【文档说明】2021年高考数学复习一轮复习笔记考点48 基本不等式（练习）（解析版）.docx，共(7)页，386.347 KB，由管理员店铺上传

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1考点48基本不等式(练习)【题组一直接型】1．若a，b都是正数，且2ab+=，则()()11ab++的最大值为。【答案】4【解析】由题意，可知：2211(1)(1)421122abab+++++==++„，当且仅当11ab+=+即1ab==时取等

号；2．已知数列na是等差数列，且0na，若12100500aaa+++=，则5051aa的最大值_____.【答案】25【解析】()505112100505110050010,2aaaaaaa++++==+=0na，2505110252aa=，当且

仅当50515aa==时取等号.故答案为：25.3．若102a，则()12aa−的最大值是。【答案】18【解析】102a，故120a−，则()()()()221211112212?2228aaaaaa+−−=−=，

当14a=时取“=”【题组二换1型】1．正实数,xy满足：21xy+=，则21xy+的最小值为_____.【答案】9【解析】()2121222225525249yxyxxyxyxyxyxy+=++=++++=，当且仅当13xy==时取等号．故答案为：9

．2．已知0,0ab，122ab+=，则ab+的最小值为_______________；2【答案】3222+【解析】采用常数1的替换，()1121212322332?2222babaababababab++=++=++

+=，当2baab=即1222,22ab++==时等号成立，所以答案为3222+．3.若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋1＋1b＋c的最小值是________．【答案】3【解析】∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋

c＋1＝3，且a＋1>0，b＋c>0.∴4a＋1＋1b＋c＝13·(a＋1＋b＋c)·4a＋1＋1b＋c＝135＋4(b＋c)a＋1＋a＋1b＋c≥13(5＋4)＝3.当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．4．已知1,0,2abab

+=，则1112ab+−的最小值为。【答案】322+【解析】由题意知1,0,2abab+=，可得：(1)1,10aba−+=−，111111313[(1)]()12212122212212abababababbaba−−+=−++=++++=

+−−−−，当且仅当121abba−=−时，等号成立，则1112ab+−的最小值为322+。【题组三配凑型】1．已知1x−，求函数11yxx=++的最小值是。【答案】1【解析】由1x−，即10x+，所

以()()1111121?11111yxxxxxx=+=++−+−=+++，0x=时取“=”，2．若1a，则11aa+−的最小值是。【答案】3【解析】1a则10a−，()1111311aaaa+=−++−−，当2a=时取“=”33．已知实数0a，0b，1

1111ab+=++，则2+ab的最小值是。【答案】22【解析】∵0a，0b，11111ab+=++∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111baababababab+++=+++−=++++−=+++−++++3+22

3=22−当且仅当2(1)111baab++=++，即2a=，22b=时取等号.【题组四消元型】1．若正实数x，y满足2210yxy+−=，则2xy+的最小值为______.【答案】3【解析】由2210y

xy+−=可得212yxy−=21111313222322222222yyyyyyyyyxyy−+=−+=+==+当且仅当33y=时，等号成立.则2xy+的最小值为3故答案为：32．已知22451(,)xyyxyR+=，则22xy+的最小值是_______．【答案】45∵22451xy

y+=∴0y且42215yxy−=∴422222222114144+2555555yyyxyyyyy−+=+==，当且仅当221455yy=，即2231,102xy==时取等号.∴22xy+的最小

值为45.故答案为：45.43．已知实数,xy满足22455−−=xxyy，则222xy+的最小值为。【答案】103【解析】设222xym+=，则222xmy=−，22455xxyy−−=，22455xyxy=−−，则()22222165

5xyxy=−−，()()222216257ymymy−=−−，42281(3070)(5)0ymym−−+−=，设2yt=，则2281(3070)(5)0tmtm−−+−=，22(3070)481(5)

0mm=−−−…，解得103m，222xy+的最小值为103.4．已知x、y为正实数，满足427xyxy++=，则2xy+的最小值为______.【答案】3【解析】由427xyxy++=可得出()92217492

212121xxyxxx−+−===−+++，由于x、y为正实数，则074021xxyx−=+，可得704x，()()99922221322133212121xyxxxxxx+=+−=++−+−=+++，

当且仅当92121xx+=+时，即当1x=时，等号成立，因此，2xy+的最小值为3.故答案为：3.【题组五求参数】1.设正实数,xy满足1,12xy，不等式224121xymyx+−−恒成立，则m的最大值为。【答案】8【解析】

设1,21ybxa−=−=，则()()()110,102ybbxaa=+=+5所以()()()()()222211111422121ababababxyyxbaabab++++++++=+=−−()1122222228abababababababab

+=+++=+=当且仅当1ab==即2,1xy==时取等号所以224121xyyx+−−的最小值是8，则m的最大值为8.2．）已知0x，0y，且280xyxy+−=，若不等式axy+

恒成立，则实数a的范围是。【答案】(,18]−【解析】由280xyxy+−=得：2810yx+−=，即821xy+=()8228288210xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=++0x>，0y20x

y，80yx282828xyxyyxyx+=（当且仅当28xyyx=，即2xy=时取等号）10818xy++=（当且仅当2xy=时取等号）18a3.已知0m，0xy，当2xy+=时，不等式24mxy+恒成

立，则m的取值范围是。【答案】)2,+【解析】因为0m，0xy，2xy+=，所以()21212222mmmxyxymxyxyyx+=++=+++()12222mm++.因为不等式24mxy+恒成立，所以()122242mm++，整理得

()()3220mm+−，解得2m，即2m.6【题组六综合运用】1．已知函数()21fxaxa=+−的图象恒过定A，若点A在直线10mxny++=上，其中0mn，则12mn+的最小值为【答案】8【解析】()()2121fxaxaax=+−=+−，所以，函数()y

fx=的图象恒过定点()2,1A−−，由于点()2,1A−−在直线10mxny++=上，则210mn−−+=，则21mn+=，0mn，则0mn，()12124424248mnmnmnmnmnnmnm+=++=+++=，当且仅当2nm=时

，等号成立，因此，12mn+的最小值为8.2．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，22b=且ABC面积为2223()12Sbac=−−，则ABC面积S的最大值为。【答案】423−【解

析】222331()(2cos)sin12122SbacacBacB=−−=−=，3tan3B=−，56B=，3cos2B=−，1sin2B=，又22b=，由余弦定理可得：2283(23)acacac=+++…，88(23)23ac=−+„，当且仅当ac=时取等号，111s

in8(23)423222ABCSacB=−=−„．面积S的最大值为423−．3．已知函数2()2cos3sin2fxxx=−，在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，内角A满足()1fA=−，若6a

=，则ABC的面积的最大值为。7【答案】332【解析】2()2cos3sin2fxxx=−=cos23sin212cos213xxx−+=++()2cos211cos2133fAAA=++=−+=−

，A为三角形内角，则3A=6a=，222222cos2abcbcAbcbcbcbcbc=+−=+−−=，当且仅当bc=时取等号11333sin62222ABCSbcA==4．在ABC中，设内角A，B，C的对边分别

为a，b，c，且3c=，a，b，c成等比数列，则B的最大值为。【答案】60°【解析】因为a，b，c成等比数列，所以2bac=；而2222211cos12222acbacacacBacacca+−+−===+−（当且仅当ac=时取等号）又因为B为三角形的内角，所以060B；故B的

最大值为60