【文档说明】湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，1.759 MB，由小赞的店铺上传

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2023级高二年级第一学期开学考试数学试题时量：120分钟分值：150分命题人：周福、彭婧涵审题人：赵耀华一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20},{N||2}MxxxQxx=+−=∣，

则MQ=（）A.{0,1}B.{2,1,0,1}−−C.[2,1]−D.[0,1]【答案】A【解析】【分析】分别求得集合M和N，根据交集的定义即可求解．【详解】由题可知，|21Mxx=−，0,1,2Q=，所以0,1MQ=，故选：A．2.已知复数

z满足()1i35iz−=+，则复数z=（）A.44i+B.44i−C.14i−+D.14i−−【答案】D【解析】【分析】由已知等式化简求出z，从而可求出复数z.【详解】因为()()()()35i1i35i28i14i1i1i1i2z+++−+====−+−−+，所以14iz=−−．故选：D．3.

如图，ABCV中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则BE=（）A.3144ABAC−+B.1344ABAC−C.3144ABAC+D.1344ABAC+【答案】A【解析】【分析】利用向量基本定理与混合运算，结合图形即可得解.【详解】在ABCV中，

D为BC边的中点，E为AD的中点，则()1113122244BEAEABADABABACABABAC=−=−=+−=−+.故选：A.4.下列方程中表示圆心在直线yx=上，半径为√2，且过原点的圆的是（）A.()()22112xy−+−=B.()()22112xy−++=C()

()22112xy−++=D.()()22112xy−+−=【答案】D【解析】【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.【详解】因为圆心在yx=上，所以设圆心为(),aa,因为圆的半径为√2，所以设圆的标准方程为()()222xaya−+−=,因为该圆过原点，所以()()222

aa−+−=，解得1a=,所以圆心为()1,1或()1,1−−,当圆心为()1,1时，圆的标准方程为()()22112xy−+−=，D对;的.当圆心为()1,1−−时，圆的标准方程为()()22112xy+++=.故选：D.5.将函数()πsin23fxx=−的图象先向左平移π6个

单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()gx的图象，则函数()gx的解析式为（）A.2π()sin3gxx=−B.2π()sin43gxx=−C.()singxx=D.()sin4g

xx=【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的平移伸缩得出解析式即可.【详解】()πsin23fxx=−的图象先向左平移π6可得ππsin2=sin263yxx=+−,纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得()singx

x=.故选：C.6.已知函数22,0()log,0xxfxxx+=，关于x的方程2[()]()1fxmfx=+有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A.3,12−B.3,2−C.31,2D.3,2

−−【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的解析式，作出()fx的图象，将方程2[()]()1fxmfx=+有4个不同的实数根，转化为方程210xmx−−=必有一正一负两个根，即可得到1mbb=−，(0,

2b，再根据函数的性质计算可得；【详解】解：因为22,0()log,0xxfxxx+=，函数图象如下所示：要使关于x的方程2[()]()1fxmfx=+有4个不同的实数根，即2[()]()10fxmfx−−=有4个不同的实数根，令()fxa=，()fxb=，ab，则00

2ab„或02ab=或22ab，因为方程210xmx−−=必有一正一负两个根，所以002ab„，且abm+=，1ab=−，所以1ab=−，所以1mbb=−，(0,2b函数1yxx=−在(0,2上单调递增，当2x=时，max

32y=，所以32m„，即3,2m−故选：B7.如图，在平面四边形ABCD中，若24BCAB==，27AC=，ABBD⊥，π4BCD=，则BD=（）A.3B.2C.2622−D.434−【答案】D【解析】【分析】先由余弦定理

得出2π3ABC=，再应用正弦定理求边长即可.【详解】在ABCV中，由余弦定理，得()22222224271cos22242BABCACABCBABC+−+−===−，所以2π3ABC=，因为ABBD⊥，所以CBD=π6，在BCD△中，ππ7

ππ6412BDC=−−=，由正弦定理，得sinsinBDBCBCDBDC=，所以24sin2434sin624BCBCDBDBDC===−+．故选:D．8.在ABCV中，π6A=，π2B=

，1BC=，D为AC中点，若将BCD△沿着直线BD翻折至BCD△，使得四面体CABD−的外接球半径为1，则直线BC与平面ABD所成角的正弦值是（）A.33B.23C.53D.63【答案】D【解析】【分

析】由直角三角形性质和翻折关系可确定BCD△为等边三角形，利用正弦定理可确定ABD△外接圆半径，由此可知ABD△外接圆圆心O即为四面体CABD−外接球球心，由球的性质可知OG⊥平面BCD，利用COBDOCBDVV−−=可求得点C到平面ABD的距离，由此可求

得线面角的正弦值.【详解】π6A=，π2B=，1BC=，2AC=，又D为AC中点，1ADCDBD===，则1BCCDBD===，即BCD△为等边三角形，设BCD△的外接圆圆心为G，ABD△的外接圆圆心为O，取

BD中点H，连接,,,,,CHOHOGOBOCOD，π6A=，1BD=，112sinBDOBA==，即ABD△外接圆半径为1，又四面体CABD−的外接球半径为1，O为四面体CABD−外接球的球心，由球的性质可知：OG⊥

平面BCD，又CH平面BCD，OGCH⊥，22221313323CGCH==−=，1OC=，16133OG=−=；设点C到平面ABD的距离为d，由COBDOCBDVV−−=得：1133OBDCBDSdSOG=，又OBD与CBD均为边长为1的等边三角形，

63dOG==，直线BC与平面ABD所成角的正弦值为63dBC=.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而

得到线面角的正弦值.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的是（）A.若A，B是对立事件，则()1PAB=B.若A，B

是互斥事件，()13PA=，()12PB=，则()56PAB+=C.若()13PA=，()12PB=，且()13PAB=，则A，B是独立事件D.若A，B是独立事件，()13PA=，()23PB=，则()19PAB=【答案】BCD【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件与相互独立

事件的性质逐一判断即可【详解】对于A，因为A，B是对立事件，所以事件A，B是不可能同时发生的，则()0PAB=，故A错误；对于B，因为A，B是互斥事件，则()()()56PABPAPB+=+=，故B正确；对于C，若()13PA=，(

)12PB=，则()23PA=，()12PB=，所以()()()PABPAPB=，所以A，B是独立事件，故C正确；对于D，因为A，B是独立事件，所以A，B是独立事件，又()23PB=，所以()()211133PBPB=−=−=，所以()()()

111339PABPAPB===，故D正确.故选：BCD10.以下四个命题叙述正确的是（）A.直线210xy−+=在x轴上的截距是1B.直线0xky+=和2380xy++=的交点为P，且P在直线10

xy−−=上，则k的值是12−C.设点(,)Mxy是直线20xy+−=上的动点，O为原点，则OM的最小值是√2D直线()12:310:2110LaxyLxay++=+++=，，若12//LL，则3a=−或2【答案】BC【解析】【分析】求出直

线的横截距判断A；解方程组求出k判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.【详解】对于A，直线210xy−+=在x轴上的截距是12−，A错误；对于B，由238010xyxy++=−−=解得12xy=−=−，即(1,2)P

−−，则120k−−=，解得12k=−，B正确；.对于C，依题意，min222211OM−==+，C正确；对于D，当2a=时，直线12:2310,:2310LxyLxy++=++=重合，D错误.故选：BC11.已知正方体1111ABCDABCD−的边长为2，M为1CC的中点，P为侧面11BCCB上

的动点，且满足//AM平面1ABP，则下列结论正确的是（）A.1AMBM⊥B.1//CD平面1ABPC.AM与11AB所成角的余弦值为23D.动点P的轨迹长为2133【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、

空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则1(0,0,2),(0,2,2),(0,0,0),(2,1,0),(,,0)AABMPxy，所以1(0,2,2),(,

,0),(2,1,2)ABBPxyAM=−−==−，由//AM平面1ABP，得1AMaABbBP=+，即022122bxabya+=−+=−=−，化简可得：320xy−=，所以动点P在直线320xy−=上，对于选项A：11(2,1,2),(2,1

,0),221(1)(2)030AMBMAMBM=−=−=+−+−=，所以AM与1BM不垂直，所以A选项错误；对于选项B：111//,CDABAB平面11,ABPCD平面1ABP，所以1//CD平面1ABP，B选项正确；对于选项C：111122242(0,0,2),cos,32

21(2)ABAMAB=−==++−，C选项正确；对于选项D：动点P在直线320xy−=上，且P为侧面11BCCB上的动点，则P在线段1PB上，14,2,03P，所以222142132033PB=++=，D选项正确；故

选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对任意的实数，直线()()()212320xy+−+−+=所过的定点为__________．【答案】()2,2−【解析】【分析】将方程化为()2640xyxy−−+−−=，列方程求解即可.【详解】原方程

可变形为()2640xyxy−−+−−=，令26040xyxy−−=−−=，解得22xy==−，于是有对R，()2,2−都满足方程()()()212320xy+++−+=，所以这些直线都经过同一定点

，该定点的坐标为()2,2−.故答案为：()2,2−.13.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆E(正方形ABCD内部，含边界)，则PCPD的取值范围为_____.【答案】0,16【解析】【分析】利用向量的数量积运算

即可求解.【详解】因为正方形ABCD的边长为4，取CD的中点E，连接PE，当P在A点或B点时，max25PE=，当当P在弧AB中点时，min2PE=，所以PE的取值范围为2,25，由于()()

PCPDPEECPEED=++，12ECEDDC=−=，4DC=，所以2222211444PCPDPEDCPEDCPE=−=−=−，因为2,25PE，所以24,20PE，故240,16PE−，所以0,16PC

PD，即PCPD的取值范围为0,16.故答案为：0,16.14.函数()|sin||cos||sin2|fxxxx=++的值域为______．【答案】1,12+【解析】【分析】分析可知π2为()fx的一个周期，利用换元法求()fx在π0,2

内的值域，进而可得结果.【详解】由题意可知：()fx的定义域为𝑅，且ππππsincossin22222fxxxx+=+++++()ππsincossin2π22xxx=+++++|sin||co

s||sin2|()xxxfx=++=，可知π2为()fx的一个周期，若π0,2x，则20,πx，可知sin0,cos0,sin20xxx，可得()sincossin2fxxxx=++，令πsincos2sin4txxx=+=+，则2sin

21xt=−，且ππ3π,444x+，可知π2sin1,24tx=+，可得()2215124gtttt=+−=+−，可知()ygt=在1,2内单调递增，且()()1,212gtg==+，则()1

,12gt+，即()1,12fx+；结合周期性可知：()fx的值域为1,12+.故答案为：1,12+.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是分析()fx的周期性，这样可以缩小定义域，方便去绝对值求值域.三、解答题:本题共5小题，共77分.解

答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知直线()():12360maxaya−++−+=，:230nxy−+=.（1）若坐标原点O到直线m的距离为5，求a的值；（2）当0a=时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求

直线l的方程.【答案】（1）14a=−或73a=−（2）370xy−=或120xy−+=【解析】【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可.（2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可.小问1详解】设原点O到直线m的距离为d，则()()226

5123adaa−+==−++，解得14a=−或73a=−；【小问2详解】由360230xyxy−++=−+=解得219xy=−=−，即m与n的交点为()21,9−−.当直线l过原点时，此时直线斜率为93217=，所以直

线l的方程为370xy−=；当直线l不过原点时，设l的方程为1xybb+=−，将()21,9−−代入得12b=−，所以直线l的方程为120xy−+=.故满足条件的直线l的方程为370xy−=或120xy−+=.16.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，满足22cos0+−=

cbaB.（1）求角A；（2）若23a=，32BAAC=，AD是ABCV中线，求AD的长.【答案】（1）2π3A=（2）62AD=【解析】【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值；（2）利用1122ADABAC=+，平方后求2AD

，结合余弦定理来处理.【小问1详解】因为22cos0+−=cbaB，由正弦定理可知：2sinsin2sincos0+−=CBAB，由πCAB=−−，故()()sinsinπsinCABAB=−−=+，∴()2sinsin2sincos0ABBAB++−=【∴()2co

ssinsin0(0,π),sin0ABBBB+=，∴1cos2A=−，又(0,π)A，所以2π3A=；【小问2详解】根据数量积的定义，由32BAAC=，得π3cos332cbbc==，又23a=，在ABCV中由余弦定理得：222222cos9abcbcAbc=+−+=∵11

22ADABAC=+，∴()2222221134442ABACABACADbcbc++==+−=，所以62AD=17.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为

提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：))40,5050,60,,90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80

百分位数；（2）已知落在[50,60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差2s.【答案】（1）0.030a=，第80百分位数为86（2）62z=，223s=【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图的性质计算可得a，借助百分位数

的性质计算即可得第80百分位数；（2）借助分层抽样的平均数与方差计算公式计算即可得.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1，()0.0050.0100.0200.0250.010101a+++++=，解得：0.

030a=，成绩落在)40,80内的频率为()0.0050.0100.0200.030100.65+++=．落在)40,90内的频率为()0.0050.0100.0200.0300.025100.9+++

+=．故第80百分位数在)80,90，设第80百分位数为m，由()0.65800.0250.80m+−=，得86m=，故第80百分位数为86；【小问2详解】由图可知，成绩在)50,60的市民人数为1000.110

=，成绩在)60,70的市民人数为1000.220=，故10566520621020z+==+，()()2221105662107206562204231020s=−++−+=+，所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．18.如图

，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】【分析】（1）利用线面垂直

的判定定理证得AD⊥平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//ADl，从而得到l⊥平面PDC；（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Qm，之后求得.平面QCD的法向量以及

向量𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑的坐标，求得cos,nPB的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，//ADBC，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以//AD平面PBC，又因为AD

平面PAD，平面PAD平面PBCl=，所以//ADl，因为在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，所以,,ADDClDC⊥⊥且PD⊥平面ABCD，所以,,ADPDlPD⊥⊥因为CDPDD=，所以l⊥平面PDC．（2）［方法一］【最优解】：通性通法因为,,DPDADC两两垂

直，建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示：因为1PDAD==，设(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设(,0,1)Qm，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB===−，设平面QCD的法向量为(,,)nxyz=，则00D

CnDQn==，即00ymxz=+=，令1x=，则zm=−，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm=−，则210cos,31nPBmnPBnPBm++==+根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值

，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于2|1||cos,|31mnPBm+=+ruur2231231mmm++=+223232||361111313133mmmm=+++=++，当且仅当1m=时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正

弦值的最大值为63.［方法二］：定义法如图2，因为l平面PBC，Ql，所以Q平面PBC．在平面PQC中，设PBQCE=．在平面PAD中，过P点作PFQD⊥，交QD于F，连接EF．因为PD⊥平面,ABCDDC平面ABCD，所以DCPD⊥．又由,,DCADADPD

DPD⊥=平面PAD，AD平面PAD，所以DC⊥平面PAD．又PF平面PAD，所以DCPF⊥．又由,,PFQDQDDCDQD⊥=平面,QOCDC平面QDC，所以PF⊥平面QDC，从而FEP即为PB与平面QCD所成角．设PQa=，在PQ

D△中，易求21aPFa=+．由PQEV与BECV相似，得1PEPQaEBBC==，可得31aPEa=+．所以22211226sin1313333aaFEPaa+==+=++，当且仅当1a=时等号成立．［方法三］：等体积

法如图3，延长CB至G，使得BGPQ=，连接GQ，GD，则//PBQG，过G点作GM⊥平面QDC，交平面QDC于M，连接QM，则GQM即为所求．设PQx=，在三棱锥QDCG−中，111()(1)326QDCGVPDCDCBB

Gx−=+=+．在三棱锥GQDC−中，2111113232GQDCVGMCDQDGMx−==+．由QDCGGQDCVV−−=得2111(1)1632xGMx+=+，解得2222112212111xxxxGMxxx+++===+++

+，当且仅当1x=时等号成立．在RtPDB△中，易求3PBQG==，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为26sin33MQG==．【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面QCD的法向量n与向量𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑的夹角的余弦值的绝

对值，即cos,nPB，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用//

PBQG，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．19.一般地，n元有序实数对()12,,,naaa称为n维向量.对于两个n维向量()()1212,,,,,,,nnaaa

abbbb==，定义：两点间距离()()()2221122nndbababa=−+−++−，利用n维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离nd，与哪个标准点的距离nd最近就归为哪类.某公司

对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值()1a､管理能力分值()2a､计算机能力分值()3a､沟通能力分值()4a（分值*,1,2,3,4iaiN代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：岗位业务能力

分值()1a管理能力分值()2a计算机能力分值()3a沟通能力分值()4a合计分值会计（1）215412业务员（2）523515后勤（3）235313管理员（4）454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四

种能力分值分别对应四维向量()1234,,,aaaa=的四个坐标.（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方2nd均小于20的应聘者才能被招录.（i）小刚测试报告上的四种能力

分值为()04,3,2,5=，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业1234､､､的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1234､､､的推

荐率()p分别为222221234141397,,,43434343nndpdddd=+++，试求小明的各项能力分值.【答案】（1）16（2）（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3

,5【解析】【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；（2）（i）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii）先根据条件得到2N({1,2,3,4})ndn的相关方程

组，利用2222123480dddd+++，2N({1,2,3,4})ndn，得到2123222414,13,9,7dddd====，再根据题设列出方程，利用22222222(2)(1)(5)(4)(2)(3)(5)(3)5abcdabcd−+−+−+−−

−+−+−+−=，得出2,13,34,5bdbdbd======，再对三种情况分析讨论，即可求出结果.【小问1详解】将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12131517，，，，又40.753inp===，所以这组数据的第三四分位数为1517162+=.【小问2详解】（i）

由图表知，会计岗位的样本点为()12,1,5,4=，则222221(24)(13)(52)(45)18d=−+−+−+−=，业务员岗位的样本点为()25,2,3,5=，则222222(54)(23)(32)(55)3d=−+−+−+−=，后勤岗位的样本点为()32,3,5,3=

，则222223(24)(33)(52)(35)17d=−+−+−+−=，管理员岗位的样本点为()44,5,4,4=，则222224(44)(53)(42)(45)9d=−+−+−+−=，所以2431dddd，故小刚最适合业务员岗

位.（ii）四种职业1234､､､的推荐率()p分别为141397,,,43434343，且222221234nndpdddd=+++，所以2122221234222222123423222212342422221234144313439

43743dddddddddddddddddddd=+++=+++=+++=+++，得到222221123422222212342222231234222224123414()4313()439(

)437()43dddddddddddddddddddd=+++=+++=+++=+++，又2({1,2,3,4})ndn均小于20，所以2222123480dddd+++，且2N({1,2,3,4})ndn，故可得到2123

222414,13,9,7dddd====，设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为abcd,,,，且,,,Nabcd，1,,,5abcd，依题有222221(2)(1)(5)(4)14abcdd−+−+−+−==①，222222(5)(2)(3)(5)

13abcdd−+−+−+−==②，222223(2)(3)(5)(3)9abcdd−+−+−+−==③，222224(4)(5)(4)(4)7abcdd−+−+−+−==④，由①−③得，22222222(2)(1)(5)(4)(2)(3)(5)(

3)abcdabcd−+−+−+−−−+−+−+−1495=−=，整理得：23bd−=，故有2,13,34,5bdbdbd======三组正整数解，对于第一组解，代入④式有22(4)9(4)97ac−++−+=，不成立；对于第二组解，代入①式

有22(2)(5)4ac−+−=，解得45ac==或23ac==，代入②④式均不成立；对于第三组解，代入②式有22(5)(3)9ac−+−=，解得23ac==，代入①②③④均成立，故2435abcd==

==；故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5.【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii）问的解决关键在于，根据题设定义列出2N({1,2,3,4})ndn的相关方程组，分析得

2123222414,13,9,7dddd====，进而选择合适的式子得到23bd−=，从而分析得解.