【文档说明】江苏省句容三中、海安实验中学联考2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.569 MB，由小赞的店铺上传

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句容三中、海安实中高三年级联合测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数()ii1z=+，则z=（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】先求共轭复数，再求模

即可.【详解】()ii11iz=+=−+，则1iz=−−，即2z=；故选：B.2.已知集合2log1Axx=，3Bxyx==−，则（）A.AB=RB.ABA=C.ABA=D.ABB=【答案】C【解析】【分析】首先解对数不等式求出集合A，再求出集合B，

最后根据交集、并集的定义计算即可.【详解】由2log1x，得22loglog2x，解得02x，所以2log1|02Axxxx==，又33Bxyxxx==−=，所以3ABxxB==，|02xxAAB==.故选：C3.已知

lg2a=，310b=，则5log6=（）A.1abbab+−B.1abaab+−C.1abaab+−D.1abbab+−【答案】A【解析】分析】利用指数与对数的互换表示出lg3，然后利用换底公式以及对数的运算法则求

解即可．【详解】由题可得31log10lg3b==，即1lg3b=．原式51lg6lg2lg31log6lg51lg21aabbabab+++=====−−−．故选：A．4.在ABC中，“90C=”是“coss

incossinAABB+=+”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据90C=与cossincossinAABB+=+的推出关系判断.【详解】若90C=，则90AB+=

，则()()coscos90sin,sinsin90cosABBABB=−==−=，所以cossincossinAABB+=+，所以充分性成立；若cossincossinAABB+=+，即()()2sin452sin45AB+=+，因为45452

25,4545225AB++，所以4545AB+=+或()()4545180AB+++=，所以AB=或90AB+=，即AB=或90C=，所以必要性不成立.故“90C=”是“cossincoss

inAABB+=+”的充分非必要条件.故选：A5.设x，y为正实数，若5224xyxy++=，则2xy+的最小值是（）A.4B.3C.2D.1【答案】D【【解析】分析】由22(21)(1)1xyxyxy++=++−，令21mx=+，1ny=+，即可得到94mn=，则22xymn+=+−，利用

基本不等式计算可得.【详解】解：因为x，y为正实数，且522(21)(1)14xyxyxy=++=++−，令21mx=+，1ny=+，则94mn=，则22221xymnmn+=+−−=，当且仅当mn=，即12y=，14x=时取等号.故选：D．6.棱台的上

、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A.12B.13C.23D.34【答案】B【解析】【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果．【详解】设棱台的高为h与截得它的棱

锥的高H，作出草图，如下图所示：由相似关系可得，111SOOCSOOC=，所以2211122SSOOCSOOCS==上下，则249HhH=−即2419hH=−，可得21133h

H=−=.故选：B．【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．7.如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OAOBr==，弧AB长为l（lr）.为方便投放饲料，欲在如图【位置修建简易廊桥CD，其中34OCOA=，34ODOB=.已知1(0,)2x时，3sin3!xxx−，则廊桥CD的长

度大约为（）A.323432rrl−B.323432llr−C.32324llr−D.32324rrl−【答案】B【解析】【分析】设圆心角lr=，取CD中点E，连接OE，可得2sin2CDOD=，结合题目给定数据即可求解.【详解】取CD中点E，连接OE，由题OECD

⊥，设圆心角lr=，1,(0,)222llrr=，所以333()2sinsin2223!248lllllrrrrr==−=−，所以3332332sin2()24248432lllCDODrlrrr==−=−.故选：B【点睛】此题考查扇形中的圆心角半径弧长之间的关系，考查图形

中的基本运算，平面几何相关知识及数形结合思想的应用.8.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，且满足()2(6)fxfx=−−，()2(4)fxfx=−−，(3)1f=−，若()(3)5gxfx=−+，则()181kgk==（）A.18−B.20−

C.88D.90【答案】B【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)fxfx=−−得()()()266fxfxfx=−−=−，()()6fxfx=−①，则()fx关于直线3x=对称.另

外()2(4),()(4)2fxfxfxfx=−−+−=②，则()fx关于点()2,1对称.所以()()()()()4244226fxfxfxfx+=−−+=−−=−+()()()()()()22462628fxfx

fxfx=−−−+=−−=−−−=+，所以()()4fxfx=+，所以()fx是周期为4的周期函数.()(3)5gxfx=−+，()(3)gxfx=−−，则(0)(3)1gf=−=，由②，令2x=，得(

)()222,21ff==.所以()()121gf=−=−，由②，令1x=，得(1)(3)2,(1)2(3)3ffff+==−=；所以(2)(1)3gf=−=−，由①，令4x=，得()()421ff==；令5x=，得()()513ff==.由②，令0x=，得

(0)(4)2,(0)1fff+==；令=1x−，得(1)(5)2,(1)2(5)1ffff−+=−=−=−，则(3)(0)1gf=−=−，()()411gf=−−=；()()()5221gff=−−=−=−，()()()6313gf

f=−−=−=−，以此类推，()gx是周期为4的周期函数.所以()()()181131141320kgk==−−−++−−=−.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如()()faxfax+=−，则()fx关于直线xa=对

称；如()()2faxfx+=−，则()fx关于直线xa=对称；如()()faxfax+=−−，则()fx关于点(),0a对称；如()()2faxfaxb+=−−+，则()fx关于点(),ab对称.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.*2,N2nnnB.“ab”是“22acbc”的充分条件C.若0ab,则22aabbD.若0,0abcd,则11a

cbd−−【答案】CD【解析】【分析】关于选项A,由任意,只需取一反例即可,取3n=时不成立即可排除;关于选项B,当0c=时不能推出22acbc;关于选项C,因为0ab,对不等式ab左右两边分别乘以,ab,即可证明;关

于选项D,不等式有同向可加性,将0cd两边同时同时乘以-1,即可证明0acbd−−,再取倒数即可.【详解】解:关于选项A,当3n=时,3228,39==,不满足22nn,故选项A错误;关于选项B,当,0abc=时,22acbc=,不满足题意,故选项B错误;关于选项C,0ab

,同时乘以a可得2aab,在ab两边同时乘以b,可得2abb,综上:22aabb成立,故选项C正确;关于选项D,0,0cdcd−−0ab,两式相加可得:0acbd−−,则有110acbd−−成立,故选项D正确.故选:CD10.已知函数()()sin(0,0,)2

fxAxA=+的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()fx的图像关于点,06−中心对称B.函数()fx的图像关于直线512x=−对称C.函数()fx在2,36−

−上单调递减D.函数()fx的图像向右平移3个单位可得函数2sin2yx=的图像【答案】AB【解析】【分析】根据函数图象求得()fx解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.

【详解】由图象得函数最小值为2−，故2A=，43124T=−=，故T=，22T==，故函数()2sin2()fxx=+，又函数过点,212，故2sin(2)212+=，解得2,3kkZ=+，又2

，即3=，故()2sin(2)3fxx=+，()fx对称中心：2,3xkkZ+=，解得,62kxkZ=−+，对称中心为(,0),62kkZ−+，当0k=时，对称中心为(,0)6−，故A选项正确；()fx对称轴：2,3

2+=+xkkZ，解得,122kxkZ=+，当1k=−时，512x=−，故B选项正确；()fx的单调递减区间：32[2,2],322xkkkZ+++，解得7[,],1212xkkkZ++，又7[,],122612,3kkkZ

++−−，故C选项不正确；函数()fx图像上所有的点向右平移3个单位，得到函数()2sin22sin2333xxgx=−+=−，故D选项不正确；故选：AB.11.在ABC

中，60B=，7AC=，则下列判断正确的是（）A.ABC的周长有最大值为21B.B的平分线长的最大值为732C.若11cos14A=，则AC边上的中线长为129D.若8BC=，则该三角形有两解【答案】ABD【解析】【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出14ac+

，从而得到周长的最大值；B选项，作出辅助线，表达出3acBDac=+，由基本不等式求出BD的最值；C选项，由三角恒等变换求出()43sinsin7CAB=+=，由正弦定理求出8c=，再在ABH中，由余弦定理求出答案；D选项，判断出(

)7sin,ACBCBBC=，得到三角形解的个数.【详解】A选项，22491cos22acBac+−==，故2249acac+−=，变形得到()()2234934acacac++−=，解得14ac+，当且仅

当7ac==时，等号成立，故ABC的周长有最大值为71421+=，A正确；B选项，如图，BD为三角形ABC的角平分线，故30ABDCBD==，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则12DEDFBD==，设DEDFx==

，则2BDx=，11112222ABCABDBDCSSSABDEBCDFcxax=+=+=+，又13sin24ABCSacBac==，所以113224cxaxac+=，解得33211acxacac==++，由A选项可知2249acac+−=，又222acac+，

故492acac+，49ac，当且仅当7ac==时，等号成立，所以111227acac+，则33373211227acxacac===++，故B的平分线长的最大值为732，B正确；C选项，若11cos14A=，则253sin

1cos14AA=−=，故()sinco53111343sinsin1421scosn2si47ABACABB=+=+=+=，在ABC中，由正弦定理得sinsincbCB=，即7s3704in6c=，解得8c=，在ABH中，由余弦定理得222497111292cos642842144BH

ABAHABAHA=+−=+−=，解得1292BH=，故AC边上的中线长为1292，C错误；D选项，若8BC=，则3sin8432BCB==，而()743,8AC=，则该三角形有两解，D正确.故选：ABD12.已知12,xx

分别是函数()e2xfxx=+−和()ln2gxxx=+−的零点，则（）A.122xx+=B.12eln2xx+=C.122exxD.22123xx+【答案】ABD【解析】【分析】把函数的零点转化两个函数图

像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点A和B关于点C对称，根据()1,1C可判断A、B选项；结合反函数的性质可以判断C选项；利用特殊值的思路得到1x的范围即可判断D选项.【详解】因为1x，2x分别是函数()e2xfxx=+−，()ln2gxx

x=+−的零点，所以11e2xx=−，22ln2xx=−，那么1x，2x可以看做函数exy=和lnyx=与函数2yx=−图像交点的横坐标，如图所示，点A，C，B分别为函数exy=，yx=，lnyx=的图像与函数2yx=

−图像的交点，所以()1,1C，因为函数exy=和lnyx=互为反函数，所以函数图像关于yx=的图像对称，2yx=−的图像也关于yx=的图像对称，所以点()11,exAx和()22,lnBxx关于点()1,1C对称，122xx+

=，12ln2xx+=e，故AB正确；由反函数的性质可得12exx=，因为()e2xfxx=+−单调递增，13e022f=−，所以110x2，所以1121122e2ee1xxxx==，故C错；当13x=时，函数exy=对应的函数值为3

e，函数2yx=−对应的函数值为53，因为()335125327=e，所以353e，所以1x的范围为1,13，那么2221211262442,9xxxx+=−+，而2639，所以22123xx+，故D正确.故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.集合()22,2,Z,Zxyxyxy+的真子集的个数是___________.【答案】31【解析】【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集个数.【详解】()()()()()()22,2,Z,Z0,0,1,0,0,1,1,0

,0,1xyxyxy+=−−共5个元素，则真子集的个数是52131−=.故答案为：3114.已知二次函数()()1yaxxa=−−．甲同学：0y的解集为()1,,aa−+；乙同学：0y的解集为()1,,aa−+

；丙同学：y的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a的范围为________．【答案】01a【解析】【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.【详解】若甲正确，则0a且1a

a，即21a，则01a；若乙正确，则a<0且1aa，即21a，则1a−；若丙正确，则二次函数的对称轴方程2102axa+=，可得0a；因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故01a.故答案为：01a15.已知πsi

ncossin,sincossin2,0,2+==−，则cos=___________．的【答案】41717【解析】【分析】根据sincos,sincos+的关系，即可平方得212sin2sin−=，结合同

角关系以及二倍角公式即可求解.【详解】由sincossin+=平方得212sincossin+=，结合sincossin2=−得2212sin2sin1sin2sin2−=−=，所以2cos2sin24sincos==，由于

π02,，所以cos0,所以2222sin11cossincoscos41coscos4116717====++，故答案为：4171716.已知直线(,0)yaxbab=+R是曲线()exfx=与曲线()

ln2gxx=+的公切线，则ab+的值为__________.【答案】2【解析】【分析】由()fx求得切线方程，结合该切线也是()gx的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线yaxb=+，从而求得正确答案

.【详解】设(),ett是()fx图像上的一点，()exfx=，所以()fx在点(),ett处的切线方程为()eettyxt−=−，()e1ettyxt=+−①，令()1etgxx==，解得etx−=，()elne22ttgt−−=+=−，所以

2eeettttt−−−=−，()11ettt−=−，所以0=t或1t=（此时①为eyx=，0b=，不符合题意，舍去），所以0=t，此时①可化为()110,1yxyx−=−=+，所以112ab+=+=.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()2cos3sincos1xxxfx=++，xR.（1）求函数()yfx=的单调递增区间；（2）求0,2x时，函数()yfx=的值域.【答案】（1）(),36kkkZ−+；（2）51,2

【解析】【分析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令()222262kxkk−++Z即可得出答案；（2）由02x得72666x+，由此即可求出答案．【详解】解：2cos3sincos1yxxx=++133cos2sin2222x

x=++3sin262x=++；（1）令()222262kxkk−++Z，得()36kxkk−+Z，所以函数()yfx=的单调递增区间为(),36kkkZ−+；（2）由02x得72666x

+，∴1sin2,162x+−，从而函数()yfx=值域为51,2．【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．18已知函数4()2xxafx+=.（

1）若()fx为偶函数，求a的值；的.（2）若函数()()()1gxfxa=−+在1,1−上有2个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（1）1；（2）(1,11,22.【解析】【分析】（1）由函数()fx为偶函数，得到()()fxfx−=，进而得出()(1)410xa−−=，

即可求得实数a的值；（2）令()0gx=，整理得()()2210xxa−−=，根据函数()gx在1,1−上有2个不同的零点，得到10x=，22log(0)xaa=，结合定义域，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()fx为偶函数，则()()fxfx−=，即4422

xxxxaa−−++=.整理得()(1)410xa−−=，所以1a=.（2）因为函数()()()1gxfxa=−+，令()0gx=，可得4(1)02xxaa+−+=，整理得4(1)20xxaa−++=，即(

)()2210xxa−−=，由函数()gx在1,1−上有2个不同的零点，所以10x=，22log(0)xaa=，且21log1a−，2log0a，解得112a或12a，所以a的取值范围为(1,11,22.19.在数列na中，1232

331nnaaana++++=−．（1）求na的通项公式；（2）若()12nnnnab+=，求数列nb的前n项和nS．【答案】（1）123nnan−=（2）(21)314nnnS+−=【解析】【分析】（1）先求出1a，然后当2n时，由已知

式子可得1123123(1)31nnaaana−−++++−=−，和已知式子相减化简可求得na，再验证1a，即可求得通项公式，（2）由（1）得1(1)3nnbn−=+，然后利用错位相减法可求得nS【小问1详解】当1n

=时，11312a=−=，当2n时，则1232331nnaaana++++=−，得1123123(1)31nnaaana−−++++−=−，两式相减得，11313123nnnnna−−=−−+=，所以123nnan−=，因为12a=满足上式，所以123nnan−=【小问2详解】由（1

）得()111(1)23(1)322nnnnnnannbnn−−++===+，所以012212333433(1)3nnnnnS−−=++++++所以123123334333(1)3nnnnnS−=++++++，所以123123333(321)nn

nSn−=+++++−+−131(1)313nnn−=+−+−121322nn+=−，所以211(21)313444nnnnnS++−=−=20.如图，四棱锥PABCD−中，ABD△是等边三角形，PAPBPD==，BCCD=．（1）证明：BDPC⊥；（2）若23BD=，7CDAP=

=，求点A到平面PCD的距离．【答案】（1）证明见解析（2）534【解析】【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，结合题意和三角形全等得到BDOP⊥，利用线面垂直的判定得到BD⊥平面POC，再利用线面垂直的性质即可得证；（2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求

出平面PCD的法向量和AC所在直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解.【小问1详解】如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，由,,ADABCDBCACAC===，可得ABCACD△≌△，所以BACDAC=，又AOAO=，所以

AOBAOD△≌△，所以BOOD=，即O为BD中点，在等腰PBD△中，可得BDOP⊥，在等腰BCD△中，BDOC⊥，又OPOCO=，,OPOC平面POC，所以BD⊥平面POC，又PC平面POC，所以BDPC⊥．【小问2详解】由（1）可得，ACBD⊥，又17,32C

DODBD===，所以222,33COCDODAOOD=−===，由于PABD−为正三棱锥，点P在底面ABD的垂足一定在AO上，设垂足为M，根据正三棱锥的性质可得2222,33AMAOPMAPAM===−=，如图，过点O作PM的平行线，以PM的平行线所在直线为z轴，以,OAOB所在直线为

x轴，y轴建立空间直角坐标系．可得(3,0,0),(2,0,0),(0,3,0),(1,0,3)ACDP−−，(3,0,3),(2,3,0)PCDC=−−=−又(5,0,0)AC=−，（或(3,3,0),(2,0,3)ADAP=−−=−）设平面PCD的

法向量(,,)nxyz=，可得0330300230230nPCxzxznDCxyxy=−−=+==−+=−=不妨令3x=，可得(3,2,3)n=−，所以||534||nACdn==，故所以点A到平面PCD的距离为534．21.已

知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cosabbC=+.（1）求证：2CB=.（2）求acb+的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）()1,5【解析】【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得()sinsi

nCBB−=，结合角度范围即可证明；(2)结合正弦定理及三角恒等变换acb+2154cos44B=+−，结合B角范围即可求解.【小问1详解】在ABC中，由2cosabbC=+及正弦定理得：sinsin2sinc

osABBC=+又∵()πABC=−+，∴()()sinsinπsinsincoscossinABCBCBCBC=−+=+=+即sincoscossinsin2sincosBCBCBBC+=+sincoscossin2sincoss

inBCBCBCB+−=，()sinsinCBB−=∵()0sinsinBCB=−，∴0πCBC−.∵()πBCBC+−=，∴BCB=−，2CB=【小问2详解】得：2CB=得()30,πBCB+=，∴π03B，∴1cos1

2B，由题意2cosabbC=+，2CB=及正弦定理得：2cossin2sincossinsin2sincossin2sinsinacbbCcBBCCBBCBbbBB+++++++===sin2sincos2sincos12

cos2cos12cos22cossinBBCBBCBBBB++==++=++()22122cos12cos4cos2cos1BBBB=+−+=+−2154cos44B=+−∵1cos12B，∴21514cos544B

+−，即15acb+故acb+的取值范围为()1,5方法二：由正弦定理得：sinsinsinacACbB++=∵πABC++=，∴()πABC=−+，()()sinsinsinsinsinsinsinsinsinBCCBCCACBBB−++

+++==由（1）得：2CB=，故()sin2sin2sinBBBacbB+++=sincos2cossin2sin2sinBBBBBB++=sincos2cos2sincos2sincossinBBBBBBBB++=2cos22cos2cosBBB=++2222cos12cos2cos4

cos2cos1BBBBB=−++=+−2154cos44B=+−由（1）得：2CB=得()30,πBCB+=，∴π03B，∴1cos12B，∴21514cos544B+−，即15acb+

，故acb+的取值范围为()1,522.已知函数()()ln1sinfxaxx=+−．（1）若()fx在,42上单调递减，求a的取值范围；（2）证明：当1a=时，()fx在,2+上有且仅有一个零点．【答案】（1）(,0−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（

1）将问题转化为()0fx在,42上恒成立，即()1cosaxx+在,42上恒成立；令()()1cosgxxx=+，利用导数可求得()min02gxg==，由此可得a的范围；（2）当1xe−时

，由()ln1lnsinxex+可知()0fx，将问题转化为证明()fx在,12e−上有且仅有一个零点，利用导数可说明()fx在,12e−上单调递增，结合零点存在定理可说明()fx在,12e−上有且仅有一个零点，由此得到结论.【详解】

（1）由题意得：()cos1afxxx=−+，若()fx在,42上单调递减，则()0fx在,42上恒成立，()1cosaxx+在,42上恒成立，令()()1cosgxxx=+，则()()cos

1singxxxx=−+，当,42x时，()()cos11tangxxxx=−+，当,42x时，cos0x，11x+，tan1x，()0gx，又01sin102222g

=−+=−+，当,42x时，()0gx，()gx在,42上单调递减，()1cos0222gxg=+=，()min0agx=，即a的取值范围为(,0−；（2）当1a=时，

()()ln1sinfxxx=+−，则()1cos1fxxx=−+，当1xe−时，()ln1ln1sinxex+=，()0fx在()1,e−+上恒成立，只需证()fx在,12e−上有且仅有一个零点；1e−，当,12xe−

时，cos0x，101x+，()0fx在,12e−上恒成立，()fx\在,12e−上单调递增，又ln1sinln1102222f=+−=+−，()()11sin10fee−=−−

，()fx\在,12e−上有且仅有一个零点，即()fx在,2+上有且仅有一个零点.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函数的零点个数；本题证

明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com