【文档说明】2021年高考数学复习一轮复习笔记考点48 基本不等式（讲解）（解析版）.docx，共(7)页，522.576 KB，由管理员店铺上传

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1考点48基本不等式(讲解)【思维导图】【常见考法】考法一：直接型1．若103x，则()13xx−取最大值时x的值是。【答案】16【解析】1(13)3(13)3xxxx−=−103x，130x−，由基本不等式得211313111(13)3(13)()3323412xxxxxx+−

−=−==„，当且仅当313xx=−，即61x=，16x=时取等号，(13)xx−取最大值时x的值是16x=．2．已知正数a、b满足236ab+=，则ab的最大值为。【答案】14【解析】因为正数a、b满

足236ab+=，故可得()()()2111123236644ababab=+=，2当且仅当23,236abab=+=时，即66,46ab==时取得最大值.3．()()()3663aaa−+−的最大值为。【答案】92【解析】因为63a−，

所以30,60aa−+由均值不等式可得：369(3)(6)22aaaa−++−+=当且仅当36aa−=+，即32a=−时，等号成立，考法二：换1型1．已知实数0,0,31xyxy+=，则11xy+的最小值为。【答案】423+【解析】(

)1111334423yxxyxyxyxy+=++=+++2．已知0,0,1xyxy+=,则11xy+的最小值是。【答案】4【解析】()11112224yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=（当且仅当yxxy=，即xy=时取等号）11xy

+的最小值为43．已知0x，0y，且211xy+=，若222xymm++恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】()4,2−【解析】因为()2142244228yxxyxyxyxy+=++=+++=，要使

222xymm++恒成立，所以228mm+，解得42m−.故答案为：(4,2)−．考法三：配凑型31．已知1x，则41xx+−的最小值为。【答案】5【解析】由题意，因为1x，则10x−，所以444112(1

)()15111xxxxxx+=−++−+=−−−，当且仅当411xx−=−时，即3x=时取等号，所以41xx+−的最小值为5．2．已知1,1ab，且11111ab+=−−，则4ab+的最小值为。【答案】14【解

析】()()()()()41111414151415101111baababababba−−+=−+−+=−+−++=++−−−−102414+=，当且仅当()41111baba−−=−−时等号成立，取得最小值143．函

数233(1)1xxyxx++=−+的最小值为。【答案】3【解析】1x−，则10x+，()()()22111331113111xxxxyxxxx++++++===++++++，当0x=时取“=”．4．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋

b＋c的最小值为。【答案】23－2【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，得(a＋c)·(a＋b)＝4－23.∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤22bc2a++(当且仅当a＋c＝b

＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c≥2423－＝2(3－1)＝23－2.4考法四：消元型1．若正数,xy满足220xxy+−=，则3xy+的最小值是。【答案】4【解析】因为正数,xy满足220xxy+−=，所以2=−yxx，所以2232224+=

+=xyxxxx，当且仅当22xx=，即1x=时，等号成立.2．若正数,ab满足111ab+=，则1411ab+−−的最小值为。【答案】4【解析】方法一：由111ab+=，可得1bab=−，所以144=1111babb+−+−−−.由,ab为正数且111ab+=，可得1,1ab，所以(

)1444=12141111bbabbb+−+−=−−−−，当且仅当411bb−=−，即33,2ba==时等号成立.方法二：由111ab+=，可得11baa=−，11abb=−，所以14442411babaababab+=+=−−，当且仅当4baab=，即3,32ab==时等

号成立.3．若实数,xy满足0xy，则的最大值为、【答案】422−【解析】由实数,xy满足0xy，，设{2mxynxy=+=+，解得2{xmnynm=−=−，则2222224()424222xymnnmnmnmxyxymnmnmn−−+=+=−+−=−++，当且仅当2nmmn=，5及2n

m=时等号成立，所以的最大值为422−考法五：求参数1．设a、b、c都是正实数，且a、b满足191ab+=，则使abc+恒成立的c的范围是。【答案】(0，16]【解析】∵a、b为正实数，191ab+=，∴1999()10102=16babaababababab+=++++=+，当

且仅当9baab=，即4,12ab==时等号成立，∴min6()1ab=+，要使cab+恒成立，∵c为正实数，∴016c.2．已知0x，0y，且280xyxy+−=，若不等式axy+恒成立，则实

数a的范围是。【答案】(,18]−【解析】由280xyxy+−=得：2810yx+−=，即821xy+=()8228288210xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=++0x>，0y20xy，80yx282828x

yxyyxyx+=（当且仅当28xyyx=，即2xy=时取等号）10818xy++=（当且仅当2xy=时取等号）18a本题正确选项：D考法六：综合运用1．已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA，

sinB，sinC成等比数列，则角B的取值范围为。【答案】π0,3【解析】在ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，62sinsinsinBAC=，利用正弦定理化简得2bac=，由余弦定理得2222221c

os2222acbacacacacBacacac+−+−−===…（当且仅当ac=时取等号），因为0B,则B的范围为(0，]3，2．已知正项等比数列{}na满足：7652aaa=+，若存在两项ma、na使得14mnaaa=，则14mn+的最小值为。【答案】32【解析】设正

项等比数列{}na的公比为0q，满足：7652aaa=+，22qq=+，解得2q=．存在两项ma、na使得14mnaaa=，22114mnaqa+−=，6mn+=．m，n的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．则14mn

+的最小值为143242+=．3．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则4b＋1c的最小值是。【答案】9【解析】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0，1)．因

为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此4b＋1c＝(b＋c)(4b＋1c)＝4cb＋bc＋5.因为b，c>0，所以4cb＋bc≥24cbbc＝4.当且仅当4cb＝bc时

等号成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝23，c＝13时，4b＋1c取得最小值9.4．若直线MN过△ABC的重心G，且AMmAB=，ANnAC=，其中0m，0n，则2mn+的最小值是。7【答案】2213+【解析】如图：连接AG并延长交BC于D点，所以D

点是BC中点2ADABAC=+uuuruuuruuur,又AMmAB=，ANnAC=112ADAMANmn=+,又23AGAD=uuuruuur，1133AGAMANmn=+,因为,,MGN三点

共线11133mn+=0m，0n112222(2)()1133333nmmnmnmnmn+=++=+++当且仅当11133233mnnmmn+==即2212,63nm++==时，等号成立.