD的长度大约为（）A.323432rrl−B.323432llr−C.32324llr−D.32324rrl−【答案】B【解析】【分析】设圆心角lr=

，取CD中点E，连接OE，可得2sin2CDOD=，结合题目给定数据即可求解.【详解】取CD中点E，连接OE，由题OECD⊥，设圆心角lr=，1,(0,)222llrr=，所以333()2sinsin2223!248lllllrrrrr==−=−，所以3332332si

n2()24248432lllCDODrlrrr==−=−.故选：B【点睛】此题考查扇形中的圆心角半径弧长之间的关系，考查图形中的基本运算，平面几何相关知识及数形结合思想的应用.8.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，且满足()2(6)fxfx=−−，()2(4)fx

fx=−−，(3)1f=−，若()(3)5gxfx=−+，则()181kgk==（）A.18−B.20−C.88D.90【答案】B【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)fxfx=−−得()()()266fxfxfx=−−=−，

()()6fxfx=−①，则()fx关于直线3x=对称.另外()2(4),()(4)2fxfxfxfx=−−+−=②，则()fx关于点()2,1对称.所以()()()()()4244226fxfxf

xfx+=−−+=−−=−+()()()()()()22462628fxfxfxfx=−−−+=−−=−−−=+，所以()()4fxfx=+，所以()fx是周期为4的周期函数.()(3)5gxfx=−+，()(3)gxfx=−−，则

(0)(3)1gf=−=，由②，令2x=，得()()222,21ff==.所以()()121gf=−=−，由②，令1x=，得(1)(3)2,(1)2(3)3ffff+==−=；所以(2)(1)3gf=−=−，由

①，令4x=，得()()421ff==；令5x=，得()()513ff==.由②，令0x=，得(0)(4)2,(0)1fff+==；令=1x−，得(1)(5)2,(1)2(5)1ffff−+=−=−=−，则(3)

(0)1gf=−=−，()()411gf=−−=；()()()5221gff=−−=−=−，()()()6313gff=−−=−=−，以此类推，()gx是周期为4的周期函数.所以()()()181131141320kgk==−−−+

+−−=−.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如()()faxfax+=−，则()fx关于直线xa=对称；如()()2faxfx+=−，则()fx关于直线xa=对称；如()()faxfax+=−−，则()fx关于点(),0a对称；如()()2faxfax

b+=−−+，则()fx关于点(),ab对称.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.*2,N2nnnB.“ab”是“22acbc”的

充分条件C.若0ab,则22aabbD.若0,0abcd,则11acbd−−【答案】CD【解析】【分析】关于选项A,由任意,只需取一反例即可,取3n=时不成立即可排除;关于选项B,当0c=时不能推出22acbc;

关于选项C,因为0ab,对不等式ab左右两边分别乘以,ab,即可证明;关于选项D,不等式有同向可加性,将0cd两边同时同时乘以-1,即可证明0acbd−−,再取倒数即可.【详解】解:关于选项A,当3n=时,3228,39==,不满足22nn

,故选项A错误;关于选项B,当,0abc=时,22acbc=,不满足题意,故选项B错误;关于选项C,0ab,同时乘以a可得2aab,在ab两边同时乘以b,可得2abb,综上:22aabb成立,故选项C正确;关于选项D,0,0cdcd

−−0ab,两式相加可得:0acbd−−,则有110acbd−−成立,故选项D正确.故选:CD10.已知函数()()sin(0,0,)2fxAxA=+的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()fx的图像关于点,06

−中心对称B.函数()fx的图像关于直线512x=−对称C.函数()fx在2,36−−上单调递减D.函数()fx的图像向右平移3个单位可得函数2sin2yx=的图像【答案】AB【解析】【分析】根据函数图象求得()fx解析式，

再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.【详解】由图象得函数最小值为2−，故2A=，43124T=−=，故T=，22T==，故函数()2sin2()fxx=+，又函数过点,212，故2sin(2)212+

=，解得2,3kkZ=+，又2，即3=，故()2sin(2)3fxx=+，()fx对称中心：2,3xkkZ+=，解得,62kxkZ=−+，对称中心为(,0),62kkZ−+，当0k=时，对称中心为(,0)6−，故A选项正确；()fx对

称轴：2,32+=+xkkZ，解得,122kxkZ=+，当1k=−时，512x=−，故B选项正确；()fx的单调递减区间：32[2,2],322xkkkZ+++，解得7[,],1212xkkkZ++，又7[,],122612,3k

kkZ++−−，故C选项不正确；函数()fx图像上所有的点向右平移3个单位，得到函数()2sin22sin2333xxgx=−+=−，故D选项不正确；故选：AB.11.在ABC中，60B

=，7AC=，则下列判断正确的是（）A.ABC的周长有最大值为21B.B的平分线长的最大值为732C.若11cos14A=，则AC边上的中线长为129D.若8BC=，则该三角形有两解【答案】ABD【解析

】【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出14ac+，从而得到周长的最大值；B选项，作出辅助线，表达出3acBDac=+，由基本不等式求出BD的最值；C选项，由三角恒等变换求出()43sinsin7CAB=+=，由正弦定理

求出8c=，再在ABH中，由余弦定理求出答案；D选项，判断出()7sin,ACBCBBC=，得到三角形解的个数.【详解】A选项，22491cos22acBac+−==，故2249acac+−=，变形得到()()2234934acacac++−=，解得14ac+，当且仅当7ac==时，等号成

立，故ABC的周长有最大值为71421+=，A正确；B选项，如图，BD为三角形ABC的角平分线，故30ABDCBD==，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则12DEDFBD==，设DEDFx==，则2BDx=，11112222A

BCABDBDCSSSABDEBCDFcxax=+=+=+，又13sin24ABCSacBac==，所以113224cxaxac+=，解得33211acxacac==++，由A选项可知2249acac+−=，又222acac+，故492acac+

，49ac，当且仅当7ac==时，等号成立，所以111227acac+，则33373211227acxacac===++，故B的平分线长的最大值为732，B正确；C选项，若11cos14A=，则253sin1cos14AA=−=，

故()sinco53111343sinsin1421scosn2si47ABACABB=+=+=+=，在ABC中，由正弦定理得sinsincbCB=，即7s3704in6c=，解得8c=，在ABH中，由余弦定

理得222497111292cos642842144BHABAHABAHA=+−=+−=，解得1292BH=，故AC边上的中线长为1292，C错误；D选项，若8BC=，则3sin8432BCB=

=，而()743,8AC=，则该三角形有两解，D正确.故选：ABD12.已知12,xx分别是函数()e2xfxx=+−和()ln2gxxx=+−的零点，则（）A.122xx+=B.12eln2xx+=C.122exxD.22123xx+【答案】ABD【解析】【分析】把函数的零点转化两个函

数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点A和B关于点C对称，根据()1,1C可判断A、B选项；结合反函数的性质可以判断C选项；利用特殊值的思路得到1x的范围即可判断D选项.【详解】因为1x，2x分别是函数()e2x

fxx=+−，()ln2gxxx=+−的零点，所以11e2xx=−，22ln2xx=−，那么1x，2x可以看做函数exy=和lnyx=与函数2yx=−图像交点的横坐标，如图所示，点A，C，B分别为函数exy=，yx=，ln

yx=的图像与函数2yx=−图像的交点，所以()1,1C，因为函数exy=和lnyx=互为反函数，所以函数图像关于yx=的图像对称，2yx=−的图像也关于yx=的图像对称，所以点()11,exAx和()22,lnBxx关于点()1,1C对称，122xx+=，12ln2xx+=e，故AB正确；由反

函数的性质可得12exx=，因为()e2xfxx=+−单调递增，13e022f=−，所以110x2，所以1121122e2ee1xxxx==，故C错；当13x=时，函数exy=对应的函数值

为3e，函数2yx=−对应的函数值为53，因为()335125327=e，所以353e，所以1x的范围为1,13，那么2221211262442,9xxxx+=−+，而2639，所以22123xx

+，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.集合()22,2,Z,Zxyxyxy+的真子集的个数是___________.【答案】31【解析】【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子

集个数.【详解】()()()()()()22,2,Z,Z0,0,1,0,0,1,1,0,0,1xyxyxy+=−−共5个元素，则真子集的个数是52131−=.故答案为：3114.已知二次函数()()1

yaxxa=−−．甲同学：0y的解集为()1,,aa−+；乙同学：0y的解集为()1,,aa−+；丙同学：y的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a的范围为________．

【答案】01a【解析】【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.【详解】若甲正确，则0a且1aa，即21a，则01a；若乙正确，则a<0且1aa，即21a，则1a−；若丙正确

，则二次函数的对称轴方程2102axa+=，可得0a；因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故01a.故答案为：01a15.已知πsincossin,sincossin2,0,2+=

=−，则cos=___________．的【答案】41717【解析】【分析】根据sincos,sincos+的关系，即可平方得212sin2sin−=，结合同角关系以及二倍角公式即可求解.【详解】由sincossin+=平方得

212sincossin+=，结合sincossin2=−得2212sin2sin1sin2sin2−=−=，所以2cos2sin24sincos==，由于π02,，所以cos0,所以2222sin11cos

sincoscos41coscos4116717====++，故答案为：4171716.已知直线(,0)yaxbab=+R是曲线()exfx=与曲线()ln2gxx=+的公切线，则ab+的值为__________.【答案】2【解析】【分析】由()fx求得切线方程，结合该切

线也是()gx的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线yaxb=+，从而求得正确答案.【详解】设(),ett是()fx图像上的一点，()exfx=，所以()fx在点(),ett处的切线方程为()eettyxt−

=−，()e1ettyxt=+−①，令()1etgxx==，解得etx−=，()elne22ttgt−−=+=−，所以2eeettttt−−−=−，()11ettt−=−，所以0=t或1t=（此时①为eyx=，0b=，不符合题意，舍去），所以0=t，此时①可化为()110,1yxy

x−=−=+，所以112ab+=+=.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()2cos3sincos1xxxfx=++，xR.（1）求函数()yfx=的单调递增区间；（2）求0,2x时，函数()yfx=的值域.

【答案】（1）(),36kkkZ−+；（2）51,2【解析】【分析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令()222262kxkk−++Z即可得出答案；（2）由02x得72666x+，由此即可求出答案．【详解】解：2co

s3sincos1yxxx=++133cos2sin2222xx=++3sin262x=++；（1）令()222262kxkk−++Z，得()36kxkk−+Z，所以

函数()yfx=的单调递增区间为(),36kkkZ−+；（2）由02x得72666x+，∴1sin2,162x+−，从而函数()yfx=值域为51,2．【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及

性质，属于基础题．18已知函数4()2xxafx+=.（1）若()fx为偶函数，求a的值；的.（2）若函数()()()1gxfxa=−+在1,1−上有2个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（1）1；（2）

(1,11,22.【解析】【分析】（1）由函数()fx为偶函数，得到()()fxfx−=，进而得出()(1)410xa−−=，即可求得实数a的值；（2）令()0gx=，整理得()()2210xxa−−=，根据函数()gx在1,1−

上有2个不同的零点，得到10x=，22log(0)xaa=，结合定义域，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()fx为偶函数，则()()fxfx−=，即4422xxxxaa−−++=.整理得()(1)410xa−−=，所以1a=.（2）因为函数()()()1gxfxa=−+，令()0g

x=，可得4(1)02xxaa+−+=，整理得4(1)20xxaa−++=，即()()2210xxa−−=，由函数()gx在1,1−上有2个不同的零点，所以10x=，22log(0)xaa=，且2

1log1a−，2log0a，解得112a或12a，所以a的取值范围为(1,11,22.19.在数列na中，1232331nnaaana++++=−．（1）求na的通项公式；（2）若()12nn

nnab+=，求数列nb的前n项和nS．【答案】（1）123nnan−=（2）(21)314nnnS+−=【解析】【分析】（1）先求出1a，然后当2n时，由已知式子可得1123123(1)31nnaaana−−++++−=−，和已知

式子相减化简可求得na，再验证1a，即可求得通项公式，（2）由（1）得1(1)3nnbn−=+，然后利用错位相减法可求得nS【小问1详解】当1n=时，11312a=−=，当2n时，则1232331nnaaana++++=−，得1123123(1)31nnaaana−−++++−=

−，两式相减得，11313123nnnnna−−=−−+=，所以123nnan−=，因为12a=满足上式，所以123nnan−=【小问2详解】由（1）得()111(1)23(1)322nnnnnnannbnn−−++===+，所以012212333433(1)3nnnnnS−

−=++++++所以123123334333(1)3nnnnnS−=++++++，所以123123333(321)nnnSn−=+++++−+−131(1)313nnn−=+−+−121322n

n+=−，所以211(21)313444nnnnnS++−=−=20.如图，四棱锥PABCD−中，ABD△是等边三角形，PAPBPD==，BCCD=．（1）证明：BDPC⊥；（2）若23BD=，7CDAP==，求点A到平面PCD的距离．【答案】（1

）证明见解析（2）534【解析】【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，结合题意和三角形全等得到BDOP⊥，利用线面垂直的判定得到BD⊥平面POC，再利用线面垂直的性质即可得证；（2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面PCD的

法向量和AC所在直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解.【小问1详解】如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，由,,ADABCDBCACAC===，可得ABCACD△≌△，所以BACDAC=，又AOAO=，所以AOBAOD△≌△，所以BOOD=，即O为BD中点，在等腰P

BD△中，可得BDOP⊥，在等腰BCD△中，BDOC⊥，又OPOCO=，,OPOC平面POC，所以BD⊥平面POC，又PC平面POC，所以BDPC⊥．【小问2详解】由（1）可得，ACBD⊥，又17,32CDODBD===，所以222,33COCDODAOOD=−===，由于P

ABD−为正三棱锥，点P在底面ABD的垂足一定在AO上，设垂足为M，根据正三棱锥的性质可得2222,33AMAOPMAPAM===−=，如图，过点O作PM的平行线，以PM的平行线所在直线为z轴，以,OAOB所在直

线为x轴，y轴建立空间直角坐标系．可得(3,0,0),(2,0,0),(0,3,0),(1,0,3)ACDP−−，(3,0,3),(2,3,0)PCDC=−−=−又(5,0,0)AC=−，（或(3,3,0),(2,0,3)A

DAP=−−=−）设平面PCD的法向量(,,)nxyz=，可得0330300230230nPCxzxznDCxyxy=−−=+==−+=−=不妨令3x=，可得(3,2,3)n=−，所以||534||nACdn==，故所以点A到平面PCD的距离为

534．21.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cosabbC=+.（1）求证：2CB=.（2）求acb+的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）()1,5【解析】【分析】(1)结合正弦定

理及正弦和角公式得()sinsinCBB−=，结合角度范围即可证明；(2)结合正弦定理及三角恒等变换acb+2154cos44B=+−，结合B角范围即可求解.【小问1详解】在ABC中，由2cosabbC=+及正弦定理得：sinsin2sincosABBC

=+又∵()πABC=−+，∴()()sinsinπsinsincoscossinABCBCBCBC=−+=+=+即sincoscossinsin2sincosBCBCBBC+=+sincoscossin2sincossinBCBCBCB+−=，()s

insinCBB−=∵()0sinsinBCB=−，∴0πCBC−.∵()πBCBC+−=，∴BCB=−，2CB=【小问2详解】得：2CB=得()30,πBCB+=，∴π03B，∴1cos12B，

由题意2cosabbC=+，2CB=及正弦定理得：2cossin2sincossinsin2sincossin2sinsinacbbCcBBCCBBCBbbBB+++++++===sin2sincos2sincos12cos2cos12

cos22cossinBBCBBCBBBB++==++=++()22122cos12cos4cos2cos1BBBB=+−+=+−2154cos44B=+−∵1cos12B，∴21514cos544B

+−，即15acb+故acb+的取值范围为()1,5方法二：由正弦定理得：sinsinsinacACbB++=∵πABC++=，∴()πABC=−+，()()sinsinsinsinsinsinsinsinsinBCCBCCACB

BB−+++++==由（1）得：2CB=，故()sin2sin2sinBBBacbB+++=sincos2cossin2sin2sinBBBBBB++=sincos2cos2sincos2sincossinBBBBBBBB++=2cos22cos

2cosBBB=++2222cos12cos2cos4cos2cos1BBBBB=−++=+−2154cos44B=+−由（1）得：2CB=得()30,πBCB+=，∴π03B，∴1cos12B，∴21514cos544B+−，即15acb+，故acb+的

取值范围为()1,522.已知函数()()ln1sinfxaxx=+−．（1）若()fx在,42上单调递减，求a的取值范围；（2）证明：当1a=时，()fx在,2+上有且仅有一个零点．【答案】（1）(,0−；（2）证明见解析.【解析】

【分析】（1）将问题转化为()0fx在,42上恒成立，即()1cosaxx+在,42上恒成立；令()()1cosgxxx=+，利用导数可求得()min02gxg==，由此可得a的范围；

（2）当1xe−时，由()ln1lnsinxex+可知()0fx，将问题转化为证明()fx在,12e−上有且仅有一个零点，利用导数可说明()fx在,12e−上单调递增，结合零点存在定理可说明()fx在,12e−上有且仅

有一个零点，由此得到结论.【详解】（1）由题意得：()cos1afxxx=−+，若()fx在,42上单调递减，则()0fx在,42上恒成立，()1cosaxx+在,42上恒成立，令()()1cosgxxx=+，则()()cos

1singxxxx=−+，当,42x时，()()cos11tangxxxx=−+，当,42x时，cos0x，11x+，tan1x，()0gx，又01sin102222g=−+=−+

，当,42x时，()0gx，()gx在,42上单调递减，()1cos0222gxg=+=，()min0agx=，即a的取值范围为(,0

−；（2）当1a=时，()()ln1sinfxxx=+−，则()1cos1fxxx=−+，当1xe−时，()ln1ln1sinxex+=，()0fx在()1,e−+上恒成立，只需证()fx在,12e−上有且仅有一个零点；1e−，当,12xe−

时，cos0x，101x+，()0fx在,12e−上恒成立，()fx\在,12e−上单调递增，又ln1sinln1102222f=+−=+−，()()1

1sin10fee−=−−，()fx\在,12e−上有且仅有一个零点，即()fx在,2+上有且仅有一个零点.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函

数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com