【文档说明】四川省内江市威远中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(25)页，3.376 MB，由小赞的店铺上传

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威远中学2025届高二上第一次月考试题数学一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求.1.下列说法正确的是（）A.三个点可以确定一个平面B.若直线a在平面外，则a与无公共点C.用平面截正棱锥所得的棱台是正棱台D.斜棱

柱的侧面不可能是矩形【答案】C【解析】【分析】由三点共线判断A；由线面关系有a与可能相交或平行判断B；由正棱锥的结构特征及正棱台的定义判断C；注意两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边情况判断D.【详解】

A：三点共线时平面不止一个，错误；B：若直线a在平面外，则a与可能相交或平行，错误；C：平面截正棱锥所得的棱台，必有上下底面均为正多边形且侧面是全等的等腰梯形，即为正棱台，正确；D：斜棱柱侧棱不垂直于底面，但可能存在两条相邻侧棱同时垂直于底面

上与它们相交的边，此时这两条侧棱和上下底面的边所成侧面为矩形，错误.故选：C2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）．A.222+B.422+C.442+D.842+【答

案】C【解析】【分析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，再计算平面图形的面积即可.【详解】由已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图如下图：则212221OA=++=+，则把直观图还原为平面图形如下图：这个平面图形的面积为4(1221)4422++=+.

故选：C.3.已知某圆台的高为22，上底面半径为1，下底面半径为2，则其侧面展开图的面积为（）A.9πB.62C.92D.8π【答案】A【解析】【分析】求圆台的侧面积，直接利用公式求解.【详解】∵圆台的母线长为()()2222213+−=，∴其侧面

展开图的面积()1239S=+=.故选：A.4.空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A.4或6或7个部分B.4或6或7或8个部分C.4或7或8个部分D.6或7或8个部分【答案】B【解析】【分析】将空间不重合的三个平面位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平面平行；三个平面交

于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点，分情况分析求解即可.【详解】空间不重合的三个平面，若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分；若三个

平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分.所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.故选：B

.5.已知某圆台的高为22，上底面半径为1，下底面半径为2，则其侧面展开图的面积为（）A.9πB.62C.92D.8π【答案】A【解析】【分析】求圆台的侧面积，直接利用公式求解.【详解】∵圆台的母线长为()()222221

3+−=，∴其侧面展开图的面积()1239S=+=.故选：A.6.在ABC中，2ABBCAC===，将ABC绕直线AB旋转一周，得到的旋转体的表面积为（）A.23πB.43πC.83πD.163π【答案】B【解析】【分析】先判断旋转后的几何体为两个圆锥

，再利用圆锥的侧面积公式即可得解.【详解】取AB中点D，如下图所示（左图为轴截面，右图为旋转体上半部分），CD将旋转后的图形分为上下两个相同的圆锥，且底面重合，得到的旋转体的表面积为两个圆锥的侧面积，因为2ABBCAC===，所以ABC是正三角形，所以其中一个圆锥的母线为2AC=，半径为3CD=，

则一个圆锥的侧面面积为ππ3223πCDAC==，所以旋转体的表面积为223π43π=.故选：B7.三棱台111ABCABC-中，两底面ABC和111ABC△分别是边长为2和1的等边三角形，1CC⊥平面ABC.若12CC=，则异面直线AC与1BC所成角的余弦值为（）A

.144B.77C.24D.22【答案】C【解析】【分析】以,ACAB为邻边作平行四边形ABDC，则//ACBD且ACBD=，从而可得1DBC即为异面直线AC与1BC所成角或其补角，再解1BDC即可.【详解】如图，以,ACAB为邻边作平

行四边形ABDC，则//ACBD且ACBD=，故1DBC即为异面直线AC与1BC所成角或其补角，因为1CC⊥平面ABC，,BCCD平面ABC，所以11,CCBCCCCD⊥⊥，则114422,4422BC

DC=+==+=，在1BDC中，22211114882cos242222BDBCDCDBCBDBC+−+−===，即异面直线AC与1BC所成角的余弦值为24.故选：C.8.正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（）A.

423B.8327C.83D.163【答案】C【解析】【分析】由正八面体的定义知，其内切球的球心在正八面体的中心，以内切球的球心为顶点、可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，利用等体积法可得其内切球的半径r，从而得到其内切球的表面积.【详解】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面

，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为r，则82VVV==正八面体三棱锥正四棱锥，且正四棱锥的高为图中CO，易得2CO=，即：()113182222223223r=解得：63r=，所以，内切球的表面积为8

3.故选：C．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在下列四棱雉中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱雉的顶点或棱

的中点，则MN∥平面ABC的有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，B；假设MN∥平面ABC，利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断C，D.【详解】对于A，设P为AB的中

点，底面为平行四边形BEFC，连接,MPPC，则1,2PMBEPMBE=∥，而,BECFBECF=∥,故,PMCNPMCN=∥，即四边形PMNC为平行四边形，故MNPCP，而PC平面ABC，MN平面ABC，故MN∥平面ABC

，A正确；对于B，设P为AB的中点，底面为平行四边形BCFE，连接,MPPC，则1,2PMBEPMBE=∥，而,BECFBECF=∥,故,PMCNPMCN=∥，即四边形PMNC为平行四边形，故MNPCP，而PC平面ABC，MN平面ABC，故MN∥平面ABC，B正确；对于C，设P为AE的中点，底

面为平行四边形BEFG，连接,NPPB，设NP交AC于H，连接BH，则1,2PNFEPNFE=∥，而,FEGBFEGB=∥,故,PNMBPNMB=∥，即四边形PNMB为平行四边形，故∥MNPB，又MN平面PNMB，MN平面ABC，平面

PNMB平面ABCBH=，假设MN∥平面ABC，则MNBH∥，即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，故此时MN∥平面ABC不成立，C错误；对于D，设底面为平行四边形ANEF，连接,AEFN交于点H，FN交AC于G，则H为FN的中点

，连接,BHBG，由于B为MF的中点，故BHMN∥；又MN平面NMF，MN平面ABC，平面NMF平面ABCBG=，假设MN∥平面ABC，则MNBG∥，即在平面NMF内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，故此时MN∥平面ABC不成立，D错

误；故选：AB10.已知,,abc是三条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题正确的有（）A.若,abac⊥⊥，则//bcB.若//,//abac，则//bcC.若,⊥⊥，则//D若,////，则//【答案】BD【解析

】【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案.【详解】A选项，若,abac⊥⊥，则,bc可能异面，A选项错误.B选项，若//,//abac，则//bc，B选项正确.C选项，若,⊥⊥，则,可能相

交，C选项正确..D选项，若,////，则//，D选项正确.故选：BD11.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB=，2PA=，点C在底面圆周上，且二面角PACO−−为45°，则（）．A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为43π

C.22AC=D.PAC△的面积为3【答案】AC【解析】【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，120APB=，2PA=，所以1,3OPOAOB

===，A选项，圆锥的体积为()21π31π3=，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为π3223π=，B选项错误；C选项，设D是AC的中点，连接,ODPD，则,ACODACPD⊥⊥，所以PDO是二面角PA

CO−−的平面角，则45PDO=，所以1OPOD==，故312ADCD==−=，则22AC=，C选项正确；D选项，22112PD=+=，所以122222PACS==，D选项错误.故选：AC.12.如图，在棱长为1正方体1111ABCDAB

CD−中，点P，Q分别是线段11BD，1BD上的动点，点E是棱1BB的中点，下列命题正确的有（）A.异面直线AC与BP所成的角为定值B.PQQA+的最小值为43C.三棱锥APBC−的体积随P点的变化而变化D.过点E作平面，当//平面11ABD时，平面与正方体表面的交线构成平面多

边形的周长为32【答案】ABD【解析】【分析】根据线面垂直即可求解A，根据平面中两点间距离最小即可求解B,根据等体积法即可求解C,根据线面平行的性质可得截面多边形,即可求解D.【详解】由于1BB⊥平面,ABCDACÌ平面1,

ABCDACBB⊥,111ACBD,ACBB,BDBBB,BB,BD^^??平面11BDDB,所以AC⊥平面11BDDB，BP平面11BDDB，所以ACBP⊥，则异面直线AC与BP所成的角为90°，故A正确；把平面11BBD沿直线1

BD翻折到平面1MBD，使得1MBD△与1ABD共面且不重合，点1B翻折到点M的位置，过A作1ARDM⊥交1DM于点R，由于1MBD△与1ABD为全等的直角三角形，且11123ADDM,DB===,所以1121cossin33ADB,A

DB??，故111222sinsin22333ADMADB??创=,故11224sin233ARADADM=??,则PQQA+的最小值为线段AR的长，故B正确；因为APBCPABCVV−−=,由于ABCS为定值,且P

到底面的距离为定值，故体积为定值，故C错误.分别取11111BC,DC,DD,AD,AB的中点为F,H,K,I,L，连接构成六边形EFHKIL,则平面EFHKIL//平面11ABD,故平面即为六边形EFHKIL所在的平面，由于六边形EFHKIL为正六边形，且边长为11222

AB=,故其周长为32，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案直接填在答题卷相应的横线上.13.圆锥SO的底面半径1OA=，侧面的平面展开图的面积为2π．则此圆锥的体积为______．【答案】3π3##33π【解析】【分析】根据

圆锥侧面展开图面积求出圆锥母线长，继而求得圆锥的高，即可求得圆锥的体积.【详解】设圆锥母线长为l，由侧面的平面展开图的面积为2π，可得12π12π,22ll==，故圆锥的高为22213h=−=，故

圆锥的体积为213ππ1333=，的故答案为：3π314.如图所示，正方体1111ABCDABCD−棱长为3，M、N分别是下底面的棱11AB，11BC的中点，P是上底面的棱AD上的一点，1AP=，过P，M、N的平面交上底面于PQ

，Q在CD上，则PQ=________.【答案】22【解析】【分析】利用面面平行的性质定理可得//MNPQ，从而可得//PQAC，再由相似比即可求解.【详解】因为平面//ABCD平面1111DCBA，平面ABCD∩平面PQNMP

Q=，平面1111DCBA∩平面PQNMMN=，所以//MNPQ，又因为//MNAC，所以//PQAC．又因为1AP=，所以23PDDQPQADCDAC===，所以22322233PQAC===.故答案为：2215.如图，从正四

面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是143，则该多面体外接球的表面积是______.【答案】11π【解析】【分析】求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面面体的棱长，即可求出其外接

球的半径，从而可求出外接球的表面积.【详解】由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的13，设原正四面体的棱长为a，则其表面积为223434aa=，由图易知该多面体与原正四面体相比较，表面积少了8个

边长为13a的正三角形的面积，所以该多面体的表面积为222317338143439aaa−==，所以32a=.如图，1O是下底面正六边形ABCDEF的中心，2O是上底面正三角形MNG的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心O

在原正四面体的高1PO上，23262233OG==，22121223243(32)3233233OOPO==−=.设球O的半径为R，在1RtOOA△中，22211OAOAOO=+，所以2212ROO=+，在2RtOOG△

中，22222OGOOOG=+，所以222221143243333ROGOOOO=+−=+−，所以2211243233OOOO+=+−，解得132OO=，所以211122

ROO=+=，所以该多面体外接球的表面积24π11πSR==.故答案为：11π.16.如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h，正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0在底面△ABC上，则三棱柱A1B1C1-A0B0

C0的侧面积取到最大值为______.【答案】34ah【解析】【分析】取底面三角形ABC中心为O，连接PO，OB.设11ABtAB=，利用相似知识可表示出三棱柱A1B1C1-A0B0C0高，即可得答案.【详解】取底面三角形ABC中

心为O，连接PO，OB.则POh=，设()1101ABttAB=，因11PABPAB△△，则11111ABPBtABatABPB===.又10POBBBB，则()101110111BBPBPBPBtBBhtPOPBPB

−==−=−=−.则三棱柱A1B1C1-A0B0C0的侧面积为:()211101133313244ABBBahttahtah=−=−−+，当且仅当12t=，即111,,ABC分别为三条侧棱中点时取等号.的故答案为：34ah四､解答题：本大题共6小题，共7

0分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，某几何体下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.【答案】（1）256；（

2）240.【解析】【分析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接11AC，11BD交于点O，取

11BC的中点E，连接PO，OE，PE的（1）883192V==长方体11111883643PABCDV−==∴19264256V=+=总（2）∵3PO=，4OE=∴225PEPOOE=+=1485802S==四棱椎侧48388160S=+=长方体

80160240S=+=总【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.18.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点，F为1CC的中点．（1）求证：1//BD平面AE

C；（2）求证：平面//AEC平面1BFD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点O，利用中位线的性质得出1//BDOE，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出1//DF平面AEC，利用面面平行的判定定理可证得结论成立．【小问

1详解】连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，因为E为1DD的中点，则1//BDOE，1BD平面AEC，OE平面AEC，因此，1//BD平面AEC．【小问2详解】因为11//CCDD且11CCDD=，E为1DD的中点，F为

1CC的中点，所以1//CFDE，1CFDE=，所以，四边形1CEDF为平行四边形，所以1//DFCE，1DF平面AEC，CE平面AEC，所以1//DF平面AEC，又1//BD平面AEC，111BDDFD=，因此，平面//AEC平面1BFD．19.如图，已知直四棱

柱1111ABCDABCD−的底面是边长为2的正方形，E，F分别为1AA，AB的中点．（1）求证：直线1DE、CF、DA交于一点；（2）若14AA=，求多面体1BCDEF的体积．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分

析】（1）根据题意可得四边形1EFCD为梯形，再根据平面的性质证明三线交于一点；（2）根据题意利用割补法求体积.【小问1详解】连接EF、1AB，因为E、F分别为1AA、AB的中点，所以1//EFAB且112EFAB=．因为1111ABCDABCD−是直四棱柱，且底面是

正方形，所以11////BCADAD，且11BCADAD==，即四边形11ABCD是平行四边形，所以11//ABDC且11ABDC=，所以1//EFDC，且1EFDC，所以四边形1EFCD为梯形，所以1DE与CF交于一

点，记为P，即1,PDEPCF，且1DE平面1ADDA，CF平面ABCD，所以P平面ABCD，P平面1ADDA，又因为平面ABCD平面11ADDAAD=，则P直线AD，所以直线1DE、CF、DA交于一点P.【小问2详解】连接1DF，

由题意可得：11111111112212423232BCDEFBEFDBCDFDBEFDBCFVVVVV−−−−=+=+=+=.20.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，3PA=，点,

EF分别在线段PB，PD上，且满足13PEPB=，13PFPD=．（1）求证：//EF平面ABCD；（2）求直线BF与平面ABCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）31010【解析】【分析】（1）证明//EFBD，结合线面平行的判定定理即得；（2）作//FGPA，则直线BF与平面AB

CD所成角为FBG，根据题中线段长度，求tanFBG即可.【小问1详解】如图，连接BD，因13PEPB=，13PFPD=，所以//EFBD，因为EF平面ABCD，BD平面ABCD，所以//EF平面ABCD；【小问2详

解】如图，在线段AD上取点G，使13AGAD=，连接FG,BG,因13PFPD=，则//FGPA，且223FGPA==，因PA⊥平面ABCD，所以FG⊥平面ABCD，FGBG⊥故FBG即直线BF与平面ABCD所成角，因ABCD是边长为

2的正方形，所以1233AGAD==，2AB=，22222210233BGABAG=+=+=，为所以2310tan102103FGFBGBG===，故直线BF与平面ABCD所成角的正切值为31010.21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，AC交BD于点O，E

是PD上一点且//PB平面ACE（1）证明：E为PD的中点；（2）在线段PA上是否存在点F，使得平面//OEF平面PBC，若存在，请给出点F的位置，并证明，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，F为PA中点【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定

理证得E为PD的中点.（2）通过证明面面平行的方法来确定点F的位置.【小问1详解】连接BD，设ACBDO=，连接OE，因为//PB平面AEC，PB平面PBD，平面PBD平面AECEO=，所以//PBEO，又底面ABCD为平行四边形，所以O

为BD的中点，所以E为PD的中点．【小问2详解】存在，F为PA中点时，平面//OEF平面PBC，因为F为PA中点，E为PD的中点，所以//EFAD，由于//BCAD，所以//EFBC，由于EF平面PBC，BC平面PBC，所以//EF平面PBC，同理可证得//OE平面PBC，由于O

EEFE=，,OEEF平面OEF，所以平面//OEF平面PBC.22.已知四棱锥PABCD−的底面为直角梯形，ABDC，90DAB=，PA⊥底面ABCD，且1PAADDC===，2AB=，M是PB的中点.（1）证明：BC⊥平面PAC；（2）判

断直线CM与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；（3）求二面角AMCB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）//CM平面PAD，证明见解析（3）23−【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可证明；（2）利用线面平行的判定定理即可证明；（3）几何法求解.先确定二面角

的平面角，再利用解三角形知识求角.【小问1详解】由PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD，则PABC⊥，在直角梯形ABCD中，222ABACBC=+，则ACBC⊥，又PAACA=，,PAAC平面PAC，所以BC⊥平面PAC

；【小问2详解】//CM平面PAD，证明如下：如图：取PA中点E，连接ME，DE，由于M是PB的中点，故MEAB∥，且1ME=，由ABDC，则MEDC∥，且MEDC=，从而四边形CDEM是平行四边形，故CMDE∥，又CM平面PAD，

DE平面PAD，所以//CM平面PAD；【小问3详解】作ANCN⊥，垂足为N，连接BN，如图：在RtPAB中，AMMB=，又ACCB=，所以AMC≌BMC△，可得ANBN=，则AMN≌BMN，故BNCM⊥，故ANB为所求二面角的平面角，由（1）知B

C⊥平面PAC，由PC平面PAC，可得BCPC⊥，在RtPCB中，CMMB=，所以52CMAM==，在等腰三角形AMC中，22()2=−ACANMCACCM，所以32302552AN==，因为2AB=，在ANB中，由余弦定理得2222cos2

3ANBNABANBANBN+−==−，所以二面角的余弦值为23−.【点睛】方法点睛：立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑：（1）证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定

理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com